二次函數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問(wèn)題-2025年

中考數(shù)學(xué)押題

二次期數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問(wèn)題

目錄

解密中考.....................................................................................1

題型特訓(xùn)提分................................................................................2

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問(wèn)題..................................................2

【題型二】利用二次函數(shù)求線段和/差最值的問(wèn)題............................................7

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問(wèn)題.................................................12

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問(wèn)題......................................................16

【題型五】利用二次函數(shù)求特殊三角形的問(wèn)題...............................................21

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問(wèn)題...............................................24

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問(wèn)題...............................................28

解密中考

考情分析:二次函數(shù)和幾何圖形綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考

生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)占比約15%—20%,高頻考解析式、圖像性質(zhì)、最值；幾何圖形占比25%-30%,H

角形全等/相似、圓性質(zhì)、坐標(biāo)系幾何?？?壓軸題多綜合考查。

2.從題型角度看，二次函數(shù)多為應(yīng)用題、圖像分析題、與幾何結(jié)合的綜合題;幾何圖形以證明題、計(jì)算題、動(dòng)

點(diǎn)探究題為主，常與函數(shù)、方程結(jié)合命題。

備考策略:在中考數(shù)學(xué)備考中，牢記公式定理,多練函數(shù)與幾何綜合題，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論思想;針對(duì)動(dòng)

點(diǎn)、存在性問(wèn)題專項(xiàng)突破,分析真題總結(jié)解題模型,強(qiáng)化計(jì)算與邏輯推理能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問(wèn)題

1.（2025?云南楚雄?一模）如圖，已知拋物線Z/：g="+館力與直線l:y=—x+b相交于點(diǎn)4（2,0）和點(diǎn)B.

（1）求7n和b的值.

（2）若直線力=。與線段A8交于點(diǎn)P,與拋物線交于點(diǎn)Q,求P。兩點(diǎn)間距離的最大值.

1.設(shè)變量:設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為自變量（如X）,目標(biāo)線段端點(diǎn)用含，的式子表示。

2.建模型:用距離公式或幾何關(guān)系寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的二次函數(shù)表達(dá)式（如沙=ad+瓦+c）。

3.求最值:通過(guò)配方法或頂點(diǎn)公式（-上，華立）求極值，注意自變量取值范圍（如線段端點(diǎn)限制）。

2a4a

4.驗(yàn)實(shí)際:結(jié)合幾何意義驗(yàn)證最值是否符合題意，避免舍入誤差。

________P

2.（2025?江蘇鹽城?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=〃-2;z:-3與c軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)與g軸交于

點(diǎn)。，頂點(diǎn)為O.

（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出入、口、。三點(diǎn)坐標(biāo).

⑵如圖1,點(diǎn)河是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作立軸的垂線，交直線于點(diǎn)N,求線段MN長(zhǎng)

度的最大值；

（3）如圖2,若點(diǎn)P在拋物線上且滿足APCB=/CfiD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

3.（2025?安徽淮北?一模）如圖,拋物線y=arz：2+bcc+c與宓軸交于4B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)/的坐

標(biāo)為（1,0）,直線BC的解析式為9=—c+3.

⑴求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)M是拋物線上位于直線下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN±x軸交于點(diǎn)N,計(jì)算線段MN

的最大值；

（3）若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則是否存在點(diǎn)P,使NE4B=NACB.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)尸的坐標(biāo).

4.(2025?甘肅隴南?模擬預(yù)測(cè))如圖，拋物線y=-x2+bx+3^x軸交于點(diǎn)/(T,0)和點(diǎn)8,與沙軸交于點(diǎn)

C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,對(duì)稱軸與非軸交于點(diǎn)Q.

(1)求拋物線的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)。關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)C的坐標(biāo);

⑵點(diǎn)河是線段AC上的一個(gè)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)M作立軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)N.

①若點(diǎn)M在對(duì)稱軸上,判斷此時(shí)點(diǎn)M是否為線段PQ的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)線段MN最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)雙的坐標(biāo).

5.(2025?四川綿陽(yáng)?一模)如圖，直線4=一2+3與宏軸交于點(diǎn)與夕軸交于點(diǎn)8,拋物線u=at2+2ic+c

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,8,與力軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。，連接BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①，及■是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接

若ZAMB=2ZACB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

(3)如圖②，P是直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃口。，交AB于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值

及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【題型二】利用二次函數(shù)求線段和/差最值的問(wèn)題

6.（2025?甘肅張掖?一模）如圖⑥，拋物線夕=2；2+6力與力軸交于。、人兩點(diǎn)，與直線"=-x交于O、

5（5,-5）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)8作0軸的垂線，交沙軸于點(diǎn)C,點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā),沿線段BO方向勻速運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)到

點(diǎn)。時(shí)停止.

（1）求拋物線y=x2+bx的表達(dá)式：

（2）請(qǐng)?jiān)趫D⑥中過(guò)點(diǎn)P作PF,c軸于點(diǎn)尸，延長(zhǎng)FP交BC于點(diǎn)、E,當(dāng)PE=2P斤時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo)：

（3）如圖⑦，點(diǎn)P從點(diǎn)8開(kāi)始運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，以與點(diǎn)P相同的速度沿力軸正方向勻速運(yùn)

動(dòng)，點(diǎn)P停止運(yùn)動(dòng)時(shí)點(diǎn)Q也停止運(yùn)動(dòng),連接BQ,CP,求CP+的最小值.

