熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題06數(shù)列（九大題型）

o------------題型歸納?定方向-----------?>

題型012021-2024年高考+春考真題............................................................1

題型02定義法求解數(shù)列.......................................................................2

題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用.................................................................3

題型04分段數(shù)列..............................................................................3

題型05取值范圍、最值問題...................................................................4

題型06數(shù)列中的個(gè)數(shù)、項(xiàng)數(shù)問題...............................................................4

題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用.............................................................5

題型08列舉分析、綜合分析...................................................................5

題型09選擇壓軸題............................................................................6

艙-----------題型探析?明規(guī)律-----------*

【解題規(guī)律?提分快招】

1、解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù)詼+1—a.的符號(hào)判斷數(shù)列｛詼｝是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

2、解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

3、求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

I〃侖斯-1,I?I〃脛斯-1,I

②利用（佗2）確定最大項(xiàng)，利用（龍2）確定最小項(xiàng).

11?！ǘ０?1

aJ_bua?b=0u|a-b|=|a+b|（其中a^O,b#0）.

4、如果數(shù)列｛斯｝是等差數(shù)列，｛為｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯??。那啊?xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.

5、錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

①在寫出“SJ與“應(yīng)”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“S,一西”的表達(dá)

式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果4=1,應(yīng)用公式S〃=W1.

題型012021-2024年高考+春考真題

【典例1-1].（2024?上海）無窮等比數(shù)列｛斯｝滿足首項(xiàng)m>0,q>l,記In=｛x-y\x,yE[ai,a2]U[an,即+1",

若對(duì)任意正整數(shù)小集合。是閉區(qū)間，則q的取值范圍是.

【典例1-2].（2024?上海）數(shù)列｛而｝,an=n+c,S7<0,c的取值范圍為.

【變式1-1].（2023?上海）已知首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn,則&

【變式1-21.（2023?上海）已知無窮數(shù)列｛麗｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，％為其前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)%>2022

都有品|>瞅+1|,則下列各項(xiàng)中可能成立的是（）

A.ai,03,05,…為等差數(shù)列，02,。4,06,ain,…為等比數(shù)列

B.ai,a3,a5,。2展1,…為等比數(shù)列,az,04,°6,…，。2〃，…為等差數(shù)列

C.ai,ai,Oi,。2022為等差數(shù)列，（22022,。2023,…,an,…為等比數(shù)列

D.ai,02,<23,02022為等比數(shù)列，02022,（22023.…，an,…為等差數(shù)列

【變式1-3】.（2022?上海）已知等比數(shù)列｛斯｝的前w項(xiàng)和為S,前〃項(xiàng)積為T”,則下列選項(xiàng)判斷正確的是

（）

A.若S2022>S2021,則數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列

B.若乃022>乃021,則數(shù)列｛珈｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛Sn｝是遞增數(shù)列，則42022^（12021

D.若數(shù)列｛〃｝是遞增數(shù)列，則。2022*2021

【變式1-41.（2022?上海）已知等差數(shù)列｛斯｝的公差不為零，S〃為其前“項(xiàng)和，若$5=0,則S6=l,2,…，

100）中不同的數(shù)值有個(gè).

【變式1-5].（2021?上海）已知｛斯｝為無窮等比數(shù)列,01=3,即的各項(xiàng)和為9,bn=a2n,則數(shù)列｛瓦｝的各

項(xiàng)和為?

【變式1-6].（2021?上海）在無窮等比數(shù)列｛斯｝中，（死-斯）=4,則的的取值范圍是.

題型02定義法求解數(shù)列

【典例2-1].（24-25高三上?上海?期中）設(shè)等比數(shù)列｛”“｝滿足%+%=-1，則4=.

【典例2-2].（2024?上海靜安?一模）設(shè)｛?！埃堑炔顢?shù)列，4=-6,%=。，則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和的值

為.

【變式2-1].（2024?全國?高考真題）記3為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，若生+4=7,3%+%=5,則

【變式2-2】.（24-25高三上?上海?期中）設(shè)等差數(shù)列｛q,｝的公差不為0,其前〃項(xiàng)和為S..若伺=2%,則

&=

a9.

【變式2-3].（24-25高二上?上海,階段練習(xí)）S“為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，59=-36,%=-104,則為與

%的等比中項(xiàng)為.

【變式2-4】.（23-24高三上?上海青浦?期中）己知數(shù)列｛logs4｝是等差數(shù)列，

log3%+log3%++log3%045=8090,貝（J%023

題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用

【典例3-1].（23-24高三上?上海虹口?期末）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,，若出=1,S2=4,則

nli—m>ooS“=----------

【典例3-2】?（22-23高一下?上海長(zhǎng)寧?期末）已知無窮等比數(shù)列?，=3，口=三,則公比

z=i1=12

q=.

