專題08銳角三角函數(shù)

.題型概覽

題型01銳角三角函數(shù)的定義

題型02解三角形

題型03解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一-俯仰角問題

題型04解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一-方向角問題

題型05解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一-坡度坡角問題

題型06解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用一-其他問題

銳角三角函數(shù)的定義

L（2025?江蘇常州?一模）如圖所示為一張矩形紙片ABCZ）,E為AO的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在邊3c上，把該紙片

BF2

沿瓦折疊，點(diǎn)A,3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為G,H,GE與BC交于點(diǎn)0,龐的延長(zhǎng)線過點(diǎn)C.若而=§，則

sin的值是（）

2.（2025?廣東深圳?一模）在Rt^ABC中，已知NC=90。，sinA=^,BC=10,則相長(zhǎng)為（）

A.12B.26C.24D.13

3.（2025?天津紅橋?一模）如圖，在中，ZBAC=90°,AD1BC,垂足為D,則下列結(jié)論中正確

的是（）

AD

C.tanC=----D.tanC=-----

AB~ABBCCD

4.（2025?山東?一模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A,民C都在格點(diǎn)上，經(jīng)過點(diǎn)A,3,C

的圓與小正方形一邊相交于點(diǎn)D,則cosNADC的值為（）

A2RV5c2屈D3岳

331313

5.;（2025?湖南長(zhǎng)沙?一模）如圖，。的半徑Q4與弦BC互相垂直平分，則NAEB的度數(shù)為（）

A

A.30°B.45°C.50°D.60°

6.（2025?山東濟(jì)寧?一模）如圖，在RtZVIBC中，8是斜邊相上的中線已知CD=2,AC=3,則cos/DCA

的值是（）

A

2334

A.—B.—C.—D.

3243

7.（2025?天津西青?一模）3cos30。+且的值等于（）

2

A.TB.乎CTD-

273

8.（2025?廣東江門?一模）若銳角夕=30。，貝I]cosa的值是（）

A.|B.—C.—D.1

222

9.（2025?天津?一模）石cos3（r-l的值等于（）

A.4B.昱-1C.癢1D.1

22

10.（2025?云南楚雄?一模）如圖，這是一塊三角尺ABC,其中/B=30。，ZC=90°,貝UcosA的結(jié)果為（）

A1R及c痘D1

r\.D.C.U.J.

222

11.（2025?天津和平?一模）3sin30°的值等于（）

A.-B.—C.—D.百

222

12.（2025?四川瀘州?一模）因?yàn)閏os6（）o=1，cos240°=-^,IUcos240°=cos（180°+60°）=-cos60°.由

此猜想，推理可知：當(dāng)。為銳角時(shí)，有cos（180。+a）=-cosa,由此可知80210。=（）

△6R6c及nV2

r\.D.-----------C..U.-----------

2222

4

13.（2025?江蘇淮安?一模）如圖，在RtAOB中，ZAOB=90°,且點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=—的圖象上，點(diǎn)、B

14.（2025,陜西咸陽?一模）如圖，已知直線/和直線/上的兩點(diǎn)A,B,請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在直線/上方求作

RtVABC,使得tanC=g,點(diǎn)B為直角頂點(diǎn).（不寫作法，保留作圖痕跡）

-----；~8---------------/

氫理02

1.（2025?內(nèi)蒙古?一模）如圖，在矩形ABCZ）中，AB=2,AD=4,以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑畫弧，交BC

于點(diǎn)Af,交A5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N,則圖中陰影部分的面積為（）

48

A.兀B.3兀C.—71—2A/3D.-71—2^3

33

2.（2025?陜西咸陽?一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=4,5C=6,點(diǎn)石是5C的中點(diǎn)，連接AE,DFLAE

于點(diǎn)/，連接AC交O尸于點(diǎn)則空的值為（）

CM

3.（2025?貴州畢節(jié)?一模）已知如圖，在平行四邊形ABCD中，ZD=15°,AB=AC,sinZ￡CB=—,則4g

2AD

的值為（）

4.（2025?山東青島?一模）如圖，已知？390?,ZDAB=55°,ZC4B=45°,AB=a,則C￡＞的長(zhǎng)是（）

A.a,tan550—aB.々?sin550—aC.々?cos550—aD.-a

5.（2025?廣東惠州?一模）如圖，菱形。4BC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上，拋物線y過點(diǎn)若

