濰坊市高考模擬考試

皿J，、憶

數(shù)學(xué)

2025.4

注意事項：

1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號、姓名.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號

涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時，

將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本大題共8個小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的

四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=卜€(wěn)叫尤3<27｝,則A的子集的個數(shù)是()

A.4B.8C.16D.32

2.某校高二年級組織了一次數(shù)學(xué)素養(yǎng)測試，隨機(jī)抽取8位學(xué)生的成績，制成如圖所示的莖

葉圖，該組數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)是88,則元的值為()

7046

813x9

95

A.5B.6C.7D.8

3.已知-1+/是關(guān)于元的實系數(shù)方程Y+g+幾=。的一個復(fù)數(shù)根，則加+〃=()

A.—5B.—1C.1D.5

4.已知向量6在向量°上的投影向量為-2a，若忖=3,則a-(a+6)=()

A.-9B.-3C.3D.9

2,冊為偶數(shù)

5.已知數(shù)列｛氏｝滿足J2，若。1=1,則%=)

3an+1,?！槠鏀?shù)

A.1B.2C.3D.4

6.已知角a的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)0重合，始邊與x軸非負(fù)半軸重合，其終邊與圓。交于點(diǎn)

A(3,4).若角a終邊沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角。，交圓。于點(diǎn)B-彳，得一，則角0可能為()

A.75°B.105°C.375°D.405°

7.現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務(wù)工作，每個社區(qū)至少安排1

人，每位志愿者只到一個社區(qū)，其中甲、乙安排在同一個社區(qū)的概率為()

“3r1r3

A.—B.—C.—D.—

2552510

3

8.在VA3C中，AC=-AB,。為邊2C上一點(diǎn)，滿足BD=2DC,以為焦點(diǎn)作一個橢

2

圓G,若G經(jīng)過aC兩點(diǎn)，則G的離心率為()

二、多項選擇題：本大題共3個小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的

四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分

分，有選錯的得0分.

9.在正方體中，E、/分別為線段42、A3的中點(diǎn)，貝U()

A.EF與BC異面B.EP〃平面

C.EF1ACD.SD2平面EPC]

10.已知函數(shù)/(x)=2sin12x+3,函數(shù)y=g(x)的圖象由y=〃”的圖象向左平移1個單

位得到，則()

A./(x)與g(x)在上有相同的單調(diào)性

o3

B.g(x)的圖象關(guān)于直線x=%+g優(yōu)eZ)對稱

設(shè)刈無)=瑞，則"⑴的一個對稱中心為住，°)

C.

D.當(dāng)x?0,2對時，與g］當(dāng)-已］的圖象有6個交點(diǎn)

試卷第2頁，共4頁

11.曲線的曲率定義如下：若廣（X）是“X）的導(dǎo)數(shù)，1r（X）是的（X）的導(dǎo)數(shù)，則曲線y=〃x）

在點(diǎn)（X,/（尤））處的曲率”—

則()

A.曲線y=cosx上不存在曲率大于1的點(diǎn)

B.曲線y=Y+x在點(diǎn)卜；,-力處的曲率最大

2

C.曲線=在點(diǎn)（0,2）處的曲率為g

D.曲線y=lnx在點(diǎn)a，lnxj與（々，山多乂％彳々）處曲率相等，則卒2<：

三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.

12.若拋物線的準(zhǔn)線與直線y=l之間的距離是2,寫出一個滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方

程：.

13.V%eR,|x-l|+|x+a|>4,則實數(shù)a的取值范圍是.

14.己知圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,其下底面與半球。的底面重合，上底面

圓周在半球。的球面上，則圓臺的側(cè)面積為；半球。被該圓臺的上底面所在的平

面截得兩部分，其體積分別為乂,匕（匕<匕），則*=.

四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演

算步驟.

15.在VABC中，角的對邊分別為a,"c,已知（2c-a）cos5=Z?cosA.