【變式3-1】.（20-21高二上?上海寶山?階段練習(xí)）已知無窮等比數(shù)列｛4｝,公比4滿足0<歷1<1,

a,=k（an+1+an+2+an+3+???）,求實(shí)數(shù)k的取值范圍______

【變式3-2].（22-23高二下,上海寶山?期末）如圖，記棱長(zhǎng)為1的正方體為4，以C1各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)

的正八面體為G，以G各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為G，以C3各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C’，...，

以此類推得到一系列的多面體C“，設(shè)C”的棱長(zhǎng)為巴，則￡生1

?n+log2n,l<n<10

【變式3-3].（2023?上海嘉定一模）數(shù)列｛4｝滿足。用=?flY-10s,且4=0,凡為｛q｝的前〃

210-—>10

項(xiàng)和，求生

題型04分段數(shù)列

【典例4-1】?（23-24高三上?上海普陀?期中）已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,

前10項(xiàng)和Sl0=.

【變式4-1】.（24-25高三上?上海?期中）數(shù)列｛為｝滿足：?！盀檎麛?shù)，a,.『才"為偶數(shù),若4=1,

3%+1,?！槠鏀?shù)

貝Q]+Cl?+/+?,,+々2024=

a?=3a_+4（M>2）,

【變式4-21.（2023?上海浦東新?三模）已知數(shù)列｛《,｝（〃是正整數(shù)）的遞推公式為n}

存在正整數(shù)〃，使得〃（2"+1）"（a“+2）,貝卜的最大值是.

題型05取值范圍、最值問題

+00+00

【典例5-1].（2023?上海閔行?一模）已知數(shù)列｛%｝為無窮等比數(shù)列，若W>=-2,則的取值范圍

Z=1Z=1

為.

【典例5-2】?（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛4｝的首項(xiàng)二=TS"表示如｝的前“項(xiàng)和,若

數(shù)列｛S“｝是嚴(yán)格增數(shù)列，則｛4｝的公差d取值范圍是.

【變式5-1].（2024?上海普陀?模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式為4="+r,S“為數(shù)列｛”,｝的前〃項(xiàng)和,

若邑。25<。，則實(shí)數(shù)f的取值范圍為.

【變式5-2】.（2024?上海嘉定?一模）已知數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為。“=-〃+c,其中c為常數(shù)，設(shè)數(shù)列｛g｝的

前〃項(xiàng)和為S”,若臬>和且S6>$7,則，的取值范圍為____,

【變式5-31.（21-22高三上?上海浦東新?期中）設(shè)1=44。2V4%,其中成公比為4的等比數(shù)列，

%，4，。6成公差為2的等差數(shù)列，則4的最小值是.

【變式5-4].（23-24高三下?上海浦東新?階段練習(xí)）已知數(shù)列｛《｝滿足：對(duì)任意〃cN*,都有|為+1-%|=〃，

設(shè)數(shù)列｛q｝的前,項(xiàng)和為S“，若4=。，則邑必的最大值為.

題型06數(shù)列中的個(gè)數(shù)、項(xiàng)數(shù)問題

【典例6-1].（2024?上海奉賢三模）若數(shù)列｛%｝滿足對(duì)任意整數(shù)"有￡>=2/成立，則在該數(shù)列中小

Z=1

于100的項(xiàng)一共有項(xiàng).

【典例6-2】?（24-25高三?上海?課堂例題）從｛1,2,3,…,20｝中選3個(gè)不同的數(shù)，使這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，這

樣的等差數(shù)列最多有個(gè).

【變式6-1].（2024?上海虹口?一模）已知項(xiàng)數(shù)為10的數(shù)列｛?！埃腥我豁?xiàng)均為集合｛尤中的

元素，且相鄰兩項(xiàng)滿足4,〈。用+3,〃=1,2,,9.若｛4｝中任意兩項(xiàng)都不相等，則滿足條件的數(shù)列｛%｝有—

個(gè).

【變式6-2】.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）已知無窮數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S“，不等式電對(duì)任意不等于2

的正整數(shù)〃恒成立，且6s“=（4+現(xiàn)/+2）,那么這樣的數(shù)列有個(gè).

