操作探究問題?？伎键c預(yù)測練

2025年中考數(shù)學(xué)三輪復(fù)習備考

一、單選題

1.運行程序如圖所示，規(guī)定：從“輸入一個值X”到“結(jié)果是否>94”為一次程序操作，如果程序操作進

行了三次才停止，則x的取值范圍是（）

A.4Vx<11B.3<x<10C.3<x<10D.4<x<ll

2.如圖（1）所示為長方形紙帶，將紙帶第一次沿跖折疊成圖（2）,再第二次沿歷折疊成圖（3）,

繼續(xù)第三次沿所折疊成圖（4）,按此操作，最后一次折疊后恰好完全蓋住ZEFB,整個過程共折疊

了11次，問圖（1）中ZDE尸的度數(shù)是（）

AEr>AE

“71—

D

FC

(1)

“EDA

C

5.已知代數(shù)式士,第一次操作將士作為新的x代入含中化簡后得到新的式子記為片=心,

第二次操作將已作為新的x代入月中化簡后得到新的式子記為名=葭,第三次操作將看作

為新的無代入尸2中化簡后得到新的式子K…以此類推重復(fù)上述操作，以下結(jié)論中正確的有（）

①瑪=—p

OX+1

②若!<X<1,貝!]87<]+[+[<9（）；

2F2F4F6

③不存在整數(shù)尤使得去的值為負整數(shù).

A.0個B.1個C.2個D.3個

6.某周五學(xué)校舉行了家長開放日活動，在以“紙片的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動課上，某位同學(xué)進行了

如下操作:

第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個正方形ABE尸，然后把紙片展平;

第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點/處，得到折痕MN,如圖②.

根據(jù)以上的操作，若AB=4,AD=6,則線段的長是（）

D.1

7.如圖，等邊三角形O4B中，點。為原點,點A的坐標為。，0）,點8在第一象限，進行以下操作:

①第一次，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將△OAB順時針旋轉(zhuǎn)30。得到△QA4;第二次，以A為旋轉(zhuǎn)中心，將

△QA4順時針旋轉(zhuǎn)30。得到&&B2……②當點8落在x軸上時，以B為旋轉(zhuǎn)中心延續(xù)前面的操作；

③當點。落在x軸上時，以O(shè)為旋轉(zhuǎn)中心延續(xù)前面的操作……當操作延續(xù)時，則經(jīng)過點/的反比例

函數(shù)的表達式為（）

%%xx

8.如圖，點尸是。外一定點，連接線段OP,與。交于點A.按照如下尺規(guī)作圖的步驟進行操

作：①分別以尸，。為圓心，以大于;尸。長為半徑畫弧，兩弧交于點M,N,作直線MV,交尸。于

點、B；②以點8為圓心，以8。為半徑作一B,與C。交于點。，R兩點；③連接P。，PR,OQ,OR,

QR,線段。R與尸。相交于點c.則下列說法中不一定正確的是（）

A.PQ,PR均為與。的切線B.ZQPR+ZQOR=180°

C.ZQPR=60°D.OPQC=PQOQ

9.給定VA5C,現(xiàn)進行如下操作：

①如圖（1）所示，分別以點A、C為圓心，大于;AC的長。為半徑作弧，連接兩弧兩個交點的線段

交AC于點Q,連接B。；

②如圖（2）所示，取BC上一點P,連接AP交BQ于G,并使得AP能平分SMe；

③過點G作A3的平行線《交BC于點T,作4〃AC交于點R.則下列說法不正確的是（）

A.G為VA3C重心B.4與4均可平分SABC

q1

PuGTR_±_

D.CR=BT=TB

■

10.如圖，甲同學(xué)將RtABC（ZC=90°,AC=BC）按照下面方式操作:

第一步，將Rt^ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)45。，得到VADE；第二步，過E作EFLCB,交CB的延長

線于點歹；第三步，作直線CO,CD交EB,跖分別于點G,H.

甲同學(xué)根據(jù)操作，寫出了四個結(jié)論：

?ZFBE=ZDBE；②EH=BD；③DG是aDBE的中線；@AB-EG=BE.其中正確的結(jié)論是（）

A.①②B,③④C.①②③D.②④

11.在活動課上，同學(xué)們用4張圖1所示的紙片拼出了兩個不同的六邊形（圖2,圖3中的空白部分），

將兩個六邊形分割，圖形I,II均為正方形.已知BC=2岔，AC=2,則CD等于（）

03

圖1圖2圖3

A.2710B.屈C.5A/2D.2而'

12.如圖，在正方形ABC￡＞中，點。為AB邊上一動點（不與A、8重合），進行下列操作：

①在C0上取一點￡,以C為圓心，CE為半徑作弧交CO于尸，連接族；

②分別以E、尸為圓心，大于長為半徑作弧交于點G,連接CG并延長交45于點H,過H作

印，Q2于/（點/在線段CQ上）；

③分別以C、。為圓心，大于1c。長為半徑作弧交于J,K兩點，連接JK,設(shè)JK交CH于點L.

