2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)：二次函數(shù)的相似三角形問(wèn)題提分刷題練習(xí)題

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

⑵該拋物線與軸交于點(diǎn)A,(點(diǎn)A在點(diǎn)8的左側(cè))，與＞軸交于點(diǎn)c,

(i)如圖1,求證：VABC是直角三角形；

(ii)如圖2,該拋物線的對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，若以點(diǎn)。，

D,P為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

2.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=x+4與拋物線〉=-；/+灰+。(0,c是常數(shù))交于

A、3兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)3在y軸上.設(shè)拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)C.

⑴求該拋物線的解析式；

(2)如圖1,直線上方拋物線上是否存在點(diǎn)使得的面積等于3,若存在，寫出點(diǎn)M

的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)P是拋物線上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A、3重合)，如圖2,若點(diǎn)尸在直線48上方，連接O尸交A3于

點(diǎn)、D,記AAOP,△ADO的面積分別為1,S],求1t的最大值.

3.如圖1,平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-d+2x+3交X軸于A,B兩點(diǎn)(5點(diǎn)在A點(diǎn)的右邊)，

交，軸于點(diǎn)C.點(diǎn)M是線段上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)”作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)E.

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(1)求A,8兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

(2)求線段跖的最大值；

⑶如圖2,是否存在以點(diǎn)c,E,尸為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似？若存在，求M點(diǎn)的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13

4.如圖，拋物線＞=-5尤2+^+2與》軸交于4、3兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)3的左邊)，與y軸交于點(diǎn)

C,連接3C.

(1)求點(diǎn)A、B、。的坐標(biāo)；

(2)設(shè)x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為f,過(guò)點(diǎn)P作直線尸軸，交拋物線于點(diǎn)N,交直線8C

于點(diǎn)M.

①當(dāng)點(diǎn)尸在線段上時(shí)，設(shè)MN的長(zhǎng)度為s,求s與/的函數(shù)關(guān)系式；

②當(dāng)點(diǎn)尸在線段OB上時(shí)，是否存在點(diǎn)P,使得以0、P、N三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似？

若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線＞=-/一2辦+3a分別交x軸于

A、3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,OA=OC.

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⑴求該拋物線的解析式；

⑵如圖2,點(diǎn)尸為第二象限拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作PDLAC于點(diǎn)。，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為f,

線段PD的長(zhǎng)度為d,求d與/的函數(shù)關(guān)系式(不要求寫出自變量/的取值范圍)；

⑶在(2)的條件下，當(dāng)直線PD經(jīng)過(guò)點(diǎn)3時(shí)，如圖3,點(diǎn)E在線段3。上，點(diǎn)R在線段AE上，

Q

且NDRE=45。，產(chǎn)的面積為求的長(zhǎng).

6.如圖，已知A(-2,0)、B(3,0),拋物線y=ax2+bx+4經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)

尸是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為乙過(guò)點(diǎn)尸作軸，垂足為點(diǎn)”，

PM交3c于點(diǎn)Q.過(guò)點(diǎn)P作尸NL3C,垂足為點(diǎn)N.

⑵請(qǐng)用含m的代數(shù)式表示線段PN的長(zhǎng)」

(3)連接PC,在第一象限的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得乙BCO+2NPCN=90。？若存在，請(qǐng)

求出機(jī)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(4)連接AQ,若AACQ為等腰三角形，請(qǐng)直接寫出機(jī)的值」

13

7.如圖1,已知拋物線>=-不/+/犬+2交》軸于A,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,點(diǎn)P是直線AC上

一動(dòng)點(diǎn).

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⑴求直線AC的解析式；

(2)若點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)Q剛好落在拋物線上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接BC,過(guò)點(diǎn)尸作PE/ABC交x軸于點(diǎn)E,連接CE,將△(?回沿CE對(duì)折，點(diǎn)P的

對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好落在x軸上時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo).

8.如圖，已知直線y=-§x+2與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,拋物線y=-經(jīng)

過(guò)A、3兩點(diǎn).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)直線與該拋物線交于點(diǎn)C,與線段A3交于點(diǎn)。(點(diǎn)。與點(diǎn)A、5不重合)，與x軸交

于點(diǎn)E,聯(lián)結(jié)AC、BC.

①當(dāng)?shù)?熬時(shí)，求。的值；

CD0E

②當(dāng)CD平分NAC3時(shí)，求ABC的面積.

410

9.如圖，拋物線＞=-§/+了》+2與x軸相交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)3,C為線段。4上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線，交直線A3于點(diǎn)。，交該拋物線于點(diǎn)E.

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⑴求直線A3的表達(dá)式，直接寫出頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；

⑵當(dāng)以3,E,。為頂點(diǎn)的三角形與QM相似時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）當(dāng)ZB￡D=2/Q4B時(shí)，求VBDE與CDA的面積之比.