線段和最值:利用軸對(duì)稱轉(zhuǎn)化（如“將軍飲馬”模型），設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，將線段和表示為二次函數(shù)，結(jié)合幾

何對(duì)稱找最小值,頂點(diǎn)處取最值需驗(yàn)證路徑共線。

線段差最值:三點(diǎn)共線時(shí)取極值（三角形不等式），建系后用坐標(biāo)差表示距離差,化為二次函數(shù)，注意

定義域，最大值在端點(diǎn)或頂點(diǎn)，需結(jié)合圖形判斷符號(hào)。

7.(2025?青海西寧?一模)已知,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=。/+就+3與c軸交于點(diǎn)8,。，與y軸

交于點(diǎn)4其中8(—3,0),。(1,0).

圖I

⑴求拋物線的函數(shù)表達(dá)式

(2)如圖1,連接AB,點(diǎn)P是直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作PKH夕軸交于點(diǎn)K,過(guò)點(diǎn)K作

KE，,軸，垂足為點(diǎn)?求PK+KE的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

__________________________

8.(2025?四川資陽(yáng)?一模)已知，拋物線,=<1"+辰+3與a;軸交于4(—1,0),8(3,0)兩點(diǎn)，與,軸交于C

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖，點(diǎn)。為拋物線上位于直線口。上方的一點(diǎn)，OE，于點(diǎn)E,。尸〃"軸交于點(diǎn)尸，當(dāng)

ADEF的周長(zhǎng)最大時(shí),求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)將拋物線y=a/+近+3沿,軸向下平移,得到的新拋物線與y軸交于點(diǎn)G,GP_Ly軸交新拋物線

于點(diǎn)P,射線PO與新拋物線的另一交點(diǎn)為Q.當(dāng)PO=2OQ時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

9.（2025?湖南婁底?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線v=ac2+2;z：+3與①軸交于點(diǎn)A（—1,0）和點(diǎn)B,

與夕軸交于點(diǎn)C.

⑴求a的值；

（2）如圖，M是第一象限拋物線上的點(diǎn)，AMAB=AACO,求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）在直線上方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)E,作PF〃AB交BC于點(diǎn)F.

當(dāng)APEF的周長(zhǎng)有最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)和即的周長(zhǎng).

_____________________________

10.（2025?四川自貢?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線夕=（1尤2+就+。（*b,c為常數(shù)，a:0）

的圖象與c軸交于點(diǎn)A（l,0）,B兩點(diǎn),與夕軸交于點(diǎn)。（0,—3）,且拋物線的對(duì)稱軸為直線T=-1.

⑴求拋物線的解析式；

（2）在直線下方的拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作PAf,立軸，垂足為點(diǎn)交直線于點(diǎn)N,求

PN+V2CN的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖2,若拋物線沿射線AC方向平移乎個(gè)單位長(zhǎng)度得到拋物線9，點(diǎn)E為新拋物線u上一點(diǎn)，點(diǎn)

尸為原拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，?。?）中最大值時(shí)點(diǎn)P,是否存在以點(diǎn)B、P、E、F構(gòu)成的平行四邊形？若

存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問(wèn)題

11.（2025?甘肅隴南?一模）如圖，二次函數(shù)u=（c+2）2—1的圖象與夕軸交于點(diǎn)A,與軸交于點(diǎn)B,c

⑴求點(diǎn)4b。的坐標(biāo)，

（2）在拋物線上是否存在一點(diǎn)尸，使S&PAB=SAABO?若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存

在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

時(shí)30

i.設(shè)變量:選關(guān)鍵線段長(zhǎng)或坐標(biāo)為自變量c,用幾何關(guān)系表示相關(guān)邊長(zhǎng)或高。

2.列面積式:利用公式（如S=}*、矩形面積）寫(xiě)出S關(guān)于，的二次函數(shù)，注意圖形分割或坐標(biāo)法。

3.求最值:配方或頂點(diǎn)公式得極值，結(jié)合定義域（如線段范圍、圖形存在性）確定最值位置,端點(diǎn)值需驗(yàn)算。

4.幾何驗(yàn)證:確保函數(shù)模型符合圖形實(shí)際意義,避免虛構(gòu)解。

_________?

12.(2025?山西運(yùn)城?一模)綜合與實(shí)線

如圖,拋物線5=姐2+22+。與2軸的交點(diǎn)分別為4—1,0),8(3,0),與4軸交于點(diǎn)C,連接8ap為線

段8C上方的拋物線上的一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線y=ax2+2x+c的解析式.

⑵如圖1,過(guò)點(diǎn)P作PQ，力軸交直線于點(diǎn)Q.當(dāng)PQ=CQ時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)如圖2,連接在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P,使得四邊形ABPC的面積最大？若

存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及四邊形ABPC的面積;若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.（2025?安徽合肥?一模）如圖,拋物線y=ax2+bx+6^x軸交于點(diǎn)A,與,軸交于點(diǎn)C,OB=OC=

30A.