2

下列說法正確的是（）

A.隨著。點的運動，點/不能一直存在于CQ上

B.點L為△/C。的外心

C.AH/Q四點不一定同時在一個圓上

D.當點。為AB中點時，點H為AD上靠近A的三等分點

二、填空題

13.如圖，一個圓柱體容器，其底部有三個完全相同的小孔槽，分別命名為甲槽、乙槽、丙槽.有大

小質(zhì)地完全相同的三個小球，每個小球標有從1至9中選取的一個數(shù)字，且每個小球所標數(shù)字互不相

同.作如下操作：將這三個小球放入容器中，搖動容器使這三個小球全部落入不同的小孔槽（每個小

孔槽只能容下一個小球），取出小球記錄下各小孔槽的計分（分數(shù)為落入該小孔槽小球上所標的數(shù)字）,

完成第一次操作.再重復(fù)以上操作兩次.已知甲槽、乙槽、丙槽三次操作計分之和分別為20分、10

分、9分，其中第一次操作計分最高的是乙槽，則第二次操作計分最低的是（從“甲槽”、“乙

槽，，、“丙槽，，中選填）.

14.在綜合實踐課上，小聰用一張長為4,寬為x（2<x<4）的長方形紙片進行操作探究，先從它的

一側(cè)，剪去一個以長方形紙片寬為邊長的正方形（第一次操作）；從剩下的矩形紙片一側(cè)再剪去一個

以寬為邊長的正方形（第二次操作）；按此方式，如果第三次操作后，剩下的紙片恰為正方形.則

（1）第一次操作后，剩余長方形的兩邊長分別為,.（用含尤的代數(shù)式表示）

（2）寬x的值為

X

4

2

15.已知一個分式幺（。為正整數(shù)），對該分式的分母與分子分別減1,成為一次操作，以此類推,

a

2

Z7-1a2-7/72-3

若干次操作后可以得到一個A數(shù)串…，通過實際操作，某同學(xué)得到了以下四

〃一1a-2a-3

個結(jié)論:

①第3次操作后得到的分式可化為9+6=止￡+￡=。+3+_1_.

a—3a—3a—3CL—3

12

②第4次操作后的分式可化為。+4+—.

③若第5次操作后得到的分式可以化為整數(shù)，則a的正整數(shù)值共有7個.

④若經(jīng)過"次操作后得到的分式值為10,則滿足這個條件的a的值有1個，且a+〃=10.

以上四個結(jié)論中正確的有.（只填寫序號）

16.在數(shù)學(xué)探究活動中，小明進行了如下操作：如圖，在矩形紙片中，點E為的中點，將

VADE沿直線DE折疊得到△GDE,點G在矩形的內(nèi)部，延長DG交2c于點廠.請完成下列探究:

⑵若點「恰好為BC的中點“則而的值為

三、解答題

17.圖1是一張三角形紙片ABC,ABC=90,AB=6,BC=8,沿垂直于斜邊AC的方向裁剪一

刀（裁剪線為,會分得兩個圖形.

情境：（1）當裁剪線MV恰好經(jīng)過頂點8時，如圖2,直接寫出的長；

操作：（2）要使經(jīng)過沿裁剪的三角形紙片A3C,分得的其中一個圖形為軸對稱圖形，

①嘉嘉想出了如下作法：先作出了NC的平分線CN交A3于N,如圖3,再過點N沿垂直于AC的方

向裁剪，得到的四邊形3cMN一定是軸對稱圖形.在圖3中，請用無刻度的直尺和圓規(guī)過點N作出AC

的垂線MN,垂足為點M（保留作圖痕跡，不寫作法）；

②試對CB與CM相等進行說理，并直接寫出裁剪線MN的長.

探究：（3）在（2）的情形中，淇淇說：“裁剪線還應(yīng)有另一個不同的值.”請直接寫出淇淇所說

的MN的長.

18.【問題背景】新能源汽車多數(shù)采用電能作為動力來源，不需要燃燒汽油，這樣就減少了二氧化碳

等氣體的排放，從而達到保護環(huán)境的目的.

