2.2不等式

2.2.1不等式及其性質

【課程標準】理解不等式的概念，掌握不等式的性質.

新知初探-自主學習

教材要點

知識點一實數(shù)大小比較

1.文字敘述

如果a—b是,那么a>b-,

如果a——b,那么a=b；

如果a—6是,那么反之也成立.

2.符號表示

a-b>b；

a~b—00〃b；

a~b<.b.

狀元隨筆1.不等式“aWb”的含義是“a<b”或“a=b”.

2.比較兩實數(shù)a,b的大小，只需確定它們的差a—b與0的大小關系，與差的具體數(shù)

值無關.因此，比較兩實數(shù)a,b的大小，其關鍵在于經(jīng)過適當變形，能夠確認差a—b的符

號，變形的常用方法有配方、分解因式等.

知識點二不等式的性質

性質別名性質內容注意

1對稱性a>b=________可逆

2傳遞性a>b,b>c=________

3可加性a>bo________可逆

a>b

c〉0

4可乘性C的符號

cOb:

>

c<0f

aZ>b

5同向可加性=>同向

c>d______

同向同正可乘a>b>0

6今同向

性c>d>0________

7可乘方性a>b>0=>________(〃￡N,〃22)同正

8可開方性a>b>0=>______(〃&N,2)同正

狀元隨筆（1）性質3是移項的依據(jù).不等式中任何一項改變符號后，可以把它從一邊

移到另一邊.即a+b>cna>c—b.性質3是可逆性的，即a>b=a+c>b+c.

（2）注意不等式的單向性和雙向性.性質1和3是雙向的，其余的在一般情況下是不可

逆的.

（3）在應用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件.不可強化或弱化成立的條件.要

克服“想當然”“顯然成立”的思維定勢.

知識點三證明問題的常用方法

方法定義

綜合法從________出發(fā)，綜合利用各種結果，經(jīng)過逐步推導最后得到結論的方法.

從要證明的________,_______使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結

分析法

論歸結為判定一個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.

首先假設結論的_______成立，然后由此進行推理得到矛盾，最后得出假設不成

反證法

立.反證法是一種間接證明的方法.

基礎自測

1.大橋橋頭豎立的“限重40噸”的警示牌，是提示司機要安全通過該橋，應使車和貨

物的總質量T滿足關系（）

A.T<40B.T>40

C.TW40D.TN40

2.設M=N,N=~x-l,則〃與N的大小關系是（）

A.M>NB.M=N

C.M<ND.與尤有關

3.已知x<a<0,則一定成立的不等式是（）

A.x2<a2<0B.x2>ax>a2

C.x2<（zx<0D.x2>a2>ax

課堂探究-素養(yǎng)提升

題型1比較大小

例1比較X2—X和X—2的大小.

狀元隨筆通過考察這兩個多項式的差與0的大小關系，可以得出它們的大小關系.

方法歸林

用作差法比較兩個實數(shù)大小的步驟

兩個實數(shù)(或代數(shù)式)的大小，可以根

據(jù)它們的差的符號進行判斷

T⑴進行因式分解轉化為多個因式相乘］

-{⑵通過配方轉化為幾個非負實數(shù)之和］

T注意題目本身提供的字母的取值范圍］

根據(jù)符號判斷大小

跟蹤訓練1比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?/p>

⑴比較N+3與2x的大?。?/p>

(2)已知0,辦為正數(shù)，且aWb,比較/+b3與a?b+ab?的大小.

狀元隨筆

題型2不等式的性質［經(jīng)典例題］

例2對于實數(shù)a,b,c,有下列說法:

①若a>b,則ac<bc；

②若ac2>bc2,則a>b；

22

③若a<b<Of貝!Ja>ab>b；

④若c>a>b>0,則-

c-ac-b

⑤若〃>〃，->k則〃>0,b<0.

ab

其中正確的個數(shù)是（）

A.2B.3C.4D.5

狀元隨筆

利用不等式悔

分析條件——>

質逐一判斷

方法核的

(1)首先要注意不等式成立的條件，不要弱化條件，尤其是不憑想當然隨意捏造性質.

(2)解決有關不等式選擇題時，也可采用特值法進行排除，注意取值一定要遵循以下原

則：一是滿足題設條件；二是取值要簡單，便于驗證計算.

跟蹤訓練2(1)已知那么下列式子中，錯誤的是()

A.4a<4bB.-4a<—46

C.a+4<b+4D.a-4<.b—4

狀元隨筆利用不等式的性質，解題關鍵找準使不等式成立的條件.