⑴求拋物線的對(duì)稱軸；

（2）點(diǎn)尸是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AP,CP,AP交"軸交于點(diǎn)。，作尸Q，刀軸于點(diǎn)Q.

①若點(diǎn)Q是03的中點(diǎn)，求△B4C的面積；

②若以點(diǎn)C,D,P,Q為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，求山的值.

________0

14.（2025?福建泉州?一模）如圖1,拋物線y=—d+2/+3與c軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P在力軸

上方的拋物線上.

⑴求直線的解析式；

（2）求以A,B,P,。為頂點(diǎn)的四邊形面積的最大值；

⑶如圖2,若直線E4與直線相交于點(diǎn)且器=],求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問(wèn)題

15.（2025?山東濟(jì)南?一模）拋物線y=a/—2,+c與力軸分別交于A（-l.O）,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,

與"軸交于點(diǎn)。（0,—3）,。是拋物線的頂點(diǎn).

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式及頂點(diǎn)。的坐標(biāo).

⑵如圖1,線段及7下方拋物線上是否存在一點(diǎn)E,使SABCE=:S四邊形ABB，若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；

O

若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

⑶如圖2,P是拋物線第二象限上的點(diǎn)，連接PB,BD.當(dāng)APBA=2ACBD時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

1.設(shè)坐標(biāo):設(shè)所求點(diǎn)坐標(biāo)為ax2+bx+c）,代入二次函數(shù)解析式。

2.轉(zhuǎn)角度條件:用正切函數(shù)、斜率或向量表示角度關(guān)系（如tanO=）,建立方程。

3.聯(lián)立求解:結(jié)合幾何圖形性質(zhì)（如直角、等腰三角形）列方程，化簡(jiǎn)為二次方程求，，注意判別式△>00

4.驗(yàn)圖形意義:代入驗(yàn)證角度是否符合題意，舍去不合理解（如坐標(biāo)超出圖形范圍）。

________0

16.(2025?黑龍江大慶?一模)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-l,0),B(2,0),

交y軸于點(diǎn)0(0,2),M(m,0)為①軸上一動(dòng)點(diǎn)，連接CM.

⑴求拋物線的表達(dá)式；

⑵當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，連接AC,8C,過(guò)點(diǎn)M作MD〃8C交直線AC于點(diǎn)。.

①直接寫(xiě)出4MCD面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)雙的坐標(biāo)；

②在①的條件下，將該拋物線沿射線方向平移V2個(gè)單位長(zhǎng)度，P是平移后的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接

CP,若4PCM=45°,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)將線段OC繞點(diǎn)又順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段O'C，若線段O'C與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，直接寫(xiě)出

m的取值范圍.

17,(2025?陜西西安?二模)如圖，拋物線夕=[*/+近一4與工軸交于4。兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)。的右側(cè))，與沙

O

軸交于點(diǎn)B,且04=OR

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在拋物線上，當(dāng)/-PBA+ACBO=45°時(shí),求點(diǎn)P的橫坐標(biāo).

_______________________________E

18.（2025?廣東中山?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線"=a"+比+2與2軸交于A（*,0）、B（6,0）兩點(diǎn),

（2）點(diǎn)P是立軸上一點(diǎn)，若ABCP是等腰三角形,直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）如圖（2）,點(diǎn)D是直線8。下方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過(guò)點(diǎn)。作。E，于點(diǎn)瓦問(wèn)：是否存在點(diǎn)

使得NCDE=2/ABC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)。的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.（2025?江蘇鹽城?一模）如圖，拋物線y=ax2+bx+c^x軸交于48兩點(diǎn)，與4軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

（2）E是該拋物線上一點(diǎn).

①連接OE,若4EDA=/.DAB,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②在第三象限內(nèi)拋物線上找點(diǎn)E,使/OCE=/O/D,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

【題型五】利用二次函數(shù)求特殊三角形的問(wèn)題

20.（2025?天津紅橋?一模）已知拋物線夕=—〃+be+c（b,c為常數(shù)）與宓軸相交于A（—1,0）,B（3,0）兩點(diǎn),

與"軸相交于點(diǎn)C.

（1）求該拋物線的解析式；

（2）若尸是該拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn).

①當(dāng)點(diǎn)P在第一象限，且△尸是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

②當(dāng)ZBPC=45°時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).

TO

1.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)二次函數(shù)上點(diǎn)為Q,ax1+bx+c）,結(jié)合特殊三角形（等腰、直角等）性質(zhì)。

2.轉(zhuǎn)幾何條件:等腰:用距離公式列兩邊相等方程；

直角：勾股定理或斜率乘積為-1；

等邊:邊相等+60°角（用向量或三角函數(shù)）。

3.聯(lián)立求解:化簡(jiǎn)得二次方程，用判別式驗(yàn)根，分類討論頂點(diǎn)位置（如等腰頂角頂點(diǎn)）。

4.驗(yàn)圖形合理性:舍去坐標(biāo)不符或構(gòu)不成三角形的解。

21.(2025?安徽淮南?二模)如圖，拋物線y=—f-T2-^-cx+c(c>0).

oo

（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（3,—4）,求c的值；

（2）若該拋物線與T軸交于點(diǎn)A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)）,與y軸交于點(diǎn)C.