【實驗操作】為了解汽車電池需要多久能充滿，以及充滿電量狀態(tài)下電動汽車的最大行駛里程，某綜

合實踐小組設(shè)計兩組實驗.

實驗一：探究電池充電狀態(tài)下，電動汽車儀表盤增加的電量y(%)與時間分鐘)的關(guān)系，數(shù)據(jù)記

錄如表1：

實驗二：探究充滿電量狀態(tài)下，電動汽車行駛過程中儀表盤顯示電量e(%)與行駛里程s(千米)

的關(guān)系,

數(shù)據(jù)記錄如表2：

表1

電池充電狀態(tài)

時間f(分鐘)0103060

增加的電量y(%)0103060

表2

汽車行駛過程

已行駛里程S(千米)0160200280

顯示電量e(%)100605030

(1)【建立模型】觀察表1、表2發(fā)現(xiàn)都是一次函數(shù)模型，請結(jié)合表1、表2的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于f的

函數(shù)表達式及e關(guān)于s的函數(shù)表達式；

(2)【解決問題】某電動汽車在充滿電量的狀態(tài)下出發(fā)，若電動汽車行駛240千米后，此時電動汽車

儀表盤顯示電量為多少？

(3)在(2)的條件下，若電動汽車要繼續(xù)行駛到達目的地，此時需要在途中的服務(wù)區(qū)充電，一次性充

電若干時間后繼續(xù)行駛220千米到達目的地，且到達目的地后電動汽車儀表盤顯示電量為25%,則電

動汽車在服務(wù)區(qū)充電多長時間？

19.根據(jù)以下素材，完成三個任務(wù)：

以下所有拼接的圖形都是拼成既沒有縫隙也沒有重疊的圖形.

素某綜合實踐小組準備了如圖所示的三種卡片，其中

GAa

材A型卡片是邊長為“的正方形，B型卡片是長為。分

a3

bb

寬為6的長方形，且

素將1張3型卡片沿對角線剪開，得到兩張直角三角

Bfa

材形卡片.

b

二

素小組操作發(fā)現(xiàn)，將2張A型卡片，3張B型卡片（所

B

AB

材拼成的長方形既沒有縫隙也沒有重疊）.得到了一

A

BC

個代數(shù)恒等式：（。+與（2。+6）=2/+3仍+廿.

【問題解決】

【任務(wù)1】用1張A型和2張8型卡片拼成一個長方形，用含°,6的代數(shù)式表示這個長方形的周長；

【任務(wù)2】現(xiàn)共有10張A型卡片，25張8型卡片和18張C型卡片，請你選取若干張卡片，將取出的

這些卡片拼成一個正方形.請你列舉兩種拼正方形的方案（寫出各種型號的卡片數(shù)量和相應(yīng)的正方形

的邊長；其中一種方案正方形的邊長要最大）；

【任務(wù)3】將2張8型卡片剪成4張直角三角形卡片，再從AB,C型卡片中挑選若干張（長方形除

外）.請畫出示意圖，并寫出與該平行四邊形的面積相關(guān)的代數(shù)恒等式.（用含《6的數(shù)學(xué)等式表

示）要求：4張直角三角形卡片全部使用；AB,C型卡片至少選一種；拼出的平行四邊形的面積最

小才能得滿分.

20.折紙是富有趣味和有意義的一項活動，折紙中隱含著數(shù)學(xué)知識與思想方法.深入探究折紙，可以

用數(shù)學(xué)的眼光發(fā)現(xiàn)，用數(shù)學(xué)的思維思考、用數(shù)學(xué)的語言描述，提升同學(xué)們的綜合素養(yǎng).

【操作發(fā)現(xiàn)】

（1）如圖（1）,在矩形ABCD中，把矩形A3CQ折疊，使8與A重合，C與。重合，展平紙片得到

折痕E尸，再第二次折疊，點8落在跖上&點，展平紙片得到折痕AM,連接A9,BB',則NB'BC

等于

A.20°B.30°C.45°D.60°

【深入探究】

（2）如圖（2）,尸是矩形ABCD邊上一點，把矩形折疊，使尸與8重合，展平紙片得到折痕跖；

第二次折疊，點8落在族上的點B',P落在點P',展平紙片得到折痕MN,連接BP,B'P,BB'，

寫出NP8B'與/B'BC的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

【拓展應(yīng)用】

（3）如圖（3）,正方形ABCZ）中，P是射線上一點，點尸與點8是對稱點，族是對稱軸.點8

與點F是對稱點，是對稱軸，點尸關(guān)于政V的對稱點為點P',連接BP',FP',BF,AB=y/3+l,

當NFBC=15。時，直接寫出AP的長.

