北京市2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中檢測試題

,1171

sm----

1.3的值為()

R3「6D."

A.D.-------V/.------

~~2222

2.下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是偶函數(shù)的是()

A.y-sinB.y=tanx

<4J

C.y=cos2xD.y-sin2x

3.設(shè)向量1=(3,4)3=(—1,2),則cos〈1,B〉=()

2V5□2亞「V5D.叵

A.

-D.-----

一5-555

4.在4ABC中,已知cos4=一,a-2^3,b=3,則。=()

3

A.1B.V3C.2D.3

5.函數(shù)/(x)=4sin(〃次+。)(其中4〉0,@〉0,0<0<?)的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的

f(x)=3sin1?x+3%)

A./(x)=3sin—x+—B.Tj

C./(x)=3sinl—x+—D.f(x)=3sin

TTTT

6.函數(shù)/(x)=sin(2x+—的最大值和最小值分別為()

62

1/22

,1

c.—1D.1,-1

2

7.已知向量己在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為i,則伍+3＞工=()

A.2B.-2D.-1

8.在△?!5c中，已知acos5+bcosZ=2ccos/,貝!!/=()

71

D.

2

9.已知函數(shù)/卜)=25苗[5+m](。＞0),則“/(x)在0,|上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“。＞1

的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

10.如圖，正方形48CD的邊長為2,P為正方形48co四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則莎.麗的取值范圍是

()

A.[-U]B.[0,2]C.[0,4]D.[-1,4]

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)

11.已知圓的半徑為2,則60。的圓心角的弧度數(shù)為;所對(duì)的弧長為.

12.已知向量2=(-2,3),3=(%,-6).若方〃3，則向=，x=.

2/22

13.若函數(shù)/(x)=/sinx—Gcosx的一個(gè)零點(diǎn)為；，則/=；將函數(shù)的圖象向左至少平

移個(gè)單位，得到函數(shù)y=2siiw的圖象.

14.設(shè)平面向量以反己為非零向量，且，=。,0).能夠說明“若限后=之工，則石=丁’是假命題的一組向量

b,c的坐標(biāo)依次為.

COS7TY

15.已知函數(shù)/(x)=——,給出下列四個(gè)結(jié)論：

X+1

①函數(shù)/(X)是奇函數(shù)；

②函數(shù)/(X)有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；

③函數(shù)/(X)的最大值為1；

④函數(shù)/(X)沒有最小值.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

三、解答題(本大題共6小題，共85分)

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角。以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)(-1,-2).

(1)求tan。，tan28的值；

(2)求sin。,cos。,cos［夕+；］的值.

17.已知平面向量原B,同=2,網(wǎng)=3,1與B的夾角為60°，

(1)求嚴(yán),廬,展幾

(2)求(21—B>(M+3B)的值：

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，前―B與)+3力垂直.

18.已知函數(shù)/(x)=sin2x+cos2x.

(1)求/(0)；

(2)求函數(shù)/(X)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；

(3)求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

3/22

19.在△48。中，a=7,b=8,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

(1)求//；

(2)求“5。的面積.

條件①：c=3；條件②：cos5=--.

7

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

20.已知函數(shù)/(x)=2cos2_x+cos2x-y^-l.

(1)求的值;

(2)求函數(shù)的在［0,可上單調(diào)遞減區(qū)間；

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,〃?］上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求加的取值范圍.

7T

21.某地進(jìn)行老舊小區(qū)改造，有半徑為60米，圓心角為一的一塊扇形空置地(如圖)，現(xiàn)欲從中規(guī)劃出一

3

塊三角形綠地尸。及，其中尸在前上，PQ1AB,垂足為。，PRVAC,垂足為R,設(shè)

(1)求尸。，PR(用=表示)；

(2)當(dāng)尸在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，這塊三角形綠地的最大面積，以及取到最大面積時(shí)a的值.

4/22

期中考試試卷答案

一、選擇題(本大題共10小題，每小題4分，共40分)

.1171

sin----

1.3的值為()

A退口A/2rV2

222

【答案】A

【解析】

【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.

、斗-11兀(.兀、.兀

【詳角牛】sm----=sm4ji——=-sm—=-------.