(2)(多選)對于任意實數(shù)a,b,c,d,下列命題中不正確的是()

A.若a>b,cWO,則ac>bc

B.若a>b,!/!!!ac2>bc2

C.若ac?〉人，，則a>6

D.若a>b,貝壯

題型3利用不等式性質求范圍［經(jīng)典例題］

例3已知一2<aW3,1W6<2,試求下列代數(shù)式的取值范圍：

(Did；

(2)a-\-b；

(3)。一b；

(4)2。一3b.

狀元隨筆運用不等式性質研究代數(shù)式的取值范圍，關鍵是把握不等號的方向.

方法但病

利用不等式性質求取值范圍的一般思路

(1)借助性質，轉化為同向不等式相加進行解答；

(2)借助所給條件整體使用，切不可隨意拆分所給條件；

(3)結合不等式的傳遞性進行求解.

跟蹤訓練3(1)已知實數(shù)x,y滿足：l<x<2<y<3,

①求口的取值范圍；

②求x—2y的取值范圍.

(2)若一2<x+yW2且一iWx—yWl,則z=4x+2y的最大值是.

題型4利用不等式的性質證明不等式［邏輯推理、數(shù)學運算］

例4綜合法、分析法與反證法

⑴已知a<6<c,且a+6+c=0,求證：—

a-cb-c

(2)證明：V7-V3<V6-V2；

(3)用反證法證明：若〃，b,c￡R,且1=/一2。+1,尸按一20+1,z=(?—2〃+1,則

x,y,z中至少有一個不小于0.

狀元隨筆注意書寫的規(guī)范性及易錯點：

①分析法的步驟要規(guī)范，分析時一般按照“要證……，需證……，只需證……”的步驟

進行.

②反證法，必須假設所證問題的反面成立，推出與之矛盾，從而肯定原結論成立.

③不等式兩邊含有根式，同時兩側均為正數(shù)的時候，通常選擇平方處理，此時應該注意

平方后盡量保證式子的最簡化，如本例將近和虎結合，剩余兩數(shù)結合，好處在于平方后能

消掉一部分，使問題簡單化.

④應該明確問題的反面，如“>”的反面是“W”，”至少有一個”的反面是“一個也

沒有”等.

方弦歸他

利用不等式的性質證明簡單不等式的實質及注意點

(1)實質：就是根據(jù)性質把不等式變形.

(2)注意點：①記準、記熟不等式的性質并注意在解題中靈活準確地加以應用；

②應用不等式的性質進行推導時，應注意緊扣不等式的性質成立的條件，且不可省略條

件或跳步推導，更不能隨意構造性質與法則.

證明不等式常選用綜合法，對于不方便用綜合法證明的不等式可以靈活選擇分析法與反

證法.

跟蹤訓練4(1)已知。>6>0,c<d<0,e<0,求證：；

(a-c)2(b-d)z

(2)將下面用分析法證明亨的步驟補充完整:要證貯產》漏,只需證a2+b2^2ab,

也就是證________,即證,由于________顯然成立，因此原不等式成立；

(3)已知x,y>0,且x+y>2.

求證：—,也中至少有一個小于2.

yx

能力提升練

1.16世紀中葉，英國數(shù)學教育家雷科德在《礪智石》一書中首次把“=”作為等號使用，

后來英國數(shù)學家哈里奧特首次使用符號“v”和并逐漸被數(shù)學界接受，不等號的引入對

不等式的發(fā)展影響深遠.若a,b,cER,則下列命題正確的是()

2

A.若a>09則?+\>(a~l)(a+2)

B.若a<b<0,則d1<ab<b1

C.

D.若。泌>0,則/

2.已知一工<Q<0,A—l+a2,B—l—a2,C——,D=—,試猜測A,B,C,D的大

21+a1-a

小關系，并證明.

溫馨提示：請完成課時作業(yè)（十）

2.2不等式

2.2.1不等式及其性質

新知初探?自主學習

［教材要點］

知識點一

1.正數(shù)等于0負數(shù)

2.>=<

知識點二

b<aa>ca+c>b+cac>bcac<bca+c>b+dac>bdan>bn

知識點三

已知條件結論出發(fā)逐步尋求否定

［基礎自測］

1.解析:“限重40噸”是不超過40噸的意思.

答案：C

2.解析：因為N=l2+x+i=(x++|>0,所以

答案：A

3.解析：因為x<〃<0,不等號兩邊同時乘〃，貝1不等號兩邊同時乘人,貝U

故j^>ax>a1.

答案：B

課堂探究?素養(yǎng)提升

例1【解析】因為(A2—%)—(冗一2)=/—2x+2=(x—iy+1,

又因為(X—1)2三0,所以(X—1)2+121>0,

從而(N—x)—(x—2)>0,

因此x2—x>x~2.

