2025年高考模擬考試

數(shù)學試題

2025.04

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂

黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案

寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一項是符合題目要求的.

1.已知集合4=｛吊*-x-2>0｝,=,則&/)I8=()

A.[-1,1)B.(1,2)C.(1,2]D.[-1,+?)

2.已知l-2i是關于x的方程/+辦+6=0(區(qū)*2的一個根，貝!]卜+珂=()

A.2B.3C.5D.V29

3.已知圓錐的體積為出，其側面展開圖是一個圓心角為多的扇形，則該圓錐的底面半

33

徑為()

A.yB.1C.V2D.2

4.若函數(shù)=”在[1,+s)上單調遞減，則實數(shù)”的取值范圍是()

A.a<2B.a>2C.a<lD.a>l

5.已知｛qj為等比數(shù)列，且q=1,則“。5=2”是飛=4”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

6.已知函數(shù)/(x)=sintox-6cos在區(qū)間0,-|上有且僅有3個零點，則實數(shù)

。的取值范圍是()

試卷第1頁，共4頁

7.若圓一+/-2辦一2>—1=0關于直線x+辦-2=0對稱，其中。>0,b>0,則工+^^

ab

的最小值為（）

5L

A.2B.-C.4D.2+2V5

224

8.已知尸是橢圓C:=r+,v=l（a>6>0）的右焦點，直線>=交C于A,B兩點,若

AFVBF,則橢圓C的離心率為（）

A.—B.-C.—D.—

3333

二多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中,

有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.

9.已知A,B為隨機事件，且尸（4）=0.5,尸（8）=04,則下列結論正確的是（）

A.若A,8互斥，貝I］尸（/。8）=0.9

B.若A,8相互獨立，貝I］尸（/耳=0.2

C.若A,B相互獨立，則P（/uB）=0.7

D.若尸（面/）=0.5,則尸（劇1）=0.3

10.已知函數(shù)/（力=85工-5治（1：08^）-1,則下列結論正確的是（）

A./（"的圖象關于V軸對稱B.27r是/⑺的一個周期

C./（x）在［0,可上為增函數(shù)D./（x）<-^

11.已知正方體HBCD-44G〃的棱長為1,點P在正方體的內切球表面上運動，且滿足

3P//平面ZCA，則下列結論正確的是（）

A.BPLBQB.點P的軌跡長度為兀

C.線段2P長度的最小值為"D.而?南的最小值為1一心

63

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

4X+I,x<l,

12.已知函數(shù)〃x）=<-"+】）,m則/的值為.

試卷第2頁，共4頁

尸為c上的動點，點則胃取最小值時,

13.已知拋物線C:/=4y的焦點為尸，

直線4的斜率為.

14.箱子中裝有4個紅球，2個黃球(除顏色外完全相同)，擲一枚質地均勻的骰子1次,

如果點數(shù)為，(，=1,2,3,4,5,6),則從該箱子中一次性取出i個球.規(guī)定：依據(jù)i個球中紅球的個

數(shù)，判定甲的得分X,每一個紅球記1分；依據(jù)i個球中黃球的個數(shù)，判定乙的得分丫，每

一個黃球記2分.比如：若一次性取出了2個紅球，2個黃球，則判定甲得分X=2,乙得分

y=4.則在I次擲骰子取球的游戲中，尸(x>y)=.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或

演算步驟.

15.在V4BC中，內角A,B,。所對的邊分別為〃，b,c,且〃(2—cos5)=6(l+cos力).

(1)證明：b+c=2a；

(2)若VNBC的面積為手反，證明V/2C為等邊三角形.

16.如圖，在四棱錐尸中，底面/8C。為矩形，E為尸。的中點，PA=AD,PD1BE.

(1)證明：平面平面4BCD；

(2)若尸。=40,直線依與平面列)/所成角的正切值等于2,求平面43E與平面PBC夾角

的余弦值.

22田

17.已知雙曲線C:鼻-齊=1("0,6>0)的離心率為芳，且點血4,3)在雙曲線C上,

(1)求C的方程；

⑵若直線/交C于尸，。兩點，NP4。的平分線與x軸垂直，求證：/的傾斜角為定值.

18.已知函數(shù)/(x)=xe—a,aeR.

⑴討論f(x)零點的個數(shù);

⑵若，(無)|>“x(lnx+l),求實數(shù)。的取值范圍.

