專題06反比例函數(shù)中的平行四邊形

1.如圖，在第一象限內(nèi)，A是反比例函數(shù)》=^（匕＞0）圖象上的任意一點(diǎn)，平行于y軸交反比

例函數(shù)y=F化＜。）的圖象于點(diǎn)8,作以為邊的平行四邊形A8CD,其頂點(diǎn)C,。在y軸上，

若5.8=7,則這兩個(gè)反比例函數(shù)可能是（）

34

B.y=一和y=—

%X

_5力6

C.y=—^Dy=~-D.y=—和y=—

XXxx

【答案】B

【分析】設(shè)A（。，&），B（a,豆）,然后求出AB的長，進(jìn)而求得C。的長，然后根據(jù)求

aa

得。的值，進(jìn)而確定作-依=7,最后結(jié)合選項(xiàng)即可解答.

【詳解】解：設(shè)A（〃，―）,B（〃，—）,ki＞。、k2V0,

aa

:AB」'&=

aaa

???平行四邊形ABCD,

：.CD=AB=-l~k2-,

a

??Q—7

?^ABCD_'，

CDa=7,即———-cz=7,

a

k「kz=7,

結(jié)合選項(xiàng)可得B選項(xiàng)符合題意.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，求出《-&=7是解答本

題的關(guān)鍵.

2.如圖，反比例函數(shù)y=（的圖像經(jīng)過平行四邊形ABC。的頂點(diǎn)C,D,若點(diǎn)A、點(diǎn)8、點(diǎn)C的坐

X

標(biāo)分別為（3,0）,（0,4）,（a,b）,且a+6=7.5,則%的值是—.

【分析】根據(jù)平移和平行四邊形的性質(zhì)將點(diǎn)。也用b表示，再根據(jù)反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)的橫

縱坐標(biāo)的乘積相等列式算出“、b,再由點(diǎn)坐標(biāo)求出左的值.

【詳解】解：：A（3,0）,3（0,4）,

可以看作由B向右平移3個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到的，

根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，。也可以看作由C向右平移3個(gè)單位，向下平移4個(gè)單位得到的，

C（a,6）,Z）（a+3,b—4）,

Va+b=1.5,

C（a,7.5-a）,￡）（a+3,3.5-a）,

???c、。都在反比例函數(shù)圖象上，

它們橫縱坐標(biāo)的乘積相等，即a（7.5-a）=（a+3）（3.5_a）,解得a=1.5,

左=1.5x（7.5-1.5）=9.

故答案為：9.

【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何圖形的結(jié)合，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題目條件，用同一個(gè)未知數(shù)設(shè)

出反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，然后用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的性質(zhì)列式求解.

3.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=±（x<0）的圖像上一點(diǎn)，點(diǎn)B是y軸正半

X

4

軸上一點(diǎn)，以。4、A3為鄰邊作平行四邊形ABCO,若點(diǎn)。和5C的中點(diǎn)。都在反比例函數(shù)y=—（%

x

>0）的圖像上，則上的值是.

【答案】-8

【分析】作軸，Cx軸，OG，龍軸，證AAOE=AW（A4S）,設(shè)。（利，

,則2m,—

Im

A\-2m,-^].,因?yàn)镺GLx軸，。是BC的中點(diǎn)，由OE=3/=2Gb即可求解；

1-2m）

【詳解】解：???作AELx軸，CFLx軸，Z）G，x軸，

???四邊形ABCO是平行四邊形,

??.AO//BC,

：.ZAOE=ZCBF,

*.*AE_Lx軸，CF_Lx軸，

???ZAEO=ZCFB,

在AAO石和ACS廠中，

NAEO=/CFB

?；］/AOE=/CBF,

AO=BC

：.AAOE=ACBF(A4S),

AAE=FC,OE=BF,

設(shè)則C(2加,21,A\-2m,^-\,G|0,-|,F\0,—

VmJImJI-2m)\mJym

???OG，無軸，。是的中點(diǎn)，

AFC=IDG,OE=BF=2GF,

422

VGF=------=-,

mmm

，上=2.2

-2mm

「?k=-8,

都答案為：-8.

【點(diǎn)睛】本題主要考查反比例函數(shù)的應(yīng)用、三角形的全等、平行四邊形的性質(zhì)、中位線的性質(zhì)，掌

握相關(guān)知識并靈活應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

4.如圖，已知反比例函數(shù)y=￡(x>0)與正比例函數(shù)y=x(x.O)的圖象，點(diǎn)4(1,4),點(diǎn)4(4㈤與點(diǎn)？

X

均在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)8在直線V=龍上，四邊形A4E8是平行四邊形，則8點(diǎn)的坐標(biāo)為

【答案】(而，713)

【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出4點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)假設(shè)出8點(diǎn)

坐標(biāo)，進(jìn)而表示出B'點(diǎn)坐標(biāo)，即可代入反比例函數(shù)解析式得出答案.