ZAOC=60°,

???48:60。,

???BD=BCsinZBOC=2x—=73,CD=2cos60。=2x，=1,

22

網(wǎng)-6\-3）,

把網(wǎng)-后-3）代入,=爾，

—3=3〃，

??a=-1，

6.（2025?浙江湖州?一模）如圖，A5是。的弦，半徑OC_LAB于點(diǎn)D,連結(jié)Q4.若。的半徑長(zhǎng)為10cm,

A3的長(zhǎng)為10j§cm,則扇形OAC的面積是cn?（結(jié)果保留兀）.

o

A\.D/B

C

2

7.（2025?廣東深圳?一模）如圖，Rt495中，ZAOB=90°,頂點(diǎn)AB分別在反比例函數(shù)y=—（%>0）與

y=-9（x<0）的圖象上，貝i]/A4O=

8.（2025?江西宜春?一模）如圖，等邊VAO8的邊長(zhǎng)為2,若點(diǎn)C（0,石）繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)后，恰好與VA03的某

邊上的點(diǎn)P重合，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是

9.（2025?山東濟(jì)寧?一模）如圖，已知尸是線段A3上的動(dòng)點(diǎn)（尸不與點(diǎn)A,8重合），AB=6,分別以AP,

尸8為邊在線段AB的同側(cè)作等邊△相?和等邊△尸F(xiàn)B,連接￡F,設(shè)斯的中點(diǎn)為G；連接PG,當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P

從點(diǎn)4運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)3時(shí)，則PG的最小值是.

4

10.（2025?遼寧撫順?一模）如圖，在菱形ABCD中，AB=WftanD=j,在直線5C上取一點(diǎn)石，使班1=2,

連接AE,在AE的右側(cè)作NE4F,使NE4F=NAEC,射線AF交直線3C于點(diǎn)尸，則M的長(zhǎng)為

11.（2025?福建泉州?一模）一根鋼管放在"V"形架內(nèi)，其橫截面如圖所示，鋼管的半徑是6cm,若NAP3=60。,

P

12.（2025?黑龍江齊齊哈爾?一模）如圖，已知43是。的直徑，點(diǎn)C,。在〈:。上，BC=CD，連接

OD,CD,如，點(diǎn)E是線段48延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且ZA￡C=NABD,連接EC并延長(zhǎng)交射線A。于點(diǎn)尸.

⑴求證：跖是：。的切線：

（2）若BE=1,CE=6,求陰影部分的面積.

13.（2025?湖南湘西?一模）如圖，以筋為直徑的）0經(jīng)過點(diǎn)C,過點(diǎn)C作一。的切線交48的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,

（1）求—E的度數(shù);

3

（2）若「。的半徑為3,sinP=g,求AE的長(zhǎng).

14.（2025?四川雅安?一模）如圖.在VA3C中，。是AB的中點(diǎn)，連接CD,E是CO的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CF〃AB

交AE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，連接3月.

(2)如果AC=BC=6，tan/ABC=2,求EG的長(zhǎng).

3

15.(2025?浙江紹興?一模)如圖，在VABC中，點(diǎn)。在3C邊上，CD=4BD,AD±BC,sin^C=-.

（1）求tanNB的值；

⑵若AB=10,求；ACD的周長(zhǎng).

16.（2025?河南鄭州?一模）（1）【知識(shí)再現(xiàn)】我們知道，直角三角形中有6個(gè)元素一三個(gè)角，三條邊，由己

知元素求出所有未知元素的過程叫解直角三角形，下列三個(gè)條件中，不能解直角三角形的是.

①已知兩條邊；②已知一條邊和一個(gè)銳角；③已知兩個(gè)角.

