搶分秘籍02方程與不等式

CCC

【解密中考】總結(jié)?？键c及應(yīng)對的策略，精選名校模擬題，講解通關(guān)策略（含押題型）

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【題型三】一元二次方程的解法

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

【題型五】分式方程的解法

【題型六】分式方程的應(yīng)用

【題型七】不等式的解法

【題型八】不等式的應(yīng)用

【誤區(qū)點撥】點撥常見的易錯點

易錯點一：二元一次方程組中含參數(shù)易錯問題

易錯點二：一元二次方程中含參數(shù)易錯問題

易錯點三：分式方程中含參數(shù)易錯問題

易錯點四：不等式中含參數(shù)易錯問題

考情分析：方程和不等式是全國中考的熱點內(nèi)容，更是全國中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考生

因為知識殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點頻率看

L高頻核心考點：方程有一元二次方程（解法、判別式、韋達(dá)定理）、分式方程（解法及增根討論）、

二元一次方程組（解法及實際應(yīng)用）每年必考，常結(jié)合利潤、行程、幾何等實際問題。不等式有一元一次

不等式組（解集求解、參數(shù)范圍討論）及應(yīng)用題（方案設(shè)計、最值問題）高頻出現(xiàn)，常與函數(shù)、方程綜合

命題。

2.易錯考點：

分式方程的增根檢驗、一元二次方程二次項系數(shù)含參時的分類討論、不等式組解集邊界值的取舍（是

否取等號）。

2.從題型角度看：

1.基礎(chǔ)題型：選擇題、填空題考查方程解法、不等式解集表示，占比約10%-15%。

2.應(yīng)用題:解答題中，方程與不等式常作為建模工具（如利潤最大化、資源分配問題），占比約20%-25%,

需結(jié)合題意列關(guān)系式。

3.綜合題：與函數(shù)（一次函數(shù)、二次函數(shù)）結(jié)合的壓軸題，如利用不等式求自變量范圍、方程根的分

布分析，難度較高，區(qū)分度強(qiáng)。

備考策略|

L基礎(chǔ)鞏固：熟練掌握各類方程（組）解法步驟（如分式方程驗根、一元二次方程配方法/公式法），

不等式組解集“數(shù)軸法”確定。

2.專題突破：針對參數(shù)問題專項訓(xùn)練（如含參方程的解的情況、不等式組參數(shù)范圍），總結(jié)分類討論邏

輯（如二次項系數(shù)是否為0、不等號方向變化）。強(qiáng)化應(yīng)用題建模能力，提煉“審-設(shè)-列-解-驗-答"六步法，

尤其注意實際問題中變量的取值范圍（如正整數(shù)解）。

3.易錯點攻堅：整理錯題本，歸納增根遺漏、判別式忽略前提（二次項系數(shù)W0）、不等式方向改變等

高頻錯誤。限時訓(xùn)練提升解題速度，確保基礎(chǔ)題準(zhǔn)確率達(dá)100%,綜合題分步得分。

◎題型特訓(xùn)提分--------------------------------------

【題型一】一元一次方程及應(yīng)用

【例1】（2025?湖北襄陽?模擬預(yù)測）《九章算術(shù)》是中國古代第一部數(shù)學(xué)專著，它對我國古代后世的數(shù)學(xué)家

產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響，該書中記載了一個問題，原文如下："今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，

問人數(shù)，物價各幾何？"大意是：有幾個人一起去買一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，

問有幾個人合伙購買，該物品的價格是多少.設(shè)合伙贖買的有x人，根據(jù)題意，可列方程為（）.

A.8x+3=7x—4B,8x—3=7尤+4C.8x+3=7x+4D.8x—3=7x—4

【答案】B

【知識點】古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查一元一次方程組的運用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.設(shè)合伙贖買的有x人，根

據(jù)每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物價保持不變，由此列式即可求解.

【詳解】解：設(shè)合伙贖買的有x人，根據(jù)題意：8元-3=7尤+4,

故選：B.

iN

本題主要考查一元一次方程組的運用，理解數(shù)量關(guān)系，正確列式是關(guān)鍵.由此列式即可求解.

【例2】（2025?陜西咸陽?一模）為感謝環(huán)衛(wèi)工人對城市美好市容的辛苦付出，樂樂和麗麗所在的活動小組計

劃做一批"感謝賀卡若每人做8張，則比計劃多了3張；若每人做5張，則比計劃少了27張.該活動小

組共有多少人？

【答案】該活動小組共有10人

【知識點】其他問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)該活動小組共有x人，根據(jù)“若每人做8張，則比計劃多了3

張；若每人做5張，則比計劃少了27張"列出一元一次方程，解方程即可得解，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，

正確列出一元一次方程是解此題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)該活動小組共有x人，

由題意可得：8x-3=5x+27,

解得：x=10,

回該活動小組共有10人.

【變式1］（2025?廣西來賓?一模）古時候人們通過在繩子上打結(jié)來記錄數(shù)量，即"結(jié)繩記數(shù)如圖所示是一

位婦女按滿五進(jìn)一的方法，從右到左在繩子上依次打結(jié)，用來記錄采集到的野果的個數(shù).她一共采集到43

個野果，則第2根繩子上的打結(jié)個數(shù)是（）

第3根第2根第1根

【答案】C

【知識點】數(shù)字問題（一元一次方程的應(yīng)用）、古代問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，設(shè)在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x,根據(jù)滿五進(jìn)一列出方程，然后

求解即可得出答案.