①若以點(diǎn)48,。為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求c的值；

②當(dāng)c=3時(shí)，若點(diǎn)（Tx+i./i+i）是該拋物線位于比軸上方的一點(diǎn)，且g=1—2力,求％的最大值.

22.（2025?湖南郴州?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線夕=—d+尻+c與t軸交于/，口兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,

對(duì)稱軸為直線2=1.點(diǎn)加是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)它的橫坐標(biāo)為?。?＜?。?）.過(guò)點(diǎn)用作的V，

c軸，與交于點(diǎn)N,連接CM,BM.

（2）求線段AW的最大值；

（3）是否存在以CN為腰的等腰三角形CMN?若存在，求出山的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問(wèn)題

23.（2025?陜西咸陽(yáng)?一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+bc+c與力軸交于A（—1,0），

8（3,0）兩點(diǎn)，與0軸交于點(diǎn)0（0,-3）.

（1）求該拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）若點(diǎn)歹為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E為直線沙=比上一點(diǎn)，當(dāng)以4,8,E,尸為頂點(diǎn)的四邊形是以為邊的

平行四邊形時(shí)，求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

1.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)：設(shè)二次函數(shù)上點(diǎn)為（。,ad+故+c）,結(jié)合特殊四邊形（平行四邊形、矩形等）性質(zhì)。

2.轉(zhuǎn)幾何條件:平行四邊形:對(duì)邊平行（斜率相等）且相等（距離公式）；

矩形:鄰邊垂直（斜率積-1）+對(duì)邊相等；

菱形:四邊相等或?qū)蔷€垂直。

3.聯(lián)立方程：按條件列方程求解，用判別式驗(yàn)根,分類討論頂點(diǎn)順序。

4.驗(yàn)圖形存在性:舍去坐標(biāo)不符或四邊形退化的解。

24.（24—25九年級(jí)上?廣東湛江?階段練習(xí)）如圖，二次函數(shù)y=d+辰+。的圖象交工軸于點(diǎn)4（—3,0）,8

（2）若點(diǎn)P在線段AO上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)/、點(diǎn)O不重合），求四邊形面積的最大值,并求出此時(shí)

點(diǎn)N的坐標(biāo).

（3）點(diǎn)D為拋物線的頂點(diǎn)，點(diǎn)、E是g軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸是坐標(biāo)平面內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E、F,使

以4、0、E、斤為頂點(diǎn)的四邊形是菱形？若存在,請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)，若不存在,請(qǐng)

說(shuō)明理由.

25.(2025?陜西西安?二模)已知拋物線L1y=x2+bx+c^.x軸于點(diǎn)A(-3,0),交y軸于點(diǎn)C(0,-6),連接

AC,將拋物線L］平移后得到拋物線〃，且點(diǎn)入對(duì)應(yīng)點(diǎn)及

(1)求拋物線心的表達(dá)式.

(2)在y軸上是否存在一點(diǎn)河，使得以點(diǎn)4為頂點(diǎn)的四邊形為矩形？若存在，求點(diǎn)河，E的坐

標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

顏

26.(2025?湖南長(zhǎng)沙?模擬預(yù)測(cè))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)“=^-x2+bx+c的圖象與re軸交于

點(diǎn)A,B(4,0)兩點(diǎn)，與“軸交于點(diǎn)C(0,-2).點(diǎn)雙在線段BC上，動(dòng)點(diǎn)D在直線8C下方的二次函數(shù)圖

象上.

(1)求二次函數(shù)的解析式；

⑵求相⑺面積的最大值；

(3)若點(diǎn)N是平面直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)，以C,D,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問(wèn)題

27.（2025?陜西西安?模擬預(yù)測(cè)）已知在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-yx2+就+c與比軸相交于點(diǎn)A,B,

與9軸相交于點(diǎn)。，直線0=c+4經(jīng)過(guò)A,C兩點(diǎn).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）動(dòng)點(diǎn)M■在直線4=宓+4上，且ZVIBC與△COM相似，求點(diǎn)的坐標(biāo).

巧

1.設(shè)點(diǎn)坐標(biāo):設(shè)二次函數(shù)上點(diǎn)為3,ax2+bx+c）,確定相似三角形對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)。

2.列比例式:利用相似比（如對(duì)應(yīng)邊成比例、對(duì)應(yīng)角相等）,結(jié)合距離公式或斜率表示邊長(zhǎng)/角度，建立

方程。

3.分類討論：按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)不同分情況,化簡(jiǎn)得二次方程，用判別式驗(yàn)根。

4.驗(yàn)相似性:代入坐標(biāo)驗(yàn)證對(duì)應(yīng)角相等且比例一致,舍去圖形矛盾的解。

28.（2025?湖南湘潭?模擬預(yù)測(cè)）如圖1,直線V=—①―3與］、g軸分別相交于4B兩點(diǎn)，拋物線y=a/—

+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,與①軸交于D、E兩點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E左側(cè)）,且頂點(diǎn)C（l,m）也在直線AB1.,P為拋

物線上第四象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)且不與點(diǎn)C重合.

