壓軸題06特殊四邊形壓軸題1

部盤重點(diǎn)?抓核心

四邊形這個中考考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中包含平行四邊形、矩形'菱形、正方形，因?yàn)樗倪呅闻c三角形基礎(chǔ)

知識'特殊三角形、相似三角形等的緊密結(jié)合性，所以常出對應(yīng)壓軸題，特別是正方形，更容易出選擇填

空壓軸題。對應(yīng)壓軸題牽涉考點(diǎn)有以下幾個方面：

1、平行四邊形：①平行四邊形因?yàn)樽詭А啊ǘ猿？梢院团c“平行”相關(guān)的模型結(jié)合，如角平分

線、平行線、角平分線組合的“知二得一”；再比如因?yàn)椤啊ā钡玫降摹癆字圖相似”、“8字圖相似”也是

平行四邊形結(jié)合的重點(diǎn)；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角相等、對角線互相平分，這些角的等量關(guān)系、

線段的等量關(guān)系因?yàn)榕c三角形全等結(jié)論相同，故常將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題來思考解

決；③等腰三角形的存在性問題也可以在平行四邊形的問題背景下出題。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形有的結(jié)合及轉(zhuǎn)化方式，它們也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形解決問題，矩形有直角，所以矩形的

存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題來思考，同理，菱形存在性問題因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，

也可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題。

3、正方形：正方形在壓軸題中?？伎键c(diǎn)包括：①正方形的半角模型；②正方形與勾股定理；③正方形

與三角函數(shù)等。另外，正方形的問題常轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題思考。最后，平行四邊形的考點(diǎn)結(jié)合類型，

正方形也有。

壓軸題型一：平行四邊形選擇、填空壓軸題

1.（2024?浙江）如圖，在回ABC。中，AC,相交于點(diǎn)O,AC=2,BD=2回過點(diǎn)A作AE_LBC的垂

線交于點(diǎn)E,記BE長為無，8C長為y.當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

2.（2024?自貢）如圖，在固4BCD中，ZB=60°,AB=6cm,BC=12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以Ic/w/s的

速度沿運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以3c"/s的速度沿C-B/C-…往復(fù)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)端點(diǎn)

。時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動.在此運(yùn)動過程中，線段PQ=CD出現(xiàn)的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

3.（2024?九龍坡區(qū)校級模擬）如圖，在平行四邊形A8CD中，ZC=45°,AB=6428c=12.E為BC邊

上一點(diǎn)，且滿足CE=AE,作/CEA的平分線EF交AD于點(diǎn)F,則EF的長度為.

4.（2024?永修縣校級模擬）如圖，在平行四邊形A8CZ）中，AB=8,BC=12,ZB=120°,E是BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在平行四邊形ABC。的邊上，若△P8E為等腰三角形，則EP的長為.

5.（2024?香坊區(qū)一模）在E1ABC。中，對角線AC和8。相交于點(diǎn)O,AD=5,AC=8,BD=6,延長8c至

1

點(diǎn)E,連接OE交CD于點(diǎn)F,若NE=^AACD,則線段OF的長為.

壓軸題型二：矩形選擇、填空壓軸題

1.（2024?蘇州）如圖，矩形ABC。中，AB=V3,BC=1,動點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿AB,CD向終點(diǎn)8,。運(yùn)動，過點(diǎn)E,尸作直線/,過點(diǎn)A作直線/的垂線，垂足為

G,則AG的最大值為（）

DC

V3

A.V3B.一C.2D.1

2

2.（2024?巴中）如圖，矩形ABC。的對角線AC與8。交于點(diǎn)。，OE_LAC于點(diǎn)E,延長。E與8C交于點(diǎn)

F.若A8=3,BC=4,則點(diǎn)尸到8。的距離為

3.（2024?歷下區(qū)一模）如圖，已知矩形ABC。，AB=6,4。=8,點(diǎn)E為邊8C上一點(diǎn)，連接。E,以DE

為一邊在與點(diǎn)C的同側(cè)作正方形DEFG,連接AF.當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動時(shí)，AF的最小值

是

4.（2024?南明區(qū)校級二模）如圖，在矩形ABC。中，NBCD的角平分線CE與邊交于點(diǎn)E,/AEC的

角平分線與邊CB的延長線交于點(diǎn)G,與邊AB交于點(diǎn)F,如果4B=3&,AF=2BF,那么GB

GBC

5.（2024?雷州市一模）如圖，在矩形A8C。中，E,尸分別是邊48,上的動點(diǎn)，尸是線段斯的中點(diǎn),

PGLBC,PHLCD,G,H為垂足,連接G/I.若A2=8,AD=6,EF=6,則G8的最小值是

6.（2024?平頂山一模）在矩形ABCD中，AB=3,BC=5,若P是射線上一個動點(diǎn)，連接8尸，點(diǎn)A關(guān)

于直線BP的對稱點(diǎn)為M,連接MP,MC,當(dāng)P,M,C三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長為