【變式6-3].（2022?上海?模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)整數(shù)數(shù)列的首項(xiàng)和末項(xiàng)都是1,且任意相鄰兩項(xiàng)之差的絕對(duì)值

不大于1,則我們稱這個(gè)數(shù)列為"好數(shù)列"，例如：1,2,2,3,4,3,2,1,1是一個(gè)好數(shù)列，若一個(gè)好數(shù)

列的各項(xiàng)之和是2021,則這個(gè)數(shù)列至少有項(xiàng).

【變式6-4】.（23-24高三上?上海青浦?開學(xué)考試）已知等差數(shù)列｛%｝（公差不為零）和等差數(shù)列也｝的前"

項(xiàng)和分別為s八Tn,如果關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程2023/-52。23X+加3=0有實(shí)數(shù)解，那么以下2023個(gè)方程

--平+4=03=1,2,3,.,2023）中，有實(shí)數(shù)解的方程至少有個(gè)

【變式6-5】.（2024?上海?三模）已知有窮數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)為1,末項(xiàng)為12,且任意相鄰兩項(xiàng)之間滿足

a同-%e｛1,2｝,則符合上述要求的不同數(shù)列｛。,｝的個(gè)數(shù)為.

題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用

【典例7-1].（2023?上海閔行?三模）已知AB,C是同一直線上三個(gè)不同的點(diǎn)，。為直線外一點(diǎn)，在等差數(shù)

列｛%｝中，OA=a2OB+a6OC,則數(shù)列｛q｝的前7項(xiàng)和S,=.

【變式7-1].（23-24高三下?上海?開學(xué)考試）天干地支紀(jì)年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支，

十天干即甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、

酉、戌，亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天

干由"甲"起，地支由"子"起，例如，第一年為"甲子"，第二年為“乙丑"，第三年為"丙寅”…，以此類推，排列

到“癸酉"后，天干回到"甲”重新開始，即"甲戌"，"乙亥"，然后地支回到"子”重新開始，即"丙子”…，以此類

推.2024年是甲辰年，高斯出生于1777年，該年是（）

A.丁酉年B.丁戌年C.戊酉年D.戊戌年

【變式7-2】.（2023?上海黃浦?三模）南宋的數(shù)學(xué)家楊輝"善于把己知形狀、大小的幾何圖形的求面積、體

積的連續(xù)量問題轉(zhuǎn)化為離散量的垛積問題"，在他的專著《詳解九章算法?商功》中，楊輝將堆垛與相應(yīng)立體

圖形作類比，推導(dǎo)出了三角垛、方垛、芻童垛等的公式，例如三角垛指的是如圖頂層放1個(gè)，第二層放3

111

個(gè)，第二層放6個(gè)，第四層放10個(gè)-第”層放個(gè)物體堆成的堆垛，則了+丁++~—=-

題型08列舉分析、綜合分析

s

【典例8-1].（2024?上海楊浦?一模）設(shè)無窮數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和為且對(duì)任意的正整數(shù)〃，氏+|=口，則

an

56

-E42T的值可能為（）

Z=1Z=1

A.-6B.0C.6D.12

【典例8-2】?（24-25高三上?上海?階段練習(xí)）設(shè)數(shù)列｛。,｝的前〃項(xiàng)和為%若%+。用="+1,且存在正整

數(shù)%,使得&=Si=90,則6的取值集合為（）

A.{-9,9}B.{-9,10}C.{-10,9}D.{-10,10}

【變式8-1].（24-25高三上?上海?開學(xué)考試）已知｛%｝是等差數(shù)列，￡=sin（a“），存在正整數(shù)々W8）,使

得口=￡，?eN,“21.若集合5=｛刈％=2，/€]>1,〃21｝中只含有4個(gè)元素，則f的可能取值有（）個(gè)

A.2B.3C.4D.5

【變式8-2].（2024?上海嘉定一模）已知數(shù)列｛4｝滿足a“+i=F?！狜J5=1,2,3,給出以下

四個(gè)結(jié)論：

①當(dāng)廠=2時(shí)，存在有限個(gè)6,使得對(duì)任意正整數(shù)〃，都有。5>見

②當(dāng)r=2時(shí)，存在巧和正整數(shù)尸，當(dāng)">P時(shí)，

③當(dāng)r=3時(shí)，存在q和正整數(shù)P,當(dāng)〃〉尸時(shí)，an+l=an

④當(dāng)/'=-3時(shí)，不存在卬，使得對(duì)任意正整數(shù)"，且〃23,都有4>。

其中正確結(jié)論是（）.