⑵如圖2,連接BD、8E,直線OP與跳;相交于點(diǎn)F,若以E、O、斤為頂點(diǎn)的三角形與4ABD相似,請(qǐng)

求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（3）如圖3,點(diǎn)Q也為拋物線一動(dòng)點(diǎn),連接PQ交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)M.若CP，CQ,點(diǎn)河是否是一定

點(diǎn)？若是，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)河坐標(biāo);若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

29.(2025?陜西商洛?一模)如圖，已知拋物線L-.y=ax2-2x+c^x軸交于點(diǎn)71(-3,0)和點(diǎn)與y軸交于

點(diǎn)。(0,3).

(1)求拋物線乙的函數(shù)表達(dá)式；

(2)拋物線L關(guān)于夕軸對(duì)稱得到拋物線，，點(diǎn)4的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A',P為拋物線L'上一點(diǎn)且在x軸上方,過(guò)點(diǎn)

P作尸。立軸于點(diǎn)。，連接PA,BC.當(dāng)APDA'和△BOC相似時(shí),求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

30.(2025?陜西西安?三模)如圖，已知拋物線夕="+就+。的圖象與比軸交于A和3(—3,0)兩點(diǎn)，與沙軸交

于0(0,—3)，直線y=x+m經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與y軸交于點(diǎn)。，與拋物線交于點(diǎn)E,與對(duì)稱軸交于點(diǎn)F.

(1)求拋物線的解析式和m的值；

(2)在y軸上是否存在點(diǎn)P,使得以。、E、P為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo);

若不存在,試說(shuō)明理由.

二次期數(shù)中求線段，線段和，面積等最值問(wèn)題

目錄

解密中考.....................................................................................1

題型特訓(xùn)提分................................................................................2

【題型一】利用二次函數(shù)求畿段最值的問(wèn)題..................................................2

【題型二】利用二次函數(shù)求賽段和/差最值的問(wèn)題...........................................11

【題型三】利用二次函數(shù)求面積最值的問(wèn)題.................................................21

【題型四】利用二次函數(shù)求角度的問(wèn)題......................................................31

W型五】利用二次的數(shù)求精珠三角形的問(wèn)題...............................................44

【題型六】利用二次函數(shù)求特殊四邊形的問(wèn)題...............................................49

【題型七】利用二次函數(shù)求相似三角形的問(wèn)題...............................................57

解密中考

考情分析:二次函數(shù)和幾何圖形綜合題是全國(guó)中考的熱點(diǎn)內(nèi)容，更是全國(guó)中考的必考內(nèi)容。每年都有一些考

生因?yàn)橹R(shí)殘缺、基礎(chǔ)不牢、技能不熟、答欠規(guī)范等原因?qū)е率Х帧?/p>

1.從考點(diǎn)頻率看，二次函數(shù)占比約15%-20%，高頻考解析式、圖像性質(zhì)、最值；幾何圖形占比25%-30%,三

角形全等/相似、圓性質(zhì)、坐標(biāo)系幾何?？?壓軸題多綜合考查。

2.從題型角度看，二次函數(shù)多為應(yīng)用題、圖像分析題、與幾何結(jié)合的綜合題;幾何圖形以證明題、計(jì)算題、動(dòng)

點(diǎn)探究題為主，常與函數(shù)、方程結(jié)合命題。

備考策略:在中考數(shù)學(xué)備考中，牢記公式定理,多練函數(shù)與幾何綜合題，掌握數(shù)形結(jié)合、分類討論思想;針對(duì)動(dòng)

點(diǎn)、存在性問(wèn)題專項(xiàng)突破,分析真題總結(jié)解題模型,強(qiáng)化計(jì)算與邏輯推理能力。

題型特訓(xùn)提分

【題型一】利用二次函數(shù)求線段最值的問(wèn)題

1.（2025?云南楚雄?一模）如圖，已知拋物線Z/：g="+館力與直線l:y=—x+b相交于點(diǎn)4（2,0）和點(diǎn)B.

（1）求7n和b的值.

（2）若直線力=。與線段A8交于點(diǎn)F,與拋物線交于點(diǎn)。求P,。兩點(diǎn)間距離的最大值.

【答案】⑴7n=—2,b=2

⑵號(hào)

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長(zhǎng)問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）

【分析】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、線段最值問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是掌握

以上知識(shí)點(diǎn).

（1）用待定系數(shù)法即可求解；

（2）求出點(diǎn)P的坐標(biāo)為（Q,2-Q）和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（Q,Q2-2Q）,再得到PQ關(guān)于。的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的

性質(zhì)即可求解.

【詳解】（1）解導(dǎo)點(diǎn)A的坐標(biāo)代入拋物線表達(dá)式得：0=4+2m,

解得：m=—2,

將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入直線表達(dá)式得：0=—2+b,

解得b=2;

⑵解：由⑴得，直線和拋物線的表達(dá)式為：y=-x-\-2,y=x2—2x,

由題意得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（Q,2—Q）和點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（Q,Q2—2Q）,

PQ—2-d-（Q2_2d）-—o?+Q+2-—（a—）'+

V-l<0,

?,?當(dāng)a=]■時(shí)，PQ的最大值為.