N

AD

21.【動手操作】

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標是(0,2),在x軸上任取一點完成以下作圖步驟:

①連接AM,作A"的垂直平分線6，過點M作為軸的垂線4，記4，的交點為產(chǎn)；

②在無軸上多次改變”點的位置，用①的方法得到相應(yīng)的點P.

線段24與尸”的數(shù)量關(guān)系為,其理由為：;

【問題探究】

通過上述方法得到一系列的點P,把這些點用平滑的曲線連接起來，記為曲線L.對于曲線L上的任

意一點尸(x,y),試求出x,y滿足的函數(shù)關(guān)系式；

【拓展延伸】

若點。卜4,-屈+4)為任意實數(shù))，點尸為曲線L上任意一點，當△APD的周長最小時，求點尸

的坐標.

22.綜合與探究

問題情境：

在數(shù)學(xué)活動課上，老師組織同學(xué)們探究直角三角形旋轉(zhuǎn)前后特殊線段之間的數(shù)量關(guān)系.如圖1,在

白△ABC中，NACB=90。，ZC4fi=30°,尸為A3的中點，以點尸為旋轉(zhuǎn)中心，將Rt^ABC逆時針

旋轉(zhuǎn)a(O。<?<360°)到aAEC'的位置，點AB,C的對應(yīng)點分別為A,B',C.連接AB',CC,M,N分別

為AB',CC'的中點，連接尸河，尸N,AC.

(1)創(chuàng)新小組將VA3c旋轉(zhuǎn)至點C與點B重合的位置，如圖2.

①判斷四邊形ACBP的形狀，并說明理由；

②用等式表示PM與PN之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

拓展延伸：

(2)智慧小組繼續(xù)探索，當B'C'，3c時，若BC=2,請直接寫出4c2的值.

23.數(shù)學(xué)活動課上，老師讓同學(xué)們以“矩形的折疊”為主題開展數(shù)學(xué)活動.

圖I圖2茶用圖

⑴操作判斷

操作一：對折矩形紙片使與重合，得到折痕跖，把紙片展平;

操作二:在AD邊上選一點P,沿5尸折疊，使點A落在矩形內(nèi)部點M處,把紙片展平,連接尸”、BM.

TMAG,AT=TD

根據(jù)以上操作，如圖1,當點M在族上時，連接40,判斷的形狀并證明.

(2)遷移探究

小華將矩形紙片換成正方形紙片ABCD，且邊長為8cm,繼續(xù)探究，過程如下：

①將正方形紙片ABCD按照(1)中的方式操作，并延長交C。于點Q,連接BQ.如圖2,當點

M在EF上時，求FQ的長；

②點P在邊AD上，將,沿直線翻折，使得點A落在正方形內(nèi)的點M處，連接DM并延長交

正方形ABCD一邊于點G.當3G=￡＞尸時，OP的長為.

參考答案

題號12345678910

答案CDDCCDDCBC

題號1112

答案DB

1.C

【分析】本題考查了一元一次不等式組的應(yīng)用，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式組

是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)程序操作進行了三次才停止，即可得出關(guān)于X的一元一次不等式組，解之即可求出X的取值范圍.

【詳解】解：依題意得一f3取(33x+l)+l<-94>94,

解得：3<x<10,

的取值范圍是3<xV10.

故選：C.

2.D

【分析】設(shè)=則NEFG=a,根據(jù)題意可知，折疊11次后恰好完全蓋住ZEFG,可得CF

與GF重合，再依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到"E尸的度數(shù).

【詳解】解：沒ZDEF=a,則/EFG=tz,

折疊11次后C尸與GF重合，

NCFE=11ZEFG=lla,

如圖(2),CF//DE,

:.ZDEF+ZCFE=180°,

.,.?+lla=180°,

.,.a=15°,

即ZDEF=15°.

故選：D.

【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)找出相等的邊角關(guān)系是解題關(guān)鍵.

3.D

【分析】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，勾股定理與無理數(shù)，根據(jù)題意，得到數(shù)軸上圓的半徑為石，再根據(jù)

兩點間的距離公式進行求解即可.

【詳解】解：由題意，可知，數(shù)軸上圓的半徑為萬萬=6，

.?.點C到-1的距離為6,

；.c點表示的數(shù)為V5-1；

故選D.

4.C

【分析】本題主要考查了矩形的折疊問題，勾股定理，等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理，先由折疊的

性質(zhì)得到=CE=HE,再由等邊對等角和三角形內(nèi)角和定理得到乙BHC=90。，利用勾股定

理求出再利用等面積法求解即可.