3L3J32

故選：A

2.下列函數(shù)中，最小正周期為久且是偶函數(shù)的是()

A.j=smIx+—IB,y=tanx

C.y=cos2xD.y=sin2x

【答案】C

【解析】

【分析】由三角函數(shù)的最小正周期公式和函數(shù)奇偶性對(duì)選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.

【詳解】對(duì)于A,y=sin[x+2]的最小正周期為：7=a=2兀，故A不正確；

\4y1

7T

對(duì)于B,y=tanx的最小正周期為：T=—=TI,

y=tanx的定義域?yàn)椋?,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令/(x)=tanx,

JM/(-x)=tan(—x)=-tanx=—/(x),所以y=tanx為奇函數(shù)，故B不正確;

9JT

對(duì)于C,y=cos2x的最小正周期為：T=—=it,

令g(x)=cos2x的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

則8（—1）=?。5（—2彳）=<!。52彳=8（%）,所以y=cos2x為偶函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,y=sin2x的最小正周期為：7=寧=兀，

y=sin2x的定義域?yàn)镽,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，令〃（x）=sin2x,

貝i]/z（-x）=sin（—2x）=—sin2x=—/z（x）,所以y=sin2x為奇函數(shù)，故D不正確.

故選：C.

3.設(shè)向量H=（3,4）,3=（-1,2）,則cos叩為=（）

A.一垣B,運(yùn)C.--D.—

5555

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用向量夾角的坐標(biāo)表示求解即得.

,a,b3x（-l）+4x2V5

【詳解】向量1=3,4,b=-1,2,則cos〈a,向二:/，/，，=三?

⑷也V32+42X7（-1）2+225

故選：D

4.在AABC中，已知cos/=工，a=2也,6=3,貝ijc=（）

3

A.1B.V3C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】直接利用余弦定理求解即可

【詳解】因?yàn)樵赹ABC中，cos/=L,a=26,6=3,

3

所以由余弦定理得/=/+。2-26ccos/,

,1

12=9+C2-6X-C,得。2-2c-3=0,

解得c=3,或c=—1（舍去），

故選：D

5.函數(shù)/(x)=4sin(0x+e)(其中/>0,eo>0,0<。<%)的圖像的一部分如圖所示，則此函數(shù)的

B./(x)=3sinf^x+^

A./(x)=3sinl—x+—

D./(x)=3sinf+

C./(x)=3sin^—x+—

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圖象可以求出最大值，結(jié)合函數(shù)的零點(diǎn)，根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式，結(jié)合特殊值法

進(jìn)行求解即可.

【詳解】由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最大值為3,所以/=3,

由函數(shù)圖象可知函數(shù)的最小正周期為4x(6-2)=16,

因?yàn)椤?gt;0,所以4x(6—2)=16=——,TT=><?=T—T,所以/(x)=3sinI]T—CX+。

co818

由圖象可知：

7T\717171

——卜(P=3n——&(p=2k7i+—伏=(p=2k兀+——也eZ),

[4J424

因?yàn)?<(p<兀，

(

所以令人=0,所以夕=-]1T,因此/(x)=3s7i1n7[1\,

故選：C

6.函數(shù)/(乃=5皿2%+七71,了曰0,71勺的最大值和最小值分別為()

62

,1B.T

A.1,---C.—1D.1,-1

22

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，求出相位的范圍，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得.

【詳解】由X￡[0,—],得2xHG[—,],則當(dāng)2%+/=彳，即％=—時(shí)，/(X)max=1，

2666626

當(dāng)2%+乙=",即x=g時(shí)，/(、)=一▲,

6627min2

所以所求最大值、最小值分別為1,-工.

2

故選：A

7.已知向量方,3忑在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示.若網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,貝！J(5+B)Y=()

；1--I---r--1--r

1--------1----------r

A.2B.-2C.1D.-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)給定信息，利用向量數(shù)量的運(yùn)算律，結(jié)合數(shù)量積的定義計(jì)算得解.

【詳解】依題意，向=0,|1|=2,向=2,白石〉=巴石，」,&工〉=電,

44

因此展,=|51|c|cos曰=V2x2x(-^y-)=—2，"乙=0，

所以(1+3)1=@七+3七=一2.

故選：B

8.在中，已知acos5+bcosZ=2ccos/,貝!!/=()

6432

【答案】c

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再逆用和角的正弦求出即得.