（2）【聯(lián)系拓展】擴(kuò)展開去，任意三角形中有6個(gè)元素一三個(gè)角，三條邊，由已知元素求出所有未知元素的

過程叫解三角形.三角函數(shù)是三角形邊角關(guān)系的紐帶，也可以作為解三角形的常用工具.如圖1,已知VA5C

中，ZA=30。，4=45。，AB=5+5V3,解這個(gè)三角形；

（3）【延伸應(yīng)用】如圖2,VA3C中，AC=2y/3,cosA=—,BC=m,在解這個(gè)三角形時(shí)，若未知元素

2

都有兩解的機(jī)的取值范圍是.

ffll圖2

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用俯仰角問題

1.（2025?山東聊城?一模）光岳樓位于聊城古城中央，始建于明洪武七年（公元1374年），是中國(guó)十大名樓

之一，光岳樓為中國(guó)既古老又雄偉的木構(gòu)樓閣，是宋元建筑向明清建筑過渡的代表作，在中國(guó)古代建筑史

上有著重要地位，1988年光岳樓被列為全國(guó)重點(diǎn)文物保護(hù)單位，享有“雖黃鶴、岳陽亦當(dāng)望拜"之譽(yù).某校

數(shù)學(xué)實(shí)踐小組利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)測(cè)量光岳樓的高度，他們制訂了兩個(gè)測(cè)量方案，并利用課余時(shí)間完成了實(shí)

地測(cè)量.在測(cè)量仰角的度數(shù)以及有關(guān)長(zhǎng)度時(shí)，都分別測(cè)量了兩次并取它們的平均值作為測(cè)量結(jié)果.下面是

兩個(gè)方案及測(cè)量數(shù)據(jù)（不完整）:

項(xiàng)

測(cè)量光岳樓的高度

目

方案一：標(biāo)桿垂直立于地面，借助

方平行的太陽光線構(gòu)成相似三角方案二：利用銳角三角函數(shù).測(cè)量：距離CD,

案形.測(cè)量：標(biāo)桿長(zhǎng)C。，影長(zhǎng)及仰角?，仰角P

同一時(shí)刻塔影長(zhǎng)。B

說

及D,3三點(diǎn)在同一條直線上B,三點(diǎn)在同一條直線上

明

測(cè)A

A

量

示

/FJlriraWW,?一\\

/9I//—1

8C

0/1/

圖DB

測(cè)測(cè)量第一次第二次平均測(cè)量第一次第二次平均值

量項(xiàng)目值項(xiàng)目

數(shù)

CD1.61m1.59m1.6mp29.9°30.1°30°

據(jù)

ED1.18m1.22m1.2ma31.1°36.9°37°

DB25m26mCD12.8m13.2m13m

【問題解決】

⑴求"方案一"兩次測(cè)量塔影長(zhǎng)。8的平均值；

（2）根據(jù)“方案一”的測(cè)量數(shù)據(jù)，求出光岳樓A8的高度；

⑶根據(jù)"方案二"的測(cè)量數(shù)據(jù)，求出光岳樓的高度.（參考數(shù)據(jù):

sin37。a0.60,cos37°b0.80,tan37。土0.75,省土1.73.結(jié)果保留1位小數(shù)）.

2.（2025?廣東江門?一模）如圖1是某住宅單元樓的人臉識(shí)別系統(tǒng)（整個(gè)頭部需在攝像頭視角范圍內(nèi)才能被

識(shí)別），其示意圖如圖2,攝像頭P的仰角、俯角都調(diào)整為15。，攝像頭高度OP=160cm,識(shí)別的最遠(yuǎn)水平

距離OQ=150cm.

（1）小張站在離攝像頭水平距離90cm點(diǎn)M處，恰好能被識(shí)別（頭的頂部恰好在仰角線AP處），請(qǐng)問小張的

身高約為多少厘米？

（2）身高139cm的小軍，頭部高度為18cm,當(dāng)他直立站在離攝像頭最遠(yuǎn)處時(shí)，請(qǐng)通過計(jì)算說明這時(shí)的小軍能