⑴求角3的大小；

（2）若VABC外接圓的半徑為冬且2c-Q=2,求VABC的面積.

3

16.已知函數(shù)/（x）=e*-（m+l）x—〃.

⑴若在尤=0處取得極值0,求相，〃的值；

⑵若“X）有兩個零點(diǎn).

⑴當(dāng)〃=1時，曲線y=/（x）在點(diǎn)億0W彳0）處的切線斜率為1,求I的值;

（ii）證明：加+i>e「熱?

17.如圖，四棱錐V-ABCZ）的底面ABCD為矩形,

BC=2AB=8,VA=VD=2M,VB=VC=4魚.

⑴設(shè)平面皿>與平面VBC的交線為/,證明：〃/平面ABC。；

uur2岫1皿

⑵若點(diǎn)/滿足河=1四+耳以，求MB與平面皿>所成角的正弦值.

18.有〃個依次進(jìn)行的試驗4、々、L、X“，每個試驗的結(jié)果為成功或失敗.試驗：x;(l<z<n)

成功的概率為」77,其中心為前一次試驗中的成功次數(shù)，待別地，當(dāng)i=l時,

Sj-1十1

5。=0,毛的成功概率為上=1(即々必定成功)，記前”次試驗中恰有m次失敗的概率為

P(n,m).

(1)當(dāng)〃=3時，求恰好有2次成功的概率；

n1幾一H

⑵令乩=&，若此2,證明：尸(〃,1)=江市

⑶當(dāng)心3時，請判斷尸(九,1)與川〃,0)的大小關(guān)系，并說明理由.

19.雙曲線C：Y-y=標(biāo)g>0)的左、右頂點(diǎn)分別為人、A,點(diǎn)&到c的漸近線的距離為華.

(1)求C的方程；

(2)按照如下方式依次構(gòu)造點(diǎn)兒(“22且〃eN)：過點(diǎn)A-作斜率為-2的直線交C于另一點(diǎn)

B,I,設(shè)4是點(diǎn)心一關(guān)于實軸的對稱點(diǎn)，記點(diǎn)A?的坐標(biāo)為(乙,％).

⑴證明：數(shù)列｛%-%｝、｛%+%｝是等比數(shù)列，并求數(shù)列｛%〃｝和｛%｝的通項公式；

s

(ii)記△4A4+I的面積為s,△A44+1的面積為T,求亍的最大值.

試卷第4頁，共4頁

1.B

【分析】首先解不等式化簡集合A,再根據(jù)含有〃個元素的集合有2"個子集計算可得.

【詳解】由d<27,解得x<3,

所以A={xeN,3<27}={xeN|x<3}={0,1,2},

所以A的子集有23=8個.

故選：B

2.C

【分析】結(jié)合百分位數(shù)的定義可得出關(guān)于尤的等式，解之即可.

【詳解】由題設(shè)有xe{3,4,5,6,7,8,9},而8x0.75=6,

這八個數(shù)據(jù)由小到大排列依次為70、74、76、81、83、80+無、89、95,

則樣本數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為8°+；+89=gg,解得》=7,合乎題意.

綜上所述，x=7.

故選：C.

3.D

【分析】利用一元二次方程根的性質(zhì)得到另一個根，再結(jié)合韋達(dá)定理求出參數(shù)值，最后求解

〃?+〃的值即可.

【詳解】因為-1+后是關(guān)于x的實系數(shù)方程尤2+〃優(yōu)+〃=o的一個復(fù)數(shù)根，

所以-1是關(guān)于X的實系數(shù)方程尤2+：依+〃=。的另一個復(fù)數(shù)根，

由韋達(dá)定理得-?i=-l+J5i+(-l-0i),解得機(jī)=2,

w=(-l+&i)(T-&i)=l-2i2=3,貝打〃+〃=5,故D正確.

