第2關(guān)代數(shù)式與整式

基礎(chǔ)練

考點(diǎn)1代數(shù)式

1.[2024四川廣安]下列對(duì)代數(shù)式-3x的意義表述正確的是（）

A.-3與x的和B.-3與x的差

C.-3與x的積D.-3與x的商

2.[2024新疆]若每個(gè)籃球30元，則購(gòu)買n個(gè)籃球需元.

3.[2024江蘇蘇州若a=b+2^1]（（6-a）2=

4.[2024江西]觀察a、，…根據(jù)這些式子的變化規(guī)律，可得第100個(gè)式子為.

5.[2024吉林長(zhǎng)春?jiǎn)雾?xiàng)式-2a2b的次數(shù)為、

6.[2024四川雅安]如圖是1個(gè)紙杯和若干個(gè)疊放在一起的紙杯的示意圖，在探究紙杯疊放在一起后的總高度H

與杯子數(shù)量n的變化規(guī)律的活動(dòng)中，我們可以獲得以下數(shù)據(jù)（字母）,請(qǐng)選用適當(dāng)?shù)淖帜副硎綡=.

①杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)；

②杯口直徑D；

③杯底直徑d；

④杯沿高a.

考點(diǎn)2整式及其運(yùn)算

7.[2024四川內(nèi)江]下列單項(xiàng)式中，ab3的同類項(xiàng)是()

A.3ab3B.2a2b3C.—a2b2D.a3b

8.[2024福建]下列運(yùn)算正確的是()

2Ai.CnL3.CnL3—_CLD.nCL4~nCL2_—nCL2

C.(a3)2=a5D.2a2—a2=2

9.[2024四川宜賓]下列計(jì)算正確的是()

A.a+a=a2B.5a-3a=2

C.3%?2%=6%2D.(—%)3+(—%)2=x

10.[2024江蘇蘇州]計(jì)算：％3.%2=_

11.[2024上海]計(jì)算：（4/）3=

12.[2024四川德陽(yáng)]若一個(gè)多項(xiàng)式加上.f+3xy-4,結(jié)果是3xy+2y2一5,則這個(gè)多項(xiàng)式為

考點(diǎn)3乘法公式

13.(2024四川成都］下列計(jì)算正確的是()

4(3x)2=3/B.3x+3y=6xy

C.(x+y)2=x2+y2D.(%+2)(%—2)=%2—4

14.［2024江蘇鹽城校級(jí)模擬］如果多項(xiàng)式4/-mx+9是一個(gè)完全平方式，則m的值是()

A.6B.12

C.12或-12D.72或-72

15.［2024山東淄博校級(jí)模擬］如果計(jì)算(x+my)(x+ny)時(shí)能使用平方差公式，則m,n應(yīng)滿足()

A.m,n同號(hào)B.m,n異號(hào)

C.m+n=0D.mn=l

16.［2024四川涼山州］已知a2-b2=12,且a-b=-2,則a+b=.

17.［2024四川樂(lè)山］已知a-b=3,ab=10,則a2+b2=.

18.(2024甘肅］先化簡(jiǎn)，再求值：［(2a+&)2-(2a+b)(2a-b)］+2b.其中a=2,b=-l.

考點(diǎn)4因式分解

19.［2024云南］分解因式：-9a=()

A.a(a-3)(a+3)B.a(a2+9)

C.(a-3)(a+3)D.a2(a-9)

20.［2024江蘇鹽城］分解因式：/+2久+1=

21.［2024江蘇揚(yáng)州］分解因式：2%2-4%+2=

22.［2024江西吉安一模］因式分解：x2-4%-5=

提升練

23.[2024云南]按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：2x,3x^,4^,5x4,6x5,……，第n個(gè)代數(shù)式是（）

A.2x"B.（n-l）xn

C.nxn+'D.（n+l）xn

24.[2024廣西]如果a+b=3,ab=l,那么+2a2。2+a/的值為（）

A.OB.lC.4D.9

25.[2024山東泰安]如圖所示的是用圖形“。”和“?”按一定規(guī)律擺成的“小屋子”.

O

OOO

oOOOOO

OOOOOOOOOO

oOOOOOOOOOOOOOO

??????????????…

????????

?????????

(1)（2）(3)（4）(5)

按照此規(guī)律繼續(xù)擺下去，第個(gè)“小屋子”中圖形“?！眰€(gè)數(shù)是圖形“?”個(gè)數(shù)的3倍.

nnr

26.[2024重慶A卷]已知整式MM:anx+an_rx~+…-F久+a。,,其中n,an-l,...,a0為自然數(shù),an為正整

數(shù)，且n+an+an_rH------F%_+a。=5.下列說(shuō)法：

①滿足條件的整式M中有5個(gè)單項(xiàng)式；

②不存在任何一個(gè)n，使得滿足條件的整式M有且僅有3個(gè)；

③滿足條件的整式M共有16個(gè).