壓軸題型三：菱形選擇、填空壓軸題

1.（2024?泰安）如圖，菱形ABCZ）中，ZB=60°,點(diǎn)E是48邊上的點(diǎn)，AE=4,BE=8,點(diǎn)尸是8C上

的一點(diǎn)，△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，NEFG為30。角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)F在直線BC上

運(yùn)動時(shí)，線段AG的最小值是（）

A.2B.4V3-2C.2V3D.4

2.（2024?婁星區(qū)二模）如圖，已知菱形ABCD的邊長為6,點(diǎn)M是對角線AC上的一動點(diǎn)，且/A8C=120°,

A.3V3B.3+3百C.6+V3D.6A/3

3.（2024?淄博）如圖，在邊長為10的菱形ABC。中，對角線AC,相交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在2C延長線上,

OF5

與CD相交于點(diǎn)凡若NAC￡>=2/OEC,—=一，則菱形ABCD的面積為

FE6--------------

4.（2024?寶安區(qū)三模）周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側(cè)滑，幸虧淘氣爸爸反應(yīng)及時(shí)，車子

才慢慢停了下來.淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了.爸爸說，只要把備胎換上就行了.于

是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意.圖（1）是一種利用了四邊

形不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的千斤頂.如圖（2）所示，該千斤頂?shù)幕拘螤钍且粋€菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動

手柄可改變NAOC的大?。庑蔚倪呴L不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅,C之間的距離）.已知42

—40cm,ZADC—60°,當(dāng)千斤頂升高時(shí)，四邊形ABCD為正方形.

5.（2025?佛山一模）如圖1是王先生家的菜圃，圖2是該菜圃的示意圖，該菜圃可看作矩形，點(diǎn)E,歹分

別是矩形ABCD的邊CD,AB的中點(diǎn)，兩條平行線AK,CL分別經(jīng)過菱形EGFH的頂點(diǎn)H,G和邊FG,

EH的中點(diǎn)N.已知菱形EG/7/的面積為6,則陰影部分的面積之和為.

6.（2024?道外區(qū)三模）如圖，在菱形A8CD中，AC與80交于點(diǎn)。，A8邊的垂直平分線交8。于點(diǎn)E,

交A8于點(diǎn)E點(diǎn)G為C。邊中點(diǎn),連接EG,若AC=8,BD=16,則線段EG的長為.

A_____________D

zA/

BC

7.（2024?廣陵區(qū)校級四模）如圖，菱形ABCD中，ZABC=60°，點(diǎn)點(diǎn)N分別是A3、AC邊上的點(diǎn),

且BN、CM交于點(diǎn)E,如果點(diǎn)尸是OE的中點(diǎn)，那么BE+CE=-

壓軸題型四：正方形選擇，、填空壓軸題

1.（2024?瀘州）如圖，在邊長為6的正方形ABC。中，點(diǎn)E,尸分別是邊AB,8C上的動點(diǎn)，且滿足AE

1

=BF,AF與。E交于點(diǎn)。點(diǎn)M是。F的中點(diǎn)，G是邊AB上的點(diǎn)，AG=2GB,則OM+?燈的最小值

是（）

AEGB

D.10

2.（2025?江北區(qū)模擬）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E為3C邊上一點(diǎn)，BE：CE=1：2,連接AE,將線

CF

段AE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)R連接CRDF,則一的值是（）

DF

V5V15V5V1O

A.—B.-----C.—D.-----

5535

3.（2024?新城區(qū)校級二模）如圖，已知E,尸分別為正方形A8C。的邊AB,BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)

M,O為BD的中點(diǎn)，則下列結(jié)論：①乙4腔=90°,②NBAF=/EDB,③40=爭0/，@ME+MF=

42MB.其中正確結(jié)論的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

4.（2024?黑龍江）如圖，在正方形ABC。中，點(diǎn)"在AZ）邊上（不與點(diǎn)4、。重合），/BHF=90：HF

交正方形外角的平分線。F于點(diǎn)E連接AC交8H于點(diǎn)仞，連接8尸交AC于點(diǎn)G,交C。于點(diǎn)N,連

接3D則下列結(jié)論：

①/HBF=45。；②點(diǎn)G是8尸的中點(diǎn)；③若點(diǎn)”是AO的中點(diǎn)，貝|sin/A?C=詈；?BN=

111

⑤若AH=加,貝USABND=其中正確的結(jié)論是（）

C.①②④⑤D.①②③④⑤

5.（2024?南通）如圖，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=5.正方形。所G的邊長為迷，它的頂

點(diǎn)D,E,G分別在AABC的邊上，則BG的長為

6.（2024?呼和浩特）如圖，正方形ABC。的面積為50,以A8為腰作等腰△A2RAB^AF,AE平分/D4P

交。C于點(diǎn)G,交BE的延長線于點(diǎn)E,連接OE.若3斤=2,則。G=

7.（2024?鹿城區(qū)校級模擬）如圖，在中，ZACB=90°,以AC和8c為邊在△ABC的外側(cè)作正

方形ACDE和正方形BCFG,延長ED和GF交于點(diǎn)P,AM±AB交EP于點(diǎn)M,BNLAB交GP于點(diǎn)N,

PC的延長線交A8于點(diǎn)0.若PM=2ME,2。=14,則陰影部分的面積為.