1.設(shè)變量:設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為自變量（如力），目標(biāo)線段端點(diǎn)用含力的式子表示。

2.建模型:用距離公式或幾何關(guān)系寫(xiě)出線段長(zhǎng)度的二次函數(shù)表達(dá)式（如g=a爐+近+c）。

3.求最值:通過(guò)配方法或頂點(diǎn)公式（-g,4力―人）求極值，注意自變量取值范圍（如線段端點(diǎn)限制）。

2a4a

4.驗(yàn)實(shí)際:結(jié)合幾何意義驗(yàn)證最值是否符合題意,避免舍入誤差。

2.（2025?江蘇鹽城?一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線2s；—3與立軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)與“軸交于：

點(diǎn)C,頂點(diǎn)為D

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出4、8、。三點(diǎn)坐標(biāo).

(2)如圖1,點(diǎn)河是第四象限內(nèi)拋物線上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)河作c軸的垂線,交直線BC于點(diǎn)N,求線段MN長(zhǎng)

度的最大值；

⑶如圖2,若點(diǎn)P在拋物線上且滿足ZPCB=/CBD,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)點(diǎn)人的坐標(biāo)為(一1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,-4);

【知識(shí)點(diǎn)】線段周長(zhǎng)問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、角度問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、9=a"+帥+c的圖象與性質(zhì)

【分析】(1)由拋物線g=/一22—3,分別令9=0,c=0,則可確定拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù)頂點(diǎn)坐

標(biāo)可確定點(diǎn)。的坐標(biāo)；

(2)設(shè)ME_Lc軸于點(diǎn)E,設(shè)_2小-3),確定直線的解析式為？/=/一3,得到N(m,館一3),繼而

得至1MN=(m—3)—(m2—2m—3)(m-)+：，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；

(3)確定直線BD的解析式為"=22一6,然后分兩種情況進(jìn)行討論即可.

【詳解】(1)解：點(diǎn)力的坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,一4);理由如下：

1/在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=22—2a;—3與re軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與沙軸交于點(diǎn)C,

當(dāng)夕=0時(shí)，得療一22—3=0,

解得：x=—1或2=3,

當(dāng)①=0時(shí)，得y=—3,

.-.A(-l,0),B(3,0),C(0,-3),

1?拋物線夕="—2a；—3=(①一I)?—4,

A0(1,-4),

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(一1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0),點(diǎn)。的坐標(biāo)為(1,—4);

⑵解：設(shè)A/E_Lcc軸于點(diǎn)E,設(shè)河3),如圖1,

設(shè)直線的解析式為y=kBCx+gc，將點(diǎn)、B,點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得:

（3kBC-\-bBC=Q

也c=-3'

^BC~

解得:1

bpc=—3'

?,?直線BC的解析式為。=力一3,

???過(guò)點(diǎn)加作T軸的垂線,交直線BC于點(diǎn)、N,

3）,

3129

MN=(m—3)—(m2—2m—3)=—m2+3m=—加一了）+了，

V-l<0,

/.當(dāng)小=~1時(shí)，線段7WN的長(zhǎng)度取得最大值,此時(shí)最大值為

（3）解:設(shè)直線的解析式為“=kBDx+bBD，將點(diǎn)B,點(diǎn)。的坐標(biāo)代入得:

f3七0+bpD—0

\^BD^BD=-4，

km=2

解得:

%。二一6，

?,?直線BD的解析式為y=2x-6,

①如圖2,

圖2???APCB=ZCBD,

??.PC//BD,

設(shè)直線PC的解析式為g=21+如0,將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：bpc=-3,

???直線的解析式為g=2/一3,

y=2x—3

聯(lián)立

y=x2—2x—3’

解得：f=°q或FU，

叱-35=5

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5);

②如圖3,設(shè)CP交BD于點(diǎn)G,作射線OG交BC于點(diǎn)F,

圖3,：NPCB=4CBD,

:.GC=GB,

?.?B(3,0),C(0,-3),

OC—OB—3,

OG垂直平分BO,

.?.點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，

.?.點(diǎn)F的坐標(biāo)是(電工與3),即居,一年)，

設(shè)直線OG的解析式為y=k。/,過(guò)點(diǎn)F(1~,—,

直線OG的解析式為？/=一工,

,/直線OG:y——X與直線BD:g=26一6交于點(diǎn)G,

[n=-R

聯(lián)立

ly=2x—6

fx=2

解得:L=—2

???G(2,—2),

設(shè)直線CG的解析式為y=kCGx+bcG,將點(diǎn)、。，點(diǎn)G的坐標(biāo)代入得:

Jb°G=-3

[2fcCG+bCG=-2'

k°G=g

解得:

bcG=-3

二直線CG的解析式為y=一3,

y^^x-3

聯(lián)立

y=^—2x—3'

力=0

解得:y"

I'

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為

綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4,5)或,—1).

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法確定函數(shù)解析

式，平行線的判定，二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)，等角對(duì)等邊，中點(diǎn)坐標(biāo)，垂直平分線的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).

掌握二次函數(shù)的性質(zhì)、確定二次函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)的方法是解題的關(guān)鍵.

3.(2025?安徽淮北?一模)如圖，拋物線夕=a"+牧+c與①軸交于A,B兩點(diǎn)，與沙軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)A的坐

標(biāo)為(1,0),直線BC的解析式為y^-x+3.