10.如圖.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線>=辦2+2尤+°（0片0）與大軸交于點(diǎn)4、B,與y軸交于

點(diǎn)C,點(diǎn)A的坐標(biāo)為（TO）,對(duì)稱軸為直線x=l.點(diǎn)M為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直

線/平行于y軸交直線于點(diǎn)F,交拋物線丁=辦2+2彳+以中0）于點(diǎn)E.

⑵當(dāng)以C、E、R為頂點(diǎn)的三角形與VA3C相似時(shí)，求線段取的長(zhǎng)度：

（3）如果將△￡■（牙沿直線CE翻折，點(diǎn)R恰好落在y軸上點(diǎn)N處，求點(diǎn)N的坐標(biāo).

11.如圖1,拋物線y=++5ax+c經(jīng)過(guò)A（3,0）,C（0,T）,點(diǎn)3在x軸上，且AC=3C,過(guò)點(diǎn)3

作軸交拋物線于點(diǎn)。，點(diǎn)E,R分別是線段CO,3c上的動(dòng)點(diǎn)，且CE=BP,連接EF

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(1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)AC防是直角三角形時(shí)，求點(diǎn)R的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接AE,AF,直接寫出AE+AF的最小值為：.

12.如圖，已知拋物線J交x軸于A、5兩點(diǎn)，將該拋物線位于x軸下方的部分沿x軸

翻折，其余部分不變，得到的新圖象記為“圖象w”，圖象w交y軸于點(diǎn)c.

(1)寫出圖象W位于線段A3上方部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；

⑵若直線y=-x+8與圖象w有三個(gè)交點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合圖象，直接寫出匕的值；

(3)P為X軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM//y軸交直線BC于點(diǎn)交圖象W于點(diǎn)N,是否存

在這樣的點(diǎn)尸，使與△O3C相似？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，拋物線y=r2-2x+3與％軸交于A,3兩點(diǎn)(A在3的右側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C,頂點(diǎn)

為D.拋物線對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)RE是對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

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(1)若CE〃BD,求sinNOEC的值；

(2)若NBCE=NBDF,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

⑶當(dāng)AE+goK取得最小值時(shí)，連接并延長(zhǎng)AE交拋物線于點(diǎn)請(qǐng)直接寫出AM的長(zhǎng)度.

14.如圖，拋物線與X軸交于A,5兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，且。4=1,03=4,點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2).

(1)求拋物線解析式；

⑵設(shè)拋物線的對(duì)稱軸/與2C邊交于點(diǎn)。，若P是對(duì)稱軸/上的點(diǎn)，且滿足以？，C,。為頂點(diǎn)的

三角形與△AOC相似，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；

(3)在對(duì)稱軸/和拋物線上是否分別存在點(diǎn)N,使得以A,0,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是平

行四邊形，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.如圖1,在平面直角坐標(biāo)系龍Qy中，直線y=gx-2與X軸交于點(diǎn)3,與y軸交于點(diǎn)C.拋物

線丫=62+法+<:的對(duì)稱軸是直線苫=5且經(jīng)過(guò)3、C兩點(diǎn)，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)A.

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(1)①直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；②求拋物線解析式.

(2)如圖2,若點(diǎn)P為直線BC下方的拋物線上的一點(diǎn)，連接P&PC.求APBC的面積的最大值，

并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M作MN垂直x軸于點(diǎn)N,使得以點(diǎn)A、M、N為頂點(diǎn)的三角

形與VABC相似？若存在，求出點(diǎn)〃的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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參考答案

193.

1?⑴尸一］%+寸+2

(2)(i)見(jiàn)解析；(ii)或加或(r，或(I,T

【分析】(1)運(yùn)用待定系數(shù)法解方程組即可；

(2)①利用勾股定理的逆定理證明即可；

②分兩種情況：當(dāng)AODPS^BCA以及AODPS^BCA,列出比例式，求出P￡),再求點(diǎn)P坐標(biāo).

【詳解】(1)解：???拋物線>=-92+云+,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-3,-7)和(3,2),

1

——x(-3y9-3b+c=-7

,<~~

1,

——X32+3/?+C=2

I2

\3

b——

解得2

c-2

13

二拋物線的函數(shù)表達(dá)式為y=+2；

(2)解：(i)y=-jx2+jx+2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2),

13

當(dāng)y=0時(shí)，_于+產(chǎn)2=0,

解得x=T或x=4,

點(diǎn)A在點(diǎn)5的左側(cè)，

???點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(4,0),

.-.AB=|-1-4|=5,AC=712+22=75>BC=A/22+42=2^5,

AC2+BC2=(V5)2+(2^)2=25,AB2=52=25,

AC2+BC2=AB2,

ABC是直角三角形；

2

123c125

(ii)y=——x+—x+2=——x-|+一，

2228

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，拋物線的對(duì)稱軸是直線X=］

二點(diǎn)O坐標(biāo)為1|，。］,設(shè)點(diǎn)p坐標(biāo)為1|，利］,

分兩種情況：①當(dāng)時(shí)，窄=槳，

ACnC

3

即5=H,

下26

解得加=±3,

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為［，-3)或g,3)；

3

②當(dāng)△ODPsABCZ時(shí)，段=咨，即2_帆，

BCAC訪一者

解得機(jī)=±土，

此時(shí)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(g，-|■1或g，|J;

綜上，點(diǎn)尸坐標(biāo)為(|，-3)或(|,3)或或(I，：).