【詳解】解：?.?反比例函數(shù)y」(x>0)過點(diǎn)A(l,4),

X

：.左=1x4=4,

4

二反比例函數(shù)解析式為：y=—,

X

???點(diǎn)4(48)在反比例函數(shù)的圖象上，

.-.4/2=4,

解得：b=l,

.■,A,(4,l),

,點(diǎn)s在直線y=x上，

，設(shè)8點(diǎn)坐標(biāo)為：(a,a),

?.?點(diǎn)A(l,4),4(4,1),

，A點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得到A點(diǎn)，

四邊形4V泓3是平行四邊形，

3點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得到9點(diǎn)(。+3,〃-3),

?點(diǎn)8'在反比例函數(shù)的圖象上，

/.(a+3)(a-3)=4,

解得：a=士岳（負(fù)數(shù)不合題意），

故3點(diǎn)坐標(biāo)為：（而，耳）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合及平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識，根據(jù)題意表示出3,

點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，分別過反比例函數(shù)y='圖像上的點(diǎn)尸/（1,刃）,P2（1+2,”）,P3（1+2+3,

X

Pw（1+2+3+...+〃，/）作x軸的垂線，垂足分別為4,A2,A3,,An,連接4P2,A2P3,A3P4,

An.iPn,再以A/P/,A/P2為一組鄰邊畫一個(gè)平行四邊形A/P/HP2,以A2P2,A2P3為一組鄰邊畫一個(gè)

平行四邊形A?尸282P3,以此類推，則人的縱坐標(biāo)是；點(diǎn)、Bl,B2,...,8〃的縱坐標(biāo)之和

為.

13n2+5n

【答案】

2n2+3w+2

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征求得點(diǎn)凸、P2的縱坐標(biāo)，由平行四邊形對邊平行且相

等的性質(zhì)求得點(diǎn)8/的縱坐標(biāo)是"+〃、&的縱坐標(biāo)是y3+y2、83的縱坐標(biāo)是/+”，據(jù)此可以推知點(diǎn)

114

Bn的縱坐標(biāo)是%+y=--------------1---------------------,再求和整理即可.

n+l1+2+3H--\-n1+2+3H----F〃+(〃+l)n(n+2)

【詳解】:點(diǎn)尸1（1,M，尸2（1+2,券）在反比例函數(shù)y」的圖象上,

X

11

..%=1，

**?4A=M=1.

又???四邊形4尸由/尸2，是平行四邊形,

14

?二點(diǎn)8,的縱坐標(biāo)是：%+%=§+1=耳.

;點(diǎn)尸3（1+2+3,”）在反比例函數(shù)的圖象上,

X

1

%=

1+2+3

???點(diǎn)比的縱坐標(biāo)是：%+為=;+]+；+3=;*

???點(diǎn)匕(1+2+3+4,y4)在反比例函數(shù)y=’的圖象上,

x

1

1+2+3+4'

11

點(diǎn)B3的縱坐標(biāo)是：％+”------------1-----------------

1+2+31+2+3+4

點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)是：y+yi=[。公■H~~77

nn+1+2+3+…+〃1+o2+3Q+…+〃+(〃+1)

22

=------------1-------------------

〃(〃+l)(〃+l)(〃+2)

4

n(n+2)

點(diǎn)、Bi,5〃的縱坐標(biāo)之和為

(1+')+('+—-—)+(--—+---------------)+???+--—

1+21+21+2+31+2+31+2+3+4川(〃+2)

=4x(—+^—+—1+...+1

)

1x32x43x5〃x(〃+2)

xlx(l-ll-ll-l...l-1

=4++++)

232435nn+2

“11]

=2(1H----------------)

2n+1n+2

3?2+5〃

"2+3〃+2

故答案為;,3n2+5n

+3〃+2

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、反比例函數(shù)的圖象.解

答此題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)求得點(diǎn)Bn的縱坐標(biāo)為yn+1+yn.

三、解答題(共0分)

Q

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)產(chǎn)依:+人的圖象與雙曲線產(chǎn)--交于點(diǎn)M(-4,機(jī))、N(n,

-4),與x軸交于A.

(1)求公b的值；

(2)①將直線了=日+8向上平移4個(gè)單位分別交x軸、y軸于點(diǎn)8、C,畫出這條直線；

②尸是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，若以A、B、C、尸為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案]⑴I,b=-2；

(2)①作圖見解析；②點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,-2)或(-4,2)或(4,2).