壓軸題06特殊四邊形壓軸題1

3盤重點(diǎn)?抓核心

四邊形這個中考考點(diǎn)在中考數(shù)學(xué)中包含平行四邊形、矩形、菱形、正方形，因?yàn)樗倪呅闻c三角形基礎(chǔ)

知識、特殊三角形、相似三角形等的緊密結(jié)合性，所以常出對應(yīng)壓軸題，特別是正方形，更容易出選擇填

空壓軸題。對應(yīng)壓軸題牽涉考點(diǎn)有以下幾個方面：

1'平行四邊形：①平行四邊形因?yàn)樽詭А啊ǘ猿？梢院团c“平行”相關(guān)的模型結(jié)合，如角平分

線'平行線、角平分線組合的“知二得一”；再比如因?yàn)椤啊ā钡玫降摹癆字圖相似”、“8字圖相似”也是

平行四邊形結(jié)合的重點(diǎn)；②根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)——對角相等、對角線互相平分，這些角的等量關(guān)系、

線段的等量關(guān)系因?yàn)榕c三角形全等結(jié)論相同，故常將平行四邊形的問題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問題來思考解

決；③等腰三角形的存在性問題也可以在平行四邊形的問題背景下出題。

2、矩形、菱形：矩形和菱形都是特殊的平行四邊形，所以平行四邊形有的結(jié)合及轉(zhuǎn)化方式，它們也有，

而且更特殊。如：矩形和菱形還可以轉(zhuǎn)化為直角三角形和等腰三角形解決問題，矩形有直角，所以矩形的

存在性問題也可以轉(zhuǎn)化為直角三角形的存在性問題來思考，同理，菱形存在性問題因?yàn)榱庑蔚乃臈l邊相等，

也可以轉(zhuǎn)化為等腰三角形的存在性問題。

3、正方形：正方形在壓軸題中?？伎键c(diǎn)包括：①正方形的半角模型；②正方形與勾股定理；③正方形

與三角函數(shù)等。另外，正方形的問題常轉(zhuǎn)化為等腰三角形問題思考。最后，平行四邊形的考點(diǎn)結(jié)合類型，

正方形也有。

壓軸題型一：平行四邊形選擇、填空壓軸題

1.（2024?浙江）如圖，在EL4BC。中，AC,2。相交于點(diǎn)。，AC=2,BD=2底過點(diǎn)A作AE_LBC的垂

線交8C于點(diǎn)E,記BE長為無，BC長為y.當(dāng)x,y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

A.x+yB.x-yC.xyD./+/

【分析】過。作交5C延長線于H,由平行四邊形當(dāng)性質(zhì)推出ABDC,AD//BC,得至IjAE

=0H,判定RtZXOC”也RtZ\A3E(H￡),得至UCH=BE=x,由勾股定理得到22-y-x)2=(2-\/3)2—(y+x)

2,得到孫=2.

【解答】解：過。作。HL8C,交8C延長線于H,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB=DC,AD//BC,

VAE±BC,DHLBC,

：.AE=DH,

：.RiADCH^RtAABE(HL),

：.CH=BE=x,

9：BC=y,

EC=BC-BE=y-x,BH=BC+CH=y+x,

,?工52=4。2_EC2Dtf=BN-B*

22-(y-x)2=(2A/3)2—(y+x)2,

?2.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理,關(guān)鍵是由RtZXOC”也Rt

△ABE(HL),得到CH=BE,由勾股定理得到2?-(y-x)2=(2V3)2-(j+\2

2.(2024?自貢)如圖，在回ABC。中，NB=60°,AB6cm,BC=12cm.點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，以lcni/s的

速度沿A-。運(yùn)動，同時(shí)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以3cm/s的速度沿C-B-C-…往復(fù)運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)端點(diǎn)

。時(shí)，點(diǎn)。隨之停止運(yùn)動.在此運(yùn)動過程中，線段尸Q=C。出現(xiàn)的次數(shù)是（）

A.3B.4C.5D.6

【分析】由已知可得，P從A到。需12s,。從C到8（或從8到C）需4s,設(shè)P,。運(yùn)動時(shí)間為ts,

分三種情況畫出圖形：①當(dāng)0W/W4時(shí)，過。作QHLA。于H,過C作CGLAQ于G,由四邊形CQP。

是等腰梯形，可得什3+3f+3=12,f=L5；當(dāng)四邊形CQPO是平行四邊形時(shí)，f+3t=12,得t=3；②當(dāng)4

時(shí)，若四邊形CQP。是平行四邊形，可得3G-4）=t,r=6；而四邊形CQPO是等腰梯形，則

PD>6cm,這種情況在4<fW8時(shí)不存在；③當(dāng)8</（12時(shí)，若四邊形CQPZ）是平行四邊形，3（L8）

=127,得r=9,即可得到答案.