【詳解】解：設(shè)在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是x,根據(jù)題意得：3+5x+lx5x5=43,

解得x=3,

即在第2根繩子上的打結(jié)數(shù)是3,

故選：C.

【變式2］（2025?陜西西安?一模）幻方，最早源于我國，古人稱之為縱橫圖.如圖所示的幻方中，各行、各

列及各條對角線上的三個數(shù)字之和均相等.求圖中X的值.

146

x

8

【答案】尤=12

【知識點】數(shù)字問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了一元一次方程應(yīng)用，根據(jù)題意可得：14+6=x+8,求解即可得到結(jié)果.

【詳解】解：第1行中間數(shù)與第2列的最上面的數(shù)重合，

回依題意得：14+6=x+8,

解得：x=12.

【變式3］（2025?陜西西安?一模）某班體育活動課上原計劃分成兩個小組進(jìn)行活動，第一組26人，第二組

22人，現(xiàn)要根據(jù)學(xué)校體育器材的數(shù)量，對兩個小組的人數(shù)重新進(jìn)行調(diào)整，從第一組調(diào)部分人到第二組去，

使得調(diào)整后第一組的人數(shù)為第二組人數(shù)的一半，請問應(yīng)該從第一組調(diào)多少人到第二組去？（用方程解答）

【答案】應(yīng)該從第一組調(diào)10人到第二組去

【知識點】其他問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵.設(shè)應(yīng)

該從第一組調(diào)x人到第二組去，根據(jù)調(diào)整后第一組的人數(shù)為第二組人數(shù)的一半，列出一元一次方程，解之即

可得出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)應(yīng)該從第一組調(diào)x人到第二組去.

根據(jù)題意，得2（26-尤）=22+x,

解得x=10,

答：應(yīng)該從第一組調(diào)10人到第二組去.

【變式4］（2025?安徽合肥?一模）為貫徹落實"立德樹人"的根本任務(wù)，提高學(xué)生的勞動素養(yǎng).某中學(xué)擬組織

九年級師生去校外勞動教育實踐基地參加勞動實踐活動，需向某客運公司租客車前往，下表是有關(guān)租車的

信息：

客運公司有60座和45座兩種型號的客車可供租用，60座客車每輛每天的租金

信息1

比45座客車每輛每天的租金多200元.

上周八年級師生去該基地參加勞動實踐活動向這個客運公司租了5輛60座和3

信息2

輛45座的客車，一天的租金共計6200元.

信息3九年級師生租用4輛60座的客車和4輛45座的客車正好坐滿.

請根據(jù)以上表中的信息、，解答下列問題；

⑴客運公司60座和45座的客車每輛每天的租金分別是多少元?

⑵九年級師生到該客運公司租車一天，共需租金多少元？

【答案】⑴60座客車每輛每天的租金為850元，45座客車每輛每天的租金為650元

（2）6000（元）

【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用、其他問題（一元一次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了一元一次方程的實際應(yīng)用，有理數(shù)四則混合計算的實際應(yīng)用，正確理解題意是解

題的關(guān)鍵.

（1）設(shè)60座客車每輛每天的租金為x元，則45座客車每輛每天的租金為"-200）元.再根據(jù)租了5輛60

座和3輛45座的客車，一天的租金共計6200元列出方程求解即可；

（2）根據(jù)（1）所求求出租用4輛60座的客車和4輛45座的客車的費用即可得到答案.

【詳解】（1）解：設(shè)60座客車每輛每天的租金為x元，則45座客車每輛每天的租金為（x-200）元.

由題意得，5x+3（x-200）=6200,

解得x=850.

答：60座客車每輛每天的租金為850元，45座客車每輛每天的租金為650元.

（2）解：由題意得，可知九年級師生租車的費用為：4x850+4x650=6000（元）.

【題型二】二元一次方程及應(yīng)用

【例1】（2025?湖北荊州?模擬預(yù)測）《孫子算經(jīng)》中有一道題，原文是："今有木，不知長短，引繩度之，余

繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺.木長幾何？"意思是：用一根繩子去量一根長木，繩子還剩余4.5尺；

將繩子對折再量長木，長木還剩余1尺.問木長多少尺？如果設(shè)木長無尺，繩長y尺，則可以列方程組是（）

y—x=4.5x—y=4.5x—y=4.5y—x=4.5

A.B.c.D.<11

-y-X=l-y-X=lx——y=1

12」2，2，

【答案】D

【知識點】根據(jù)實際問題列二元一次方程組

【分析】本題考查二元一次方程組，理解題意，正確列出方程組即可.

【詳解】解：設(shè)木長x尺，繩長》尺，

j-x=4.5

根據(jù)題意，得「1,,

x——y=1

[2，

故選：D.

本題考查二元一次方程組，理解題意，正確列出方程組求解方程即可.

6x+2y=5

【例2】（2025?湖南?一模）解方程組:

2x-6y=-5

1

x=—

【答案】2

J=1

【知識點】加減消元法

【分析】本題考查解二元一次方程組，涉及加減消元法解二元一次方程組，將①x3+②消去，解得x=g,

從而代入②得到y(tǒng)=i即可.熟練掌握加減消元法解二元一次方程組的方法是解決問題的關(guān)鍵.

6x+2y=5①

【詳解】解:

2x-6y=-5?