【分析】(1)先求出點(diǎn)M和點(diǎn)N的坐標(biāo)，再待定系數(shù)法求解析式即可；

(2)①根據(jù)平移的性質(zhì)可得平移后的直線解析式，進(jìn)一步求出點(diǎn)8和點(diǎn)C坐標(biāo)，即可畫出平移后

的直線；

②分情況討論：當(dāng)CA,為邊時(shí)，當(dāng)2C,胡為邊時(shí)，當(dāng)AC,AB為邊時(shí)，分別根據(jù)平行四邊形

的性質(zhì)即可求出點(diǎn)尸坐標(biāo).

(1)

QQ

解：把x=-4,產(chǎn)加代入產(chǎn)--中，得加=--；=2,

x-4

?,?點(diǎn)M(-4,2),

88

把y=-4代入產(chǎn)--中，得r=2,

x-4

?,?點(diǎn)N(2,-4),

???將點(diǎn)M(-4,2),點(diǎn)N(2,-4)代入尸質(zhì)+/?中，

[-4k+b=2

得鼠+6=3

/.k=-1,b=-2；

(2)

解：①由(1)知直線MN的解析式為y=-x-2,

將直線y=-x-2向上平移4個(gè)單位，得y=-x+2,

當(dāng)x=0時(shí),y=2,

.?.點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2),

當(dāng)y=-x+2=0時(shí),x=2,

.?.點(diǎn)8坐標(biāo)為(2,0),

平移后的直線如圖所示：

②以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

直線MN與無軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),

分情況討論：

當(dāng)CA,為邊時(shí)，AP//CB^.AP=CB,

?..點(diǎn)C(0,2)向左平移2個(gè)單位，向下平移平移2個(gè)單位得到點(diǎn)A(-2,0),

.?.點(diǎn)2(2,0)向左平移2個(gè)單位，向下平移平移2個(gè)單位得到點(diǎn)尸(0,-2),

點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,-2)；

當(dāng)BC,為邊時(shí)，AP〃CB且AP=CB,

同理可得點(diǎn)P坐標(biāo)為(-4,2)；

當(dāng)AC,AB為邊，AC//BP^.AC=BP,

同理可得點(diǎn)尸坐標(biāo)為(4,2),

綜上，滿足條件的點(diǎn)尸坐標(biāo)為(0,-2)或(-4,2)或(4,2).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法求解析式，平移的性質(zhì),

平行四邊形的判定等，熟練掌握這些知識是解題的關(guān)鍵，本題綜合性較強(qiáng).

7.綜合與探究

如圖，已知，A(0,4),8(-3,0),C(2,0),。為8點(diǎn)關(guān)于AC的對稱點(diǎn)，反比例函數(shù)y=f的圖象

經(jīng)過。點(diǎn).

(1)證明四邊形A5CD為菱形；

(2)求此反比例函數(shù)的解析式；

(3)己知在y=>的圖象(x>0)上有一點(diǎn)N,y軸正半軸上有一點(diǎn)V,且四邊形是平行四

x

邊形，求"點(diǎn)的坐標(biāo).

【答案】(1)見詳解

⑵>=型

X

Q

(3)(0,-)

【分析】(1)由A(0,4),B(-3,0),C(2,0),利用勾股定理可求得AB=5=BC,又由。為8點(diǎn)關(guān)

于AC的對稱點(diǎn)，可得BC=DC,即可證得AB=A￡)=C￡)=CB,繼而證得四邊形A2CD為菱

形；

(2)由四邊形ABC。為菱形，可求得點(diǎn)Z)的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法，即可求得此反比例函數(shù)

的解析式；

(3)由四邊形A8MN是平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，可求得點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，代入反比例函數(shù)解

析式，即可求得點(diǎn)N的坐標(biāo)，繼而求得”點(diǎn)的坐標(biāo).

(1)證明：?4(0,4),5(-3,0),C(2,0),：.OA=4,03=3,OC=2,：.

AB=yJOA?+OB2=742+32=5-BC=3O+OC=2+3=5，；.AB=BC，：。為B點(diǎn)關(guān)于AC的對

稱點(diǎn)，，AB=AD,CB=CE>,，AB=AO=CD=CB,.,.四邊形ABC。為菱形；

(2)丁四邊形42。。為菱形，，。點(diǎn)的坐標(biāo)為(5,4),反比例函數(shù)丫=(的圖象經(jīng)過。點(diǎn)，，4=§,

x5

20

...;20,.?.反比例函數(shù)的解析式為：y=—；

x

(3):四邊形ABACV是平行四邊形，；.4V〃詡/,4V=3M,；.AN是8M經(jīng)過平移得到的，

???將2點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度即可得到A點(diǎn)，.?.將M先向右平移3

個(gè)單位長度，再向上平移4個(gè)單位長度即可得到N點(diǎn)，點(diǎn)在y軸正半軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0,

???即根據(jù)平移可知N點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3,代入>='20,得了=2多0，即N點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2岑0)，.?.根據(jù)平移

x33

onoo

的路徑可知M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為：可-4=§,點(diǎn)的坐標(biāo)為(0.§).