試卷第3頁，共4頁

19.將所有正整數(shù)按照如下規(guī)律形成數(shù)陣：

第1行123.......789

第2行101112.......979899

第3行100101102.......997998999

第4行100010011002.......999799989999

(1)將數(shù)列｛3"+1｝與數(shù)列｛2"｝的公共項按照從小到大的順序排列得到數(shù)列｛4｝,試確定《在

該數(shù)陣中的位置；

(2)將數(shù)陣中所有相鄰兩位數(shù)字(從左到右)出現(xiàn)12的所有正整數(shù)去掉并保持順序不變，得

到一個新數(shù)陣，記新數(shù)陣第〃行中正整數(shù)的個數(shù)為

(i)求4，b2,b3；

(ii)求

試卷第4頁，共4頁

1.c

【分析】先求出集合42,再根據(jù)補集和交集運算即可.

[詳解[A={x\x2-x-2>0]={x\x<-\^x>2},

5={x|y=lg（x-l）}={x|x>l）,

=|x|-1<x<2j,

故選：C.

2.D

、,、1Q+6—3—0

【分析】將l-2i代入/+"+6=0化簡整理有（z。+6—3）—（4+2。）1=0,即4+2。=0解

出。力，最后求復數(shù)的模即可.

【詳解】將l-2i代入/+辦+6=0有：（l-2i）2+a（l-2i）+&=0,

/、/、[Q+Z?—3—0[u=—2

化簡整理有（。+/3）-（4+2?！?0,即4+2〃=0'解得6=5，

所以J4+=yja2+b2=2）2+52=^29，

故選：D.

3.B

.2兀

【分析】設母線長為/,底面半徑為，，圓錐的高為〃，則有2獷=子/即可得/=3r,再求高

h,進而得圓錐的體積即可求解.

【詳解】設母線長為/,底面半徑為，，圓錐的高為〃，則有2我=莖/0/=3廠，

223

又h=A//-r=19r。-r。=2V2r，所以廠=:（57;=:71/x2="^兀=>r=l=>r=l,

故選：B.

4.A

【分析】/（口=（；）’9是由夕=（權與〃=--"復合而成，先分析外層函數(shù)單調性，再根

據(jù)復合函數(shù)單調性確定內層函數(shù)單調性，進而求出?的取值范圍.

【詳解】〃x）=是由>=（1）u與〃=/-依復合而成，

答案第1頁，共17頁

111

在>=（5）“中，b=-,,所以v二（5）〃在R上單調遞減.

因為“X）=一"在［1,+⑹上單調遞減，且外層函數(shù)y=（；）"在R上單調遞減，

根據(jù)復合函數(shù)“同增異減”的原則，可知內層函數(shù)w=/一如在［1,+8）上單調遞增.

對于二次函數(shù)“=/一"，其圖象開口向上，對稱軸為x=-M=3.

2x12

二次函數(shù)在對稱軸右側單調遞增，要使〃-辦在口,+8）上單調遞增，

則對稱軸需滿足三VI,解得aW2.

故選：A.

5.C

【分析】由等比中項的性質及充分條件和必要條件的定義可得結果.

【詳解】由題意知，｛%｝為等比數(shù)列，

當05=2時，得0避9=a；=4，所以%=4,故充分性成立；

當g=4時，a；=ata9=4,解得a5=±2,

又生,%,%同號，所以。5=2,故必要性成立.

所以“%=2”是，%=4”的充要條件.

故選：C.

6.D

【分析】首先利用輔助角公式將函數(shù)〃尤）化簡為小皿八+/）+左的形式，然后根據(jù)x的取值

范圍求出。x-g的取值范圍，再結合圖象與性質，找出函數(shù)/（x）在給定區(qū)間上有且僅有3個

零點時。的取值范圍.

【詳解】對/（工）=5出次->/^?05的+省進行化簡：

f（x）=sincox-A/3cosa>x+6=2sin［a）x-和

令〃x）=0,即2sin（0x-1）+石=0,貝lJsin（ox-3=-3.

332

根據(jù)正弦函數(shù)的性質，所以0x-==2析+歲或0》-5=2阮+￥，后€2,解得_2阮+$

3333x-

CD

答案第2頁，共17頁

...2kji+2兀7)

或x二-------,keZ.

CD

JT

因為XW0,-且①>0，

5兀

2兀

當左=0時,5兀,%2=一

^1=—G)

3G

兀+1171

222兀+2兀4兀

當左=1時，311兀，

X3CDCO

COco3a)

3

所以實數(shù)g的取值范圍是［4,莖22）.