由①x3+②得x=g；

將x代入②得2x；_6y=_5,

解得y=1；

1

X——

???原方程組的解為2.

y=l

【變式1]（2025?遼寧鐵嶺,一模）我國古代《孫子算經(jīng)》卷中記載“多人共車"問題，其原文如下：今有三人

共車，二車空；二人共車，九人步，問人與車各幾何？其大意為：若3個人乘一輛車，則空2輛車；若2個

人乘一輛車，則有9個人要步行，問人數(shù)和車數(shù)各是多少.設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，可列方程為（）

A.13"2）=x8.，（y+2）=xc.?及2）一

[2y-9=x[2y-9=x[2y+9=x[2y+9=x

【答案】c

【知識點】古代問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，根據(jù)題意列出方程組即可，根據(jù)

題意找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：設(shè)人數(shù)為x人，車數(shù)為y輛，

3（y-2）=x

由題意得,

2y+9=x

故選：C.

、Ix+y=3\x=l

【變式2]（2025,浙江衢州?一模）已知關(guān)于x,y的二元一次方程組'，的解是，則b的值

yx+ay—b=a

是________

【答案】5

【知識點】二元一次方程的解

【分析】本題主要考查了二元一次方程組的解，熟練掌握二元一次方程組的解是解題的關(guān)鍵.

將解代入原方程組即可求解.

I無+y=3

【詳解】解：國二元一次方程組，的解是

[x+ay=b

（1+Q=3

\l+a2=b"

a=2

解得

b=5

故答案為：5.

【變式3]（2025?北京延慶?模擬預(yù)測）某圖書館計劃用800元購買經(jīng)典文學(xué)和科普讀物兩種書籍，經(jīng)典文學(xué)

每套50元，科普讀物每套35元.若購買經(jīng)典文學(xué)的數(shù)量比科普讀物的數(shù)量多10套，判斷能否恰好用完預(yù)

算？若能，請求出所購買的經(jīng)典文學(xué)和科普讀物的套數(shù)，若不能，請說明理由.

【答案】判斷不能恰好用完預(yù)算.理由見解析

【知識點】其他問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查二元一次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意設(shè)購買經(jīng)典文學(xué)尤套，購買科普讀物y套，列出二元

一次方程，解得y不是正整數(shù)，不合題意，即可知不能恰好用完預(yù)算.

【詳解】解：判斷不能恰好用完預(yù)算.理由如下：

設(shè)購買經(jīng)典文學(xué)x套，購買科普讀物y套，假設(shè)恰好用完預(yù)算800元，

fx—y=10

則1

[50%+35y=800

解得y書

此時y不是正整數(shù)，不合題意.

答：不能恰好用完預(yù)算.

【變式4]（2025?安徽?一模）某天，蔬菜經(jīng)營戶張老板用218元，從蔬菜批發(fā)市場批發(fā)了豆角和西紅柿40kg

到市場去賣，豆角和西紅柿這天每千克的批發(fā)價與零售價如下表所示：

品名豆角西紅柿

批發(fā)價/元5.05.6

零售價/元8.29.2

請通過計算說明張老板賣出這些豆角和西紅柿的盈虧情況.

【答案】共能賺140元

【知識點】銷售、利潤問題（二元一次方程組的應(yīng)用）

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確建立方程組是解題關(guān)鍵.設(shè)張老板批發(fā)

了豆角尤kg,西紅柿ykg,根據(jù)豆角和西紅柿40kg、共用218元建立方程組，解方程組求出“廣的值，再根

據(jù)零售價和批發(fā)價計算利潤即可得.

【詳解】解：設(shè)張老板批發(fā)了豆角xkg,西紅柿ykg,

x+y=40

由題意得:

5.0x+5.6y=218

x=10

解得:

7=30

則（8.2—5.0）x10+（9.2—5.6）x30=140（元），

因為140>0,

所以張老板賣出這些豆角和西紅柿共能賺140元.

【題型三】一元二次方程的解法

【例1】（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）解一元二次方程：2尤②-6x+3=0.

3+63-5/3

【答案】無|=

2

【知識點】解一元二次方程一一配方法

【分析】本題考查了配方法解一元二次方程，方程二次項系數(shù)化為1,常數(shù)項移到右邊，兩邊加上一次項系

數(shù)一半的平方，開方即可求出解.

【詳解】解：2d-6元+3=0,

3

方程變形得：d-3x=-；,

2

oQ9

配方得:X2-3X+-=--+-,即工一|

424

開方得,」±且,

22

3+6

解得：X],XQ-

2-2

技I巧

本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵.用公式法解一元二次

方程即可.

【例2】（2025?安徽?模擬預(yù)測）解方程：3X2+3X-1=0.

r型安y_-3-__3+y/21

Lo'Jx=------------,=------------?

66

【知識點】公式法解一元二次方程

【分析】本題主要考查了解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法，是解題的關(guān)鍵.用公式法解

一元二次方程即可.

【詳解】解：a=3,b=3,c=—l,

.?.A=32-4X3X（-1）=21>0,

-3±V21

/.x=----------

2x3

-3-瓦-3+后

%--------，X?

6

【變式1］（2025?江西南昌?一模）（1）計算：sin30°-cos245°+tan60°-sin60°.

（2）解方程：X2+3X-28=0.

3

【答案】(1)2；(2)玉=4,%=-7

【知識點】因式分解法解一元二次方程、特殊角三角函數(shù)值的混合運算

【分析】本題考查了含特殊角的三角函數(shù)值的混合運算、解一元二次方程，熟練掌握運算法則和方程的解

法是解題關(guān)鍵.

(1)先計算特殊角的三角函數(shù)值，再計算二次根式的乘法，然后計算加減法即可得；

(2)方程的左邊可以因式分解為(x-4)(x+7),利用因式分解法解一元二次方程即可得.