【點(diǎn)睛】此題屬于反比例函數(shù)綜合題，考查了菱形的性質(zhì)與判定、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及

平行四邊形的性質(zhì).注意掌握坐標(biāo)與圖形的關(guān)系是關(guān)鍵.

8.如圖，一次函數(shù)〉="工+2的圖象與x軸交于點(diǎn)B,與反比例函數(shù)y=—(左力。)的圖象的一個(gè)交

2x

點(diǎn)為A(2,m).

(1)直接寫出反比例函數(shù)的解析式；

(2)過點(diǎn)A作ACLx軸，垂足為點(diǎn)C,設(shè)點(diǎn)尸在反比例函數(shù)圖象上，且APBC的面積等于6,請

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)設(shè)M是直線AB上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN//X軸，交反比例函數(shù)y=幺的圖象于點(diǎn)N,若以B、

X

0、M、N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo).

【答案】(1)反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=~;(2)P(3,2)或P(-3,-2)；(3)點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)

X

為：M](2不,2+6)；M?卜2",2-6卜M3(273-4,73)；M4(-273-4,-73)

【分析】(1)先將點(diǎn)A(2,m)代入反比例函數(shù)>=彳》+2求得A的坐標(biāo)，然后代入>=勺，求得

2x

k的值即可;

(2)可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，設(shè)P(x,y),由SAPBC=6,即可求得X,y的值；

(3)設(shè)M(2y-4,y),N(1,y),根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得(2y-4)-：=4,解出y即可求解.

【詳解】⑴???一次函數(shù)>=白+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,m),

/.m=3.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,3).

k

??,反比例函數(shù)y=—(左。0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),

x

.?.k=6,

反比例函數(shù)的表達(dá)式為丫=色.

X

(2)令gx+2=0,解得x=—4,即B(—4,0).

?；AC_Lx軸,

AC(2,0).

???BC=6.

設(shè)P(x,y),

SAPBC=g?BC?|y|=6,

；?yi=2或丫2=-2.

分別代入y=9中，

X

得xi=3或X2=-3.

：.P(3,2)或P(-3,-2).

(3)：MN〃OB,故M,N的縱坐標(biāo)相同，

1〃

：M是直線ABy=：；x+2上一動(dòng)點(diǎn)，N在反比例函數(shù)y=—的圖象上，

2x

設(shè)M(2y-4,y),N(1,y),

依題意可得(2〉-4)-：=4

當(dāng)(2y-4)-；=4時(shí)，

解得yi=2+V7,y2=2-V7,

??.M](2/2+V7)；M2(-2^,2-A/7)

當(dāng)(2y_4)_(=_4時(shí)，

解得yi=6，丫2=-百，

/.M3(2^-4,A/3)；M4(-273-41-73)

綜上，點(diǎn)M點(diǎn)坐標(biāo)為：M|(2A/7,2+S)；M2(-277,2-77)；M3(273-4,^)；-2百一4,-6).

【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，利用平行四邊形的性質(zhì)及待定系數(shù)法求解

析式是解此題的關(guān)鍵.

9.如圖，一次函數(shù)〉=依+》與反比例函數(shù)〉=生的圖像交于點(diǎn)4(1,6),8(3,")兩點(diǎn).

X

(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接。4、0B,求的面積；

⑶直線a經(jīng)過點(diǎn)(0,1)且平行于x軸，點(diǎn)M在直線。上，點(diǎn)N在y軸上，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的

四邊形可以是平行四邊形嗎？如果可以，直接寫出點(diǎn)M、N的坐標(biāo)，如果不可以，說明理由.

【答案】(1)反比例函數(shù)解析為廣色,一次函數(shù)解析式為產(chǎn)-2x+8

X

(2)8

⑶M(4,1),N(0,7)或M(2,1),N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3)

【分析】(1)由4點(diǎn)坐標(biāo)可求得加的值，可求得反比例函數(shù)解析式，則可求得8點(diǎn)坐標(biāo)，由A、B

兩點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得直線A2的解析式；

(2)設(shè)直線與x軸交于點(diǎn)。，求出。點(diǎn)的坐標(biāo)，分別求出AAOD和ABOD的面積，即可確定AAOB

的面積；

(3)設(shè)1),N(0,"),分三種情況討論，AB,AM,AN分別為平行四邊形的對角線，列

出相應(yīng)方程式解得即可.