故選：D.

7.C

【分析】由題意得直線x+力-2=0過圓心，即得。+6=2,利用基本不等式即可求解.

【詳解】由一+y2-2Q%-2y-1=0得(]一。)2+(>—1J=+2,

所以圓心為又圓關于直線％+"-2=0對稱,

則直線'+力一2=0過圓心，即a+b=2,

所以二生心土LL9-，，

ababab

「191+9](“+b)_1“1八b9aj1I(1八b9a

又一+「二-10H----1----->—10+2.—x——8,

abab22ab2ab

答案第3頁，共17頁

b_9a

當且僅當口二不

等號成立,

a+b=2

所以工+4a+1

=-+--4>8-4=4,

abab

故選：C.

8.A

【分析】設橢圓的左焦點為《，由橢圓的對稱性可得四邊形/兩耳為矩形，再根據(jù)方程聯(lián)立

求得,再代入橢圓方程構造齊次式即可得解.

224

【詳解】如圖，因為橢圓C:0+==l(a>6>O)關于原點對稱，直線y=過原點，

ab3

所以A,8關于原點對稱，設橢圓的左焦點為耳，連接工月，BF\,

由橢圓的對稱性可得|/4|=\BF\\BF\=\AF\,

所以四邊形/用可為平行四邊形,

又因為/尸L所以平行四邊形/外耳是矩形,

所以/耳，=尸|=c,所以點B在圓/+/=°2上,

4

y=-X解得代入橢圓方程［+'=1,

則3

22

Xb-=a--c2,可得:

c9e216e2

設(0<e<D則上式可化為方+而工

化簡可得9/-50/+25=0,即(9/—5)(/—5)=0,

因為0<e<l,所以9/—5=0,解得e=

3

所以橢圓。的離心率為且.

3

故選：A.

答案第4頁，共17頁

【分析】根據(jù)互斥事件、相互獨立事件的概率公式以及條件概率公式逐個計算，分別對每個

選項進行分析判斷.

【詳解】對于A選項，若A,8互斥，根據(jù)互斥事件的概率加法公式尸尸(4)+尸(8).

己知PQ)=0.5,PCS)=0.4,則尸(/u8)=0.5+0.4=0.9,所以A選項正確.

對于B選項，若A,3相互獨立，則A與否也相互獨立.

因為尸(月)=1-尸(3)=1-0.4=0.6,所以尸(/與)=尸(/)尸(與)=0.5x0.6=0.3/0.2,所以B選

項錯誤.

對于C選項，若A,3相互獨立，則P(/8)=PQ)P(5)=0.5x04=0.2.

根據(jù)概率的加法公式尸(/。8)=尸(4)+尸。)-尸(N3),將尸(/)=0.5,P(S)=0.4,

尸(42)=0.2代入可得：

5)=0.5+0.4-0.2=0.7,所以C選項正確.

對于D選項，已知P(8M)=M^=0.5,PQ)=0.5,貝?。菔?48)=0.5x0.5=0.25.

口⑷

P(1)=1—尸(/)=1-0.5=0.5,P(k5)=尸(8)—2(28)=0.4—0.25=0.15.

根據(jù)條件概率公式尸(2I0=萼"=器=0.3,所以D選項正確.

P(A)0.5

故選：ACD.

10.ABD

【分析】利用誘導公式證明［(無)=/(-力，結合偶函數(shù)定義可判斷A；利用f(x)=〃2兀+x)

可判斷B；利用三角函數(shù)的性質可判斷C；利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性，求得最值，可判斷

D.

【詳解】對于A,函數(shù)/(')的定義域為A,關于原點對稱，

/(一1)=cos(-x)-sin(cos(-%))—1=cosx-sin(cosx)-1=/(x),

答案第5頁，共17頁

所以/'(X)是偶函數(shù)，其圖象關于了軸對稱，故A正確；

對于B,f(x+2兀)=cos(x+2兀)-sin(cos(x+2兀))-1=cosx-sin(cos尤)-1=f(x),

所以的一個周期是2兀，故B正確；

對于C,令/=cosx,當xe［0,7t］時,f=cosx在［0,可上單調遞減,

且^=$皿在［-1,1］上單調遞增，則〉=-$3在［-1,1］上單調遞減，

所以/'(x)=cosx-sin(cosx)-1在［0,可上單調遞減函數(shù)，故C錯誤；

對于D,因為一IKcosxVl,令/=cosx,

則V=%—sin%-l,求導得y'=l-cos/,

由于cos/所以j/=1一cos,>0,y=t-sint-1單調遞增.