故選：D

4.A

【分析】根據(jù)計算投影向量的公式及忖=3,求得Wcos(a,6)=-6,再利用數(shù)量積的運(yùn)算律

即可得答案.

【詳解】［cos(詞?百/cos(W?=-2Z,|&|cos^,^=-6,

a\a+b\=a-\-a'b=\c\+忖?帆cosb)=9+3x(-6)=-9,

答案第1頁，共15頁

故選：A.

【分析】根據(jù)遞推公式逐項計算可得。5的值.

【詳解】因為數(shù)列｛風(fēng)｝滿足4+1

+1,4”為奇數(shù)

所以。2=3%+1=3+1=4,03=?=。=2,a4=-^-==1,a5=3a4+1=3+1=4.

故選：D.

6.D

【分析】利用任意角三角函數(shù)的定義結(jié)合兩角差的正弦公式得到sin0=Y2,再利用正弦函

數(shù)的性質(zhì)得到。的可能值即可.

【詳解】因為角。的終邊與圓。交于點(diǎn)4(3,4),

34

所以由任意角三角函數(shù)定義得cosa=g,sin6z=

(歷7歷、

設(shè)旋轉(zhuǎn)后的角為夕，且旋轉(zhuǎn)后的角交圓。于點(diǎn)3-三，三一，

則由任意三角函數(shù)的定義得cos￡=-》，sin”嚕,

得至Usin6=sin(夕一a)=^x3_(-也)x4=^^=立，

105105502

Q..V2.37>/242572a

cos6=cos(p-a)=(------)x—H-------x—=--------=——,

105105502

故6=45°+2hl80°,4eZ,當(dāng)左=1時，6?=405°,故D正確.

故選：D

7.C

【分析】先求出將5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務(wù)工作的分法種數(shù)，然后就甲、乙所安排

的小區(qū)的志愿者人數(shù)進(jìn)行分類討論，利用計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件

的概率.

【詳解】將甲、乙、丙、丁、戊5位志愿者到三個社區(qū)做志愿服務(wù)工作，

每個社區(qū)的人數(shù)分別為3、1、1或2、2、1,

所以不同的分法種數(shù)為C；+x6=150種;

答案第2頁，共15頁

現(xiàn)在考慮甲、乙安排在同一個社區(qū)，若甲、乙所安排的小區(qū)有3人，則還需從另外3人中抽

1人,

此時分法種數(shù)為C8=18種;

若甲、乙所安排的小區(qū)只有他們兩人，此時只需將剩余3人分為兩組，則分法種數(shù)為端A；=18

種.

18+186

綜上所述，甲、乙安排在同一個社區(qū)的概率為

15025

故選：C.

8.C

【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理、橢圓的離心率公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)|DC|=〃7,|AC|=〃，則忸q=2〃z,\AB\=jn,

設(shè)該橢圓長半軸長為。，由橢圓的定義可知:

1

m+n=2am=-a

2

C2c，解得,

2m+—n=2a3

3n=-a

2

13

所以忸q=〃，=5。，?AC|=a

2

在VABC中，顯然有=Z4D3,所以cosNADC=—cosNA￡?,

\AD^+\DCf-AC|2_\AD^+\DB^-AB\|2

設(shè)|明=不由余弦定理可知:

2\AD\\DC\AD\\DB

2

a9a2

x2-\—

x2+a2一得.手

即44

2ax

2cx—ax

2

因此橢圓的焦距為2c=\AD\=當(dāng)a,

273_

所以橢圓的離心率為：2c亍

e-一

la2a3

故選：C.

9.AC

【分析】利用異面直線的定義可判斷A選項；建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判

斷BCD選項.