(1)

vyi

解：??,反比例函數(shù)產(chǎn)一的圖像過A(1,6),

x

m=1x6=6,

反比例函數(shù)解析為y=2,

X

把43代入可得行2,

：.B(3,2),

設(shè)直線AB解析式為y=kx+b(k豐0),

fk+b=6

把42坐標(biāo)代入可得，。,

\3k+b=2

(k=-2

y=kx+b(k^Q)解得j,

...一次函數(shù)解析式為y=-2尤+8；

(2)

解：設(shè)直線A8與無軸的交點(diǎn)為。，

令y=0,得-2x+8=0,

解得尸4,

：.D(4,0),

；?S^AD。=gx4x6=12,5iSD0=-x4x2=4,

?,S〃AOB=S?A?O_S"BOO=8：

(3)

解：點(diǎn)/在直線。上，點(diǎn)N在y軸上,

設(shè)A/(m,1),N(0,"),

①當(dāng)AB為平行四邊形對角線時(shí)，

1+3=m+0

6+2=1+〃

m=4

解得

：.M(4,1),N(0,7)；

②當(dāng)AM為為平行四邊形對角線時(shí),

fl+m=3+0

|6+l=2+n，

：.M(2,1),N(0,5)；

③當(dāng)AN為為平行四邊形對角線時(shí),

Jl+0=3+m

I6+〃=2+1'

：.M(-2,1),N(0,-3)；

綜上所述，以A、B、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，M(4,1),N(0,7)或M(2,1),

N(0,5)或M(-2,1),N(0,-3).

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)、平行

四邊形的性質(zhì)、方程思想及數(shù)形結(jié)合思想等知識，在(1)中注意待定系數(shù)法的應(yīng)用，在(2)中注

意數(shù)形結(jié)合，在(3)中確定出M、N的位置是解題的關(guān)鍵.

k

10.如圖，一次函數(shù)y=x+l與反比例函數(shù)＞=—的圖象相交于A(加,2),8兩點(diǎn)，分別連接。4,OB.

(1)求這個(gè)反比例函數(shù)的表達(dá)式；

⑵求AAOB的面積；

(3)在平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)P,使以點(diǎn)。，B,A,尸為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在，請直接

寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴1

x

W

(3)P(-覃)或尸(-3,-3)或尸(3,3)

【分析】(1)先利用一次函數(shù)求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，再將A點(diǎn)坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可；

(2)先求出2、C點(diǎn)坐標(biāo)，再利用三角形的面積公式求解即可；

(3)分三種情況，利用坐標(biāo)平移的特點(diǎn)，即可得出答案.

(1)

解：把A(〃?,2)代入一次函數(shù)y=x+l,得2=〃z+l,

解得機(jī)=1,

A(l,2),

把A(l,2)代入反比例函數(shù)y得2=§,

X1

:.k=2,

???反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=42；

X

(2)

2

解：令一=%+1,解得了=1或%=—2,

當(dāng)％=-2時(shí)，y=—l,即3(—2,-1),

當(dāng)％=0時(shí)，y=i,

.\OC=1,

S&AOB=SQCA+S?CB=1-OC-|XB|+1-OC-XA=1-OC-(|xB|+xA)=1xlx(2+l)=|；

(3)

解：存在，理由如下：

當(dāng)與為鄰邊時(shí),點(diǎn)0(0,0)先向左平移2個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位到點(diǎn)B(-2,-l),則點(diǎn)A(l,2)

也先向左平移2個(gè)單位再向下平移1個(gè)單位到點(diǎn)P,即P(-1,D；

當(dāng)AB與AO為鄰邊時(shí),點(diǎn)4(1,2)先向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位到點(diǎn)B(-2,-l),則點(diǎn)0(0,0)

也先向左平移3個(gè)單位再向下平移3個(gè)單位到點(diǎn)P,即^(-3,-3)；

當(dāng)氏4與2。為鄰邊時(shí),點(diǎn)先向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位到點(diǎn)AQ2),則點(diǎn)0(0,0)

也先向右平移3個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位到點(diǎn)P,即尸(3,3)；

綜上，P點(diǎn)坐標(biāo)為尸(-U)或「(-3,-3)或尸(3,3).

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與特殊四邊形的綜合題目，涉及求反比例函數(shù)解析式，三角形的面

積公式，反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，平移的性質(zhì)，熟練掌握知識點(diǎn)并運(yùn)用分類討論的思想

是解題的關(guān)鍵.

11.如圖，已知一次函數(shù)＞=何+＞與反比例函數(shù)y=2的圖象交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)A(l,6)和

X

2(6,m),與無軸交于點(diǎn)C,交，軸于點(diǎn)O.