【詳解】在AASC中，由acos5+6cos/=2ccos/及正弦定理，得

sin/cos5+sin5cos/=2sinCcos/，

則sin(4+5)=2sinCcos4,即sinC=2sinCcos/,而sinC>0,

因此cos/=L,而0</<兀，

2

所以/=?

故選：C

/7C171

9.已知函數(shù)/(x)=2sin5+§(。>0),貝臚/⑴在0,-上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“0>1

的()

A,充分不必要條件B,必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】

兀1

【分析】以&X+—為整體結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可得&>—,進(jìn)而根據(jù)充分、必要條件分析判斷.

32

7T7CJL7T7T

【詳解】因?yàn)?,—且外〉0,貝!+—69+--,

33333

jr

若/(X)在0,y上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù),

則一G)H---->一，解得G)>一,

3322

又因?yàn)?1,+8)p+oo\

JT

所以“/(X)在Q,-上既不是增函數(shù)也不是減函數(shù)”是“0>1”的必要不充分條件.

故選：B.

10.如圖，正方形48co的邊長為2,P為正方形48CD四條邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則方.麗的取值范圍是

()

A.[-U]B.[0,2]C.[0,4]D.[-1,4]

【答案】D

【解析】

【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，分點(diǎn)P在CD上，點(diǎn)P在BC上，點(diǎn)P在AB上，點(diǎn)P在AD上，利用數(shù)

量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

【詳解】解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

則/(0,2),5(2,2),

當(dāng)點(diǎn)P在CD上時(shí)，設(shè)。(x,0)(0<X<2),

則亥=(x,-2),~PB=(x—2,-2),

所以而?礪=x(x—2)+4=(x-1)2+3e[3,4]；

當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)，設(shè)〃(2,y)(0<y<2),

則月=(2,y-2),瓦=(O,y-2),

所以忌.礪=(y_2『e[0,4]；

當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)，設(shè)。(x,2)(0<x<2),

則月=(羽0),行=(x—2,0),

所以忌.麗=x(x—2)=(x—1丁—1e[-1,0]；

當(dāng)點(diǎn)P在AD上時(shí)，設(shè)〃(0/)(0…2),

則⑸=(0,y-2),PB=(-2,y-2),

所以總.麗=(y_2)2e[0,4]；

綜上：沙.而的取值范圍是[7,4].

故選：D

二、填空題(本大題共5小題，每小題5分，共25分)

II.已知圓的半徑為2,則60。的圓心角的弧度數(shù)為;所對(duì)的弧長為

【答案】①.-##-71②.-##-71

3333

【解析】

【分析】利用度與弧度的互化關(guān)系，弧長計(jì)算公式求解即可.

TTTTTT/.TT.

【詳解】60。的圓心角的弧度數(shù)為60x——=-；所對(duì)的弧長為2x—=.

180333

,,,兀2兀

故答案?為：一；—

33

12.已知向量5=(-2,3),3=億一6).若萬〃石，則向=,x=

【答案】①.而②.4

【解析】

【分析】利用坐標(biāo)法求出向量的模，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求出X.

【詳解】因?yàn)橄蛄恐?(一2,3),所以同=62)7幣=而，

又B=(%,-6)且allb,

所以3x=—2x(—6),解得工=4.

故答案為：V13;4.

13.若函數(shù)/(x)=Zsinx—gcosx的一個(gè)零點(diǎn)為]，則4=；將函數(shù)/⑴的圖象向左至少平

移個(gè)單位，得到函數(shù)y=2sinx的圖象.

7T]

【答案】①.1②.一##—71

33

【解析】

【分析】利用零點(diǎn)的意義求出A；利用輔助角公式化簡函數(shù)/(、)，再借助平移變換求解即得.

【詳解】函數(shù)/(x)=Zsiiu—Gcosx的一個(gè)零點(diǎn)為1,得Zsin；—K(:(與三二0,解得4=1；

則f(x)=_A/3COSX=2sin(x-y),顯然/(x+1)=2sin[(x+m)—]]=2siiix,

7T

所以/(%)的圖象向左至少平移一個(gè)單位，得到函數(shù)歹=2sinx的圖象.

3

7T

故答案為：1;—

3

14.設(shè)平面向量原為非零向量，且7=(1,0).能夠說明“若限3=2工，則]=丁’是假命題的一組向量

b,c的坐標(biāo)依次為.

【答案】(0,1),(0,-1)(答案不唯一)

【解析】

【分析】令向量與向量1都垂直，且305即可得解.