當E=1時，V取得最大值l—sinl—l=—sinl；

當"-1時，》取得最小值-1-sin(-1)-l=sinl-2.

因為sinl>sinK=,所以一sinl〈一sin巴=一,BP/(x)<，故D正確.

4242v72

故選：ABD.

11.ACD

［分析］根據(jù)平面ACD.II平面AXBCX,可得點p的軌跡是平面ABC,與正方體內切球的交線,

建立空間直角坐標，利用數(shù)量積公式計算，依次判斷可選項可求得結果.

【詳解】以。為原點，分別以所在直線為x/，z軸，建立空間直角坐標系，

則。(0,0,0),40,0,0),C(0,l,0),5(1,1,0),A(0,0,1),4(1,1,1),4(1,0,1),￡(0,1,1),

正方體的內切球的球心為正方體的中心,半徑廠=；,

平面/CD1的法向量為:AC=(-1,1,0),ZD；=(-1,0,1),設萬=(x,4z),

ri-AC=0\—x+y=0,、

由—?，即-c，令尤=1,貝Ijy=l,Z=l,所以力=1,1,1.

n-AD1=0［-x+z=0

對于選項A,麗,因為8P//平面/C，，所以麗.■=(),而區(qū)萬=-力，

所以麗?麗=0,即3尸_1月。，A正確.

答案第6頁，共17頁

對于選項B,因為8尸//平面/CD-平面/C，//平面48C],

所以點尸的軌跡是平面48G與正方體內切球的交線，此交線為圓，記圓心為

設平面42G與正方體的中心。的距離d,設平面4g的法向量為m，

m?BA,=0-b+c=0

設玩=(〃,仇c),由＜」，可得

-a+c=O'

mBCt=0

令a=l,則比=(1,1,1),O4=Q,-1,1],

-1----1-+—1

???點O到平面ABC的距離為04.成222

XXa一

|同6

22

.,?圓Ox的半徑為r{=y/r-d=

6)6

???圓的周長/=2叫=諉兀，即點尸的軌跡長度為逅兀，B錯誤.

133

對于選項C,BO=@，點P在球面上，BO.=yjBO2-d2=

21I2J3

線段8P長度的最小值為BO「存顯一顯=顯,C選項正確.

363

對于選項D,設麗與西夾角為。，屬=(-1,0,1),|西卜

在平面直角坐標系中，B0,--,C1——,0,尸(x,y),a0,——

I2)V2)I6

I22)I2J

所以—+y--^-=,令x=^-cos9，y=,

I6JI6J666

6&3.(q71^

BP?BC=---x-----yd-=1-------sin4—>1------，

12223(6j3

所以麗?苑的最小值為D選項正確.

故選：ACD

答案第7頁，共17頁

【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是確定點P的軌跡為平面42。與正方體內切球的交

線，此交線為圓，結合條件計算圓的半徑，結合點與圓的位置關系求解計算.

12.-2

【分析】由分段函數(shù)先求/[I],再求/即可.

【詳解】由題意有/■(￡|=4；+1=2+1=3,所以

4d=〃3)=-1叫(3+1)=-1叫4=-2,

故答案為：-2.

13.

2

【分析】設點尸(x/),由拋物線的定義有|尸尸卜了+1,兩點間的距離公式有

L5+了二1

_______M=2Y—1

|p4|=j(x-iy+(y+i)2,即-(%-1)+(^+1/~+1只需一；的最大值即

v+1

可.

【詳解】由題意得尸(0」)，設點P(xj),則無2=外,由拋物線的定義有|尸產|=>+1,

2

______________M=壯+1)=1

E=J(1)2+(y+l『,所以"一(11)2+(尸1［］二］2+1

x-11=4|(xT)|=4k-1)|_4

又

y+1Mlx?+l(x-lj+2|x-l|+5"-1+己+2

4

答案第8頁，共17頁

由上一向+2220-1高+2=2^+2,

當且僅當歸-1|=島，即x=l-6時，等號成立,

所以圖1X』高+2"亞~'，所以［髭［彳?）

所以得「

當x=l-指時，。_（1一、）_3-1，得點尸石,三金

"廠4.2I2J

【分析】利用條件概率和乘法公式分類討論，最后利用全概率公式即可求解.