【解答】解：由己知可得，P從A到。需12s,。從C到8（或從B到C）需4s,

設(shè)P,。運(yùn)動時(shí)間為ts,

①當(dāng)0W/W4時(shí)，過。作。于X,過C作CG_LA。于G,如圖：

由題可知，AP=tcm,CQ=3tcm=GH,

'：PD//CQ,PQ=CD,

四邊形CQPD是等腰梯形，

；./QPH=/D=/B=60°,

"：PQ=CD=AB=6cm,

11

：.PH=^PQ=3cm,DG=^CD=3cm,

'：AP+PH+GH+DG=AD=BC=12,

Z+3+3^+3—12,

解得）=1.5；

當(dāng)四邊形CQ尸。是平行四邊形時(shí)，如圖:

APfD

BQC

此時(shí)尸O=CQ=3/CM,

.*.r+3z=12,

解得f=3,

.?"為1.5s或3s時(shí)，PQ=CD-,

②當(dāng)4〈忘8時(shí)，若四邊形。。尸。是平行四邊形，如圖:

此時(shí)80=3(/-4)cm,AP=tcm,

'：AD^BC,PD=CQ,

：.BQ^AP,

.'.3(f-4)=3

解得f=6；

由①知，若四邊形CQP。是8,PQ為腰的等腰梯形，則尸。>6。相，這種情況在4<fW8時(shí)不存在;

.【為6s時(shí),PQ=CD；

③當(dāng)8<tW12時(shí)，若四邊形CQPO是平行四邊形，如圖：

此時(shí)CQ=3(f-8),P￡>=12-t,

：.3(f-8)=12-t,

解得f=9,

為9s時(shí)，PQ=CD；

綜上所述，，為1.5s或3s或6s或9s時(shí)，PQ=CD；

故選：B.

【點(diǎn)評】本題考查平行四邊形，等腰梯形的性質(zhì)及應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是分類討論思想的應(yīng)用.

3.(2024?九龍坡區(qū)校級模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，ZC=45°,AB=6^28c=12.E為BC邊

上一點(diǎn)，且滿足CE=AE,作NC￡A的平分線所交A。于點(diǎn)尸，則EF的長度為26亍.

【分析】連接AC交E廠于點(diǎn)0,連接CR過點(diǎn)A作交C5的延長線于H,先證四邊形AEC尸

為菱形，則EF_LAC,OE=OF,OA=OC,在中分別求出AH=3X=6,則CH=BC+B〃=18,

由此得AC=6同，則0C=O4=3，IU,證△COES2XCHA,利用相似三角形的性質(zhì)求出。打=由

此即可得出族的長.

【解答】解：連接AC交跖于點(diǎn)0,連接CR過點(diǎn)A作交C8的延長線于H,如圖所示：

???四邊形ABCD為平行四邊形，

J.AD//BC,CD//AB,

???N2=N3,

,.?￡尸平分NCE4,

???N1=N2,

???N3=N1,

：.AF=AE,

,/CE=AE,

：.AF=CE,

???四邊形AECF為平行四邊形，

■:CE=AE,

???平行四邊形AEC尸為菱形，

：.EFLAC,OE=OF,OA=OC,

9

：CD//ABfZDCB=45°,

AZABH=ZDCB=45°,

在RtZkABH中，AB=6V2,

/.sinZABH=祟cosZABH=器，

AH=AB?sinZABH=6應(yīng)Xsin45°=6,BH=AB?cosNABH=6V2Xcos45°=6,

???CH=BC+BH=12+6=18,

在RtZkAC”中，由勾股定理得：AC=y/CH2+AH2=6V10,

：.OC=OA=1AC=3V10,

.?.NCOE=NH=90°,NEOC=NACH,

:.XCOEs△CHA,

：.0E：AH=OC：CH,

即OE：6=3V10：18,

OE=V10,

：.EF=2OE=2V10.

故答案為：2同.

【點(diǎn)評】此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三

角形，理解平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，靈活運(yùn)用銳角

三角函數(shù)，勾股定理及相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵.

4.（2024?永修縣校級模擬）如圖，在平行四邊形ABCZ）中，4B=8,8c=12,ZB=120°,E是BC的中

點(diǎn)，點(diǎn)尸在平行四邊形ABC。的邊上，若△P3E為等腰三角形，則EP的長為6或6百或后.