【詳解】令B=(0,l),c=(0,—1),顯然。B=o=n,而

因此B=(0,1),c=(0,-1)能說明“若a-b-a-c'則石=己”是假命題，

所以向量6忑的坐標(biāo)依次為（O，D，（O，T）.

故答案為:（0,1）,（0,-1）

15.已知函數(shù)/（X）=—CO—S7TY,給出下列四個(gè)結(jié)論:

X+1

①函數(shù)/（X）是奇函數(shù)；

②函數(shù)/（X）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)；

③函數(shù)/（X）的最大值為1；

④函數(shù)/（X）沒有最小值.

其中，所有正確結(jié)論的序號(hào)為.

【答案】②③

【解析】

【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義判斷①，令/（x）=o求出函數(shù)的零點(diǎn)，即可判斷②，求出函數(shù)的最大值即可

判斷③，根據(jù)函數(shù)值的特征判斷④.

【詳解】函數(shù)/卜）=笠絲的定義域?yàn)镽,

JC+1

又〃-加警巖=若=小），所以/（x）=等為偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤;

（-x）-+lX-+1八）x2+l

Ar,、COS7tX八77r,7.11/7

令J\x）-------=0=>COS兀X=0=>TTX=E+—（kGZ）nX=4+—（左GZ）,

x+122

所以函數(shù)/（x）有無數(shù)個(gè)零點(diǎn)，故②正確；

因?yàn)閨c0S7Ct|<l,當(dāng)7IX=左兀（EeZ）,即x=左（左eZ）時(shí)取等號(hào)，

又因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，所以有當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，

X+1

所以有當(dāng)可<1,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)取等號(hào)，因此有/（x）=冷上<1,即1mx=/（0）=1,故③

X+1X+1

正確；

因?yàn)?（%）=字少為偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于了軸對(duì)稱，只需研究函數(shù)在（0,+8）上的情況即可,

X+1

當(dāng)x-母時(shí)，---->0,又—IWcOSTlxWl,所以當(dāng)時(shí)/(x)-o,

X+1

又/(4x=/(0)=l，

當(dāng)0<%<；時(shí)COS71X>0,X2+1>0，所以/(x)>0，

13

當(dāng)3<X<5時(shí)一1WCOS7LX<0，X2+1>0，所以/(%)<0,

當(dāng)x〉l時(shí)/+1〉2，0<|cOS7lx|<l,所以

1(1A/3、

又〃1)=——,f-=0,f-=0,且/(%)為連續(xù)函數(shù)，所以/(X)存在最小值,

2V2JV2J

事實(shí)上/（X）的圖象如下所示：由圖可知/（X）存在最小值，故④錯(cuò)誤.

三、解答題（本大題共6小題，共85分）

16.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角夕以O(shè)x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1,-2）.

（1）求tan。，tan28的值；

（2）求sin。,cos。,cos[6+；]的值.

4

【答案】（1）tan6=2,tan20=一一

3

X.Q—2yJ'5Q—yj-5（AI叫—

（2）sin-----，cos，cos

0—50=----5--I”H—4j=---1--0--

【解析】

【分析】（1）由三角函數(shù)的定義求出tan。，再由二倍角正切公式求出tan26；

（2）由三角函數(shù)的定義求出sin。，cos。，再由兩角和的余弦公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

因?yàn)榻?以6:為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1,-2）,

所以tan。=二=2,2tan6_2x24

則tan20-2

-11-tan201-23

【小問2詳解】

因?yàn)榻?以。x為始邊，終邊經(jīng)過點(diǎn)（-1,-2）,

所以si"=I,、//<-V5

J(T)+(-2)J(-1)+(-2『

’71、7171

所以cos。+—=cos8cos——sinsin—

444

-V5V21-2君)V25

=---------X--------------------------X-------=----------

5215J210

17.已知平面向量扇B,同=2,刊=3,1與B的夾角為60°，

（1）求筋,『，晨B；

（2）求（21—B）?伍+3B）的值：

（3）當(dāng)X為何值時(shí),切一分與打3力垂直.

【答案】（1）4,9,3；

（2）-4；

【解析】

【分析】（1）利用數(shù)量積的定義計(jì)算即得.

（2）利用數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即得.

（3）利用垂直關(guān)系的向量表示，數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.