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合，涉及了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，相似三角形的判定與

性質(zhì)，勾股定理的逆定理.解答本題注意分類討論的思想以及數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用.

2.⑴y=_g%2_%+4

⑵存在，

⑶3

【分析】(1)由直線>=彳+4與兩坐標(biāo)的交點(diǎn)可得A(-4,0),3(0,4),然后利用待定系數(shù)法求解

即可；

(2)在圖1中，過(guò)點(diǎn)M作跖V〃C?交直線AB于點(diǎn)N,設(shè)-1產(chǎn)—+力，則N(0+4),Y<t<0,

利用坐標(biāo)與圖形可得卜4Jj,由一…=3求得/值，進(jìn)而可求解；

SPDPE

(3)過(guò)點(diǎn)P作尸石〃OB交直線A3于點(diǎn)E,則.PDESAODB,所以《=痂=不，設(shè)點(diǎn)

d2LfUUD

p［m,-^m2-m+4\-4<m<0),利用坐標(biāo)與圖形可得1t=-：(利+2)-+；,利用二次函數(shù)的性質(zhì)

求解即可.

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【詳解】(1)解：直線y=x+4與坐標(biāo)軸交于A、3兩點(diǎn),

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,當(dāng)y=o時(shí)，x=T,

.?.A(T,O),3(0,4),

將A、3代入拋物線y=-；/+6x+c,得

0=--x(-4)2-4b+c“”口俗=-4

2[J,解得一

[c=41。=4

???拋物線的解析式為：尸-x+4.

(2)解：存在.

在圖1中，過(guò)點(diǎn)〃作MN〃OB交直線A3于點(diǎn)N,

________fil________

依題意，設(shè)加"，-；產(chǎn)—+4),則N&/+4),-4<t<0,

11

/.MN=——t2?-t+4-t-4=——?t2-2t,

22

*e*SMAB=gx]—9—2，1X4=-，2-4t,

由—』_4/=3得產(chǎn)+4+3=0,

解得％=-1,，2=-3,

當(dāng)/=—1時(shí)，—/+4=g,貝

當(dāng)年-3時(shí)，-97+44則M13口

綜上，存在點(diǎn)M使得△腸1S的面積等于3,此時(shí)加,埒],加13口

(3)解：在圖2中，過(guò)點(diǎn)P作尸E〃QB交直線A3于點(diǎn)E,則/

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篙券，貝哈嚼喘

設(shè)點(diǎn)尸［機(jī)機(jī)2_機(jī)+4)(_4＜加＜0),

/.E(m,m+4),

11

/.PE=——m2—m+4-m—4=——m2-2m,

22

H_PE2121lzc\21

二——m——m=——m+2+—

^~~OB4828V72

V--<0,-4<m<0,

8

當(dāng)利=-2時(shí)，9有最大值，最大值為J.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式,

二次函數(shù)的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形，相似三角形的判定與性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)

鍵是添加合適的輔助線構(gòu)造PDE^,ODB.

3.(l)A(-l,0),8(3,0)

o

(2)跖最大值為了

(3)存在，與0)或與0)

【分析】(1)令"。，得至U-V+2x+3=0,即可求解；

(2)設(shè)則加2+2機(jī)+3),先求出直線2C的解析式為y=-x+3,可得"〃z,-"2+3),

可得到用機(jī)表示所的長(zhǎng)，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；

(3)根據(jù)題意可得ZABC=/3CO=/MFB=NCFE=45。，從而得到當(dāng)以點(diǎn)C,E,尸為頂點(diǎn)的三

角形與VABC相似時(shí)，8與尸為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).然后分兩種情況討論，即可求解.

【詳解】(1)解：,拋物線>=-—+2工+3與x軸相交于A,B兩點(diǎn)

??—f+2%+3=0.

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解得：再=一1,電=3,

AA（-1,O）,3（3,0）；

（2）解：設(shè)”（〃7,0）,則E（見(jiàn)-蘇+29+3）,

???拋物線y=-X2+2x+3與y軸相交于點(diǎn)c,

C（o,3）.