【詳解】解：由折疊可得，BE=CE,CE=HE,

BE=CE=HE,

ZEBH=ZEHB,NECH=ZEHC,

ZEBH+ZEHB+ZECH+ZEHC=180°,

Z.EHB+AEHC=90°

:.一BCH中,ZBHC=90°,

CH±BD,

'矩形紙片ABC。，AB=6,BC=8,

-RtBCD中，BD=782+62=10>

,.0BCD=gcHBD=*CD,

.“BCCD24

BD5

故選：C.

5.C

【分析】本題主要考查了分式的加減法，除法運算，依據(jù)題意,根據(jù)所給信息逐個求出居，工，區(qū)，片，

然后按照分式的加減法法則進行計算，即可判斷得解.

X

【詳解】解：由題意，:耳一

4x+l

4%+1,故①錯誤.

4%?]8x+l

4x+l

p-p-

16x+l532%+1'664x+l

4x+l16x+l64x+l84x+33

-------+---------+----------=----------=84+—

3111

87<84+-<90,即87<方+高+*<90，故②正確.

X

?.竭=4尤+1=32X+1=8(4x+l)-7_g7

‘F5尤4尤+14尤+14x+i'

32x+l

又若整數(shù)x使得5為整數(shù)，

4X+1=—7.

F,

；?此時，工為15.

F5

F,三

???不存在整數(shù)X使得京的值為負整數(shù)，故③正確.

五5

綜上，正確的有②③共2個.

故選：C.

6.D

【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)及勾股定理，設(shè)EW=x，由矩形的性質(zhì)得出3C=AD=6,

根據(jù)正方形的性質(zhì)和折疊性質(zhì)可得近=4-尤，MF=CM=6-x,利用勾股定理列方程求出x的值即

可得答案.根據(jù)折疊性質(zhì)表示出M尸的長是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)外f=

???四邊形ABCD是矩形，

BC=AD=6,

:四邊形ABEF是正方形，

AAB=BE=EF=4,ME=4-x,

:將圖①中的矩形紙片折疊，使點C恰好落在點尸處，得到折痕MN,

：.MF=CM=6—x,

在RtAEKW中，MF2=ME2+EF2,

：.(6-X)2=(4-X)2+42,

解得：x=l,即BM=1.

故選：D.

7.D

【分析】本題考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)表達式，先根據(jù)旋轉(zhuǎn)

及等邊三角形性質(zhì)求出4"6,1),用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)表達式即可.

【詳解】解：等邊三角形Q4B中，Zft4B=60°,將△OAB順時針旋轉(zhuǎn)30。,

二.旋轉(zhuǎn)（180?！?0。）+30。=4次后，點8落在x軸上，且可（2,。）,

第8次后點。落在無軸上，且Q（3,0）,

依此類推，

第12次后點A落在x軸上，且4（4,0）,

第16次后點B落在x軸上，且46（欠。），

第20次后點。落在x軸上，且Q°（6,0）,

再以。2。為旋轉(zhuǎn)中心，將順時針旋轉(zhuǎn)30。時，

此時Qo4i軸，

??。2%1—1，

??.41（6,1）,

設(shè)經(jīng)過4（6,1）的反比例函數(shù)表達式為y=：,

貝。左=1x6=6,

6

?.?y=一，

X

故選：D.

8.C

【分析】該題主要考查了尺規(guī)作圖，圓周角定理，圓與圓位置關(guān)系，切線證明，圓內(nèi)接四邊形等知識

點，解題的關(guān)鍵是理解題意；

根據(jù)作圖得出尸。為B的直徑，根據(jù)圓周角定理和切線證明可判斷A,根據(jù)。、。、R、尸在，3上，

運用圓內(nèi)接四邊形可判斷B,根據(jù)圓與圓位置關(guān)系及三角形面積可判斷D,根據(jù)圓周角定理可判斷C；

【詳解】解：根據(jù)作圖可得：為「方的直徑，Q、。、R、P在匚B上,

:.ZPQO=ZPRO=90°

Q。。、OR是（。的半徑，

PQ,PR均為。的切線，故A正確；

。、0、R、尸在（8上，

Q、0、R、P四點共圓，QORP是，：8的內(nèi)接四邊形，

NQPR+NQOR=180。，故B正確；

由作圖可知，B0為B與。的圓心連線，QR為B與。的公共弦，

QR±PO,

.-.SNPOQ^OPQC^PQOQ

.-.OPQC=PQOQ,故D正確；

,/B的半徑不一定等于。的半徑，

/.-QPO不一定等于30。，

.?.NQPR不一定等于60。，故C不一定正確；

故選：C.