【詳解】設擲骰子得到的點數(shù)i的概率為尸⑴，則P（i）=/i=l,2,…,6,

當,=1時，，=1的概率為!，若x>Y,則需取出的1個球是紅球的概率為

「1?

尸吠>邛=1）=「,

121

所以4(x>y)=p(i)p(x>H;i)=—x-=—,

639

當，=2時，i=2的概率為!，若X>Y,則需取出的2個球都是紅球的概率為

6

答案第9頁，共17頁

P(X>K|z=2)=||=|,

i21

所以刃(x>y)=N2)p(x>y'=2)=wxM=yp

當i=3時，/?=3的概率為J,若X>Y,則需取出的3個球都是紅球的概率為

尸(x>印=3)=C，所以A(x>y)=p⑶尸(X川=3)=次=9，

當，=4時，7=4的概率為若X>Y,則有兩種可能的情況：第一種情況為取出的4個球

6

都是紅球有C：種，

第二種情況為取出的4個球種有3個紅球，1個黃球，有C；c；種，所以概率為

尸(丫>口=4)=04泌=；

131

所以舄(刀>0=2(4)-》>邪=4)=廠廠而

當1=5時，i=5的概率為若X>Y,則需取出全部4個紅球，1個黃球，

6

1111

所以網(wǎng)工>坤=5)=安=力所以由x/NWs/lxAyhskzx^R,

CrJO31O

當,=6時，x=y不滿足題意，

所以綜上尸(x>y),

1791530101830

故答案為：金■.

15.(1)證明見解析；

(2)證明見解析.

【分析】(1)根據(jù)正弦定理進行邊換角并結合三角恒等變換得2sin/=sin3+sinC,再利用

正弦定理角換邊即可；

(2)利用三角形面積公式得/=?,再結合余弦定理即可得到6=c,則得其為等邊三角形.

【詳解】(1)由正弦定理得sinN(2-cos8)=sin3(1+cosN),

即2sin-sinAcos8=sin8+sinBcosA,

所以2sin/=sin3+sinAcosB+cosAsinB,

答案第10頁，共17頁

所以2sinZ=sin8+sin(4+8),

所以2sin/=sin5+sinC,由正弦定理得2a=b+c.

(2)因為^bcsin/=,所以sinN='^,

242

因為2〃=b+c,所以A為銳角，所以力=?.

由余弦定理得/=/+c2—26ccos/=b2+c2—bc,

又。=?，代人化簡得6=c,

所以。=6=c,

所以V4BC為等邊三角形.

16.(1)證明見解析；

源

19

【分析】(1)根據(jù)線面垂直的判定得尸Z)_L平面｛3斯，從而有PD_L/3,再利用面面垂直

的判定即可證明；

(2)建立合適的空間直角坐標系，根據(jù)線面角定義得=4,再求出相關法向量即可得到,

面面角余弦值.

【詳解】(1)設尸為PD的中點，連接力尸，跖，

因為E為尸C的中點，所以EE//CD,EF=gcD,

2

X_AB//CD,AB=CD,所以EF〃AB,EF=、AB,

2

所以AF與BE必相交.

因為P/=4D,所以4F_LPD,

又PD，BE,且4EIBE=E,u平面ABEF,

所以尸。，平面/3EF,又因為48u平面43EF,所以PO_L48,

又AD工AB,PDc4D=D,尸。,40u平面尸4D,所以/B_L平面尸4D,

又/8u平面/BCD,所以平面尸NO_L平面'NBCO.

(2)設。，G分別為4D,3C的中點，因為尸/=AD=PD,所以

又平面尸ND_L平面/BCD,平面融0c平面/BCD=AD,POu平面尸ND,

所以PO_L平面48CZ),因為CM,OGu平面48CD,

所以？。1.。/,2。，。6,又O/LOG,

答案第11頁，共17頁

所以，以。為坐標原點，$0A,OG,￡^$所在直線分別為x軸，了軸，z軸,

建立空間直角坐標系.

由(1)知48_L平面尸/￡>,所以/4P2即為直線P8與平面P/D所成的角，

所以tan乙4PB=--=2,設AP=2,則AB=4,

AP

所以4(1,0,0),8(1,4,0),C(-1,4,0),。(一1,0,0),尸(0,0,4).