設(shè)直線3C解析式為，=履+6,

,直線BC經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,C,

直線BC的解析式為y=T+3,

又■:E^m,—m2+2m+3^,

EF=（-m2+2m+3）—（-m+3）=—m2+3m=—^m—^^+（；

3Q

???當(dāng)相=5時(shí)，所取得最大值“

（3）解：存在以點(diǎn)C,E,尸為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似，理由如下:

設(shè)M（〃z,0）,

由（2）得：EF=—m2+3m9

如圖，過(guò)點(diǎn)R作/軸于點(diǎn)G,則FG=m,

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由⑴可得：OB=OC=3,AB=4,BC=3五,

：.ZABC=ZBCO=ZMFB=ZCFE=45°9

???Z\C尸G是等腰直角三角形，

??CF=V2m.

???當(dāng)以點(diǎn)C,E,b為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似時(shí)，3與尸為對(duì)應(yīng)頂點(diǎn).

①當(dāng)eABCsvCFE時(shí)，

s[2m-府+3m

解得：=5或m=0（舍去）,

解得：根=［或根=0（舍去）

...喉。］.

綜上所述，加1|，“或加/，0）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖

象和性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)，利用分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵.

4.（l）A（-LO）,B（4,0）,C（0,2）；

⑵①s=-;②點(diǎn)P的坐標(biāo)為

【分析】（1）分別令犬=0、＞=0,求出對(duì)應(yīng)的y值和x的值，即可求出A、B、C的坐標(biāo)；

（2）①根據(jù)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為/,可得-?+7^-；產(chǎn)+|/+2）,然后分點(diǎn)尸在y軸的左

側(cè)和點(diǎn)P在y軸的右側(cè)兩種情況，分別表示出MN即可；

②分OP、N、sCOB時(shí)和ORN2s80c時(shí)兩種情況，分別根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，

整理后得出關(guān)于t的一元二次方程，解方程求出t的值即可.

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【詳解】（1）解：當(dāng)x=0時(shí)，y=2,

13

當(dāng)y=o時(shí)，即一萬(wàn)./+]X+2=0,

解得：々=T,々=4,

/.A(-LO),8(4,0),C(0,2)；

（2）解：①設(shè)直線3C的解析式為尸反+6（心0）,

,/、/、八、14左+Z?=0

把34,0,C0,2代入，得

k=--

斛AR得Zr-t：\2,

b=2

直線8C的解析式為y=x+2,

???點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為t,

+,N^t,--t2+-|r+2^,

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)，即-1白<0時(shí)，

由題意得：s=-17+2-1_g〃+|'f+2j=_；f+2+172-|f-2=；/_2f；

當(dāng)點(diǎn)P在y軸的右側(cè)（包含原點(diǎn)），即0<r<4時(shí),

/

由題意得：s=—；/+|"'+2-［一：'+2)=-：/+'|'+2+；'-2=-1■產(chǎn)+2r.

|r2-2f(-l<f<0)

綜上,S=<

-1z2+2r(O<r<4)

②如圖，當(dāng)04Ms4c。8時(shí),

13c

可得鬻.二環(huán)--12H-/+2

，即上22

BO

24

??一產(chǎn)+3,+4=4,,

整理得：〃+”4=0,

解得：上叵，/±（不合題意，舍去）,

22

當(dāng).OP2N2s,BOC時(shí),

第7頁(yè)共48頁(yè)

可得需=箸，即，一92+9+2

_

DCC7...

U42

??—2/2+61+8—2t9

整理得：?-2r-4=0,

解得：G=I+石，n=i-非（不合題意，舍去）,

綜上，點(diǎn)P的坐標(biāo)為［，二,o］和（i+技。）.

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、二次函數(shù)的應(yīng)用、相

似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想

的應(yīng)用.

5.(1))=一九2—2x+3

(2)1=一與一述r

22

z^27To

【分析】（1）先根據(jù)二次函數(shù)與V軸的交點(diǎn)，求出C（0,3”），可得出A（-3a,0）,再代入解二次函

數(shù)解析式即可;

（2）過(guò)P作尸KU軸于K,交AC于點(diǎn)J,分別用含/的代數(shù)式表示出KJ,PJ,在應(yīng)AD/V中,

有勾股定理即可求出求d與t的函數(shù)關(guān)系式;

（3）延長(zhǎng)DR交A3于N,過(guò)R、。分別作FH±AB,DQ1AB,垂足為“、Q,證明ANFflsANDQ,

AAFNS^DAN,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)及勾股定理即可求的長(zhǎng).

【詳解】（1）解：拋物線＞=-/-2依+3a交y軸于C,

當(dāng)x=0時(shí)，y=3a,

：.C（0,3a）,

第8頁(yè)共48頁(yè)

/.0C=3a,

*：OA=OC,

OA=3a,

A(-3a,0),

???點(diǎn)A在拋物線y=-x2-2ax+3a±.,

??一(—3a)~—2ax(—3a)+3a=0,

解得：01=1，“2=。，

Va>0,

??a——1,

???拋物線解析式y(tǒng)=f2_2x+3.