9.B

【分析】本題主要考查了尺規(guī)作圖、平行線等分線段定理、重心、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，

弄清各線段、面積間的關(guān)系成為解題的關(guān)鍵.

①由作法可知：所作的是線段AC的垂直平分線，8。為中線；②由AP能平分SABC，則點尸為BC的

中點，即AP為中線；然后再根據(jù)重心、平行線等分線段定理、三角形的面積等知識逐步分析即可解

答.

【詳解】解：.①由作法可知：所作的是線段AC的垂直平分線，BQ為中線；

②由AP能平分SMC，則點尸為BC的中點，即AP為中線；

則中線和中線AP的交點G為VABC重心，即A正確，不符合題意；

由重心的性質(zhì)可得PG:AG=1:2,

'：GT//AB,

.PTPG_1

**BT-AG-2?

：.TP=-BP；

3

同理：PR=-PC；

3

.*BP=CP,

??TP=PR,

*.BT=2TP=2PR,

??TP+PR=；（BP+PC）=gBC,

??CR=RT=TB,即D選項正確;

.?GT//AB.RG//AC,

*.GTKsABC,

22

.SGTRTR1L即s

GTR=-SABC

SABCBC399

-RCh

sARC21

S3

ABC-BCh

2

：.SARC=-SABC，

3

：.S

ABR3ABC'

qnuABC1

工匝=^-----即c選項正確，不符合題意;

3ABR—S6

3°ABC

只有B不能推出，得不到乙與4均可平分$即八

故選B.

10.C

【分析】本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識點.利用

旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)結(jié)合三角形的性質(zhì)求得==67.5。，即可判斷①和③；證明四邊形AEFC是矩

形，推出二班F均班D和絲△OCB,即可判斷②；利用勾股定理計算出和巫和EG,即

可判斷④.

【詳解】VZC=90°,AC=BC,

：.ZBAC=ZABC=45°,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得AC=3C=OE=4）,NDEA=NDAE=45。,ZADE=ZACB^90°,AB=AE,

???ZACD=ZADC=；（180?！?5。）=67.5°,ZABE=ZAEB=；（180?！?5。）=67.5°,

???NFBE=180?！猌ABE—NCBA=5。,

:.ZFBE=ZDBE,結(jié)論①正確；

,:ZGDB=ZADC=67.5°=ZGBD,

：.GB=GD,

9：ZEDB=9Q°,

：.ZBED=90°-67.5°=22.5°=ZGDE,

:,GE=GD,

：.GE=GB,結(jié)論③正確；

ZCBA=ZBAE=45°,

：.BC//AE,

'：EFLCB,

：.ZF=ZBDE=90°,

：.ZF=ZFEA=ZACB=90°,

???四邊形A￡FC是矩形，

■:ZFBE=ZDBE=67.5°,

:.ZBEF=ABED=22.5°,

又BE=BE,

；?_BEF2BED,

ABF=BD,EF=ED,

ZHDE=Z.DCB=22.5°,ZHED=ZDBC=45°,DE=BC,

:.小HDE沿ADCB,

：?HE=BD=BF,結(jié)論②正確；

設(shè)AC=a,則====M=

AB=AE=CF=yjla，

.??FB=BD=（e-°a,

BE=-JBF2+EF2=V2-1）+a2=54一2加〃,

???EG=-BE耳,

22

???BE+EG=/"2耳w42a=AB,

：.AB-EG^BE,結(jié)論④錯誤,

故選：c.

11.D

【分析】過點。作。G，跖于G,交C尸的延長線于由勾股定理可得AB=4,由圖2

可知：DF=AB=4,AC=DE=2,BC=CF=EF=2y/5,由面積法可得。6=半，從而得到

GF=—,由矩形的判定可得四邊形DG切是矩形，從而得到￡>G=FW=述，DH=GF=—,

555

最后由勾股定理進行計算即可.

【詳解】解：如圖，過點。作OGL跖于G,D"，CF交C尸的延長線于H,

圖3

BC=2后,AC=2,ZA=90°,

AB=VBC2-AC2=J（2A/5）2-22=4,

由圖2可知：DF=AB=4,AC=DE=2,BC=CF=EF=245,

S_DEF=^EFDG=^DEDF,

2A/5XDG=2X4,

DG普

GF=y/DF2-DG28亞

r

DGYEF,DHYFH,GFYFH,

二四邊形DG/W是矩形,

?八廠_戶口_正一口非

..DG=FH=-4----,DnHu=_GF-_.8.......