【小問1詳解】

向量扇同=2，W=3,2與$的夾角為60°，

22

所以不=|5|=4,F=|6|=9,3.&=|5P|COS600=3.

【小問2詳解】

依題意，(25—3).(5+33)=2不—3^2+55.3=2x22—3x32+5x3=—4.

【小問3詳解】

30

由(xM—B)?(萬+3B)=0，xa2-3b7+(3x-1)5-5=4x-27+3(3x-1)=13x-30=0,解得X=R,

30_r,

所以當(dāng)x=w時(shí),xI-B與a+3b垂直.

18.已知函數(shù)/(x)=sin2x+cos2x.

(1)求/(0)；

(2)求函數(shù)/(x)的最小正周期及對(duì)稱軸方程；

(3)求函數(shù)7'(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.

7rK7T

【答案】(1)1；(2)兀，x=—I---，左eZ；

82

371,71,/,

(3)----Fku,—Fkjt(keZ).

L88T)

【解析】

【分析】(1)代入計(jì)算求出函數(shù)值.

(2)(3)利用輔助角公式化簡函數(shù)/(X),再結(jié)合正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解即得.

【小問1詳解】

函數(shù)f(x)=sin2x+cos2x,所以f(0)=sinO+cosO=1.

【小問2詳解】

函數(shù)/(x)=J5sin(2x+：),所以函數(shù)/(x)的最小正周期7=笄=兀；

.兀兀77rA兀kjl.r

由2xH--=---左兀,左￡Z,角牛傳X----1---，左￡Z,

4282

JTKir

所以函數(shù)/(X)圖象的對(duì)稱軸方程為x=—+—,keZ.

82

【小問3詳解】

JIJIJIJJIJI

由---F2kn<2x+—<—+2ATI,keZ,得-----\-kK<x<—+kn,keZ

242889

47rir

所以函數(shù)〃x）的單調(diào)遞增區(qū)間是—丁+配石+析（keZ）.

88

19.在△48。中，°=7,6=8,再從條件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知.

（1）求//；

（2）求“5。的面積.

條件①：c=3；條件②：cosS=--.

7

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

7F

【答案】（1）選①②答案相同，ZA=—；

3

（2）選①②答案相同，"5。的面積為6百.

【解析】

【分析】（1）選①，用余弦定理得到cos/,從而得到答案；選②：先用余弦定理求出c=3,再用余弦定

理求出cosZ,得到答案；（2）選①，先求出Sin^=->使用面積公式即可；選②：先用sinC=sin（/+B）

2

求出sin。，再使用面積公式即可.

【小問1詳解】

選條件①：c=3.

在△45。中，因?yàn)閝=7,b=8,。=3,

由余弦定理，得cos4=3^——64+9-49_1

2bc2x8x3~2

因?yàn)?e（O,兀）,

71

所以//=—;

3

選條件②：cosB--

7

/+「2—*49+r2-641

由余弦定理得：cos5=巴士~~~—解得：。=3或—5(舍去)由余弦定理，得

2ac14c7

,b2+c2-a264+9-491

cosA=-----------=----------=—.

2bc2x8x32

因?yàn)镹e(O,兀)，

TT

所以乙4二一;

3

【小問2詳解】

選條件①：c=3

由(1)可得sinA=.

2

所以A/15C的面積S=—bcsin=—x8x3x^-=6y/3.

222

選條件②：cosB=--.

7

由(1)可得cos/=4.

2

因?yàn)閟inC=sinfn-(A+B)]

=sin(4+B)

=sinAcosB+cosAsinB

_3V3

-----,

14

所以^ABC的面積S=—absinC=—x7義8義=6^3

2214

20.已知函數(shù)/(x)=2cos2x+cosf2x-y1-1.

(1)求/(e)的值;

(2)求函數(shù)/(x)的在［0,可上單調(diào)遞減區(qū)間;

(3)若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,"?］上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求加的取值范圍.

3

【答案】(1)-

2

兀7兀

(2)

12?12

5兀4兀

(3)

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再代入計(jì)算可得;

TTTTTTjJT

(2)由'的取值范圍求出2x+一的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到一《2x+—?——，解得即可;

3232

7T

(3)由x的取值范圍求出2x+—的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)得到不等式組，解得即可.

3

【小問1詳解】

因?yàn)?(X)=2COS2X+CO