其中正確的個(gè)數(shù)是()

A.OB.lC.2D.3

27.[2024陜西榆林二模]程序框圖的算法思路源于我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，如圖所示，

若開始輸入x的值為20,發(fā)現(xiàn)第1次輸出的結(jié)果為10,第2次輸出的結(jié)果為5.............則第2024次輸出的結(jié)

果是________.

29.[2024四川德陽(yáng)]數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，甲組同學(xué)給乙組同學(xué)出示了一個(gè)探究問(wèn)題：把數(shù)字1至8分別填入圖中的八

個(gè)圓圈內(nèi)，使得任意兩個(gè)有線段相連的圓圈內(nèi)的數(shù)字之差的絕對(duì)值不等于1.經(jīng)過(guò)探究后，乙組的小高同學(xué)填出了圖

中兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字a,b，你認(rèn)為a可以是(填上一個(gè)數(shù)字即可).

30.[2024重慶B卷]一個(gè)各數(shù)位均不為0的四位自然數(shù)M=赤若滿足a+d=b+c=9,則稱這個(gè)四位數(shù)為“友誼數(shù)”.

例如：四位數(shù)1278,Vl+8=2+7=9,.,.l278是友誼數(shù)，.若abed是一個(gè)“友誼數(shù)”，且b-a=c-b=l,則這個(gè)數(shù)為;

若M=碉是一個(gè)“友誼數(shù)1設(shè)F(M)=芻且型喑峭是整數(shù)，則滿足條件的M的最大值是.

31.[2024黑龍江哈爾濱二模]我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微.”數(shù)形結(jié)合是解決

數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法.例如，代數(shù)式lx-21的幾何意義是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與2所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離；因?yàn)閨

x+lHx-(-l)|,所以x+1的幾何意義就是數(shù)軸上x所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與-1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離則代數(shù)式|x+3|+|x-5曲最小值

是_________

32.[2024湖南長(zhǎng)沙]先化簡(jiǎn)，再求值:2m-m(m-2)+(m+3)(m-3),其中m=|.

33.[2024安徽合肥校級(jí)模擬]觀察下列等式：

第1個(gè)等式:1+3=4;

第2個(gè)等式：2+|=|+4;

第3個(gè)等式：3+|=|+4;

第4個(gè)等式：4+R2+4;

⑴請(qǐng)寫出第6個(gè)等式：_________________L

(2)寫出你猜想的第n個(gè)等式(用含n的式子表示),并證明.

福建]已知實(shí)數(shù)滿足

34.[2024a,b,c,m,n3m+n=-a,mn=a

⑴求證：b2-12ac為非負(fù)數(shù).

(2)若a,b,c均為奇數(shù)，m,n是否可以都為整數(shù)?說(shuō)明你的理由.

35J2024安徽］數(shù)學(xué)興趣小組開展探究活動(dòng)，研究了“正整數(shù)N能否表示為/-十支,均為自然數(shù))，，的問(wèn)題.

⑴指導(dǎo)教師將學(xué)生的發(fā)現(xiàn)進(jìn)行整理，部分信息如下8為正整數(shù)):

N奇數(shù)4的倍數(shù)

1=1204=22-02

3=22/28=32/2

5=32-2212=42-22

表示結(jié)果

7=42-3216=52-32

9=52-4220=62-42

一般結(jié)論2n-l=n2-(n-l)24n二___________

按上表規(guī)律，完成下列問(wèn)題：

(024=(丁-()；

(ii)4n=.

⑵興趣小組還猜測(cè):像2,6,10,14,…這些形如4n-2(n為正整數(shù))的正整數(shù)N不能表示為%2-y2(x,y均為自然數(shù)).

師生一起研討，分析過(guò)程如下：

假設(shè)471-2=/-y2,其中X,y均為自然數(shù).

分下列三種情形分析：

①若X,y均為偶數(shù),設(shè)x=2k,y=2m,其中k,m均為自然數(shù)，

則x2—y2—(2fc)2—(2m)2=4(k2—m?)為4的倍數(shù).

而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為偶數(shù).

②若x,y均為奇數(shù)，設(shè)x=2k+l,y=2m+l,其中k,m均為自然數(shù)，

則x2—y2=(2k+l)2—(2m+l)2=_為4的倍數(shù).

而4n-2不是4的倍數(shù)，矛盾.故x,y不可能均為奇數(shù).③若x,y一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù)，則/-必為奇數(shù).

而4n-2是偶數(shù),矛盾.故x,y不可能一個(gè)是奇數(shù)一個(gè)是偶數(shù).

由①②③可知，猜測(cè)正確.

閱讀以上內(nèi)容，請(qǐng)?jiān)谇樾微诘臋M線上填寫所缺內(nèi)容.