55

CH=HF+CF=^-+2y/5

55

DC=y/DH2+CH

故選：D.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形面積，熟練掌握正方

形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，添加適當?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵.

12.B

【分析】根據(jù)題意得：直線JK是CD的垂直平分線，CH是族的垂直平分線，CH是NOCQ的角平

分線，當。點分別與8點、A點重合時，點/都存在于CQ上，通過證明C￡>=C/,即可判斷C0>C/,

從而判斷A選項；通過證明C”垂直平分口/,根據(jù)直線JK是CD的垂直平分線，乙點是直線JK和

直線C”的交點，從而判斷B選項；根據(jù)對角互補的四邊形四點共圓即可判斷C選項；當點Q為AB

中點時，延長CQ并交的延長線于點p,設(shè)AQ=BQ=1,則AB=BC=2,求出AP=2,CP=2y[5,

設(shè)DH=HI=x,則P"=4-x,用兩種方式表示的面積，利用等面積法，即可求出尤的值，

判斷D選項.

【詳解】解：根據(jù)題意得：CE=CF,GE=GF,直線JK是C￡>的垂直平分線，

.■.C,G在線段取的垂直平分線上，

即是族的垂直平分線，

考慮兩個極端情況，當。點與8點重合時，示意圖如下：

此時。、B、/三點重合，點/存在于CQ上,

當。點與A點重合時，示意圖如下：

此時點/存在于CQ上，

連接ZD,設(shè)C"和EF相交于。點,

???等腰三角形CEF中AOCE=ZOCF,

HI±CQ,四邊形ABCD是正方形,

ZHIC=ZD=90°,

:在一mC和△HOC中,

ZHIC=ND

<ZOCE=ZOCF,

CH=CH

.二mC冬//DC(AAS),

:.HD=HI,CD=CI,

CQ>CD,

CQ>CI

,隨著。點的運動，點/一直存在于C。上，故A選項錯誤，不符合題意;

由HD=HI,CD=CI,

.?.點C、H在W的垂直平分線上，

即CH垂直平分DI,

又，.直線JK是CD的垂直平分線，"點是直線JK和直線的交點，

???點L為△/C。的外心，故B選項正確，符合題意；

由上可知，/mC=90。，

ZHIQ=ZA=90°,

NH/Q+ZA=180°,

.?.A、H、I、。四點共圓，故C選項錯誤，不符合題意；

當點。為A3中點時，如圖所示，延長CQ并交ZM的延長線于點尸，

設(shè)AQ=3Q=1,則AB=BC=2,

AP//BC,

.AQAP

:.AP=2,

:.CQ=PQ=5

:'CP=28

設(shè)DH=HI=x,則PH=4—x,

SMPH=—XPHxCD=—xCPxHI,

即gx(4-x)x2=gx2A/5x尤,

解得x=6-l,即￡>"=君-1,AH=2-x=3-y/5,故D選項錯誤，不符合題意；

故選：B.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，結(jié)合尺規(guī)作圖，考查了角平分線和垂直平分線的判定和性質(zhì)、三角

形的外心、對角互補四邊形的四點共圓、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，熟練掌握以上知識點，

添加合適的輔助線是解題的關(guān)鍵.

13.乙槽

【分析】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10,

當y=z=l時，x最大，為8,根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作最小

的是乙槽.

本題考查了方程的應(yīng)用，特殊解，熟練掌握整數(shù)解是解題的關(guān)鍵.

【詳解】設(shè)第一次操作乙得x分，第二次操作乙得y分，第三次操作乙得z分，根據(jù)題意，得x+y+z=10,

當y=z=l時，x最大，為8,根據(jù)每次操作數(shù)字不相同，故數(shù)字1不可能再出現(xiàn)，故第二次操作計分

最低的是乙槽.

故答案為：乙槽.

12

14.x4-x二或3

【分析】根據(jù)第一次操作是用較長邊減去較短邊可得;再表示出第二次操作后的兩邊，再分兩種情況，

根據(jù)第三次操作后剩下的是正方形列出方程，解之即可.

【詳解】解：第一次操作后，

剩余長方形的兩邊長分別為：x,4-x；

第二次操作后，

剩余長方形的兩邊長分別為：4-X,x-(4-x)=2x-4;

8

若4-x>2x-4,BPx<—,

則第三次操作后，

剩余長方形的兩邊長分別為：2x—4,4-x-(2x-4)=4-x-2x+4=8-3x,

則2x-4=8-3x,

12

解得：X=y;

8

若4-x<2x-4,BPx>—,

則第三次操作后，

剩余長方形的兩邊長分別為：4-X,(2x-4)-(4-x)=2.x-4-4+x=3x-8,

則4-x=3x-8,

解得：x-3；

綜上：寬x的值為19或3,

12

故答案為：x,4—x；丁或3.