【詳解】以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、D2所在直線分別為x、y、z軸建立如下圖所

答案第3頁，共15頁

示的空間直角坐標(biāo)系,

不妨設(shè)正方體的棱長為2,則4(2,0,0)、3(2,2,0)、C(0,2,0)、。(0,0,0)、

￡(1,0,2),尸(2,1,0)、G(0,2,2),

對于A選項，EF、BC既不平行，也不相交，故跖與BC異面，A對；

對于B選項，EF=(l,l,-2),易知平面C￡?G的一個法向量為根=(1,0,0),

則EF-〃2=1K0，故EF與平面不平行，B錯；

對于C選項，AC=(-2,2,0),所以，EF-AC=-2+2=0,故EF_LAC,C對；

對于D選項，DB=(2,2,0),所以，EF-DB=2+2=4,所以，EF、8。不垂直,

故80與平面EFG不垂直，D錯.

故選：AC.

10.ACD

【分析】根據(jù)平移規(guī)則得到函數(shù)g(x)=2cos，x+3即可判斷A正確，由余弦函數(shù)對稱軸

方程可得B錯誤，再由正切函數(shù)對稱中心方程可得C正確，畫出函數(shù)圖像即可求得交點(diǎn)個

數(shù)，可得D正確.

【詳解】易知＞=/(x)的圖象向左平移個單位可以得到

g(x)=2sin^2^x+^+=2sin^2x+^+=2cos,

對于A,當(dāng)xeH時，+個,兀，

163」I3；L3J

由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)圖像性質(zhì)可知，"X)與g(x)在上均是單調(diào)遞減的，即它們有

答案第4頁，共15頁

相同的單調(diào)性，可得A正確；

對于B,由@(%)=2(3(/2%+，］可知，令2%+W=E(左￡Z),解得％=J+”(左￡Z),

I3J362

因此可得g(x)的圖象關(guān)于直線x=-^+竺伏eZ)對稱，即B錯誤；

62

(X2sin2x+—(、

對于C,易矢口/7(x)=—=----7----N=tan(2尤+,

g(尤)c(c,無)I3J

v72cos2x+—\

I3j

令2x+g=：兀(％eZ),解得x=-聿+B(左eZ),

即則％(x)的對稱中心為卜％'+1，0)(左Z),

11.ABD

【分析】利用曲率的定義可判斷ABC選項；由題意得出%；2君(町+君)-3町考-1=0,令

t=xlX2>0,結(jié)合基本不等式可得出關(guān)于t的不等式，解之可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，設(shè)/(x)=cosx,貝!!/'(x)=-sinx,f'\x)=-cosx,

所以，曲線y=cosx上不存在曲率大于1的點(diǎn)，A對；

對于B選項，令/(x)=d+x,則〃x)=2x+l,fff(x)=2,

答案第5頁，共15頁

?『32

所“[1+（"）][1+-1療'

故當(dāng)％=時，1+（2%+1）2取最小值，此時左取最大值，且了（一：卜；一；二一；

所以，曲線y=/+x在點(diǎn)處的曲率最大，B對；

2_______

對于C選項，由％2+=l（y>0）可得「=2J1—尤2，

,2x

令/（%）=2次-爐’則廣（力=一川?2，

2J1-.+2f

則〃x）=----------'I=一_2_,所以，/（0）=0,/（0）=-2,

I（1一4

，）-2

所以，曲線—+?=l（y>0）在點(diǎn)（0,2）處的曲率為“1]（「⑼,C錯;

對于D選項，設(shè)〃x）=lnx,則尸"）=：,r（x）=-^,

,1/（刈：尤

則y=/⑺在點(diǎn)（xJ（初處的曲率仁-TT-；—―T=.?.2,

[1+6”〔2（1+打（x*y

因為曲線y=lnx在點(diǎn)a，lnxj與（％』11%2）（%w%2）處曲率相等，

即x；（/+3制+3x1+1）=考（嚀+3%；+3才+1）,

整理可得（才—%；）[%；%；（%；+%；）+3%；考-1]=0,

因為玉且毛、%均為正數(shù)，所以，片考（其+考）一3才只一1=0,

由基本不等式可得片%;（%；+寫）+34考一1=0>2%；石/+3%：考-1,

即2（玉%）+3（再%2）—1<0,令，=玉%2>。，則2戶+3/—1<0,

911

即⑵一1）?+1）<0,由于r〉o,解得，<5，即玉入2<1，D對.