A.①②B.②③C.③④D.②④

題型09選擇壓軸題

【典例.（2024?上海寶山?一模）設(shè)A紇G的三邊長(zhǎng)分別為應(yīng)、b“、cn,面積為S,（〃為正整數(shù)）.若

+a

4一其中b"+i=c“+：a“,c?+i=bn~^n>則（）

A.｛S.｝為嚴(yán)格減數(shù)列

B.⑸｝為嚴(yán)格增數(shù)列

c.｛S%/為嚴(yán)格增數(shù)列，｛5“｝為嚴(yán)格減數(shù)列

D.｛邑“/為嚴(yán)格減數(shù)列，四?"｝為嚴(yán)格增數(shù)列

【變式9-1】.（2024?上海長(zhǎng)寧,一模）數(shù)列｛%｝為嚴(yán)格增數(shù)列，且對(duì)任意的正整數(shù)小都有咒2%,則稱

n+ln

數(shù)列｛。"｝滿足"性質(zhì)C”.

①存在等差數(shù)列｛%｝滿足"性質(zhì)Q";

②任意等比數(shù)列｛%｝,若首項(xiàng)4>0,則｛q｝滿足“性質(zhì)C"；

下列選項(xiàng)中正確的是（）

A.①是真命題，②是真命題；B.①是真命題，②是假命題；

C.①是假命題，②是真命題；D.①是假命題，②是假命題.

【變式9-2].（24-25高三上?上海黃浦,期末）設(shè)函數(shù)y=〃x）在區(qū)間/上有導(dǎo)函數(shù)y=/'（x）,且尸（無）<。在

區(qū)間/上恒成立，對(duì)任意的xe/,有/（x）e/.對(duì)于各項(xiàng)均不相同的數(shù)列｛%｝,qe/,。用=/（為），下列

結(jié)論正確的是（）

A.數(shù)列｛%｝與｛a2?｝均是嚴(yán)格增數(shù)列

B.數(shù)列｛生a｝與｛%“｝均是嚴(yán)格減數(shù)列

C.數(shù)列｛%-｝與｛。2,,｝中的一個(gè)是嚴(yán)格增數(shù)列，另一個(gè)是嚴(yán)格減數(shù)列

D.數(shù)列｛%1｝與｛%,｝均既不是嚴(yán)格增數(shù)列也不是嚴(yán)格減數(shù)列

o-----------題型通關(guān)?沖高考-----------?>

一、填空題

1.（2023?上海寶山?一模）已知等差數(shù)列｛瑪｝的前〃項(xiàng)和為S",若%+43=1則&=

2.（2024?上海普陀，二模）設(shè)等比數(shù)列｛%｝的公比為qS'l/eN）,則“12%,%,2%成等差數(shù)列"的一個(gè)

充分非必要條件是.

6

3.（2024?上海?模擬預(yù)測(cè)）數(shù)歹lja={n6N*）的最小項(xiàng)的值為

n4-29

4.（2024?上海松江?二模）已知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前，項(xiàng)和為S”，若％=邑，則使得成立的〃

的最大值為.

5.（2024?上海楊浦?二模）某鋼材公司積壓了部分圓鋼，經(jīng)清理知共有2024根,每根圓鋼的直徑為10厘米.現(xiàn)

將它們堆放在一起.若堆成縱斷面為等腰梯形（如圖每一層的根數(shù)比上一層根數(shù)多1根），且為考慮安全隱患，

堆放高度不得高于|3?米，若堆放占用場(chǎng)地面積最小，則最下層圓鋼根數(shù)為.

8…8

????

??

…

6.（2024?上海奉賢?一模）已知集合"=｛〃/,%-上｝,是由函數(shù)丁=8昧%目0,2句的圖象上兩

兩不相同的點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)集，集合5=｛〃|。=。兄?O4，i=0」,2,,n,n>2,n^],其中4（0,1）、々（兀,-1）.若

集合S中的元素按照從小到大的順序排列能構(gòu)成公差為d的等差數(shù)列，當(dāng)de“時(shí)，則符合條件的點(diǎn)集

M的個(gè)數(shù)為.

二、單選題

7.（2024?上海青浦?二模）設(shè)S"是首項(xiàng)為q,公比為q的等比數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和,且S2023Vs2025Vs2024,則

（）.

A.4>。B.q>0C.D.|S?|<|?|

8.（2023?上海楊浦?一模）等比數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)％=占，公比為4,數(shù)列也｝滿足2=1*4（”是正整數(shù)），

64

若當(dāng)且僅當(dāng)〃=4時(shí)，物“｝的前〃項(xiàng)和紇取得最大值，則4取值范圍是（）

A.（3,26）B.（3,4）C.（2A/2,4）D.（2叵3塔

9.（2024?上海虹口?一模）設(shè)數(shù)列｛%｝的前四項(xiàng)分別為生、詼、%、痣，對(duì)于以下兩個(gè)命題，說法正確的是（）?