被攝像頭識(shí)別嗎？（參考數(shù)據(jù)：sin15°?0.26,cos15°?0.97,tan15°?0.27）

3.（2025?山東臨沂?一模）蘭陵閣是蘭陵蘭溪濕地公園地標(biāo)性建筑，某數(shù)學(xué)興趣小組為了測(cè)量蘭陵閣的高度,

制定了兩種方案：

45

BDC8

|V]^

方案一：利用測(cè)角儀在地面進(jìn)行測(cè)量.如圖L先在點(diǎn)c處測(cè)得蘭陵闊的頂端A的仰角為37。，又向前走了

5米到點(diǎn)。處，此時(shí)測(cè)得頂端A的仰角為45。；

方案二：利用無人機(jī)在空中進(jìn)行測(cè)量.如圖2,無人機(jī)在離地面30米高的點(diǎn)E處測(cè)得蘭陵閣頂端A的俯角

為45。，測(cè)得底部B的俯角為63.5。；

請(qǐng)你選擇一種測(cè)量方案，結(jié)合測(cè)得的數(shù)據(jù)，計(jì)算蘭陵閣48的高度約為多少米？(參考數(shù)據(jù)sin37。。0.6,

cos37°?0.8,tan37°?0.75，sin26.5°?0.4,cos26.5°a0.9,tan26.5°?0.5).

4.(2025?山東臨沂?一模)某數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組在老師的指導(dǎo)下，利用課余時(shí)間進(jìn)行測(cè)量活動(dòng).

活動(dòng)主題測(cè)算某水池中雕塑底座的底面積

測(cè)量工具皮尺、測(cè)角儀、計(jì)算器等

某休閑廣場(chǎng)的水池中有一雕塑，其底座的底面為矩形AB8,其示

意圖如下：

模型抽象(D

活動(dòng)GEFH

過程

①在水池外取一點(diǎn)E,使得點(diǎn)C,B,E在同一條直線上；

②過點(diǎn)E作GHLCE,并沿EH方向前進(jìn)到點(diǎn)F,用皮尺測(cè)得EF的

測(cè)繪過程

長(zhǎng)為8米；

與數(shù)據(jù)信

③在點(diǎn)F處用測(cè)角儀測(cè)得NC77G=60.3。，ZBFG=45°,

息

NAFG=21.8°；

④用計(jì)算器計(jì)算得：sin60.3o~0.87,cos60.3°?0.50,

tan60.3°?1.75,sin21.8°?0.37,cos21.8°?0.93,tan21.8°?0.40.

請(qǐng)根據(jù)表格中提供的信息，解決下列問題（結(jié)果保留整數(shù)）：

⑴求線段CE和8C的長(zhǎng)度：

⑵求底座的底面ABC。的面積.

5.（2025?山東濟(jì)寧?一模）綜合與實(shí)踐

一天，某校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組開展了項(xiàng)目式主題學(xué)習(xí)，具體如下:

項(xiàng)

目

測(cè)量底部無法到達(dá)的物體高度

名

稱

某校園內(nèi)有一座孔子雕像（如圖1所示），雕像底座的底面是一個(gè)正方形.

九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組利用所學(xué)知識(shí)，測(cè)量這座雕像的高度（含底座的高度）.

問

a

題

情富1

境

圖1

如圖2,設(shè)雕像底座的底面是正方形ABCD,它的中心為0,雕像的頂端為點(diǎn)P,

過點(diǎn)尸作底座底面（正方形A3CD）的垂線恰好經(jīng)過它的中心。，則線段尸。的長(zhǎng)

數(shù)即為這座雕像的高度.

I

學(xué)

建

模A\D

BC

圖2

測(cè)

足夠長(zhǎng)的卷尺測(cè)角儀

量

工

具

該校九年級(jí)數(shù)學(xué)興趣小組務(wù)田共了下面的測(cè)量方法，并繪制了如圖3所示的測(cè)量示

意圖.

P

_k_______________JAD

—7第一步，數(shù)學(xué)興趣小組用卷尺測(cè)得雕像底座底

Eb7^-oj

測(cè)C

量圖3

步面（正方形ABCD）的邊*三為。米；

驟第二步，數(shù)學(xué)興趣小組用卷尺在雕像底座底面所在平面上取一適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)E,使

EA=EB,此時(shí)用卷尺得點(diǎn)E到雕像底座底面（正方形ABCD）邊AB的距離（EF

的長(zhǎng)）為萬米；

第三步，某同學(xué)繼續(xù)站在￡-處（ME表示測(cè)角儀到底座底面所在平面的距離）用

測(cè)角儀測(cè)得此時(shí)雕像頂端/，的仰角為a；

第四步，用卷尺測(cè)得=c米.