【詳解】解：（1）sin30O-cos245O+tan60°-sin60°

2

3

~2~2+2

_3

"2,

（2）犬+3%-28=0,

（x-4）（x+7）=0,

%—4=0或冗+7=0,

%=4或%=—7,

所以方程的解為玉=4,々=-7.

【變式2](2025?江蘇無錫?一模)解方程或不等式組:

(1)X2-2X-4=0;

\3x-3>x+1

(2)[2(2x-l)<5x-r

【答案】⑴%=1+右,％=1-石

(2)x>2

【知識點】解一元二次方程一一配方法、求不等式組的解集

【分析】本題考查解一元二次方程和一元一次不等式組：

(1)利用配方法對所給一元二次方程進(jìn)行求解即可.

(2)根據(jù)解一元一次不等式組的步驟，對所給不等式組進(jìn)行求解即可.

【詳解】(1)解：X2-2X-4=0

%?—2x—4,

—2x+1=4+1,

(x-1)2=5,

團(tuán)％-1=±^5，

團(tuán)X,=1+6,42=1一石；

J3x—3>x+1@

⑵[2(2x-l)<5x-l?；

解不等式①得，無>2；

解不等式②得，x>-l,

回不等式組的解集為x>2.

【變式3](2025?甘肅武威?一模)(1)解方程：X2+8X-1=0.

(2)計算：一/+后一4sin60°一沖一+

⑶化簡求值：[a-1---,其中a=2一行

I6Z+1J6Z+1

【答案】(1)M=Y+后，々=T—后；(2)-1+373;(3)a-2,-42

【知識點】解一元二次方程一一配方法、特殊角三角函數(shù)值的混合運算、分式化簡求值

【分析】本題考查的是一元二次方程的解法，三角函數(shù)值的混合運算，分式的化簡求值；

(1)把方程化為f+8x+16=l+16,再利用配方法解方程即可；

(2)先計算乘方，算術(shù)平方根，代入特殊角的三角函數(shù)值，化簡絕對值，計算負(fù)整數(shù)指數(shù)累，再合并即可;

(3)先計算括號內(nèi)分式的減法運算，再計算除法運算，最后把。=2-忘代入計算即可.

【詳解】解：(1)X2+8X-1=0,

回+8%=1,

團(tuán)f+8%+16=1+16,

2

0(x+4)=17,

回》+4=±后，

國芯=—4+A/17,x0=—4—Jl7'

-2

(2)-l4+727-4sin60o-|2V3-4

=-1+3A/3-4X^+2-X/3-4+4

=-1+3A/3-2A/3+2^-4+4

=3\^—1；

.4+2

(3)a-1-

〃+1

—1—34+1

a+1a+2

(〃+2)(“-2)tz+1

Q+1Q+2

=a—2；

當(dāng)a=2-A/2時，

原式=2-忘-2=-母;

【題型四】一元二次方程的應(yīng)用

［例1］（2025?陜西漢中?二模）隨著人們對身心健康的關(guān)注度越來越高,某市參加健身運動的人數(shù)逐年增多，

從2022年的30萬人增加到2024年的43.2萬人，求該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率.

【答案】20%

【知識點】增長率問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為x,根據(jù)從2022年的30萬人增加到2024年的43.2萬人，列出一

元二次方程，解之取符合題意的值即可.

【詳解】解：設(shè)該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為x,

根據(jù)題意得：30（1+x）2=43.2,

解得：玉=0.2=20%,尤2=-2.2（不符合題意，舍去）.

答：該市參加健身運動人數(shù)的年均增長率為20%.

本題考查了由實際問題列出一元二次方程、找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

【例2】（2025?吉林?二模）小川一家春節(jié)期間團(tuán)圓相聚，他和兄弟姐妹們約定了互贈一份禮物，若他們一共

贈送了90份禮物，則小川及兄弟姐妹一共多少人？若設(shè)小川及兄弟姐妹一共有x人，則可列方程

為.

【答案】x（x-l）=90

【知識點】握手、循環(huán)賽問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查由實際問題抽象出一元二次方程，設(shè)小川及兄弟姐妹一共有X人，則每人需贈送出（X-1）

份禮物，即可得出關(guān)于X的一元二次方程.

【詳解】解：由題意可得，

x（x-l）=90,

故答案為：x（x-l）=90.

【變式1］（2025?貴州?一模）我國古代數(shù)學(xué)著作《增刪算法統(tǒng)宗》記載"圓中方形"問題："今有圓田一段，

中間有個方池，丈量田地待耕犁，恰好三分在記，池面至周有數(shù)，每邊三步無疑.內(nèi)方圓徑若能知，堪作

算中第一."其大意為：有一塊圓形的田，中間有一塊正方形水池，測量出除水池外圓內(nèi)可耕地的面積恰好

72平方步，從水池邊到圓周，每邊相距3步遠(yuǎn).如果你能求出正方形邊長和圓的直徑，那么你的計算水平

就是第一了.如圖，設(shè)正方形的邊長是x步，則列出的方程是—.

【答案】兀（J+3）-產(chǎn)=72

【知識點】與圖形有關(guān)的問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】本題考查了由實際問題列出一元二次方程、圓的面積公式，由題圖易得，圓的直徑為x+6,則半

徑則為楙+3,圓的面積為兀（5+3：,再根據(jù)題意列出一元二次方程即可，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系是解此

題的關(guān)鍵.

【詳解】解：由題圖易得，圓的直徑為x+6,則半徑則為5+3,圓的面積為兀+

2

可得方程兀3）-X2=72,

故答案為：兀g+31-尤2=72.