故選：ABD.

答案第6頁，共15頁

12.尤2=4y或/=-12y（填一個答案即可）

【分析】根據(jù)題意，判斷拋物線的準(zhǔn)線方程為＞=3或y=-l,分別求出焦準(zhǔn)距，寫出拋物線

方程即可.

【詳解】依題意，拋物線的準(zhǔn)線與直線＞=1平行，且距離為2,

故拋物線的準(zhǔn)線方程為y=3或＞=-1,

當(dāng)拋物線的準(zhǔn)線方程為＞=3時，拋物線的焦點(diǎn)在〉軸的負(fù)半軸上，且搟=3,P=6,故拋物

線方程為：X2=-I2y；

當(dāng)拋物線的準(zhǔn)線方程為y=T時，拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，且K=1,p=2,故拋

2

物線方程為：無2=4%

綜上可知，滿足條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可以是f=-12y或爐=4y.

故答案為：/=-12）；或爐=分（填一個答案即可）

13.（-co,-5]u[3,+co）

【分析】根據(jù)絕對值三角不等式得到|x-l|+|尤+a|2|a+l|,從而得到,+心4,解得即可.

【詳解】因為上一1|+卜+42卜+“）一（》一1）|=,+1]（當(dāng)且僅當(dāng)（%—1）（%+。）40時取等號），

又VxeR,|x-l|+|x+a|＞4,所以|a+l]?4,則a+124或a+1＜-4,

解得a?3或aV-5,即實數(shù)。的取值范圍是（f,-5]U[3,+s）.

故答案為：（f,-5]U[3,+S）

146T16有-27

14.071----------------

27

【分析】第一空利用已知條件可求得圓臺的高，進(jìn)而可求出圓臺的母線長，再求側(cè)面積即可；

V

第二空先求出球冠的體積匕，再求出半球的體積，進(jìn)而可求出匕，最后可求出才的值.

【詳解】

答案第7頁，共15頁

作出圓臺的軸截面如圖，設(shè)圓臺的上底面半徑為小下底面半徑為弓，球的半徑為R,

圓臺的上底面半徑為1,下底面半徑為2,，4=1,4=2,

又,下底面與半球。的底面重合，.?.尺=2,

???圓臺的高〃=依二?'="萬=百，,圓臺的母線長為/=，〃2+億-j=歷i=2,

..?圓臺的側(cè)面積為5=兀?+幻/=兀（1+2*2=6兀；

半球的體積為％球=g企*g=g兀x23=3，

球心到圓臺的上底面所在的平面的距離為d=百，

???球冠的高度為〃=R-d=2-5

球冠的體積為v=兀/尸（3氏一〃）=兀（2一@（6-2+⑹=兀（16-明

?一3一33

^2=/球_匕

兀（16-9@

,匕_3_166-27.

,豆--3^t---27

故答案為：671；16、-27

27

71

15.（Dy

⑵百

【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式計算可得；

（2）由正弦定理求出b,再由余弦定理及2c-a=2求出。、最后由面積公式計算可得.

【詳解】（1）因為（2c—〃）cosB=/?cosA

由正弦定理得(2sinC-sinA)cosB=smBcosA.

所以2sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+3),

因為A+3+C=TC,所以sin(A+5)=sin(7c—C)=sinC.

所以2sinCcosB=sinC.

答案第8頁，共15頁

因為sinC>0,所以cosB='，

2

因為370,兀)，所以3

(2)因為VABC外接圓半徑為逑，

3

rr-b4A/3

由正弦定理得一紀(jì)=2*3@=生m，由⑴知8=三，即(廠丁，所以6=2,

sinB333型

2

由余弦定理得62=a2+c2—2accosB—a2+c2—ac>所以4+/—a=4,

因為。=2c-2,代入上式得/-2°=0.