(2)過(guò)P作軸于K,交AC于點(diǎn)J,

?.?點(diǎn)P橫坐標(biāo)為t,

.'.OK=-t,

'：A(-3,0),

OA=3,AK=AO—0K=3—(—?)=3+f,

"：OA=OC,

：.ZOAC=45°,ZKJA=ZKAJ=45°,

.".KJ=AK=3+t,

?點(diǎn)P在拋物線丫=-尤2-2尤+3上，當(dāng)無(wú)=/時(shí)，y=-t2-2t+3,

...PK=—/―2f+3,PJ=PK—KJ=—產(chǎn)一2r+3—(3+7)=—廣一3/,

第9頁(yè)共48頁(yè)

,?PD=d,ZDJP=ZAJK=45°,

ZDPJ=ZDJP,DJ=DP,

：.DP=DJ=d,在無(wú)中，ZPDA=90°,

DP2+DJ2=PJ2,

d2+d2=(-t2-3t)2,

公一與一出，

22

，公與

22

(3)延長(zhǎng)DE交A3于N,過(guò)R。分別作切LAB,DQ1AB,垂足為“、Q,

.?.8(1,0),A(-3,0),

：.AB=4,

..q_8

?^^ABF~《，

1Q

:?一ABFH=—,

25

4

:?FH=飛,

A(-3,0),C(0,3),PD1AC,

：.ZDAB=45°,DQ=^AB=29

VFH^AB,DQLAB,

Z\NFHS/\NDQ,

第10頁(yè)共48頁(yè)

4

??.空=竺=5=2，

DQ~ND~2~3

設(shè)NF=2m,則ND=5m,DF=3m,

VZZ>FE=45°,ZDAB=45°,

AZDAF+ZAPF=45°,ZDAF+ZNAF=45°,

：.ZADF=ZNAF,

*.?ZANF=ZDNA,

：.AAFNs/\DAN,

.AN_FN

??麗―菽’

/.AN2=FN-DN=2m^5m=10m2,

AN=VlOm(負(fù)值舍去)

在及AONQ中，QN=2-y/10m9DN=5m,DQ=2,

勾股定理得DN2=QN2+DQ2,

/.（5m）2=^2-V10mj+4,

解得：叫=2^^，m2=--^-（負(fù)根?舍去）,

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)與幾何圖形綜合，涉及到勾股定理、相似三角形的判定和性質(zhì)，屬

于中考?jí)狠S題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)和判定定理.

22

6.⑴丁二——x9+-X+4

v733

(2)PN=—^m2+1相

7

⑶存在，-

(4)竽或葭

【分析】(1)由二次函數(shù)交點(diǎn)式表達(dá)式，即可求解；

2?

(2)先由二次函數(shù)解析式求得，C(0,4),P(m,--m2+-m+4),證從而求

[2—23

得〃Q=--一，PQ=PM-MQ=--nr+2m,再證△PNQS/^BMQ,求得PN=gPQ,代入即

第11頁(yè)共48頁(yè)

可求解.

(3)過(guò)點(diǎn)C作CD，。。,交直線于D,易證四邊形OMDC是矩形，從而得PD=MD-PM=4-(-

222296

-m2+—m+4)=Q療相，再證NPC￡)=NPCN,從而得至!JPN=P￡),由(2)知：PN二——m2+—m,

333355

貝1有機(jī)?機(jī)二加

Jg2_12_|_求解即可;

(4)分AC=AQ、AC=CQ,CQ=A。三種情況，分別求解即可；

【詳解】(1)解：設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為：y-a(%+2)(x-3)-a(x2-x-6)=ax2-ax-6a,

又?:拋物線y=ax2+bx+4-

2

.??-6〃=4,解得：a=--,

則拋物線的表達(dá)式為y=-fx2+|x+4；

22

(2)解：當(dāng)工=用，貝！J/機(jī)+4,

22

P(m,?z2+jm+4),

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

?"(0,4),

：.0C=4,

???5(3,0),

OB=3,

.".BC=yJoB2+OC2=5;

軸，

.".PM//OC,

：.ABMQsABOC,

.MQBMBQMQ_3-mBMOB_3

,,工二而二五'4=3>~BQ~~BC~1>，

.2,212-4m2,八

..PQ=PM-MQ=-jm-+ym+4-=——m~+2m,

第12頁(yè)共48頁(yè)

■:PNLBC,

：.ZPNQ=ZBMQ=90°,

'：ZPQN=ZBQM,

:.叢PNQs叢BMQ,

.PN_PQPNBMOB3

??麗—蔽，S~PQ~~BQ~~BC~1>

33(2226

PN=—PQ=jl-jm2+2m——m~+—m?