【變式2］（2025?遼寧撫順?二模）商場某種商品平均每天可銷售30件，每件盈利50元，為了盡快減少庫存，

商場決定采取適當(dāng)?shù)慕祪r措施，經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件商品每降價1元，商場平均每天可多售出2件.

⑴若某天該商品每件降價3元，當(dāng)天可盈利多少元？

⑵設(shè)每件商品降價尤元，在上述銷售正常情況下，每件商品降價多少元時，商場日盈利可達(dá)到2000元？

【答案】⑴當(dāng)天可盈利1692元

⑵每件商品降價25元時，商場日盈利可達(dá)到2000

【知識點】有理數(shù)四則混合運算的實際應(yīng)用、營銷問題（一元二次方程的應(yīng)用）

【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運算，一元二次方程的應(yīng)用等知識點.熟練掌握總利潤，每件利潤，

件數(shù)的關(guān)系，正確列出式子，列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵.

（1）根據(jù)"盈利=單件利潤x銷售數(shù)量”即可得出結(jié)論；

（2）根據(jù)“盈利=單件利潤x銷售數(shù)量”即可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再根據(jù)盡

快減少庫存即可確定X的值.

【詳解】（1）解：某天該商品每件降價3元，則每件商品盈利為：（50-3）元，銷售數(shù)量（30+2x3）件，

當(dāng)天可盈利（50-3）x（30+2x3）=1692（元）

答:當(dāng)天可盈利1692元；

（2）解：根據(jù)題意得，（50-x）（30+2x）=2000

整理，得Y-35X+250=0

解得，Xj=10,x2=25

.■為了盡快減少庫存，

..jc—25

答：每件商品降價25元時，商場日盈利可達(dá)到2000元.

【變式3］（2025?四川廣安?模擬預(yù)測）某果園原計劃種100棵桃樹，一顆桃樹平均結(jié)1000個桃子，現(xiàn)準(zhǔn)備

多種一些桃樹以提高產(chǎn)量.試驗發(fā)現(xiàn)，每多種1棵桃樹，每顆桃樹的產(chǎn)量就會減少2個，但多種的桃樹不

能超過100棵.

⑴如果要使產(chǎn)量增加15.2%,那么應(yīng)多種多少棵桃樹？

⑵應(yīng)種多少棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會達(dá)到最大值？求出這個最大值.

【答案】⑴應(yīng)多種20棵桃樹

（2）應(yīng)種200棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會達(dá)到最大值，最大值為160000

【知識點】營銷問題（一元二次方程的應(yīng)用）、銷售問題（實際問題與二次函數(shù)）

【分析】本題考查一元二次方程和二次函數(shù)的應(yīng)用；

(1)設(shè)多種X棵樹，根據(jù)產(chǎn)量增加15.2%,列方程求解即可；

(2)多種x棵桃樹，桃子的產(chǎn)量為y,y=(100+x)(1000-2x)=-2^2+800x+100000,當(dāng)0W尤4100時，y

隨x的增大而增大，得到當(dāng)x=ioo時，y最大，據(jù)此求解即可.

【詳解】(1)解：設(shè)多種X棵樹，則

(100+無)(1000-2x)=100x1000x(1+15.2%),

整理，得：%2-400%+7600=0,

(x-20)(x-380)=0,

解得為=20,々=380,

回多種的桃樹不能超過100棵，即OWxWlOO,380>100,

團(tuán)z=380不合題意，故舍去，

回1=20,

答：應(yīng)多種20棵桃樹；

(2)解：多種x棵桃樹，桃子的產(chǎn)量為》則

y=(100+x)(1000-2x)=-2x2+800x+100000,

8003

團(tuán)對稱軸為直線x=-2x(_2)=2001

0-2<0,

團(tuán)當(dāng)owxwioo時，y隨x的增大而增大，

團(tuán)當(dāng)x=100時，=(100+100)x(1000-2x100)=160000,

回多種100課桃樹，即應(yīng)種200棵桃樹，桃子的產(chǎn)量才會達(dá)到最大值，最大值為160000.

【題型五】分式方程的解法

2r4

[例1](2025?陜西咸陽?一模)解方程：-^-=-^-+1.

2x-l4X2-1

【答案】%=|3

【知識點】解分式方程

【分析】本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化

為1、檢驗計算即可得解.

【詳解】解：去分母得：2x(2x+l)=4+4無2—1,

去括號得：4X2+2X=4+4X2-1,

移項并合并同類項可得：2x=3,

3

系數(shù)化為1得：x=1,

3

檢驗，當(dāng)x=務(wù)時，4f—1。0,

回原分式方程的解為冗=；3.

本題考查了解分式方程，根據(jù)解分式方程的步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項、系數(shù)化為1、檢驗

計算即可得解.

【例2】（2025?甘肅定西?一模）解分式方程上;-1=Y—

x-3x-9

【答案】x=-1.

【知識點】解分式方程

【分析】本題考查了解分式方程，化分式方程為整式方程，找出最簡公分母和驗根是解題的關(guān)鍵.

由題意得，先通分，再去分母，化分式方程為整式方程，求整式方程的解，驗根，寫出分式方程的解即可.

xx-3_8

x-3x-3(x+3)(x-3)

3_8

x-3(x-3)(x+3)，

3(x+3)_8

(x-3)(x+3)(x-3)(x+3)

3(%+3)=8,

3元=-1,

1

3'

檢驗：當(dāng)X=-；時，（x-3）（尤+3）4,分母不為0,不是增根,

所以x=-g是原分式方程的解.