【分析】當(dāng)尸點(diǎn)在上，BP=BE=6,作BHLPE于H,如圖1,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得刊/=￡?,

再計(jì)算出砂=30。，然后利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出即，從而得到此時(shí)

的PE的長；當(dāng)尸點(diǎn)在上，BP=PE,作BG_LA。于G,PFLBE于F,如圖2,所以BF=EF=3,

先求出BG=4H,從而得到PF=4b，然后利用勾股定理計(jì)算出此時(shí)尸￡的長；當(dāng)點(diǎn)尸在C。上，如圖

3,EB=EP=6.

【解答】解：當(dāng)P點(diǎn)在8A上，BP=BE=6,

作BHLPE于H,如圖1,則PH=EH,

VZB=120°，

；?/BPE=/BEP=3b°,

在RtZXBEH中，BH=^BE=3,EH=^BH=3?

:.PE=2EH=65

當(dāng)尸點(diǎn)在A。上，BP=PE,

作8G_LA。于G,PF_LBE于F,如圖2,貝l|BF=EP=3,

V四邊形ABCD為平行四邊形，

：.AD//BC,

VZABC=120°,

AZA=60°,

1

在RtZXABG中，AG=^AB=4,BG=V3AG=4A/3,

:.PF=4?

在RtAPEF中，PE=32+(4V3)2=V57;

當(dāng)點(diǎn)尸在C￡＞上，如圖3,EB=EP=6,

綜上所述，尸￡的長為6或6百或符.

故答案為6或6W或屈.

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等；平行四邊形的對角相等；平行四邊形

的對角線互相平分.平行線間的距離處處相等.也考查了等腰三角形的性質(zhì).

5.（2024?香坊區(qū)一模）在EIABCZ）中，對角線AC和8。相交于點(diǎn)O,AD=5,AC=8,BD=6,延長8c至

112V10

點(diǎn)E,連接。E交8于點(diǎn)R若4=產(chǎn)2小則線段8的長為一下一

AD

【分析】作。尸〃AC,交3C延長線于點(diǎn)尸，因?yàn)锳Z)〃BC,即AD〃CP,四邊形ACPD是平行四邊形,

可得。尸=AC,CP=AD,已知AO=5,AC=8,BD=6,可得8。、DP、BP的長，BD?+Dp2=Bp2符合

勾股定理，所以N5。尸=90°,因?yàn)椤ＪˋC,可得N5OC=90°,可得區(qū)43CZ)是菱形，所以NBCO=

1OMBM

ZDCO,因?yàn)镹E=之乙46,可得/E=/EOC,證△BOMs/\BQC,AFEC^AOEM,所以一=—=

2DCBC

301EFEC

—=一，一=—,可得OM.EM、BM的長，因?yàn)锽O2-BN1=ON1,OM2-MN2=ON2,可求得ON、

BD2EOEM

EFEC

MN的長，由勾股定理。爐+四解=0￡2可得OE的長，因?yàn)橐?—,可得EF的長，因?yàn)镺F=OE-

EOEM

EF,可得。尸的長.

【解答】解：BNMC

DMP//AC,交延長線于點(diǎn)P,

VAD//BC,即A0〃CP,

???四邊形ACPD是平行四邊形，

：.DP=AC=S,CP=AD=5,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.BC=AD=5,AO=CO,BO=DO,

：.BP=BC+CP=10,

9：62+82=1CP,即BD^+DP2=BP2,

：.ZBDP=90°,

'JAC//DM,

：.ZBOC=ZBDP^90°,

???團(tuán)ABC。是菱形,

：.ZBCO=ZDCO,

1

\*AE=^ACD,

：.ZBCO=2ZEf

■:NBCO=NE+/EOC,

：.ZE=ZEOC,

：.CE=CO=4f

過O作OM〃CZ）,交5C于點(diǎn)過0作0NJ_5C,交BC于點(diǎn)、N,

NOMB=/DCB,/OME=/FCE,

ZDBC=ZOBM,ZFEC=ZOEM,

△BOMsABDC,AFECSAOEM,

OMBMBO1EFEC

DC~BC~BD~2EO~EM'

OM=2.5,5M=2.5,EM=MC+CE=6.5.

EFEC8

EO~EM~13'

B*-B呂=O?,OM1-MN1=ON1,

BO2-Bl>fi=OM2-MN1,即32-(2.5-MN)2=2.52-MN2,

解得：MN=Q7,

???ON=2.4,EN=L2,

：.OE=yJON2+EN2=

EFEC8

EO~EM~13f

.s96同

?在=飛1，

?人日一八口口口12/10

??OF=OE-EF=--，

12Vm

故答案為:

13

【點(diǎn)評】本題考查了平行四邊形綜合題，關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，菱形的判定條件與性質(zhì).

壓軸題型二：矩形選擇、填空壓軸題

1.（2024?蘇州）如圖，矩形ABC。中，AB=?BC=1,動點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以每秒1

個單位長度的速度沿AB,CD向終點(diǎn)B,。運(yùn)動，過點(diǎn)E,尸作直線/,過點(diǎn)A作直線/的垂線，垂足為

G,則AG的最大值為()

【分析】由勾股定理可求AC的長，由“A4S”可證△COF絲△AOE,可得AO=CO=1,由AG_LEF

可得點(diǎn)G在以A。為直徑的圓上運(yùn)動，則AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1,即可求解.