①存在等比數(shù)列｛4｝以及銳角a,使｛sina,cosa,tana｝=｛%的的｝成立.

②對(duì)任意等差數(shù)列｛。,｝以及銳角a,均不能使｛sine,cosa,tana,cota｝=｛%,成立.

A.①是真命題，②是真命題B.①是真命題，②是假命題

C.①是假命題，②是真命題D.①是假命題，②是假命題

熱點(diǎn)題型?選填題攻略

專題06數(shù)列（九大題型）

?>-----------題型歸納?定方向-----------*>

題型012021-2024年高考+春考真題............................................................1

題型02定義法求解數(shù)列.......................................................................5

題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用.................................................................7

題型04分段數(shù)列..............................................................................10

題型05取值范圍、最值問題..................................................................12

題型06數(shù)列中的個(gè)數(shù)、項(xiàng)數(shù)問題..............................................................14

題型07數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用，其他應(yīng)用............................................................18

題型08列舉分析、綜合分析..................................................................20

題型09選擇壓軸題...........................................................................23

o------------題型探析,明規(guī)律-----------?>

【解題規(guī)律?提分快招】

1、解決數(shù)列的單調(diào)性問題的方法

用作差比較法，根據(jù)呢+1—?！暗姆?hào)判斷數(shù)列｛?。沁f增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.

2、解決數(shù)列周期性問題的方法

先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.

3、求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的常用方法

①函數(shù)法，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值.

I。侖斯-1,_脛。〃-1,一

②利用（佗2）確定最大項(xiàng)，利用（論2）確定最小項(xiàng).

a_Lbua-b=0u|a-b|=|a+b|（其中aRO,bRO）.

4、如果數(shù)列｛四｝是等差數(shù)列，｛b.｝是等比數(shù)列，求數(shù)列｛斯0.｝的前”項(xiàng)和時(shí)，常采用錯(cuò)位相減法.

5、錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：

①在寫出“SJ與“公〃”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出小“”的表達(dá)

式.

②應(yīng)用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q是否等于1,如果q=l,應(yīng)用公式

題型012021-2024年高考+春考真題

【典例1?1】.（2024?上海）無窮等比數(shù)列｛斯｝滿足首項(xiàng)m>0,q>\,記/產(chǎn)｛%-如,yE[ai,a2]U[an,an+l]｝,

若對(duì)任意正整數(shù)小集合。是閉區(qū)間，則。的取值范圍是⑵+8）.

【分析】當(dāng)〃22時(shí)，不妨設(shè)則x-yE[0,ai-a\]U[an-ai,an+\-a\\U[0,an+i-an\,結(jié)合。為

閉區(qū)間可得口-2>-=萬對(duì)任意的〃22恒成立，故可求q的取值范圍.

qn

11n-1

【解析】解：由題設(shè)有、二睚。7'因?yàn)楣?"1>即‘故L”，a^1]=[a1q,軟遇“卜

當(dāng)〃=1時(shí)，x,yE[ai,ai\,故x-yE[m-a2,ai-ai]f此時(shí)/i為閉區(qū)間，

當(dāng)〃22時(shí),不妨設(shè)若x,〃2],則x-yE[0,ai-ai],

若〃2],xE[an^an+i],貝！J%-yW[即-22,an+i-ai],

若元,yE[an,礪+1],貝Ux-yE[0,an+l-an\^

綜上，x-yG[0,ai-ai]U[an-ai,an+\-ai]U[0,an+i-an\,

又/〃為閉區(qū)間等價(jià)于[0,ai-ai]U[an-ai,an+i-ai]U[0,劭+1-祠為閉區(qū)間,

而an+i-ai>an+i-an>ai-a\,故即+i-斯2斯-〃2對(duì)任意幾22恒成立，

故軟口+1-2a+42）。即q5（q-2）+@2》0，故9〃2（9-2）+120,

故q-2》--三對(duì)任意的w22恒成立，因?yàn)閝>l,

qn

故當(dāng)〃一+8時(shí)，-o,故g-220即q>2.

故答案為：[2,+8）.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

【典例1-2].（2024?上海）數(shù)列｛即｝,an^n+c,Si<0,c的取值范圍為（-8,-4）.

【分析】由已知結(jié)合等差數(shù)列的求和公式及性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

（）

【解析】解：等差數(shù)列由斯=〃+c,知數(shù)列｛0"｝為等差數(shù)列S7=——7a,/+_a1*?_=7°4<0,

即7（4+C）<0,

解得c<-4.