⑴求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)M是拋物線上位于直線下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN±x軸交于點(diǎn)N,計(jì)算線段MN

的最大值；

(3)若點(diǎn)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn),則是否存在點(diǎn)P,使/弘6=/4。8.若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由；若存在，請(qǐng)

求出點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)9=爐-4rc+3;

(2)A4N的最大值為年；

⑶點(diǎn)P的坐標(biāo)為居，一,)或怎()，

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的相關(guān)計(jì)算、角度問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長(zhǎng)問(wèn)

題(二次函數(shù)綜合)

【分析】(1)先求得。(0,3),B(3,0),設(shè)拋物線的解析式為v=a(x—1)(/—3),利用用待定系數(shù)法求解即可；

⑵設(shè)M(m,m2-4m+3),N(m,-m+3),用m表示出兒GV,再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；

⑶連接AC,作AH，于點(diǎn)H,求得AABH是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)再求得tan/ACB=需

=叵1—J，設(shè)口小療―4九+3),作PK_L/軸于點(diǎn)K,由題意得到n—1=2|"-4九+3|,再分別求解即可.

2V22

【詳解】(1)解：對(duì)于直線g=—力+3,

令力=0,則g=3,令g=0,則6=3,

???0(0,3),8(3,0),

設(shè)拋物線的解析式為g=aQ-l)(/-3),

將0(0,3)代入得3=a(0-l)(0-3),

解得Q=1,

/.拋物線的解析式為y=(力一1)(力-3)=〃—4/+3;

(2)解：設(shè)Al(m,m?—4/71+3),N(m,—m+3)，其中0V?nV3,

MN——m+3—(m2—4m+3)——w?+3m

_(3f9

=-g一5)+-,

........……_____—0

v-l<0,

.?.當(dāng)小=暫時(shí)，AW有最大值，最大值為半

（3）解:連接AC,作4F/，BC于點(diǎn)女，

VC（O,3）,B（3,O）,

:.OB—OC—3,

4OBC=45°,AB=3-1=2,BC=V32+32=372,

/.△ABH是等腰直角三角形,

AH=BH=AB-sin45°=V2,

：.CH=BC-BH=20

???tan/月但器=會(huì)1

2

設(shè)「⑺,"一4九+3），作PK.L力軸于點(diǎn)K,

/.AK—n—1,PK—|n2—4n+3|,

???/PAB=/ACB,

PKi

???tanZR4K=笠二!，

??.AK=2PK,

n—1=2|n2—4n+3|,

當(dāng)ri—1=2（n2—4n+3）時(shí)，

整理得2"—9n+7=0,

解得n=1（舍去）或,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為（「號(hào)）;

當(dāng)n—1=—2（n2—4n+3）時(shí)，

整理得24—7n+5=0,

解得n=1（舍去）或九二~|~,

.?.點(diǎn)p的坐標(biāo)為（MT）；

綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為（卷,一/）或（-^,年）?

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)等知識(shí),

解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題.

4.（2025?甘肅隴南?模擬預(yù)測(cè)）如圖，拋物線y=-x2+近+3與t軸交于點(diǎn)4（—1,0）和點(diǎn)3,與4軸交于點(diǎn)

C,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P,對(duì)稱軸與力軸交于點(diǎn)Q.

y)

(1)求拋物線的表達(dá)式，并直接寫(xiě)出拋物線的對(duì)稱軸及點(diǎn)c關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)。的坐標(biāo)；

⑵點(diǎn)河是線段人。上的一個(gè)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)河作T軸的垂線,與拋物線交于點(diǎn)N.

①若點(diǎn)河在對(duì)稱軸上，判斷此時(shí)點(diǎn)河是否為線段PQ的中點(diǎn)，并說(shuō)明理由；

②當(dāng)線段MN最長(zhǎng)時(shí)，求點(diǎn)雙的坐標(biāo).

【答案】(l)y=—d+22+3,直線2=1,(2,3),

(2)①點(diǎn)Af是線段PQ的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解析;@(4-,y)

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、線段周長(zhǎng)問(wèn)題(二次函數(shù)綜合)、y=a±2++c的最值、坐標(biāo)與圖

形變化---軸對(duì)稱

【分析】本題考查二次函數(shù)綜合題、一次函數(shù)的應(yīng)用.

⑴將點(diǎn)A(—1,0)代入g=—〃+b力+3中，求出b的值,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)即可；

⑵①設(shè)直線47的表達(dá)式為g=+從而求出M的坐標(biāo)為(1,2),根據(jù)二次函數(shù)解析式，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)為(1,4),進(jìn)而判斷即可；

②將7WN的長(zhǎng)度表示出來(lái)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)解答即可；

【詳解】⑴解:將點(diǎn)A(—l,0)代入失=—d+版+3得,0=—1—6+3,

解得b—2,

y=—x2+21+3,

拋物線的對(duì)稱軸為直線7=---------=1,

2x(-1)

當(dāng)2=0時(shí)，夕=3,即(7(0,3),

?,?點(diǎn)。關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)Cf的坐標(biāo)為(2,3);