計(jì)

根據(jù)上面的測(cè)量方法，若a=10,b=12,c=1.85,Na=18。，求尸。的長(zhǎng)（精確

算

到0.01）.

結(jié)

參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.309,cosl8°?0.951,tanl8O?0.325.

果

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用方向角問題

1.（2025?廣西河池?一模）【閱讀理解】在學(xué)習(xí)《解直角三角形》這一節(jié)時(shí)，喜歡探索的小明同學(xué)在課外學(xué)

習(xí)活動(dòng)中，探究發(fā)現(xiàn)，銳角三角形的面積、邊、角之間存在一定的數(shù)量關(guān)系.下面是小明同學(xué)的學(xué)習(xí)筆記,

請(qǐng)仔細(xì)閱讀下列材料并完成相應(yīng)的任務(wù).

學(xué)習(xí)筆記：如圖1,在銳角VABC中，/A,ZB,—ACB的對(duì)邊分別記為a,b,c,銳角VABC的面積記

CD

為sABC，過點(diǎn)。作CD_L45于點(diǎn)D,貝lJsinA=M；,

CD=AC-sinA,

._AgGDABACsinAcbsinA

-AABC--2―2-2?

lTmi曰0ac-sinB°ab-sinZACB

同1理可得S△枷=---，S.BC=-----------------，

be-sinAac-sinBab-sinC

即nn-------=--------=--------.

222

由以上推理得結(jié)論①：銳角三角形的面積等于兩邊與其夾角正弦積的一半.

，上日上口“"?心甘一5hbe-sinAac-sinBab-sinZACB

又??,abcwO,根據(jù)等式的基本性質(zhì)，將一--二---=-----------，整理，得zn

222

sinAsinB_sinZACB

abc

由以上推理得結(jié)論②：在一個(gè)銳角三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比值相等.

【理解應(yīng)用】請(qǐng)學(xué)習(xí)上述閱讀材料，并用上述材料的結(jié)論解答以下問題.

如圖2,甲船以54海里/時(shí)的速度向正北方向航行，當(dāng)甲船位于A處時(shí)，乙船位于甲船的南偏西75。方向的

B處，且乙船從B處沿北偏東15。方向勻速直線航行.當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)。處時(shí)，乙船航行到達(dá)甲船

的南偏西60。方向的C處，此時(shí)兩船相距18海里.

（1）求△ADC的面積；

⑵求乙船由B處到達(dá)C處航行的路程是多少海里.（結(jié)果保留根號(hào)）

2.（2025?山東煙臺(tái)?一模）曬甲河項(xiàng)目是我區(qū)畫河文化旅游綜合改造項(xiàng)目的重要組成部分，在建設(shè)過程中十

分重視便民利民.其中，規(guī)劃的曬甲河濕地公園一個(gè)休閑區(qū)域是一個(gè)四邊形ABC。，其中四周是人行步道,

對(duì)角線AC、8。為兩條自行車道，點(diǎn)B為入口，經(jīng)測(cè)量，點(diǎn)4在點(diǎn)B的正東方向，同時(shí)點(diǎn)A在點(diǎn)。的南偏

東45。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)D的南偏西60。方向，點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏西75。方向，ZADB=15。，若=9000米.（參

考數(shù)據(jù)：V2?1.414,73?1.732,布~2.449)

（1）求自行車道AC的長(zhǎng).（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位）

⑵小明從A地步行前往B地，小明出發(fā)2分鐘后，小剛騎自行車從。出發(fā)趕往B地給小明送東西，請(qǐng)分別

求出A3、80的長(zhǎng)度.