【解答】解：連接AC,交EF于O,

:四邊形ABC。是矩形，

J.AB//CD,/B=90°,

'：AB=V3,BC=\,

.,.AC=7AB2+BC2=V3T1=2,

；動點(diǎn)E,尸分別從點(diǎn)A,C同時(shí)出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿48,CD向終點(diǎn)B,。運(yùn)動，

ACF=AE,

'：AB//CD,

：.ZACD=ZCAB,

又?：/COF=ZAOE,

:.XCOF經(jīng)△NOE(A4S),

；.AO=CO=1,

'：AG±EF,

...點(diǎn)G在以AO為直徑的圓上運(yùn)動，

，AG為直徑時(shí)，AG有最大值為1,

故選：D.

DC

B

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓的有關(guān)知識，確定點(diǎn)G的運(yùn)

動軌跡是解題的關(guān)鍵.

2.（2024?巴中）如圖，矩形ABC。的對角線AC與8。交于點(diǎn)。，OELAC于點(diǎn)E,延長。E與8C交于點(diǎn)

21

F.若A8=3,BC=4,則點(diǎn)F到8。的距禺為

【分析】過點(diǎn)F作垂足為H,利用勾股定理求出AC的長，利用角的余弦值求出。尸的長,

再利用勾股定理求出尸C,從而得出3E利用三角形面積求出F8即可.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)尸作/垂足為H,

?.?四邊形ABC。為矩形，

：.ZBAD^ZBCD^90°,AC=BD,

'：AB=3,BC=4,

：.AC=BD=7AB2+BC?=V32+42=5,

，S“DC=^AC-DE,即］X4X3=**5XOE,

解得：DE=^-,

12

?/r:v\r—DE_DCHnT___

??COSz_EDC——「一n口，BJ一,

DCDF3DF

解得：DF=^,

：.FC=y/DF2-DC2

97

：.BF=BC-FC=4-=

44

11117

：.S^BDF=^BD?FH=%BF?DC,即一x5XFH=之x，x3,

Zz224

解得：

故答案為：—.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的相關(guān)知識，熟練掌握各知識點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

3.（2024?歷下區(qū)一模）如圖，已知矩形ABC。，AB=6,AD=8,點(diǎn)E為邊8C上一點(diǎn)，連接。E,以DE

為一邊在與點(diǎn)C的同側(cè)作正方形DEFG,連接AF.當(dāng)點(diǎn)E在邊BC上運(yùn)動時(shí),AF的最小值是10V2.

【分析】過點(diǎn)E作EH1AD于點(diǎn)H,過點(diǎn)尸作FKLBE,交BE的延長線于點(diǎn)K,交AB的延長線于點(diǎn)M,

利用矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)得到KF=EH=6,

KE=HD,設(shè)則HD=EK=8-x,MH=x,利用勾股定理，配方法以及非負(fù)數(shù)的意義解答即可

得出結(jié)論.

【解答】解：過點(diǎn)E作于點(diǎn)H,過點(diǎn)/作交8E的延長線于點(diǎn)K,交AB的延長線于

點(diǎn)M,如圖，

:四邊形A8C。為矩形，

：.AB=CD=6,AD=BC=8,ZC=ZADC=90°,

'：EH±AD,

四邊形CDHE為矩形，

：.EH=CD=6,

?..四邊形。E/G為正方形，

:.EF=ED,NFED=90°.

：.ZKEF+ZHED=90°.

'JFKLBE,

：.ZKFE+ZKEF^90°,

/KFE=AHED.

在AKFE和AHED中，

NFKE=乙EHD=90°

乙KFE=4HED,

、EF=DE

:.AKFE經(jīng)LHED(AAS),

：.KF=EH=6,KE=HD.

'：NBAH=NAHE=NMKH=90°,

.,?四邊形AHKM為矩形，

:.AH=MK,AM=HK,NM=90°,

設(shè)尤，則/TO=EK=8-x,MH=x,

：.AM=HK=HE+EK=14-x,MF=KF+MK=6+x,

在RtAAFM中，

\'AM2+MF2^AF2,

：.AF=7(14-x)2+(6+x)2=j2(x—4)2+200,

V2(x-4)2》o,

當(dāng)尤=4時(shí)，AF取得最小值為&UU=10V2.

：.AF的最小值是10V2.

故答案為：10匹.

AHD

【點(diǎn)評】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角

形的判定與性質(zhì)，配方法，非負(fù)數(shù)的應(yīng)用，恰當(dāng)?shù)奶砑虞o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵.