(1)分別求出這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式；

(2)連接Q4、0B,求AAOB的面積；

(3)點(diǎn)尸為坐標(biāo)平面內(nèi)的點(diǎn)，若點(diǎn)。，A,C,P組成的四邊形是平行四邊形，請直接寫出點(diǎn)P的坐

標(biāo).

【答案】(l)y=9,y=-元+7

35

⑵萬

(3)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(8,6),(-6,6),(6,-6)

【分析】(1)直接利用待定系數(shù)法分別求出一次函數(shù)與反比例函數(shù)解析式；

(2)利用三角形面積的和差求解，即可得出結(jié)論；

(3)利用平行四邊形的性質(zhì)結(jié)合當(dāng)A尸〃0c且AP=OC時(shí)，當(dāng)AP〃0C且AP'=OC時(shí)，當(dāng)A?！≒"C,

且AO=P"C時(shí)，分別得出答案.

(1)

?..點(diǎn)A(l,6)在反比例函數(shù)y=冬的圖象上，

X

,64,解得：自=6,

反比例函數(shù)的表達(dá)式是：y=~；

X

5(6,m)在反比例函數(shù)y=9的圖象上，

X

5(6,1),

「6二人+Z?

將點(diǎn)41，6),3(6,1)代入y=kx+b,可得：

[1=6勺+b

解得"[-k,=7—1，

一次函數(shù)表達(dá)式是：>=-尤+7；

(2)

由(1)知，直線A3的解析式為y=T+7,則0(0,7),C(7,0),

1135

=SACOD-(SMOD+S.c)=-OCOD-fe=-x7x7-7=^

(3)

A(l,6),

，尸點(diǎn)坐標(biāo)為(8,6)；

當(dāng)AP'〃OC且AP'=OC時(shí)，則AP'=OC=7,

4L6),

二P點(diǎn)坐標(biāo)為：(-6,6)；

當(dāng)AO〃P"C,且AO=P"C時(shí)，則點(diǎn)A與產(chǎn)到x軸距離相等，且產(chǎn)點(diǎn)橫坐標(biāo)為7-1=6,

二.〃點(diǎn)坐標(biāo)為：(6,-6)

綜上所述：點(diǎn)尸的坐標(biāo)為：(&6),(-6,6),(6,-6).

【點(diǎn)睛】此題是反比例函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、平行四邊形的性質(zhì)

等知識，正確數(shù)形結(jié)合分析是解題關(guān)鍵.

12.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y/=2x-4(原0)的圖象與反比例函數(shù)y2=9的圖象交

X

于A、B兩點(diǎn).

(1)求A、8的坐標(biāo).

(2)當(dāng)尤為何值時(shí)，2x-4>-?

X

(3)如圖，將直線AB向上平移與反比例函數(shù)y=9的圖象交于點(diǎn)C、D,順次連接點(diǎn)A、B、C、D,

X

若四邊形A3C。是平行四邊形，求S廖繡ABC。的值.

【答案】(1)點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(7,-6)、(3,2)

(2)尤>3或-l<x<0

(3)32

【分析】(1)聯(lián)立y/=2x-4(厚0)和即可求解；

x

(2)觀察函數(shù)圖象即可求解；

(3)當(dāng)四邊形ABC。是平行四邊形，則(M-xB)2=(xC-xD)2,求出直線AB平移的距離為8,由

S四邊形ABCD=AB*EH,即可求解.

(1)

解：聯(lián)立y/=2x-4（原0）和得

x

y=2x-4

<6,

y=一

lX

故點(diǎn)A、8的坐標(biāo)分別為(-1,-6)、(3,2)；

(2)

解：由圖象得，當(dāng)x>3或-1<%<0時(shí)，2x-4>—；

x

(3)

設(shè)直線A3向上平移了加個(gè)單位得到直線CD,

則直線CD的表達(dá)式為y=2x-4+m②，

聯(lián)立①②并整理得：2f+(m-4)x-6=0,

.\xi+x2=~(4-m),xiX2~~3,

貝(.XI-X2)2=(無/+尤2)2-4x；X2=+12,

4

?..四邊形ABCD是平行四邊形，

故（xA-xB）2=（3+1）2=（xC-xD）2=（無/-X2）2=__"）,+12,

4

解得力=0(舍去)或8,

即直線AB平移的距離為8,

設(shè)直線交y軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作即，C。于點(diǎn)直線CO交y軸于點(diǎn)R

則FE=m=8,

由直線CD的表達(dá)式知，tan//W7E=1,則sin/HFE=5,

18

在RtAEHF中，EH=EFsinZHFE=石乂8=而，

x

?-S四邊形ABCD=AB?EH=J(3+1)~+(2+6y=32.