因為c>0,所以c=2,貝［Ja=2,所以％*相=g“csinB2x

16.(1)加=0,〃=1

⑵(i)t=l；(ii)證明見解析

【分析】(1)求導(dǎo)尸(x),由題意得-(0)=0,"0)=0,求得孤”的值并利用單調(diào)性進(jìn)行驗

證；

(2)(i)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義得了'⑺=1,/(0=0,求得〃丫的值并進(jìn)行驗證；

(ii)利用導(dǎo)數(shù)求得極小值加+l-(加+1)山(加+1)-“，再根據(jù)/⑺有兩個零點(diǎn)，即可得證.

【詳解】(1)r(x)=ex-(7n+l),

了⑼=。，即[1-""+1)=°'解得加=0,〃=1

由題意

l-n=0,

當(dāng)根=0,〃=1時，/(x)=exf\x)=ex-1,

xe(-oo,0),/'(x)<0J(x)單調(diào)遞減,x?0,+8)，r(x)>0,/(x)單調(diào)遞增,

所以/(X)在X=。處取極值.

(2)(i)力=1時，/(X)=e"—1

/'(x)=e*—(m+1),所以/'?)=e'—(m+l)=l,

又/⑺=e'-(m+l)r_]=0,

所以(m+l)(r-l)=0,解得m=-1或r=l.

答案第9頁，共15頁

若加=-l"(x)=e'-l只有一個零點(diǎn)，不符合題意，舍去，所以r=l.

(ii)r(x)=e'-(m+l),若m+1W0,則尸(x)>O,〃x)在R上單調(diào)遞增，不合題意，

若機(jī)+1>0,令r(x)=O,得e*=/九+l,x=ln(m+l),

且彳?-8,111("2+1)),-(X)<0,〃*)單調(diào)遞減，

xe(ln(〃z+l),+8),「(x)>0,〃x)單調(diào)遞增，

所以/(元)在x=ln(m+l)處取極小值〃7+l-(m+l)ln(m+l)-〃，

因為函數(shù)有兩個零點(diǎn)，則機(jī)+l-(〃?+l)ln(m+l)-“<0,

所以+——

即wi+l>e「嬴,

17.(1)證明見解析

⑵;.

【分析】(1)根據(jù)給定條件，利用線面平行的判定、性質(zhì)推理得證.

(2)取A23c的中點(diǎn)E,尸，過V作斯垂線于。，以。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用

線面角的向量法求解.

【詳解】(1)由為矩形，AD//BC,而ADO平面VBC,

BCu平面VBC,則AD〃平面VBC,

又平面皿>c平面VBC=/,ADu平面0ID,

則AD/〃，又/<z平面A5CD,ADu平面ABCD,

所以〃/平面ABC。.

(2)設(shè)AD,3C中點(diǎn)分別為￡,尸，連接

由題意得VA=VD=2&U,=VC=40,

得VE_LAr>,VF_L8C,又BC=2AB=8,則VE=2#，所=4,VT=4,

在△VEP中，過e作VE垂線，垂足為G,

過V作所垂線，垂足為0,則6歹=而.

由EV-GF=EFVO,^VO=s/15,OF=l,EO=3,

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又3C，VF,8C，O￡VFI。尸=平面飲用，則8CL平面VOP,

而VOu平面攻方，則BC_LVO,過。作BC平行線交AB于7/,

（4ULILLU4L1LILIL1

以。為原點(diǎn)，。//,0￡。丫的方向分別為％'2軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

V(0,0,715),A(4,-3,0),3(4,1,0),C(-4,1,0),D{-4,-3,0),設(shè)

uiir21X1111uum—9/—1

由河=§丫。+§。5,得(石,必，4一屑)=§(—4/,—厲)+§(8,0,0),

得M(O,g,半)，DA=(8,0,0),VA=(4,-3,-715),

n-DA=8X2=0

設(shè)平面SLD的法向量為〃=（%,%，z?）,則，

n-VA=4X2-3y2-^/L5z2=0

取Z2=-3,得〃=(0,厲，一3),

??4后

1/77I.?\BM-n\二一1

又=（-4,」,也），得到卜國2知,公=J~=:需一=-,

14

331\BM\.\n\匹2娓

3

故與平面所成角的正弦值為;.