127

【變式1］（2025?陜西西安?一模）解方程：--+—7=丁二

X+1X—1X—1

【答案】x=2

【知識點】解分式方程

【分析】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是先變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對

方程的解進(jìn)行檢驗即可.由解分式方程的步驟進(jìn)行即可.

【詳解】解：方程兩邊同時乘(X-1)(X+1)得，(x-l)+2(x+l)=7,

解得x=2,

檢驗：當(dāng)x=2時，=3片。，

二原分式方程的解為尤=2.

v_i3

【變式2](2025?江蘇南京?模擬預(yù)測)已知方程一-1=二三.

x+1x-1

⑴將該方程去分母，得一，此步驟的依據(jù)是

(2)接著(1)中的步驟，繼續(xù)解該方程.

【答案】⑴"一1)2-(x+l)(x—l)=3,等式的性質(zhì)

a"

【知識點】解分式方程

【分析】本題考查的是解分式方程，掌握分式方程的解法和步驟是解題關(guān)鍵.

(1)根據(jù)解分式方程的方法，先去分母，依據(jù)是等式的性質(zhì)，即可解答；

(2)在(1)的基礎(chǔ)上，去括號，移項，合并同類項，將系數(shù)化為1求出x的值，然后再進(jìn)行檢驗即可.

【詳解】(1)解：=T=E

元+1x-1

方程兩邊同時乘(x+l)(x-1),#(X-1)2-(X+1)(X-1)=3,

此步驟的依據(jù)是等式的性質(zhì)，

故答案為：(X-1)2-(X+1)(X-1)=3,等式的性質(zhì)；

(2)解：在(1)的基礎(chǔ)上，去括號，得/_2彳+1_/+1=3,

移項、合并同類項，得-2x=l,

將系數(shù)化為1,得尤=-;，

檢驗：把尤代入(X+1)(X—1)H0,

回分式方程的解為x=-;.

【變式3](2025,江西撫州?一模)以下是小張同學(xué)解分式方程==4+1的過程，請認(rèn)真閱讀并完成相

應(yīng)的任務(wù).

l-x=-2+l.第一步

l-x=-l.第二步

x=2.第三步

經(jīng)檢驗，x=2是原方程的根.第四步

任務(wù)一：填空：以上解方程的過程中，第步開始出現(xiàn)錯誤；

任務(wù)二：請你幫他寫出正確的解答過程.

【答案】任務(wù)一：一；任務(wù)二：無解

【知識點】解分式方程

【分析】本題主要考查了求解分式方程，掌握解分式方程的基本步驟是解答本題的關(guān)鍵.

任務(wù)一：根據(jù)解分式方程的方法進(jìn)行判斷即可；

任務(wù)二：先去分母，變分式方程為整式方程，然后解整式方程，最后對方程的解進(jìn)行檢驗即可.

【詳解】解：任務(wù)一：第一步去分母時，常數(shù)項沒有乘以(x-3),因此第一步開始出現(xiàn)錯誤；

方程兩邊同乘以(x-3),得1-尤=-2+x-3

解得x=3,

檢驗，當(dāng)x=3時，x-3-O,

回彳=3不是原方程的根，

回原方程無解.

【題型六】分式方程的應(yīng)用

【例1】(2025?廣東清遠(yuǎn)?一模)為了加強(qiáng)學(xué)生的體育鍛煉，某學(xué)校需要購買籃球和足球兩種體育用品，已知

每個足球的進(jìn)價是每個籃球進(jìn)價的0.75倍，用1200元購進(jìn)籃球的數(shù)量比用2100元購進(jìn)足球的數(shù)量少20

個.求：每個籃球、足球的進(jìn)價分別為多少元？

【答案】每個籃球的進(jìn)價為80元，則每個足球的進(jìn)價為60元

【知識點】分式方程和差倍分問題

【分析】本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵；設(shè)每個籃球的進(jìn)價為x

元，則每個足球的進(jìn)價為0.75x,根據(jù)數(shù)量、總金額與單價的關(guān)系，找到等量關(guān)系，列分式方程求解，并檢

驗作答.

【詳解】解：設(shè)每個籃球的進(jìn)價為x元，則每個足球的進(jìn)價為0.75x元.

210012002

根據(jù)題意得:-----------------=20,

0.75%x

解得％=80,

經(jīng)檢驗工=80是原分式方程的解，且符合實際,

團(tuán)0.75%=0.75x80=60.

答：每個籃球的進(jìn)價為80元，則每個足球的進(jìn)價為60元.

■印圖圓5

本題考查了分式方程的應(yīng)用，正確理解題意，找到等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵

【例2】(2025?浙江寧波?一模)《九章算術(shù)》中有一道關(guān)于古代驛站送倍的題目，其白話譯文為：一份文件，

若用慢馬送到800里遠(yuǎn)的城市，所需時間比規(guī)定時間多1天；若改為快馬派送，則所需時間比規(guī)定時間少2

4

天，已知快馬的速度是慢馬的1倍，則規(guī)定時間為天，

【答案】11

【知識點】分式方程的行程問題

【分析】本題主要考查分式方程的實際應(yīng)用，找出等量關(guān)系是解題的關(guān)鍵.設(shè)規(guī)定時間為x天，根據(jù)快馬的

4

速度是慢馬的§倍列出方程，再解方程即可.

【詳解】解：設(shè)規(guī)定時間為x天，根據(jù)題意得：

_8_0_0x_4=__8_0_0

x+13x—2

整理得：4(%—2)=3(%+1),

解得x=U,

經(jīng)檢驗，x=n是原分式方程的解.