4.（2024?南明區(qū)校級二模）如圖，在矩形4BC。中，的角平分線CE與邊AO交于點(diǎn)E,/AEC的

角平分線與邊CB的延長線交于點(diǎn)G,與邊交于點(diǎn)F,如果3a,AF=2BF,那么GB=_2-

【分析】證明得AE=28G,設(shè)3G=a,則AE=2a,根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的

定義可得CD=DE=AB=3/,CE^CG=y[2CD=V2X3A/2=6,從而得結(jié)論.

【解答】解：：四邊形ABC。是矩形，

J.AD//BC,

：.△AFEs^BFG,

.AFAE

??二,

BFBG

9

：AF=2BFf

：.AE=2BGf

設(shè)8G=〃，則AE=2〃，

TCE平分NOC5,EF平分/AEC,

：.ZDCE=ZECB,ZAEF=ZCEF,

'JAD//CG,

???NAEF=NG,NDEC=NECG,

：.ZCEF=ZGfZDEC=ZDCB,

:?CD=DE=AB=3五,CE=CG=V2CD=V2x3V2=6,

.?.Q+2〃+3v5=6,

**?。=2—y/2.9

：.GB=2-42.

故答案為：2—V2.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角

形的性質(zhì)和判定的運(yùn)用，解答時(shí)運(yùn)用角平分線的定義和平行線得等腰是本題的關(guān)鍵.

5.（2024?雷州市一模）如圖，在矩形ABC。中，E,尸分別是邊AB,上的動點(diǎn)，尸是線段所的中點(diǎn)，

PGLBC,PH1CD,G,X為垂足，連接G8.若42=8,AD=6,EF=6,則G8的最小值是7.

【分析】連接AC、AP、CP,由勾股定理求出AC=10,再由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得AP=3,然

后證四邊形PGC”是矩形，得GH=CP,當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，CP最小=AC-AP=10-3=7,即

可求解.

【解答】解:連接AC、AP、CP,如圖所示：

:四邊形ABC。是矩形，

；.BC=AD=6,NBAD=/B=NC=90°,

：.AC=y/AB2+BC2=V82+62=10,

是線段E尸的中點(diǎn)，

1

：.AP=]EF=3,

:PGLBC,PHLCD,

:./PGC=/PHC=90°,

四邊形PGC”是矩形，

：.GH=CP,

當(dāng)A、尸、C三點(diǎn)共線時(shí)，C尸最小=AC-AP=10-3=7,

...G//的最小值是7,

故答案為：7.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)、勾股定理等知識；熟練掌握矩

形的判定與性質(zhì)，求出”的最小值是解題的關(guān)鍵.

6.（2024?平頂山一模）在矩形ABC。中，AB=3,BC=5,若P是射線上一個動點(diǎn)，連接8P,點(diǎn)A關(guān)

于直線8P的對稱點(diǎn)為連接MP,MC,當(dāng)尸，M,C三點(diǎn)共線時(shí)，AP的長為1或9.

【分析】分兩種情況畫圖：根據(jù)當(dāng)尸，M,C三點(diǎn)共線時(shí)畫出圖形，利用點(diǎn)A關(guān)于直線2尸的對稱點(diǎn)為M,

得,BM=AB=3,AP^MP,根據(jù)勾股定理列出方程即可解決問題.由軸對稱的性質(zhì)

得AP=MP,ZAPB=ZMPB,由平行線的性質(zhì)得/CBP,進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：①當(dāng)尸，M,C三點(diǎn)共線時(shí)，如圖1所示：

在矩形A8CZ）中，CD=AB=3,AD=BC=5,ZA=ZD=90°,

:點(diǎn)A關(guān)于直線BP的對稱點(diǎn)為M,

：.ZA=ZBMP=90°,BM=AB^3,AP=MP,

：.CM=VBC2-BM2=7s2—32=4,

設(shè)AP=x,

則PD=AD-AP=5-尤，CP=CM+PM=4+x,

在RtZkPDC中，根據(jù)勾股定理得：PC2=PD2+CD2,

(4+x)2=(5-x)2+32,

??X~~1f

的長為1；

②如圖2,由軸對稱的性質(zhì)得ZAPB=ZMPB,

由平行線的性質(zhì)得ZAPB=ZCBP

:.NCPB=/CBP,

:.CP=CB=5,

在RfABCM中，BM=AB=3,由勾股定理得CM=4,

:.MP=CP+CM=9,

：.AP=9,

綜上所述：AP的長為1或9,

故答案為：1或9.

【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱的性質(zhì).

壓軸題型三：菱形選擇、填空壓軸題

1.（2024?泰安）如圖，菱形ABC。中，ZB=60°,點(diǎn)E是A2邊上的點(diǎn)，AE=4,3E=8,點(diǎn)尸是上

的一點(diǎn)，△EGF是以點(diǎn)G為直角頂點(diǎn)，NEFG為30°角的直角三角形，連結(jié)AG.當(dāng)點(diǎn)P在直線BC上

運(yùn)動時(shí)，線段AG的最小值是（）

A.2B.4V3-2C.2V3D.4

【分析】則點(diǎn)區(qū)M、F、G四點(diǎn)共圓，從而得到因?yàn)锳GNAP,所以求出

的值即可得解.