3.（2025?新疆喀什?一模）如圖，某海岸線M的方向?yàn)楸逼珫|75。，甲、乙兩船同時(shí)出發(fā)向C處海島運(yùn)送物

資.甲船從港口A處沿北偏東45。方向航行.乙船從港口8處沿北偏東30°方向航行，其中乙船的平均速度

為25公里/小時(shí).若兩船同時(shí)到達(dá)C處海島，求甲船的平均速度.（參考數(shù)據(jù)：&引.4，1.7）

4.（2025?重慶?一模）"梨花風(fēng)起正清明，游子尋春半出城".如圖，某校在公園開展了尋春活動(dòng)，小巴和小

蜀同時(shí)從公園大門（A地）步行出發(fā)，約定在停車場(chǎng)地）匯合.小巴先沿北偏東60。的方向走6000m到

達(dá)和善亭（8地），然后繼續(xù)向東北方向走200m到達(dá)和雅亭（C地），到達(dá)C地后停留了3分鐘整理沿途采

集的植物，整理完畢后再到停車場(chǎng)（。地），。地在C地的南偏東30。方向.小蜀從A地出發(fā)后，先沿正東

方向到達(dá)和志亭（E地），再沿北偏東15。方向到達(dá)。地，E地恰在C地的正南方向.

（2）若小巴步行的速度為小蜀步行的速度為L(zhǎng)2m/s,請(qǐng)問小巴和小蜀誰先到達(dá)停車場(chǎng)（。地）？通

過計(jì)算說明.（計(jì)算結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后1位，參考數(shù)據(jù)：0=1.41，6*1.73,布。2.45）

5.（2025?黑龍江大慶?一模）如圖，鄉(xiāng)鎮(zhèn)A點(diǎn)在鄉(xiāng)鎮(zhèn)B點(diǎn)的正北方向，橋C￡＞最北端的橋墩C點(diǎn)在鄉(xiāng)鎮(zhèn)A點(diǎn)

的西南方向，最南端橋墩。點(diǎn)在鄉(xiāng)鎮(zhèn)8點(diǎn)的北偏西37。方向15km處.原來從鄉(xiāng)鎮(zhèn)A到鄉(xiāng)鎮(zhèn)8需要經(jīng)過橋CD,

沿折線AfCf到達(dá)，現(xiàn)在新建了橋跖，可直接從鄉(xiāng)鎮(zhèn)A到達(dá)鄉(xiāng)鎮(zhèn)8,已知橋和平行，

EF=CD.（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.6,cos37°?0.8,0*1.4.）

⑴求點(diǎn)C到直線鉆的距離；

（2）求現(xiàn)在從鄉(xiāng)鎮(zhèn)A到鄉(xiāng)鎮(zhèn)B比原來少走的路程.

駁型05解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用坡度坡角問題

1.（2025?江西宜春?一模）八一廣場(chǎng)，南昌這座英雄城市的重要地標(biāo)！為了紀(jì)念1927年8月1日發(fā)生的南

昌起義，廣場(chǎng)中央矗立著八一起義紀(jì)念塔，如圖，紀(jì)念塔前有一斜坡AB=5m,坡度1=3:4,在點(diǎn)B處看

塔尖的仰角為72。，AE=20m.

（1）求點(diǎn)B到地面的垂直高度；

⑵求紀(jì)念塔的高度CE（結(jié)果保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sin72°?0.951,cos72°?0.309,tan72°?3.078）

2.（2025?陜西寶雞?一模）在校園科技節(jié)活動(dòng)中，主辦方布置了一項(xiàng)挑戰(zhàn)任務(wù)：精準(zhǔn)測(cè)量學(xué)校主教學(xué)樓的高

度.任務(wù)一發(fā)布，來自各個(gè)班級(jí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組紛紛踴躍參與，以下是某小組給出的測(cè)量方案.請(qǐng)你根據(jù)

小組的測(cè)量方案，計(jì)算教學(xué)樓AB的高度.（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°?0.60,cos37°?0.80,

tan37°?0.75，73?1.73)

任務(wù)測(cè)量主教學(xué)樓的高度

測(cè)量工具測(cè)角儀，皮尺

A

測(cè)量方案示意

圖

DC

①測(cè)量出教學(xué)樓AB前斜坡3c的長(zhǎng)為8米，坡度i=1:石

測(cè)量步驟

②在離點(diǎn)C30米的點(diǎn)。處，測(cè)得教學(xué)樓頂端A的仰角NADC為37°.