(2)解:①點(diǎn)河是線段PQ的中點(diǎn)，理由如下：

設(shè)直線ACr的表達(dá)式為y=kx-\-m,

將4T,0)0(2,3)代入得仁惠二

解得產(chǎn)

直線的表達(dá)式為9=C+：!,

當(dāng)t=1時(shí)，y=2,

此時(shí)點(diǎn)M■的坐標(biāo)為(1,2),

當(dāng)必=1時(shí)，？/=-12+2+3=4,即點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,4),Q(l,0),

.?.點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn)；

②設(shè)M(t,i+1),—?jiǎng)tN(力,一i2+2t+3),

???MN=-i?+1+2=-(t-y)2+J,

V-l<0,

_______0

當(dāng)力=十時(shí)，AW最長(zhǎng)，

將代入n=c+1,得沙="!■，即“（L）,

當(dāng)線段AW最長(zhǎng)時(shí)，點(diǎn)Af的坐標(biāo)為（上等）

5.（2025?四川綿陽(yáng)?一模）如圖，直線y=—力+3與多軸交于點(diǎn)4與0軸交于點(diǎn)8,拋物線y=aa?+2c+c

經(jīng)過(guò)點(diǎn)4B,與re軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)。，連接BC.

⑴求拋物線的解析式；

⑵如圖①，河是拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，連接AM,8河，

若AAMB=2ZACB，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（3）如圖②，P是直線AB上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PQ〃8C,交4B于點(diǎn)Q,求線段PQ的最大值

及此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo).

【答案】（1）拋物線的解析式為9=—d+22；+3

⑵點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,1）

（3）線段PQ的最大值為，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2,~~）

Iov247

【知識(shí)點(diǎn)】線段周長(zhǎng)問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）、角度問(wèn)題（二次函數(shù)綜合）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、解直角三

角形的相關(guān)計(jì)算

【分析】（1）先求出AB兩點(diǎn)的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求解即可；

⑵如圖，以M■為圓心，AM為半徑作圓，當(dāng)B點(diǎn)過(guò)?！吧蠒r(shí)，則4AMB=2ZACB,

得到AM=MB,求出拋物線的對(duì)稱軸為2=1,設(shè)MQ,m）,建立方程求解即可；

（3）先求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，證明△408是等腰直角三角形，延長(zhǎng)PQ交沙軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作沙軸的平行線交

于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)。作QG，于點(diǎn)G,解直角三角形求出PQ=乎,當(dāng)求最大值時(shí)，則PQ取得最

大值，求出直線AB的解析式為y=—x+3,設(shè)P（n,—痔+2九+3）,則H（n,—TI+3）,求出PH=—[n—~+

（■，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答.

【詳解】（1）解:將力=0代入g=—力+3,則y=3,

令y——X+3=0,解得：力=3,

.-.A（3,0）,B（0,3）,

把4、B的坐標(biāo)代入g=ax2+2力+c得：

t9a+2x3+c=0'解得：fc=3'

拋物線的解析式為：y=—x2+2rr+3;

(2)解:如圖，以M為圓心，為半徑作圓,

???AC兩點(diǎn)關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，即拋物線對(duì)稱軸垂直平分4C,

:,MA=MC,

當(dāng)石點(diǎn)過(guò)。M上時(shí)，則AAMB=2Z.ACB,

拋物線的對(duì)稱軸為力=----------=1,4(3,0),8(0,3),

2x(—1)

設(shè)M(1,7)2),

/.(1—3)2+m2=12+(772—3)2,

解得:俏=1,

???點(diǎn)河的坐標(biāo)為(1,1);

(3)解:令g=-x2+2力+3=0,則—X2+2%+3=0,

解得：力1=—1,%2=3,

C(—1,0),

???OC=1,

vA(3,0),B(0,3),

:.OB=OA=3,

???AAOB是等腰直角三角形，即AABO=45°,

延長(zhǎng)PQ交g軸于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)P作沙軸的平行線交AB于點(diǎn)過(guò)點(diǎn)Q作QGLPH于點(diǎn)G,

??,PQ"BC,PH〃y軸,

：.AQPH=ABFP,ABFP=AFBC,ZPHQ=AABO=45°,

???(QPH=Z.FBC,是等腰直角三角形，

__________—加

tan/QPH=等=tanZFBC=條=J,QG=HG,

JCrCJJDO

PG=3QG=3HG,

：.PH=PG+HG=4HG,

：.PQ=VQG2+PG2^VlOQG^VlOHG,

：.PQ=^~PH,

當(dāng)PH求最大值時(shí)，則PQ取得最大值，

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+3,

將？1(3,0)代入g=k/+3,則3k+3=0,解得:k=-1,

?,?直線AB的解析式為。=一力+3,

設(shè)P(n,—療+2n+3),則H(n,—n+3),

/.PH=—ri2+2n+3—(—n+3)=—n2+3n=—(n—-|-)+-|-,

V-l<0,

當(dāng)"="1時(shí)，PH有最大值.，

此時(shí),PQ=^x乎號(hào)+2x-+3=號(hào)，

線段PQ的最大值為9/^^，點(diǎn)P的坐標(biāo)為)?

【點(diǎn)睛】主要考查了用待定系數(shù)法二次函數(shù)的解析式和二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，圓周角定理，解直角三角形，