55

（3）解：過(guò)點(diǎn)c作craoc,交直線“尸于。，如圖,

'：CD±OC,OCLOM,PMLOM,

???四邊形OMDC是矩形，

OCD=ZPDC=90°,MD=OC=4,

2722

.".PD=MD-PM=4-(--m2+—m+4)=-

'33733

/.ZBCO+/PCN+/PCD=90。

當(dāng)NBCO+2NPCN=90。時(shí)，

則NPCD=NPCN,

：.PD=PN,

.2226

..—m2'--m=—m2H—m,

3355

化簡(jiǎn)得：4m2-lm-0,

7

解得：〃?]=一,"4=0,

4

第13頁(yè)共48頁(yè)

???點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為m,

?.-m=7-,

4

7

.?.當(dāng)時(shí)，在第一象限的拋物線上存在點(diǎn)P,使得/3。。+2/^^=90。；

(4)解：存在，理由：

點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別為(-2,0)、(3,0)、(0,4),

則AC="+42=2有，AB=3-(-2)=5,>]OB2+OC2=5>

則AC=AQ=26,

:M(m,0),

?\AM=m+2,

,,12-4m

由(z2x)知：MQ=------,

3

由勾股定理，^AQ2=AM2+MQ1,

乂2南=(m+2『+(一［，

1?

解得："2=m或"2=0(舍去)，

.12

②當(dāng)AC=CQ時(shí)，如圖2,

第14頁(yè)共48頁(yè)

由勾股定理，得約32=92+MQ2,

即(5_2括『=(3_m)2+,2；4加］,

解得：加="或m=6-述(不符合題意，舍去)，

55

"=哈

③當(dāng)CQ=AQ時(shí)，點(diǎn)。在AC的垂直平分線上，

'：BC=AB=5,

???點(diǎn)3在AC的垂直平分線上，

???點(diǎn)。與點(diǎn)3重合，不符合題意，

，CQ=AQ此種情況不存在；

綜上，2^4。。為等腰三角形時(shí)，機(jī)=竽或葭.

【點(diǎn)睛】主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法和與了二次函數(shù)幾何圖形結(jié)合的綜合能力的培

養(yǎng).要會(huì)利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來(lái)，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長(zhǎng)

度，從而求出線段之間的關(guān)系.本題屬二次函數(shù)與幾何圖形綜合題目，難度較大，熟練掌握二

次函數(shù)圖象性質(zhì)，相似三角形判定與性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵.

7.(l)y=f+2

⑶(6T,0)或卜君T,0)

【分析】(1)根據(jù)拋物線的解析式令尸。即可求得A2的坐標(biāo)，令x=0即可求得C點(diǎn)的坐標(biāo),

進(jìn)而待定系數(shù)法求得直線AC的解析式；

第15頁(yè)共48頁(yè)

（2）由（1）設(shè)點(diǎn)尸（皿根+21，貝IJQ1見(jiàn);機(jī)一2]在y=-g/+|x+2上，代入解方程即可求得

優(yōu)的值，進(jìn)而求得點(diǎn)尸的值；

（3）先求得直線BC的解析式，進(jìn)而表示出PE解析式，得點(diǎn)E的坐標(biāo)為1go],進(jìn)而根據(jù)平

行得.APESaAce,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得根據(jù)勾股定理及逆定理證明△ACB是

直角三角形，進(jìn)而可得P對(duì)稱后的點(diǎn)P與。重合，進(jìn)而可得尸C=2,求得點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而

根據(jù)=?求得,的值，即可求得點(diǎn)E的坐標(biāo)?

AByc

13

【詳解】（1）解：已知拋物線＞=一5犬+5》+2交x軸于A,3兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C,

令x=0,得y=2

即C（0,2）

13

令y=0,U\i--x2+-x+2=0

解得占=-1,々=4

設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,將點(diǎn)A（4,0）,C（0,2）代入得，

j4k+b=0

[b=2

.k=—

解得2

b=2

???直線AC的解析式為y=-〈x+2

（2）點(diǎn)P是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，直線AC的解析式為y=+2

設(shè)點(diǎn)P,，-gm+2）,

點(diǎn)尸關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)。剛好落在拋物線上，

貝1]0（一肛;機(jī)一21在丫=一3爐+|犬+2上

BO—m—2=——m2——m+2

222

解得町=2A/3-2,叫二—2^3—2

第16頁(yè)共48頁(yè)

.\-1-m+2=3-A/3^3+V3

P（2指—2,3-后或卜2百-2,3+6）

（3）依題意，設(shè)點(diǎn)+

設(shè)直線BC的解析式為y=ax+b,將點(diǎn)B（-l,0）,C（0,2）代入得,

[—a+Z?=0

\b=2

直線BC的解析式為y=2尤+2

PE//BC

設(shè)直線PE的解析式為y=2x+r

令y=0,x=_g,則點(diǎn)E的坐標(biāo)為T,oj

AE=4+—,AB—5,

2

PE//BC

APEs一ACB

AE=j>

-AByc

A（4,0）,B（-l,0）,C（2,0）

AO=4,3O=1,CO=2

AB=5,BC=^BOr+COr=45,AC=^ACf+CO1=2也

AB2=BC2+AC2

回。是直角三角形

APEsACB

:.ZAPE=ZACB=90°

將ACPE沿CE對(duì)折，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P恰好落在龍軸上時(shí),