第2關(guān)代數(shù)式與整式

1.C2.30n

3.4

解析:,.a=b+2,/.b-a=-2,

(b—a)2—(―2)2=4.

4.a100

解析:；a,a2,a3,a4,...,

.?.第n個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)是1,次數(shù)是n,

.?第100個(gè)式子是a'oo.

5.3

6.h+an

解析：由題圖知，紙杯疊放在一起后的總高度H=杯子底部到杯沿底邊的高h(yuǎn)+杯子數(shù)量nx杯沿高a,/.H=h+

an.

7.A

8.B解析：a3-a3=a6.t^A選項(xiàng)不正確；

a4a2=a?.故B選項(xiàng)正確；

(a3)2=a。,故C選項(xiàng)不正確；

2a2-a2=a?,故D選項(xiàng)不正確.

9.C解析:A.a+a=2a,故A不符合題意；

B.5a-3a=2a,故B不符合題意；

C.3x-2x=6%2,故C符合題意；

D.(-x)3+(-%)2=一乂故D不符合題意.故選C.

10.x511.64x6

12.y2-l

解析：3孫+2y2—5—(y2+3xy—4)

=3xy+2y2—5—y2—3xy+4

=y2-1.

13.D解析：(3x)2=9/,此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

B./3x,3y不是同類項(xiàng)，不能合并/.此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.v(%+丫7=/+2盯+外,.?.此選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤,故此選項(xiàng)不符合題意;

D.-.-Cx+2)(x-2)=/_4」此選項(xiàng)的計(jì)算正確，故此選項(xiàng)符合題意.

故選D.

14.C解析:；4/一+9是一個(gè)完全平方式，

4%2—mx+9=(2x±3不，

4x2-mx+9=4x2±12%+9,

，-m=±12,

解得m=±12.

15.C解析:?：(a+b)(a-6)=a?一所,計(jì)算my)(x+ny)時(shí)能使用平方差公式,：.m=-n,故m+n=0.

16.-6

解析：,二?a?-=]2,

.,.(a+b)(a-b)=12,

；a-b=-2,

，a+b=-6.

17.29

解析:,：a-b=3,ab=10,

a2+b2=(a—b)2+2ab

=9+20

=29.

18.2a+b;3

解析：原式：=[4a2+4ab+b2-(4a2-b2)]

+2b

=(4a2+4ab+b2-4a2+b2)+2b

=(4ab+2b2)+2b

=2a+b,

當(dāng)a=2,b=-l時(shí)，原式=2x2-l=3.

19.A解析:原式=a(a2-9)=a(a—3)(a+3),故選A.

20.(x+l)2

21.2(x-I)2

解析：2/—4x+2=2(比2—2%+1)

=2(x-l)2、

22.(x-5)(x+l)

23.D解析：從單項(xiàng)式的系數(shù)來(lái)看，第n個(gè)代數(shù)式的系數(shù)為(n+1),從單項(xiàng)式的次數(shù)來(lái)看，第n個(gè)代數(shù)式中x

的指數(shù)為n,所以第n個(gè)代數(shù)式為(n+l)x".

24.D解析:原式：=ab(a2+2ab+b2)-ab(a+b)2=1x32=9,故選D.

25.12

解析：由題中所給圖形可知，

第1個(gè)"小屋子"中圖形"。"的個(gè)數(shù)為1=1,的個(gè)數(shù)為4=lx2+2;

第2個(gè)"小屋子”中圖形"。"的個(gè)數(shù)為3=1+2,一的個(gè)數(shù)為6=2X2+2;

第3個(gè)"小屋子"中圖形"。"的個(gè)數(shù)為6=1+2+3,"/的個(gè)數(shù)為8=3x2+2;

第4個(gè)"小屋子"中圖形"。"的個(gè)數(shù)為10=1+2+3+4,"?"的個(gè)數(shù)為10=4x2+2;

所以第n個(gè)“小屋子"中圖形"。"的個(gè)數(shù)為1+2+3++n="羅，"?"的個(gè)數(shù)為2n+2.令竺羅=3(2n+2),

解得膽=又因?yàn)闉檎麛?shù)，所以即第個(gè)“小屋子"中圖形"個(gè)數(shù)是圖形"?"

-l,n2=12,nn=12,12

個(gè)數(shù)的3倍.

26.D解析:rn,an-1,…,a0為自然數(shù)，an為正整數(shù)，且n+an+an_1+…+的+劭=5,/.an>l,0<n<4(gn

=5,則an=0,不滿足條件）.