故答案為：11.

【變式1](2025?山西忻州?一模)為了緩解交通壓力，提高道路的通行效率，太原市對某一段路實行交通燈

智能化改造，駕駛員只要控制好車速，便能實現(xiàn)“一路綠燈據(jù)了解，該路段總長約5.4公里，改造后車輛

通過該路段的平均速度提高了50%,平均行駛時間減少了3分鐘，求改造前車輛通過該路段的平均速度.

蠹

【答案】36千米/小時

【知識點】分式方程的行程問題

【分析】本題考查分式方程的應(yīng)用.設(shè)改造前通過該路段車輛的平均速度x千米/小時，則改造后通過該路

段車輛的平均速度是(l+50%)x千米/小時，根據(jù)"行駛5.4千米，平均行駛時間減少了3分鐘”列出方程并解

答.

【詳解】解：設(shè)改造前通過該路段車輛的平均速度X千米/小時，則改造后通過該路段車輛的平均速度是

（l+50%）x千米/小時，

5.435.4

由題意,得（1+50%）/去一二?

解得：x=36.

經(jīng)檢驗，x=36是所列方程的根，且符合題意.

答：改造前通過該路段車輛的平均速度是36千米/小時.

【變式2］（2025?山西運城?一模）晉陽高速公路改擴(kuò)建項目是2024年山西省級的重點項目，現(xiàn)有一段路由

甲、乙兩個工程隊共同承包修建.其中甲工程隊需要修9千米，乙工程隊需要修12千米，已知乙工程隊每

個月的修建速度是甲工程隊的1.5倍，最終乙工程隊修建用的時間比甲工程隊少用半個月，問甲工程隊每個

月修建多少千米？

【答案】甲工程隊每個月修建2千米.

【知識點】分式方程的工程問題

【分析】本題考查的知識點是分式方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程.

設(shè)甲工程隊每個月修建x千米，則乙工程隊每個月修建L5x千米，根據(jù)乙工程隊修建用的時間比甲工程隊少

用半個月，列出分式方程，解方程即可.

【詳解】解：設(shè)甲工程隊每個月修建x千米，則乙工程隊每個月修建1.5x千米，

根據(jù)題意得：29-法12=：1,

X1.5%2

解得：x=2,

經(jīng)檢驗：x=2是原方程的解，且符合題意.

答：甲工程隊每個月修建2千米.

【變式3］（2025?重慶?一模）跳繩是人們喜愛的一種運動項目，對青少年來說，經(jīng)常跳繩有助于身體長高.

⑴一副跳繩由兩個手柄和一根繩子組成，某工廠生產(chǎn)某種型號的跳繩，一名工人每天可生產(chǎn)400個手柄或

1000根繩子，現(xiàn)打算安排18名工人來生產(chǎn)，如何安排工人使得每天生產(chǎn)的手柄和繩子恰好配套？

⑵甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行跳繩訓(xùn)練，甲計劃跳120個，乙計劃跳100個，若甲平均每秒跳繩的個數(shù)是乙平均

每秒跳繩個數(shù)的;倍，甲、乙同時開始跳，但乙在跳的過程中因死繩耽擱了5秒鐘，最后甲比乙提前15秒

2

完成跳繩訓(xùn)練，求甲平均每秒跳繩多少個？

【答案】（1）安排生產(chǎn)手柄有15名工人，生產(chǎn)繩子工人有3名;

⑵甲平均每秒跳繩3個

【知識點】配套問題（一元一次方程的應(yīng)用）、分式方程和差倍分問題

【分析】本題考查的是一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用；

（1）設(shè)安排生產(chǎn)手柄有x名工人，則繩子的工人有（18-力名，再分別表示手柄，繩子的生產(chǎn)數(shù)量，結(jié)合一

副跳繩由兩個手柄和一根繩子組成，再建立方程求解即可；

（2）設(shè)乙平均每秒跳繩x個，則甲平均每秒跳繩的個數(shù)是:x個，則利用時間關(guān)系建立分式方程求解即可.

【詳解】（1）解：設(shè)安排生產(chǎn)手柄有尤名工人，則繩子的工人有。8-x）名，

由題可知：1X400A=1000（18-%）,

解得：％=15,

018-x=18-15=3（名），

答：安排生產(chǎn)手柄有15名工人，生產(chǎn)繩子工人有3名；

3

（2）解：設(shè)乙平均每秒跳繩九個，則甲平均每秒跳繩的個數(shù)是個，則

120100,

^—+15=——+5

二%，

2

解得：X=2,

經(jīng)檢驗：尤=2是原方程的根，且符合題意；

3

團(tuán)一x—3,

2

答：甲平均每秒跳繩3個.

【題型七】不等式的解法

2x+6>x

【例1】（2025?陜西西安?一模）解不等式組：l-3x,c

----<1-2x

L2

【答案】-6<X<1

【知識點】求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)"同大取大，同小取小,

大小小大中間找，大大小小找不到（無解）”求出不等式組的解集即可.

【詳解】解：由2x+6>x得：x>-6-,

由尤得：x<l：

不等式組的解集為

港I技I巧

本題主要考查了解一元一次不等式組，先求出每個不等式的解集，再根據(jù)''同大取大，同小取小，大小小

大中間找，大大小小找不到（無解）“求出不等式組的解集即可.

元+120

【例2】（2025?浙江舟山?一模）解不等式組%（］_］）<X+2，把解表示在數(shù)軸上，并求出不等式組的整數(shù)解.