ZCP'E=ZCPE=90°,

ZCOE=90°

第17頁(yè)共48頁(yè)

???P與。點(diǎn)重合，

則尸C=PC=OC=2

產(chǎn),-1+2],C（0,2）

；"+]-3〃+2-2）=2

解得〃小警,"「一半

.?3=二〃+2—'述+2=2-2

02255

0n4+-2--V5_p.4+-2+-V5

即2=5或2_5

5一25-2

解得t=2-2布或/=2+2出

(石-1,0)或卜方-1,0)

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問(wèn)題，軸對(duì)稱問(wèn)題，相似三角形的性質(zhì)與判定，勾

股定理及其逆定理，一次函數(shù)的平移問(wèn)題，設(shè)參數(shù)求解是解題的關(guān)鍵.

24

8?(l)y=--^+］尤+2

(2)①2；②：

【分析】(1)先求出點(diǎn)4點(diǎn)3坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；

(2)①證明△ADEs△Bog由相似三角形的性質(zhì)得出/D4E=ND3C,證出AE〃3C,得

第18頁(yè)共48頁(yè)

出C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,則可求出答案；

②設(shè)C6-當(dāng)2+%+2),過(guò)點(diǎn)B作BHLCE于點(diǎn)H,得出tanZBCH=tanZACE,則名AE

33CrzCE

解方程求出/的值，則可求出答案.

【詳解】(1)解：由產(chǎn)-；x+2可得：

當(dāng)x=0時(shí)，y=2；當(dāng)y=0時(shí)，x=3,

：.A(3,0),B(0,2),

2

把A、B的坐標(biāo)代入y=--x2+bx+c得：

-2

——x9+3Z7+c=0

<3,

c=2

n

解得：3,

c=2

74

???拋物線的解析式為：y=-；N+(x+2；

(2)①如圖1,

圖1

,JDE//OB,

.AE_AD

"~OE~~BD，

..AEDE

,~OE~~CD，

.AD_DE

,,HD~~CD,

又?:ZADE=ZBDC,

：.AADE^ABDC,

：.ZDAE=ZDBC,

第19頁(yè)共48頁(yè)

J.AE//BC,

???C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,

24

.，?2=--x2+—x+2,

?\x=0或x=2,

：.C(2,2),

：.t=2；

74

②如圖2,設(shè)C(1,--12+—f+2),

圖2

過(guò)點(diǎn)5作BHLCE于點(diǎn)H,

*.?ZBCH=ZACE,

:?tcm/BCH=tcm/ACE,

.BHAE

^~CH~~CE，

t3-t

???224=224,

-----1H—t1H—￡+2

3333

?\t=—,

??.Y，)

SAACB=SAACE-^-S梯形BOCE-S^ABO

1551-5、11,5

=—X—xF—x(2+—)x---x2x3=—

22222224

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求解析式，平行線的判定和性質(zhì)，相似三

角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

9.(l)y=-gx+2,M(：,§

第20頁(yè)共48頁(yè)

⑵4，。)或弓，0)

oZ

(3)股

104

【分析】(1)求出A、8點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線A3的解析式即可；

⑵由題意可知ABED是直角三角形，設(shè)C(f,0),分兩種情況討論①當(dāng)4￡D=90。，時(shí)，BEIIAC,

此時(shí)E(t,2),由此可求f=②當(dāng)ZEBD=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作石。，了軸交于點(diǎn)Q,可證明AABO-ABEQ,

則4=為，可求E(r,2+|/),再由E點(diǎn)在拋物線上，則可求公?，進(jìn)而求C點(diǎn)坐標(biāo)；

(3)作取的垂直平分線交尤軸于點(diǎn)Q,連接BQ,過(guò)點(diǎn)8作3GLEC于點(diǎn)G,則有4。。=4團(tuán)，

1ocio

在R/AB。。中，802=4+(3-80)2,求出8Q=二，QO=~,貝ljtanN8QO=tanZBEG=—,設(shè)C(r,0),貝lj

665

12t2

￡>?,-彳+2),石(人-『+%+2),則有5一4210,求出￡=||,即可求￥^=京7=與曰.

333+—t16UDA3TW4

【詳解】(1)解：令y=0,則-y+g+2=0,

17c

=或x=3,

A(3,0),

令％=0,則y=2,

???5(0,2),

設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,

Jb=2

一13左+0=0，

小二

3,

6=2

二.y=—1+2.