測(cè)量數(shù)據(jù)說明點(diǎn)、A,B,C,￡）在同一平面內(nèi)

3.（2025?北京?一模）某市一處十字路口立交橋的橫斷面如圖所示，橋拱的DGD'部分為一段拋物線，頂點(diǎn)G

的高度為8米，它兩側(cè)AD和AD是高為5.5米的支柱，和。4為兩個(gè)方向的機(jī)動(dòng)車通行區(qū)，寬都為15

米，線段和C'。'為兩段對(duì)稱的上橋斜坡，其坡度（即垂直高度與水平寬度的比）為14.以CC'所在直

線為x軸，橫斷面的對(duì)稱軸為＞軸建立平面直角坐標(biāo)系.

⑴求橋拱DGD'所在拋物線的解析式及OC的長(zhǎng)；

（2）BE和BE'為支撐斜坡的立柱，其高都為4米，相應(yīng)的48和AB為兩個(gè)方向的行人及非機(jī)動(dòng)車通行區(qū)，

直接寫出寬A8的長(zhǎng)度；

⑶按規(guī)定，汽車通過該橋下時(shí)，載貨最高處和橋拱之間的距離不得小于0.4米.今有一大型運(yùn)貨汽車，裝載

某大型設(shè)備后，其寬為4米，車載大型設(shè)備的頂部與地面的距離均為7米.它能否從橋下區(qū)域安全通過？

請(qǐng)說明理由.

4.（2025?湖南衡陽?一模）如圖，紅紅家后面的山坡上有座信號(hào)發(fā)射塔AB,塔尖點(diǎn)A到地面的距離為AC.紅

紅站在離房子OE的底端E前方30米的點(diǎn)尸處，眼睛G距離地面的高度G產(chǎn)=1.5米，抬頭發(fā)現(xiàn)恰好可以觀

察到發(fā)射塔的塔尖A,并且在此觀測(cè)位置測(cè)得塔尖的仰角為31。.紅紅家到山腳的水平距離E"=50米，山

坡的坡度為，=1:2.5（?=—）,山腳H到塔尖的仰角為45。.

（2）求房子OE和塔AB的高度.（結(jié)果保留一位小數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin31°?0.51,cos31°?0.86,tan31°?0.60）

5.（2025?天津紅橋?■模）綜合與實(shí)踐活動(dòng)中，要利用測(cè)角儀測(cè)量■座建筑物的高度.

如圖，在建筑物AB前有一座高為OE的山坡，已知CD=25m,NDCE=a，點(diǎn)、E,C,A在同一條水平直線

上.

某學(xué)習(xí)小組在山坡底部C處測(cè)得建筑物頂部8的仰角為45。，在山坡頂部D處測(cè)得建筑物頂部8的仰角為

22°.

（1）求山坡的高度。E；

⑵求建筑物的高度48（結(jié)果保留整數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sina=0.60,cosa:=0.80,tana=0.75,tan22°?0.40.

6.（2025?四川資陽?一模）風(fēng)箏起源于中國(guó)，已有2000多年的歷史，它象征著希望和祝福，而放風(fēng)箏則可

強(qiáng)身健體、愉悅身心.陽春三月，小明和好友到郊外去放風(fēng)箏，由于天公作美，風(fēng)箏快速飛至點(diǎn)P處（如

圖）.愛動(dòng)腦的小明準(zhǔn)備測(cè)量此時(shí)風(fēng)箏的高度，他立即從坡底A處沿坡度1=5:12的山坡走了三m到達(dá)

坡頂B處，測(cè)得P處的仰角為45。；他又沿坡面BC走30m到達(dá)坡底C處，測(cè)得尸處的仰角為60。.（點(diǎn)A,B,

C,尸在同一平面內(nèi)）

⑴求坡頂8處的高度；

（2）求風(fēng)箏的飛行高度（即9的長(zhǎng)）.