故c的取值范圍為（-8,-4）.

故答案為：（-8,-4）.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)及求和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-1].（2023?上海）已知首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列，設(shè)等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和為S",則S6=L^2.

【分析】直接利用等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式求解.

【解析】解：???等比數(shù)列的首項(xiàng)為3,公比為2,

3X6

...S6=（1-2）=]89

1-2

故答案為：189.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等比數(shù)列的前“項(xiàng)和公式，屬于基礎(chǔ)題.

【變式1-21.（2023?上海）已知無窮數(shù)列｛斯｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，％為其前〃項(xiàng)和，若對(duì)任意正整數(shù)上>2022

都有田|>耿+1|,則下列各項(xiàng)中可能成立的是（）

A.ai,。3,as,a2n-b…為等差數(shù)列，。2,04,。6,…,。2”，…為等比數(shù)列

B.ai,a3,as,■,<?2聯(lián)1,…為等比數(shù)列，a2,a4,a&,…，a2”，…為等差數(shù)列

C.ai,。2,03,02022為等差數(shù)列，02022,02023,…，an,…為等比數(shù)列

D.<71,02,<23,02022為等比數(shù)列,02022,02023,…,an,…為等差數(shù)列

【分析】由對(duì)任意正整數(shù)人>2022,都有跳>|Sk+l|,可以知道42022,02033,42024,…，珈不可能為等差

數(shù)列，若1=0,an=0,則|5斤|=9+1],矛盾；若d=0,an<0,當(dāng)w-+8,SL-8,人使得四+1]>網(wǎng)，

矛盾；若d=0,an>0,當(dāng)"f+8,S.f+8,必有上使得矛盾；若d>0,當(dāng)“f+8,an-*

+8,SL+8必有%使得&+1|>網(wǎng)，矛盾；若d<0,當(dāng)"一+8,即--8,SL-8,必有%使得由+1]

>|&|,矛盾；即可判斷.

【解析】解：由對(duì)任意正整數(shù)%>2022,都有|SH>|Sk+l|,可以知道42022,42033,02024,…，ita不可能為

等差數(shù)列，

因?yàn)槿鬱<0,當(dāng)“一+8,m--8,SL-8,必有左使得叫+1|>|必，矛盾；若d=0,即=0,則削

=|Si+i|,矛盾;

若d=0,an<0,當(dāng)“f+8,SL-8,左使得|SA+I|>|SK，矛盾；若d=0,an>0,當(dāng)w—+8,Sn^+°°,

必有人使得由+1|>國|,矛盾;

若d>0,當(dāng)"一+8,斯一+8,%一+8必有左使得'+1|>|網(wǎng)，矛盾；

所以選項(xiàng)8中的42,44,。6,為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；

選項(xiàng)。中的02022,02023,42024,…，即為等差數(shù)列與上述推理矛盾,故不可能正確；

選項(xiàng)A中的m,如，45,--42”一1為等差數(shù)列與上述推理矛盾，故不可能正確；

由排除法可得C正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中檔題.

【變式1-3】.（2022?上海）已知等比數(shù)列｛斯｝的前”項(xiàng)和為S,前〃項(xiàng)積為T”，則下列選項(xiàng)判斷正確的是

（）

A.若S2022>S2021,則數(shù)列｛斯｝是遞增數(shù)列

B.若乃022>T2021,則數(shù)列｛劭｝是遞增數(shù)列

C.若數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，則。20222及021

D.若數(shù)列｛T"｝是遞增數(shù)列，則42022》02021

【分析】反例判斷A;反例判斷8;構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)判斷C；推出數(shù)列公比以及數(shù)

列項(xiàng)的范圍，即可判斷。.

【解析】解：如果數(shù)列公比為-2,滿足S2022>S2021,但是數(shù)列｛即｝不是遞增數(shù)列，所以A不

正確；

如果數(shù)列m=l,公比為-春,滿足及022>T2021,但是數(shù)列｛斯｝不是遞增數(shù)列，所以8不正確；

,,1卜弓）n1‘…，，口

如果數(shù)列〃1=1,公比為,，Sn=---------------=2（1-」」），數(shù)列｛SQ是遞增數(shù)列，但是〃2022<〃2021,

222n

2

所以C不正確；

數(shù)列｛6｝是遞增數(shù)列，可知乙>6一1,可得所>1,所以可得。20222。2021正確，所以。正確；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題.