3

(2)解：ZADC=ZBDE,XACD=90°,

.-.AB￡D是直角三角形，

設(shè)C(f,0),

第21頁(yè)共48頁(yè)

①如圖1,

：1=0（舍）或t=

C（|,。）；

②如圖2,

過(guò)點(diǎn)E作軸交于點(diǎn)

Z.BAO+ZABO=90°,ZABO+NQBE=90°,

第22頁(yè)共48頁(yè)

/QBE=NBAO,

/./^ABO^ABEQ,

AOB0

._pn3_2

**~BQ~1EQ9即被一［，

3

?.BQ=,,

、3

E（t,2+—?）,

c34210c

」.2H—t=—tH----才+2,

233

?,1=0（舍）或r=”，

o

.?C（1,。）；

o

綜上所述：。點(diǎn)的坐標(biāo)為（?，。）或（1",。）；

oZ

（3）解：如圖3,作班的垂直平分線交x軸于點(diǎn)連接BQ,過(guò)點(diǎn)8作3GLEC于點(diǎn)G,

*■

0^

\

1圖3'

，BQ=AQ,

ZBQA=ZQAB9

ZBED=2ZOAB9

:.ZBQO=ZBED,

在中，BQ2=BO2+OQ2,

二.％2=4+（3—BQ）2,

第23頁(yè)共48頁(yè)

eo=j

6

/.tanZ.BQO=—,

tanZBEG=—,

5

設(shè)C(￡,0),貝(J/)億一余+2),石億—g*才+2),

49410

BG=t,DE=—*+4/,AC—3—t,DC=—，+2,EG=—r-i—t

3333

12_r

二?二二4/]0

33

..35

..t——,

16

S2DE=_ED.BG,

S皿=*CD，

z42A\

S&BDE（-丁+4?2t21225

SRCDA（3-f）（-|r+2）3T104

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，求一次函數(shù)的解析式，解題的關(guān)鍵熟練掌握二次函數(shù)的圖

象及性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)與判定，分類討論，數(shù)形結(jié)合也是解題的關(guān)鍵.

10.（1）y=—九2+2x4-3

9

⑵EF=Z

⑶N的坐標(biāo)是（0,3&+1）

【分析】（1）根據(jù)拋物線過(guò)點(diǎn)A（-L0）,對(duì)稱軸為直線x=l列方程計(jì)算即可；

（2）求出3、。坐標(biāo)及直線3c解析式，由08=0C可得ZMM=NFBM=NCFE=45。，再設(shè)E、

R的坐標(biāo)，根據(jù)相似計(jì)算即可；

（3）由翻折結(jié)合環(huán)〃y軸可得CP=E產(chǎn)，設(shè)E、R坐標(biāo)計(jì)算即可.

0=〃—2+c

【詳解】（1）由題意得：2,

------=1

、2a

解得：

[c=3

第24頁(yè)共48頁(yè)

，所求的拋物線的解析式是：丫=--+2*+3

（2）由題意得：B（3,O）,C（O,3）,

直線的解析式為：y=-x+3

，OB=OC,

：.ZMBF=ZFBM=ZCFE=45°

設(shè)尸（m,-瓶+3）,則E（m,-m2+2m+3）

EF=—m2+2m+3—（—m+3）=—m2+3m,CF=m?+（3+m—3）2=y/2m

當(dāng)以C、E、尸為頂點(diǎn)的三角形與VABC相似時(shí)，

不什EFCFEti一機(jī)2+3mV2m

①右IT而,則^^=乖,

m=|^m=0（舍去）

?二尸

..Er=-m2+,3&m=——20

9

分北CF_EFM|V2m_-m2+3m

°右耘一方'人」3亞'

???m=5或機(jī)=o（舍去）

9

/.EF=-m92+3根=—

4

?.*CEN是由印沿直線CE翻折而得

CN=CF,ZNCE=ZECF,

NC//EF,

：.ZNCE=ZCEF,

：.ZECF=ZCEF,

第25頁(yè)共48頁(yè)

/.CF=EF

設(shè)及+3）,貝E（〃,一/+2〃+3）

EF=-n2+2〃+3-（-〃+3）=-n2+3n,CF=^（0-n）2+（3+n-3）2=-Jin

?*一九2+3n=A/2H，

解得：〃=3-&或〃=。（舍去）

/.CF=?=3?-2

/.ON=OC+CN=OC+CF=3^+\

???N的坐標(biāo)是（0,30+1）

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及解析式、三角形相似的判定與性質(zhì)、對(duì)稱變換等

知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)的線段長(zhǎng)度，根據(jù)已知列方程求解.

11.（1）y=為+，-4,點(diǎn)0（-3,-5）；

0O

⑶洞

【分析】（1）把點(diǎn)A（3,0）,C（0,T）代入可求出拋物線解析式，再由AC=BC,0CLAB,可得

點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為-3,即可求解；

（2）根據(jù)勾股定理求出3C=5,設(shè)點(diǎn)E（0,m）,則3/三CE=4-m,可得CF=BCBF=m+l,然

后分兩種情況討論：當(dāng)/?！甏?/3。。=90。時(shí),￡尸〃》軸，4ECFs^ocB,當(dāng)NCFE=/BOC=90。

時(shí)，△FCEsAocB,即可求解；

（3）連接AD,DF,nJiiE