解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用其他問題

1.（2025?寧夏銀川?一模）如圖，圖1為《天工開物》記載的用于春（ch6ng）搗谷物的工具一一“碓（du?）

"的結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖，圖2為其平面示意圖，已知于點(diǎn)3,A8與水平線/相交于點(diǎn)0,OE，/.若BC=40cm,

OB=120cm,/BOE=62°,則點(diǎn)C到水平線/的距離C尸為cm.（sin62°^0.88,cos62°^0.47,

tan62。a1.88,結(jié)果精確到1cm）

人

工

升

物

2.（2025,遼寧撫順?一模）按照中央、省市關(guān)于城市燃?xì)夤芫W(wǎng)專項(xiàng)治理工作的部署和安排，我市正在進(jìn)行城

鎮(zhèn)燃?xì)夤芫W(wǎng)老化更新改造工程.圖1是改造現(xiàn)場(chǎng)一輛伸縮臂高空作業(yè)車的實(shí)物圖，圖2是其工作示意圖（點(diǎn)

A,B,C,D,E,F,G,H都在同一平面內(nèi)）.如圖2,伸縮臂高空作業(yè)車CO固定不動(dòng)，轉(zhuǎn)軸BC固

定不動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)點(diǎn)B離地面EG的高度8〃為3.4m,起重臂A8長(zhǎng)為6.1m,ABH=125,樓高FG為14.4m,

操作平臺(tái)A在尸G上.

⑴求此時(shí)操作平臺(tái)A離地面的高度AG；

（2）若起重臂可以繞點(diǎn)3上下轉(zhuǎn)動(dòng)，且長(zhǎng)度可伸縮，最長(zhǎng)可伸長(zhǎng)為13m,則操作平臺(tái)A能到達(dá)樓頂尸嗎？

為什么？（結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)：sin35°?0.57,cos35°?0.82,tan35°?0.70）

3.（2025?山東青島?一模）某小區(qū)活動(dòng)中心想在房前3m高的墻A8上安裝一個(gè)遮陽篷2C,使正午時(shí)刻房前

能有2m寬的陰影處AD以供納涼.假設(shè)此地某日正午時(shí)刻太陽光線與水平地面的夾角為63.4。，遮陽篷

與水平面的夾角為13.4。，如圖為側(cè)面示意圖，請(qǐng)求出此遮陽篷C端到墻A8的距離CE是多長(zhǎng)？（結(jié)果

精確到0.1m）.

（參考數(shù)據(jù):sin13.4。a0.24,cos13.4。70.97,tanl3.4°?0.25；sin63.4°a0.89,cos63.4°?0.45,

4.（2025?江蘇泰州?一模）圖1是一種陽臺(tái)戶外伸縮晾衣架，側(cè)面示意圖如圖2所示，是由支架AH、DM、

MN、HL、NE、LF組成，其中A、B兩點(diǎn)是墻面固定點(diǎn)，點(diǎn)?？梢栽诰€段BC上自由移動(dòng)，活動(dòng)角N4GD

隨著。點(diǎn)的移動(dòng)而變化，晾衣架也隨著整體前后移動(dòng).圖2中AG、DG、和中間兩個(gè)全等的菱形邊長(zhǎng)

都相等（寬度忽略不計(jì)）.

（1）若ZAGO=120。，AG=18cm.求此時(shí)最遠(yuǎn)端點(diǎn)E到墻壁的距離；

⑵若點(diǎn)。從C移動(dòng)到B,活動(dòng)角4GD變化范圍為40。?144。，最遠(yuǎn)端點(diǎn)E到墻壁的最大距離可達(dá)

112.8cm.求A8的長(zhǎng)（結(jié)果保留整數(shù)）.（參考數(shù)據(jù)：sinl8°?0.31,cosl8°~0.95,sin70°?0.94,

cos70°x0.34）.

5.（2025?山東臨沂?一模）如圖1,明代科學(xué)家徐光啟所著的《農(nóng)政全書》中記載了中國(guó)古代的一種采桑工

具一桑梯，其簡(jiǎn)單示意圖如圖2,已知AB=AC=1.8m,AD=1.6m,AC與A3的夾角4c為。.為保

證安全，農(nóng)夫?qū)⑸Ｌ莘胖迷谒降孛嫔?，將夾角。調(diào)整為42。，并用鐵鏈鎖定8、C兩點(diǎn).

O'

圖I

⑴求出B點(diǎn)到AC的距離（結(jié)果精確到0.1m）；

（2）農(nóng)夫站在離頂端。處0.6m的E處