【變式1-41.（2022?上海）已知等差數(shù)列｛而｝的公差不為零，廝為其前〃項(xiàng)和，若S5=0,則S（i=l,2,-??,

100）中不同的數(shù)值有98個(gè).

【分析】由等差數(shù)前〃項(xiàng)和公式求出m=-2d,從而曲=旦（層-5"），由此能求出結(jié)果.

2

【解析】解：..?等差數(shù)列｛外｝的公差不為零，品為其前〃項(xiàng)和，S5=0,

■55=5a產(chǎn)5；4d=。'解得m=-2d,

rio

.'.Sn=nai+=-2nd+=—-5n）,

2

WO,：.Si（i=0,1,2…，100）中So=S5=O,

S2—S3—-3d,Si—SA--2d,

其余各項(xiàng)均不相等，

：.Si（z=l,2…，100）中不同的數(shù)值有：101-3=98.

故答案為：98.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

【變式1-5].（2021?上海）已知｛劭｝為無窮等比數(shù)列,3=3,麗的各項(xiàng)和為9,bn=ain,則數(shù)列｛加｝的各

項(xiàng)和為噠.

一5一

【分析】設(shè)｛斯｝的公比為4，由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，解方程可得q,進(jìn)而得到即，bn,求得數(shù)

列｛a｝的首項(xiàng)和公比，再由無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，可得所求和.

【解析】解:設(shè)｛珈｝的公比為q,

由°1=3,的各項(xiàng)和為9,可得—3_=9,

1-q

解得q=—>

3

所以a”=3X(―)nl,

3

ba=a2n=3X(―)2n~l,

3

可得數(shù)列｛阮｝是首項(xiàng)為2,公比為4的等比數(shù)列，

9

則數(shù)列｛加｝的各項(xiàng)和為一27=電.

1二5

9

故答案為：」四.

5

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和無窮遞縮等比數(shù)列的求和公式，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

【變式1-6].(2021?上海)在無窮等比數(shù)列｛即｝中，(ai-an)=4,則“2的取值范圍是(-4,0)U

(0,4).

【分析】由無窮等比數(shù)列的概念可得公比q的取值范圍，再由極限的運(yùn)算知。1=4,從而得解.

【解析】解：：無窮等比數(shù)列｛斯｝，；.公比非(-1,0)U(0,1),

??Cln~~0,

??(ai-――cii~~4-f

a2=aiq=4qE(-4,0)U(0,4).

故答案為：(-4,0)U(0,4).

【點(diǎn)評(píng)】本題考查無窮等比數(shù)列的概念與性質(zhì)，極限的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

題型02定義法求解數(shù)列

【典例2-1].(24-25高三上?上海,期中)設(shè)等比數(shù)列｛%｝滿足4+4=T,%-生=-3,貝!]4=.

【答案】-8

【分析】根據(jù)題設(shè)及等比數(shù)列通項(xiàng)公式求基本量，即可求處.

[a,+a,q=-l.

【解析】令公比為4,則12々，可得q+3鄉(xiāng)+2=(q+2)(q+1)=。，

[q-axq=-3

所以4=一2或"=T(舍)，可得4=1,則〃4=。4二一8.

故答案為：-8

【典例2-2].(2024?上海靜安?一模)設(shè)｛4｝是等差數(shù)列，4=-6,%=0,則該數(shù)列的前8項(xiàng)的和的值

為.

【答案】36

【分析】根據(jù)給定條件，求出數(shù)列｛%｝的公差，進(jìn)而求出其前8項(xiàng)的和.

【解析】在等差數(shù)列｛叫中，%=-6,%=0,則公差d=與?=3,

3—1

8x7

所以S8=8q+-^—d=36.

故答案為：36

【變式2?1】,(2024?全國?高考真題)記S”為等差數(shù)列｛4｝的前幾項(xiàng)和，若生+4=7,3a2+a5=5,則

幾二?

【答案】95

【分析】利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式得到方程組，解出力/,再利用等差數(shù)列的求和公式節(jié)即可得到答案.

(+2d+a+3d=7[a=—4

【解析】因?yàn)閿?shù)列%為等差數(shù)列，則由題意得““＜，解得：…

[3(6+d)+4+4d=5[d=3

ino

貝iJEo=lO%+^x^d=lOx(—4)+45x3=95.

故答案為：95.

【變式2?2].(24-25高三上?上海?期中)設(shè)等差數(shù)列｛%｝的公差不為0,其前〃項(xiàng)和為S”.若%=2%,則

名二

〃9?

7

【答案】J

【分析】由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式代入為=2%化簡(jiǎn)可得4=2d,再結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式即可得出答

案.