【點睛】本題考查了列代數(shù)式，一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，列出方程.

15.①②④

【分析】本題考查了分式的運算，熟練掌握分式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.根據(jù)新定義得到第3次操作后

得到的分式為心3,可判斷①；根據(jù)新定義得到第4次操作后得到的分式為可判斷②；根

ci—3u—4

據(jù)新定義得到第5次操作后得到的分式為色三，再變形為。+5+々，由分式可以化為整數(shù)得出

a-5〃一5

(a-5)是20的因數(shù),再結(jié)合a為正整數(shù)求出a的值,可判斷③;經(jīng)過n次操作后得到的分式為區(qū)口，

a—n

由題意得〃結(jié)合。和〃都是正整數(shù)，求出符合題意的。的值，可判斷④，即可得出結(jié)論.

9

/一

【詳解】解：第3次操作后得到的分式為幺二3，

CL—3

2

,a^-3=a-9+6=^-9+_6_=a+3+6)故①正確；

a—3a—3a—3a—3a—3

第4次操作后得到的分式為占，

〃一4

“2—4—16+12161212

-----=----------=------+----=。+4+-------,故②正確；

。一4a—4a-4a-4。-4

2

第5次操作后得到的分式7為7-㈠5,

a—5

a2-5iz2-25+20=20

二.-----=----------=。+5+-------,

〃一5〃一5a—5

又；第5次操作后得到的分式可以化為整數(shù),

二（。-5）是20的因數(shù)，

/.a—5=±1,±2,±4,±5,+10,±20,

a=—15,—5,0,1,3,4,6,7,9,10,15,25,

又a為正整數(shù)，

.?.0=1,3,4,6,7,9,10,15,25,

.〔a的正整數(shù)值共有9個，故③不正確;

經(jīng)過n次操作后得到的分式為心1,

a-n

由題意得，上^=10,

a-n

整理得：〃=皿;1且。工〃，

9

n>0,a>0,

.\0<a<10,

又'。為正整數(shù)，

/.a=1,2,3,4,5,6,7,8,9,

Q〃為正整數(shù)，

.?.硝0-4）是9的倍數(shù)，

a=1或a=9,

1x9

當a=l時，n=-^―=1,此時a=〃=l,舍去；

9x1

當a=9時，”=-^—=1,止匕時a+〃=10；

,滿足這個條件的。的值有1個，且。+〃=10,故④正確；

綜上所述，正確的有①②④.

故答案為：①②④.

16.y/0.5.y/2

【分析】（1）根據(jù)折疊可得NEDA=NEDG,由已知可得NCDG=NEDG,進而可得ZCDG=NEDG

=30°,證一EGV=DEZWDCF,根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)，即可求解.

（2）連接收，證&EGF、EBF,可設(shè)=DC=y.進而可用x表示出BC、AD的長，根據(jù)

折疊的性質(zhì)知AD=DG=2x,即可得到QG的表達式，由a￡GP%EBb可知GV=族，那么Gb=x,

由此可求出。方的表達式，進而可在Rt。尸。中，根據(jù)勾股定理求出工、y的比例關(guān)系，即可得到F

AD

的值.

【詳解】解：（1）連接所

CT---------------------

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得，

NEGF=/B=90°,EG=AE=EB,EF=EF,

:.R—EGF/R—EBF,

/BEF=/GEF,

??,折疊，

:.NEDA=NEDG

又NCDG=NEDG,

：.ZEDA=ZEDG=ZCDG=30°

：.ZAED=ZDEG=ZGEB=60°,

???ZBEF=ZGEF=30°

：.BF=-EF,ZDEF=NDEG+NFEG=90。=NC

2

在公DEFRDCF中,

ZCDF=ZEDF

<DF=DF

ZDEF=ZC

：?_DEF、DCF

：.FC=EF

：.FC=2BF

即挺，

CF2

1

故答案為:

2

(2)連接EF

B

根據(jù)翻折變換的性質(zhì)得,

ZEGF=ZB=90°,EG=AE=EB,EF=EF,

:.R-EGF沿R_EBF,

:.GF=BF,

設(shè)5方=尤，DC=y,則有G/=x,AB^y

BC=2BF,

:.CF=x,BC=AD=DG=2x,

:.DF=DG+GF=3x,

在Rt.DCF中，DC2+C