【點(diǎn)睛】本題為反比例函數(shù)綜合題，涉及到一次函數(shù)的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、解直角三角形、

圖形的平移、面積的計(jì)算等，有一定的綜合性，難度適中.

13.如圖，一次函數(shù)y=x+l與反比例函數(shù)＞的圖象交于點(diǎn)A和2(-2,”)，與y軸交于點(diǎn)C.

X

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)點(diǎn)尸為第三象限內(nèi)反比例函數(shù)圖象上一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作尸O〃y軸，交線段48于點(diǎn)。，是否存在點(diǎn)

尸使得四邊形。尸0c為平行四邊形？若存在求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴12

x

(2)存在，(_0,一0)

【分析】(1)將點(diǎn)B(-2,〃)代入y=x+l得點(diǎn)8的坐標(biāo)，再將點(diǎn)B坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式

即可；

2

(2)由四邊形。P0C為平行四邊形，得尸。=OC,設(shè)PGw,—),表示出點(diǎn)。的坐標(biāo)，求出PO

m

的長度，即可解決問題.

(1)

解：由題意知，點(diǎn)B在一次函數(shù)y=x+i的圖象上，

n—-2+1——1,

.?.點(diǎn)2坐標(biāo)為(-2,-1),

代入反比例函數(shù)解析式可得“=(-2)x(-1)=2,

2

反比例函數(shù)解析式為y=—；

X

(2)

解：存在,

理由如下：由丁=尤+1可知，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,1),

2

設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)為(加，一)，

m

???PD〃y軸，且

。在線段A3上，

二點(diǎn)。坐標(biāo)為(加，m+1),

2

?*.PD—Z7Z+1,

m

?.?四邊形。POC為平行四邊形，

2

；.PD=OC=1,即加+1——=1,

m

解得m=±5/2>

?..點(diǎn)P在第三象限，

m=~\/2，

，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(-亞，-V2).

【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合題，主要考查了函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形

的性質(zhì)等知識，用m的代數(shù)式表示PD的長度是解題的關(guān)鍵.

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一次函數(shù)y=gx+l的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

與反比例函數(shù)(厚0)的圖象交于8,￡>兩點(diǎn)，且AC=BC.

x

(1)寫出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)為：A(,),B(,)

(2)求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，并直接寫出當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)對應(yīng)x的取值范圍；

(3)若尸是x軸上一點(diǎn)，軸交一次函數(shù)于點(diǎn)交反比例函數(shù)于點(diǎn)N,當(dāng)O,C,M,N為

頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形時(shí)，直接寫出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】(1)-2,0；2,2；(2)0cx<2或尤<-4；(3)(20,0),(-20,0),(-2+2Q,0),

(-2-2-J3,0).

【分析】(1)首先求出一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，進(jìn)而利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出2點(diǎn)坐標(biāo)，

進(jìn)而得出答案；

(2)首先求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出。點(diǎn)坐標(biāo)，再利用函數(shù)圖象得出無的取值范圍；

(3)利用平行四邊形的性質(zhì)，進(jìn)而表示出的長，再解方程得出。的值，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo).

【詳解】解：(1)如圖1,過點(diǎn)8作軸于點(diǎn)E,

.一次函數(shù)y=gx+l的圖象與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,

.,.當(dāng)x=0時(shí)，j=l；當(dāng)y=0時(shí)，x=-2,

故A(-2,0),C(0,1),

軸于點(diǎn)。，BE,尤軸于點(diǎn)E,

J.CO//BE,

：.AAOC^AAEB,

'：AC=BC,

：.AO=OE=2,

即2點(diǎn)橫坐標(biāo)為：2,

貝Uy=：x2+1=2,

故2(2,2)；

故答案為：—2,0；2,2；

(2)VB(2,2),

k

???把5點(diǎn)代入y=—(厚0),

x

解得：孫=4,

即y="，

X

i4i4

將＞=尸+1與尸-聯(lián)立可得：-x+l=-

2X2X

解得制=2,X2=-4,則y/=2,y2=-l，

故D點(diǎn)坐標(biāo)為：（-4,-1）,

如圖1所示：當(dāng)反比例函數(shù)的值大于一次函數(shù)的值時(shí)對應(yīng)尤的取值范圍為：0〈尤V2或尤＜-4；

（3）如圖2,由題意可得：CO//MN,只有CO=MN時(shí)，。，C,M,N為頂點(diǎn)的四邊形為平行四

邊形，

41

當(dāng)尸點(diǎn)在5點(diǎn)右側(cè)或。點(diǎn)右側(cè)時(shí)，設(shè)尸（〃，0）,則N（〃，-）,M（〃，ga+l）,

a2

i4

故MN=—a+l--—CO=\,

2a

解得：〃=±20,

41

當(dāng)尸點(diǎn)在5點(diǎn)左側(cè)或。點(diǎn)左側(cè)時(shí)，設(shè)尸（〃，0）,則N（〃，-）,M（a,-a+l\

a2

4i

故MN=-—（7〃+1）=CO=\,

解得：〃=-2+20或-2-2有，

綜上所述：尸點(diǎn)坐標(biāo)為：（26\0）,（—2＜^/2?0）,（-2+2石，0）,（―2—26，0）.