當(dāng)n=0時(shí),M=5;

當(dāng)n=l時(shí)，1+的+劭=5,%21,滿足條件的整式為x+3,2x+2,3x+l,4x;

22222

當(dāng)n=2時(shí)，2+a2+ar+a0=5,a2>1,滿足條件的整式為x+x+l,x+2x,x+2,2x+x,2x+1,3/；

當(dāng)n=3時(shí),3+%+g+=5,%>1,滿足條件的整式為x3+x2,x3+x,x3+1,2x3;

4

當(dāng)n=4時(shí),4++a?++的+劭=5,a4>slantl,滿足條件的整式為X.

①滿足條件的單項(xiàng)式有5,4x,3x2,2x3,x4,共5個(gè)，故①正確；

②當(dāng)n為任意值時(shí)，整式M的個(gè)數(shù)沒(méi)有3個(gè)的情況，即不存在符合條件的n,故②正確；

③滿足條件的整式M共有16個(gè)，故③正確.故選D.

解題思路

首先，根據(jù)已知確定04n44且n是整數(shù)，然后，分n=0,n=l,n=2,n=3,n=4五種情況分別求出符合條件的整式

即可判斷.

27.6

解析:第1次輸出的結(jié)果20+2=10,

第2次輸出的結(jié)果10+2=5,

第3次輸出的結(jié)果:5+7=12,

第4次輸出的結(jié)果12+2=6,

第5次輸出的結(jié)果6+2=3,

第6次輸出的結(jié)果:3+7=10,

第7次輸出的結(jié)果10+2=5,

第8次輸出的結(jié)果:5+7=12,

第9次輸出的結(jié)果12+2=6,

第10次輸出的結(jié)果:6+2=3,

2024+5=404……4,

，第2024次輸出的結(jié)果是6.

28.4

解析：如圖，延長(zhǎng)AB,CD交于點(diǎn)E.

根據(jù)題意，得a?一辦2=%

?-?b=3,a2—9=7,

..a=4或a=-4（不符合題意，舍去）,

.,.a=4.

29.1(或8)

解析：兩個(gè)中心圓圈分別有6根連線，數(shù)字1至8共有8個(gè)數(shù)字，若2,3,4,5,6,7中任何一個(gè)數(shù)字填在中心圓

圈中，那么與其相鄰的2個(gè)數(shù)字均不能出現(xiàn)在與中心圓圈相連的6個(gè)圓圈中，故只剩下5個(gè)數(shù)字可選不符合題意,

二位于兩個(gè)中心圓圈的數(shù)字只可能是1和8.

30.3456;6273

解析:-.abed是一個(gè)"友誼數(shù)"，

.■.a+d=b+c=9,

X'.b-a=c-b=l,

.■.b=4,c=5,/.a=3,d=6,

二這個(gè)數(shù)為3456.

M=abed是一""Is*"友誼數(shù)"，

.-.M=l000a+100b+10c+d=l000a+100b+10(9-b)+9-a=999a+90b+99,

???F(M)=個(gè)=Illa+10/7+11,

F(M}+ab+cd

13

|l|a+10b+ll+10a+b+10c+d

13

llla+10b+ll+10a+b+10(9—匕)+9-a

13

120a+&+110=c9a+8H--3-a--+-匕-+--6.

13

F(M)+aib+cd早束攵斷

/J—.11-，

13

...9a+8+W|比是整數(shù)，即W|竺是整數(shù),

.?.3a+b+6是13的倍數(shù),

?.a,b,c,d都是不為0的正整數(shù)，且a+d=b+c=9,

.■.a<8,

當(dāng)a=8時(shí),3143a+b+6438,此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù),不符合題意；當(dāng)a=70t28<3a+b+6<35,

此時(shí)不滿足3a+b+6是13的倍數(shù)，不符合題意；當(dāng)a=6時(shí),2543a+b+6w32,此時(shí)可以滿足3a+b+6是13的倍

數(shù)，即b=2,則d=3,c=7.

1?要使M最大，需使a最大，

，滿足條件的M的最大值是6273.故答案為3456;6273.

31.8

解析代數(shù)式|x+3|+|x-5||的最小值是5-(-3)=8.

32.4m-9;l

解析：原式=2m—m2+2m+m2—9

=4m-9.

當(dāng)m=|時(shí)，原式=10-9=1.

33.(1)6+?=1+4

(2)n+等=厘+4；證明見解析

解析：(1)根據(jù)題中等式，可知第6個(gè)等式為6+?=E+4.

OO

⑵證明：等式左邊為n+等=互產(chǎn)，

222

(n-1),An-2n+l,4nn+2n+l

---+4=----------+—=----------.

???等式左邊二等式右邊，：等式成立.

34.(1)見解析(2)不可以都為整數(shù);理由見解析

解析：⑴證明：因?yàn)?/n+7i=*nn=：,所以b=a(3m+n),c=amn.

則b2—12ac=[a(3m+n)]2—12a2mn

=a2(9m2+6mn+n2)—12a2mr

=a2(9m2—6mn+n2)

=a2(3m—n)2.

因