【解答】解：如圖，過E作EML8C于點(diǎn)作于點(diǎn)H,作APLGM于點(diǎn)尸，

?：NEMF+/EGF=18Q°,

...點(diǎn)￡、M,F、G四點(diǎn)共圓，

：.ZEMG=ZEFG=3Q°,

VZB=60°,

：.ZBEM=30°=ZEMG,

J.MG//AB,

.?.四邊形AfflAP是矩形，

：.MH=AP,

；BE=8,

；.EM=BE?cos30°=4班,

：.MH=^EM=2V3=AP,

.?.AG\AP=2同

AG最小值是2班.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、解直角三角形、垂線段最短、圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)等知識，熟

練掌握相關(guān)知識點(diǎn)和添加合適的輔助線是解題關(guān)鍵.

2.（2024?婁星區(qū)二模）如圖，已知菱形ABC。的邊長為6,點(diǎn)M是對角線AC上的一動點(diǎn)，且120°,

A.3V3B.3+3V3C.6+V3D.6V3

【分析】過點(diǎn)M作MELAB于點(diǎn)E,連接BD交AC于。，點(diǎn)M運(yùn)動到DE上，且射線AB時(shí)，

DE取得最小值，此時(shí)QE最短，即最小，根據(jù)菱形性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可求出OE

的長，進(jìn)而可得結(jié)論.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)M作于點(diǎn)E,連接8。交AC于O,

,菱形ABC。中，ZABC=120°,

：.ZDAB=60°,AD=AB=DC=BC,

是等邊三角形，

/.ZMAE=3Q°,

：.AM=2ME,

:MD=MB,

：.MA+MB+MD=2ME+2DM=IDE,

點(diǎn)M運(yùn)動到。E上，且。E_L射線AB時(shí)，取得最小值，此時(shí)。E最短，即肱4+M8+M。最小,

:菱形ABC。的邊長為6,

：.DE=yjAD2-AE2=V62-32=3百,

：.2DE=6?

.,.MA+MB+MD的最小值是6A/3.

等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，等邊

三角形的判定與性質(zhì).

3.（2024?淄博）如圖，在邊長為10的菱形ABCD中，對角線AC,2。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E在BC延長線上,

OF5

OE與CD相交于點(diǎn)F,若NACD=2/OEC,一=一，則菱形ABC。的面積為96.

FE6

【分析】作OH〃BC交CD于點(diǎn)H,則△Z）OHSZ\DBC,由菱形的性質(zhì)得OD=OB,OA=OC,AC±BD,

OHOD1iOHOF5A

則一=一=一，求得0H=^BC=5,再證明△(?尸得一=一=一，則=§0H=6,再

BCBD22ECFE6EC5

證明/OEC=/COE,則OC=EC=6,求得OB=yjBC2-OC2=8,則80=16,AC=12,所以S菱形ABCD=

|BD-AC=96,于是得到問題的答案.

【解答】解：作OH〃BC交CD于點(diǎn)H,則△OOXSADBC,

,/四邊形ABCD是邊長為10的菱形，對角線AC,BD相交于點(diǎn)0,

1

.\BC=10,OD=OB=^BD,OA=OCfACLBD,

OHOD1

—=—=一，ZBOC=90°,

BCBD2

1

：.0H=^BC=5f

OF5

OH//EC,—=

FE6

?△OFHsAEFC,

OHOF5

EC~FE~6’

.EC=10H=|x5=6,

*BC=DC,ACLBD,/ACD=2/0EC,

?ZACB=ZACD=2ZOEC=ZCOE+ZOEC,

./OEC=/COE,

.0C=EC=6,

?0B=^JBC2-OC2=V102-62=8,

?30=203=16,AC=2OC=12,

11

?S菱形ABCQ=-^D*AC=2X16X12=96,

【點(diǎn)評】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確地作出輔助線是

解題的關(guān)鍵.

4.（2024?寶安區(qū)三模）周末淘氣一家開車外出旅游，車子突然向路邊側(cè)滑，幸虧淘氣爸爸反應(yīng)及時(shí)，車子

才慢慢停了下來.淘氣一家人趕緊下車查看，原來是前輪爆胎了.爸爸說，只要把備胎換上就行了.于

是爸爸從后備廂取出備胎和工具，開始忙活，其中千斤頂引起了小光的注意.圖（1）是一種利用了四邊

形不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)的千斤頂.如圖（2）所示，該千斤頂?shù)幕拘螤钍且粋€菱形，中間通過螺桿連接，轉(zhuǎn)動

手柄可改變NAOC的大小（菱形的邊長不變），從而改變千斤頂?shù)母叨龋碅,C之間的距離）.已知48

=40cm,ZADC=60°,當(dāng)千斤頂升高（40a