圖2

【點(diǎn)睛】此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法等

知識，正確表示MN的長是解題關(guān)鍵.

15.如圖1,菱形ABCD頂點(diǎn)A在y軸上，頂點(diǎn)。在反比例函數(shù)y,（x＞。）上，邊8C交V軸于點(diǎn)E,

X

AD〃x軸，AE=2EC,AD=5.

⑴求女.

(2)如圖2,延長班交無軸于點(diǎn)尸，問是否在該反比例函數(shù)上存在的點(diǎn)P,坐標(biāo)軸上的點(diǎn)。，使得

以A、尸、P,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo),

若不存在請說明理由.

40

【答案】(1)z=—■—;

28

(2)。點(diǎn)坐標(biāo)為(-3,0),(7,0),(0,4)或(0,-y).

【分析】(1)設(shè)EC=JC,則AE=2EC=2x,根據(jù)菱形的性質(zhì)，得AB=5,BE=5-x,在放AABE中

用勾股定理求出EC=2,AE=4,表示出點(diǎn)C、。的坐標(biāo)，列方程|g=4即可求出公

40

(2)先求出直線的解析式，得尸點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)(m,分情況討論：①。在x軸

3m

上，設(shè)為("，0),②。在y軸上，設(shè)為(0,")，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分列式求出"，即

可得到點(diǎn)。坐標(biāo).

(1)

解：設(shè)EC=x,則AE=2EC=2x,

在菱形ABCQ中，AO〃BC,AB=BC=AD=5,則8E=5—x,

?：AD//x^A,

...BC〃x軸，

：.AE.LBC,

在R/AABE中，根據(jù)勾股定理，#（5-X）2+（2X）2=52,

解得：x=2或％=0（舍去），

:,EC=2,AE=4,

kk

C（2,—）,0（5,—）,

25

kk

----=4,A

52

40

解得：k=-~—

(2)

..__40

?zK,

3

2QQ

**.C(2,),D(5,—),

33

Q2Q

A(0,—),B(—3,---),

33

設(shè)直線A3的解析式：y=kx+b,

代入A,8點(diǎn)坐標(biāo)，得

[8

b1=——

3

工』型’

I3

解得：

k=-

3

"8,

b=——

13

48

???直線A3的解析式：

33

48

當(dāng)y=二=。時(shí)，％=2,

33

：.F(2,0),

40

設(shè)尸(m,存在以A、F、P、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

3m

丁。在坐標(biāo)軸上，

①。在x軸上，設(shè)。(九，0),

當(dāng)AR尸。為對角線時(shí)，2=m+n,一?=一步,

33m

m=5

解得:

n=—3"

：.Q(-3,0),

當(dāng)AP,方。為對角線時(shí)，得根="十2,-當(dāng)=。，

3m3

m=-5

解得:〃=_7(舍)，

當(dāng)AQ,尸尸為對角線，得〃=根+2,-,

33m

[m=5

解得：「，

\n=i

：.Q（7,0）；

②當(dāng)。在y軸上，設(shè)。（0,n）,

當(dāng)A尸，P。為對角線時(shí)，m=2,~=n-^~,

33m

m=2

解得:

〃=4

：.Q(0,4),

當(dāng)AP,歹。為對角線時(shí)，得m=2,-學(xué)一■1=小

3m3

m=2

解得：,28,

n=-----

13

當(dāng)A。，尸尸為對角線，得根+2=0,-手=〃一。，

3m3

m=-2

解得：\28（舍），

n=一

[3

28

綜上，。點(diǎn)坐標(biāo)為（—3,0）,（7,0）,（0,4）或（0,—~—）.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與平行四邊形的綜合,熟練掌握待定系數(shù)法求解析式、平行四邊形

的性質(zhì)以及解一元二次方程的方法是解決本題的關(guān)鍵.

k

16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)％=尤-2的圖像與反比例函數(shù)%=—（左片0）的圖像交

x

于4（-2,°）、3（加,2）兩點(diǎn)，與,軸交于點(diǎn)C,與無軸交于點(diǎn)。，連接。4、OB.

備用圖

k

⑴求反比例函數(shù)%=—（左。。）的表達(dá)式;

X

(2)求AAOB的面積；

(3)點(diǎn)N