4

7

18.（1）—

12

⑵證明見解析

（3）P（n,l）＞P（n,0）,理由見解析

【分析】（1）分情況討論：①％失敗，%成功；②/成功，X3失敗.分別計算出兩種情況下

的概率，相加即可得解；

（2）當(dāng)N22時，恰有1次失敗，假設(shè)失敗發(fā)生在第左次（24左（〃），其余成功，求出失敗

knk—1

發(fā)生在第七次的概率為M〃.1）!，即可得出P（〃，l）=二而二可，即可證得結(jié)論成立；

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(3)判斷出P5，l)>P(〃,0),求出尸(〃,0)的表達(dá)式，然后證明這個不等式成立，即證

H[n)<n--,結(jié)合不等式的基本性質(zhì)證明即可.

n

【詳解】(1)當(dāng)〃=3時，恰有2次成功即恰有1次失敗,

由于天必成功，因此失收只能發(fā)生在%或退上，

當(dāng)馬失敗，/成功時，概率為1x(

當(dāng)尤2成功，馬失敗時，概率為1義-

117

所以恰有2次成功的概率尸(3,1)=-1—=—.

3412

(2)當(dāng)N22時，恰有1次失敗，假設(shè)失敗發(fā)生在第％次(2W左W”)，其余成功.

,1111

則前％-1次均成功的概率為lx’1X2+1X”左一2+1一(左一1)!,

第七次失敗的概為1-丁,

k-1+1k

(XI(I)!

后續(xù)〃-尢次成功的概率為X

k-l+1k+1；n—2+l(n—l)!，

k-\(左一I)!k-l

所以失敗發(fā)生在第七次的概率為乙><___x———_______

(I)n!k(n—l)!—

則尸(刈可

J(〃T)!，

(3)尸("」)>「(〃,0),理由如下：

所有試驗均成功的概率為尸(〃,0)=1x《III

—X--------XX-----------------=一

l2+ln-l+ln\

n—H(n\1,、1

即證々…V>-,即8〃CD

因為當(dāng)月23時』+!<:+一一,BP-<1

nn\n—1n\nn-l)

…111"1111++」?

34n(3243nn-lJ

IIII

即Rrl11+—+—+LT+—<n——,

23nn

所以①式成立，即P(〃,l)>P(〃,0).

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19.(l)x2-y2=1

(2)(i)證明見解析,

2

【分析】(1)求出雙曲線C的漸近線方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可求出。的值，即可得

出雙曲線C的方程;

(2)(i)寫出直線4一方程，將該直線方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理可得出

5335

y^=-2xn_1+2xn-yn=-xn--x?_1,再利用等比數(shù)列的定義可證得結(jié)論

成立；

(ii)求出s、T的表達(dá)式，可得出1的表達(dá)式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性可求得"的最大值.

【詳解】(1)雙曲線C的漸近線方程為x±y=O,4(。，。)，

則點(diǎn)A到漸近線的距離為1=9，所以。=1,所以C的方程為Y-y2=i.

⑵⑴因為4(%,%),所以Bn_x(xn,-yn),

直線Al紇一1的方程為y+%=—2(x-%)，即y=-2x+2xn-yn,

代入尤2—y~=l,得3x?—4(尤“—y.)x+(2尤“—+1=0,

5335

所以％=W""一[""T，"T=-2X〃T+?

由題設(shè)有玉+%=不一%=1,

13

+V1

天一”~4^4]_

因為