因為尸D_L平面NBEF,所以平面ME的法向量為蘇=而=(-1,0,-拘.

設平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，

又比=(-2,0,0),麗=(1,4,手),

取3=(0,6,4),

所以平面ABE與平面PBC夾角的余弦值為

4625

Icos(m,n)\=———

\m\\n\2x71919

(2)證明見解析，直線/的傾斜角為定值亍

=￡=立

【分析】(1)由題意即可得「一￡一5一即又點/(4,3)在雙曲線C上，即可解出

22小

c=a~+b~4

a,b；

(2)設直線/的方程為>=b+6,與雙曲線方程聯(lián)立，得韋達定理，又NP/。的平分線與x

軸垂直，得小的2=0,即得2例馬+0—3—41)(再+*2)—8?—3)=0,代入韋達定理即可

得證.

答案第12頁，共17頁

【詳解】（1）由題意有,一力一可n62=%,又點/（4,3）在雙曲線C上，所以MAl,

c2=a2+b2

解得力=4,〃=3,所以雙曲線。的方程為:一。=1；

（2）由已知得直線/的斜率存在，設其方程為了=近+6,設尸（士,必）,。@2，%）

y=kx+b

2222

所以xy2^（3-4k）x-8kbx-4b-12=0,

T~T~

所以A=（-8M）2-4（3-4左2）（-462-12）=48（6%=4后2+3）＞0,

8kb4b2+12

由韋達定理有：x+x=--------XX=---------------7

122212

3-4k3—4左2

又因為/尸/。的平分線與％軸垂直，所以3尸+3°=0,

即"1+7=0,所以（弘-3）（尤2-4）+（%-3）（占-4）=0,即

X]—4X2一4

2kxix?+{b-3-4左）（再+%）-8{b-3）=0,

匚口、124/+12/_/7、8kbchc、八

所以-2k-------+（b7-3-4k\-------80-3）=0,

3-4r'73-4F*廠

即一24（4+1）9+4左-3）=0,所以左=-1或6=3-4后，

當6=3-4后時，直線/的方程為了=履+3-4后=左（計4）+3,即直線/過點/（4,3）,不符合

題意，

3幾

所以左=—1,設傾斜角為a（0Wa＜兀），即左=tana=—l,。=彳，

即直線/的傾斜角為定值斗3兀.

4

18.（1）答案見解析;

答案第13頁，共17頁

(1-1

(2)-0o,ee

【分析】(1)令分乃=0,則…e"設g(x)=xe)利用導數(shù)研究其單調性和最值，從而

得到其零點個數(shù)；

(2)首先分析得aWO時成立，再分離參數(shù)得1、Mx+：+l,對恒成立，利用

—>------------X----------e)

ae

導數(shù)研究右邊的最值即可.

【詳解】(1)/(幻=0時，〃=十1,

令g(x)=xe",則g'(x)=(x+l)e",

所以，X<-1時，g'(x)<o,g(x)在(-8,-1)上單調遞減，

X>-1時，g'(x)>0,g(x)在(-1,+00)上單調遞增，

又x<0時，g(x)<0,x3—co時，g(x)f0,x=-l時，g(x)=g(-l)=--,

mine

%f+8時，g(x)T+00,

所以，①當。<-工時，〃x)無零點，

e

②。=一2或。上0時，有1個零點，

e

③當時，“X)有2個零點.

e

(2)當a?0時，由％>0得/(%)>0,

所以，"(%)l>"(Inx+1)等價于XQX-a>ax(lnx+1)對x￡(0,+8)恒成立.

即e”〉Q[nx+工+1]對x￡(0,+8)恒成立,

1X—1

令力(x)=lnx+一■i-l,x>0,則〃'(x)=-z—,

xx

當X￡(O,1),〃(X)<0,當X￡(l,+oo),/z'(x)>0,

???〃(%)在(0,1)內單調遞減，在(1,+8)內單調遞增，

h(x)>h(l)=2,又e、>o

/.ev>Q/X+—+l^j對x￡(0,+co)恒成立

所以，時成立，

答案第14頁，共17頁

當Q〉0,X￡時，t?x(lnx+l)<0,顯然成立.

當Q>0,X￡—,+00

|/(x)|>tzx(lnx+l)等價于xe"-〃〉辦(lnx+1)或xe"<一ar(lnx+l),

BP—>InxH----bl或J<-lnxd-----1

px16

對于一<-lnx+——1,取x=l,得