跟蹤訓練1解析：(1)???(/+3)—2x=N—2%+3=a—l)2+222>0,

.*.x2+3>2x

(2)(〃+b3)—(cflb+ab2)=a3+Z?3—cflb—ab2=(fi(a—b)~b2(a—b)=(a-Z?)(a2—Z?2)=(a-

b)2(a+b),

?.,q〉。，Z?>0,且

(a—Z?)2>0,a+Z?>0,

；?3+Z?3)—(cfib+ab2)>0,

即tz3+b^cflb+ab2.

例2【解析】對于①，令c=0,則有〃c=Z?c①錯;

對于②，由ac2>bc2,知cWO,

/>0=>。>匕.②對；

對于③，由a<b<0,

兩邊同乘以Q得a2>ab,

兩邊同乘以Z?得ab>b2,

比>>.③對；

對于④c>a>b>O=c—a>0,c—b>0=>0<c_a<c-Z?

a>b=>—a<—b=>c—a<c—b

尸>A>°今言〉六,④對;

a>b>O

a>b=>a—b>0ab<0

對于⑤，11b-a=>a>0。<0.⑤對.

一>70---x>U9

ababa>b

【答案】C

跟蹤訓練2解析：（1）根據(jù)不等式的性質，4>004a<46,A項正確；a<b,-4<0=>

—4a>—4/j,B項錯誤；a<b=>a+4<Z?+4,C項正確；a<b=>a-4<b—4,D項正確.

（2）對于選項A,當c<0時，不正確；對于選項B,當c=O時，不正確；對于選項C,

?：。/>灰2,；.cW0,<?>0,；.一定有故選項C正確；對于選項D,當a>0,XO時，

不正確.

答案：（1）B（2）ABD

例3【解析】（l）：—2<aW3,...|a|G[0,3].

(2)—2<aW3,1W6<2,—2+l<a+6<3+2,—l<a+b<5.

(3)依題意得一2<aW3,—2<—bW—l,相加得一4<a—6W2.

(4)由一2<aW3得一4<2aW6,①

由1W6<2得一6<一36/一3,②

由①②得一10<2a—36W3.

跟蹤訓練3解析：⑴①?.T<x<2勺<3,2勺<3,貝U2<xy<6,則孫的取值范

圍是(2,6).

②由⑴知14V2,2<y<3,從而一6v—2y<—4,則一5<%—2y<—2,即%—2丁的取值范圍

是(一5,—2).

(2)設4x+2y=a(x+y)+b(x—y)=(a+b)x+(a—b)y,

,fa+b=4,-

則M］解傳。=3,b=l,

(a—b=2,

即4x+2y=3(x+y)+(x—y),

—2<%+yW2且一1Wx—yW1,

—6<3(x+y)W6且一iWx—yWl,

則一7<3(x+y)+(x—y)W7,

故z=4x+2y的最大值是7.

答案：(1)見解析(2)7

例4【證明】且〃+A+c=O,

/.a<Ofc>0,且。一c〈0,

??(LC)(6-c)>。，?—(以/(a-cXb-c)'

即白<上，.?.上

b-ca-ca-cb-c

(2)方法一分析法：要證V7-巡一我\

只需證夕+魚<8+①，只需證(夕+魚)2〈(百+遙>,展開得9+2舊<9+2內,

只需證舊<同，

即證14<18,顯然成立，所以

方法二反證法：假設舊—次之歷—企，

則近+加之迎+遍，

兩邊平方得9+204N9+2，巫，所以舊三V18,

即14218,顯然不成立，所以假設錯誤.

所以夕-8〈迷-VI

(3)假設x,y,z均小于0,RPx=a2—2b+l<0①，y—b2—2c+l<0②，z—c1—2a+

1<0③，

①+②+③得x+y+z=(a~1/+3—l)2+(c-1)2<0,

這與(〃一1)?+3—1)?+(。-ip一0矛盾,

則假設不成立，

??.x,y,Z中至少有一個不小于0,即得證.

跟蹤訓練4解析：(1)證明：因為c<d<0,所以一c>—d>0,

因為a>b>0,所以a—c>b—d>0,

所以(〃-c)2>(b—d)2>0,

11

所以o<____<_____又e<0

(a-c)2(b-d)29

所以(a_c)2>(b_d)2,

(2)用分析法證明萼N浦的步驟為：要證噌Nab成立，只需證層+尻22",也就

是證〃2+〃一2"三0,即證［JP3］(a—b)2N0.由于(〃一/?)22。顯然成立，所以原不等式成立.

(3)證明：假設出，也都不小于2,即出22,也22.

yxyx

因為x,y>0,所以l+x》2y,l+yN2x.

所以2+九+y22(%+y),即x+yW2與已知x+y>2矛盾.

所以把，山中至少有一個小于2.

yx

答案：(1)見解析(2)〃2+爐—2^20(〃一份22o(〃一by2。(3)見解析

［能力提升練］

1.解析：對于A,tz2+1—(。-1)(〃+2)=〃