【答案】TW尤<2,見解析，不等式組的整數(shù)解為：T，0，1，2

2

【知識點】求不等式組的解集、求一元一次不等式組的整數(shù)解

【分析】按照解一元一次不等式組的一般步驟求出不等式組的解集，然后把解集表示在數(shù)軸上，并求出不

等式組的整數(shù)解即可.

本題主要考查了解一元一次不等式組，解題關(guān)鍵是熟練掌握解一元一次不等式組的一般步驟.

x+l>0?

【詳解】解：91)…2②

由①得：X>-1,

由：3x—3V%+2,

3x-x<3+2,

2x<5,

5

X一,

2

??.不等式組的解集為：-1<X<|,

不等式組的解集表示在數(shù)軸上為：

???11??----11-?,不等式組的整數(shù)解為：—1,0,1,2.

-5-4-3-2-1012345

3（x+l）>2x-l

【變式1】（2025?甘肅平?jīng)?一模）解不等式組：尤+5

------->x+l

I2

【答案】-4<x<3

【知識點】求不等式組的解集

【分析】本題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是基礎(chǔ)，熟知"同大取大；同小取

?。淮笮⌒〈笾虚g找；大大小小找不至小’的原則是解答此題的關(guān)鍵.需要注意的是：如果是表示大于或小于

號的點要用空心圓圈，如果是表示大于等于或小于等于號的點要用實心圓點.分別求解兩個不等式，得到

不等式組的解集即可.

【詳解】解：解不等式3（X+1）22X—1,得：x>^,

解不等式一-->x+1,得：x<3,

故不等式組的解集為：-4<x<3.

x—3

、.x-]>----

【變式2](2025?北京?模擬預(yù)測)解不等式組：2

5(x-l)<2x+l

【答案】-l<x<2

【知識點】求不等式組的解集

【分析】本題考查了解不等式組，先分別算出每個不等式的解集，再求出它們的公共部分的解集，即可作

答.

【詳解】解：2

5(尤-l)W2x+l②

由①解得x>-l,

由②解得xW2,

團(tuán)不等式組的解集為-l<x?2.

3xW2x+l①

【變式3](2025?天津薊州?模擬預(yù)測)解不等式組請結(jié)合題意填空，完成本題的解答.

2x+7>-l@

」」」」」」]

-4-3-2-10I2

⑴解不等式①，得二

⑵解不等式②，得」

(3)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來；

⑷原不等式組的解集為_.

【答案】⑴E

(2)x>^l

(3)見解析

(4)x<l

【知識點】在數(shù)軸上表示不等式的解集、求不等式組的解集

【分析】本題主要考查了解一元一次不等式組，在數(shù)軸上表示不等式組的解集，熟知解一元一次不等式組

的步驟是解題的關(guān)鍵.

(1)按照移項，合并同類項的步驟解不等式即可；

(2)按照移項，合并同類項，系數(shù)化為1的步驟解不等式即可；

(3)根據(jù)(1)(2)所求表示出對應(yīng)的解集即可；

(4)根據(jù)(3)所求即可得到答案.

【詳解】(1)解：3x<2x+l

移項得：3x-2x<l,

合并同類項得：%<1;

（2）解：2x+7>-l

移項得：2x"l-7,

合并同類項得：2x2-8,

系數(shù)化為1得：x'T；

（3）解：數(shù)軸表示如下所示:

（4）解：由（3）可知，不等式組的解集為

【題型八】不等式的應(yīng)用

[例1]（2025?重慶?二模）重慶沙坪壩"全球校友”半程馬拉松活動將于2025年4月20日在沙坪壩開展，重

慶一中校友會計劃為參與馬拉松活動的一中校友采購活動周邊紀(jì)念品.經(jīng)初步調(diào)研發(fā)現(xiàn)，購買3件運動T恤

和2個運動手環(huán)花費165元，且1件運動T恤比1個運動手環(huán)貴30元.

⑴每件運動T恤和每個運動手環(huán)的售價分別是多少元？

⑵截止2025年3月17日馬拉松活動報名結(jié)束，重慶一中校友會計劃采購運動T恤和運動手環(huán)共200件，

且購買的總費用不超過5000元，則最多可購買運動T恤多少件？

【答案】⑴每件運動T恤的售價是45元，每個運動手環(huán)的售價是15元

（2）最多可購買運動T恤66件

【知識點】銷售、利潤問題（二元一次方程組的應(yīng)用）、用一元一次不等式解決實際問題

【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式是解題關(guān)

鍵.

（1）設(shè)每件運動T恤的售價是x元，每個運動手環(huán)的售價是y元，根據(jù)題意建立方程組，解方程組即可得；

（2）設(shè)購買運動T恤機(jī)件，則購買運動手環(huán)（200-根）件，根據(jù)題意建立一元一次不等式，解不等式，求出

機(jī)的最大正整數(shù)解即可得.

【詳解】（1）解：設(shè)每件運動T恤的售價是x元，每個運動手環(huán)的售價是y元,

戶尤+2y=165

由題意得:

=30

x=45

解得

y=15

答：每件運動T恤的售價是45元，每個運動手環(huán)的售價是15元.

（2）解：設(shè)購買運動T恤加件，則購買運動手環(huán)（200-m）件，

由題意得：45m+15（200-7/i）＜5000,

2

解得〃24661,

團(tuán)加、是正整數(shù)，

回加的最大值為66,

答：最多可購買運動T恤66件.

本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，正確建立方程組和不等式是解