【解析】設(shè)等差數(shù)列｛%｝的首項(xiàng)和公差為外，d,

所以的=244，可得q+8d=2(%+3d),則q=2d,

S4_4q+6d_14d_7

a9q+8d1Od5'

7

故答案為：—.

【變式2-3].(24-25高二上?上海?階段練習(xí))S"為等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和，S9=-36,S13=-104,則應(yīng)與

%的等比中項(xiàng)為.

【答案】±4A/2

【分析】通過已知條件可求得％=-4,%=-8,再根據(jù)等比中項(xiàng)的定義即可求得答案.

【解析】解：因?yàn)椋?｝為等差數(shù)列，且Sg=-36,%=-104,

所以Sg=9（4；。9）=一36,工3=13（%受）=_104,

所以9a5——36,13a7=—104,

解得出=-4，%=-8,

所以生與為的等比中項(xiàng)為±4后,

故答案為：±4&

【變式2-4】.（23-24高三上?上海青浦?期中）己知數(shù)列｛bg3%｝是等差數(shù)列,

log3ax+log3a2+-+log3a4045=8090,貝lj02023=.

【答案】9

【分析】根據(jù)等差數(shù)列的前?項(xiàng)公式結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可得解.

【解析】因?yàn)閿?shù)列｛腕3%｝是等差數(shù)列，

所以+1?！?°45（啕丁暇*）-9。，

4

所以10g3%+10g3“4045=210g3%023=，

0a

所以1§32023=2,所以<?2023=9.

故答案為：9.

題型03無窮等比數(shù)列及其應(yīng)用

【典例3-1].（23-24高三上?上海虹口?期末）設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,，若出=1,S2=4,則

n—><?-----------------

【答案】|9

【分析】求出〃2,得到公比心再利用公式法求和，最后求出其極限.

01

【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為4,[=5-3,所以4二）,

所以S=TI"?所以1加5.=1而。-[[]=。,

°n]2I3J2J2

-3

9

故答案為：—.

+83Q

【典例3?2】.（22-23高一下?上海長(zhǎng)寧?期末）已知無窮等比數(shù)歹（]｛%｝,=3,Ed=、,則公比

i=l1=1,

q=_________

【答案】I

【分析】依題意得到1同＜1,再利用無窮等比數(shù)列和的公式得到言=3與備=|,解方程組即可得解.

+00a

【解析】因?yàn)闊o窮等比數(shù)列｛%｝,、＞，=3,則以＜1，廣=3,

i=\i—q

所以｛4｝是首項(xiàng)為。；，公比為42＜1的等比數(shù)歹

vyfl2_9彳曰a；_9d_9

i=i2\-q2\\—q)(\+q)2

?,a,3

則可萬又言=3,

31

貝9（l+q）=3（j）,得4=§.

故答案為：g.

【變式31】.(20-21高二上?上海寶山?階段練習(xí))已知無窮等比數(shù)列｛%｝,公比4滿足Ovlqlvl,

an=—冊(cè)+i+a〃+2+。〃+3+…)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍______

【答案】(一°°,—2)(0,+oo)

【分析】根據(jù)無窮等比數(shù)列性質(zhì)，可結(jié)合極限的概念表示出為=攵(%+1+%+2+為+3+)的代換式，再結(jié)合數(shù)

列的通項(xiàng)公式%=4廣1,代換得A'T,結(jié)合。＜際＜1即可求得上的取值范圍

【解析】等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式Sj"),

「q

Q|q|〈I,.，?％+々2+生+L+a〃+i+L的值趨向于正無窮時(shí)，即limS〃=^,

)=k[^-—Sf]=k[^-—

=%（。“+1+。“+2+?！?3+

)[1-4n)11-^1—qJl-q

1—g_l

又a.=a『\：&=%〃,7二-T，

%qq

QO＜|^|＜1,且1WO,/.-G(-OO,-1)U(1,-KO)

q

故％e(-oo,-27_(0,+oo).

故答案為：(-8,-2)(0,+8).

【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式與前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用，極限思想在處理數(shù)列中的應(yīng)用，推理轉(zhuǎn)化能力，

運(yùn)算能力，屬于中檔題型.

【變式3-2].(22-23高二下?上海寶山?期末)如圖，記棱長(zhǎng)為1的正方體為G，以C1各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)

的正八面體為C2,以C?各面的中心為頂點(diǎn)的正方體為G，以g各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的正八面體為C’,

以此類推得到一系列的多面體C“，設(shè)C”的棱長(zhǎng)為%,則.