壓軸專題04二次函數(shù)(相似三角形問題)

背：技法全歸納

知識考點與解題策略

【解題思路】

相似三角形存在性問題解題的一般步驟：

i.找等角：尋找兩個三角形中相等的定角，通常定角為直角、對頂角、公共角或內(nèi)錯角(同位角)，或通過

互余(互補(bǔ))進(jìn)行轉(zhuǎn)化等方法得到的等角.

2.求點坐標(biāo)：(1)根據(jù)兩組邊成比例列關(guān)系式；

(2)根據(jù)另一組角相等求坐標(biāo).

1

典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí))如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、E(3,0)兩

(2)設(shè)拋物線頂點為D,求四邊形AEDB的面積；

(3)AAOB與ADBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由.

例題2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物

線丫=(x-h)2+k,所得拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,頂點為D.

D

(1)求h、k的值；

(2)判斷AACD的形狀，并說明理由；

(3)在線段AC上是否存在點M,使AAOM與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明

理由.

S新題型特3

1.(24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)y=，-2依+3("0)的圖象與x軸交于4、

8兩點，交y軸于點c,S.OC=3OA.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點G是直線2C上方拋物線上的動點，連接3C、GC、GB,求G3c面積的最大值.

⑶將直線AC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，交拋物線于點。，求。點坐標(biāo).

2.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，拋物線,=-/+4尤+5與x軸交于A、B兩點，且與V軸交

于點C,直線y=-x-l經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點。.

⑴填空：寫出下列點的坐標(biāo)A；B；C；

(2)設(shè)點P是位于直線AD上方的拋物線上的一個動點，連接序、PD,求的面積的最大值；

(3)Q點在x軸上且位于點B的左側(cè)，若以Q,B,C為頂點的三角形與相似，求點。的坐標(biāo).

3.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線，=丘+4與x軸交于點A(-4,0),

與y軸交于點C,拋物線＞經(jīng)過A,C兩點且與x軸的正半軸交于點B.

(2)如圖1,若點D為直線AC上方拋物線上一動點，連接AD,當(dāng)NC4D+N3CO=45。時，求。點的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若尸是線段0A的上一個動點，過點尸作直線E尸垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點G、E,

連接CE.設(shè)點E的橫坐標(biāo)為機(jī)，是否存在以C,G,E為頂點的三角形與“AFG相似，若存在，直接寫出加

的值；若不存在，請說明理由.

4.(24-25九年級上?江蘇蘇州?期末)直線丫=-3元+3與x軸交于點8,與y軸交于點C,拋物線+c

經(jīng)過8,C兩點，與x軸的另一交點為A,連接AC,點尸為AC上方的拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，連接3P,交線段AC于點。，若PD:B￡>=5:16,求此時點尸的坐標(biāo)；

(3)如圖②，連接尸C.過點尸作PEy軸，交線段AC于點E,若APCE與VA8C相似，求出點尸的橫坐標(biāo)

及線段PE長.

5.(24-25九年級下?江蘇?專題練習(xí))如圖，已知過坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過A&,0),B5,3)兩點，且,、

%是方程f+5尤+6=0兩根(百>4)，拋物線頂點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、。、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求

點E的坐標(biāo)；

(3)產(chǎn)是拋物線上的動點，過點尸作尸軸，垂足為是否存在點尸使得以點尸、。為頂點的三

角形與3OC相似？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

6.(24-25?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，拋物線y=尤+c與x軸的一個交點為A(-2,0),與y軸的交

點為3(0,4),對稱軸與x軸交于點P.

備用圖

（1）求拋物線的解析式；

⑵點M為y軸正半軸上的一個動點，連接40,過點M作A〃的垂線，與拋物線的對稱軸交于點N,連

接4V.

①若4團(tuán)V與VA08相似，求點M的坐標(biāo)；

②若點”在y軸正半軸上運(yùn)動到某一位置時，AAW有一邊與線段AP相等，并且此時有一邊與線段AP具

有對稱性，我們把這樣的點M稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點”M的坐標(biāo).

7.（24-25九年級下?江蘇無錫?階段練習(xí)）如圖，拋物線＞=?展/+云+。與X軸交于A、B兩點、（點A在點3

左邊），與y軸交于點C.直線y=1x-2經(jīng)過8、C兩點.

______________\、.

（1）求拋物線的解析式;

（2）點P是拋物線上的一動點，過點尸且垂直于x軸的直線與直線3c及x軸分別交于點。、M.PN±BC,

垂足為N.設(shè)M（祖，0）.當(dāng)點P在直線3c下方的拋物線上運(yùn)動時，是否存在一點尸，使APNC與AAOC

相似.若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

點8(4,0),點C(0,4).連接AC,BC.

⑴求經(jīng)過點A、B、C三點的拋物線的表達(dá)式;

（2）點。在x軸正半軸上，當(dāng)以點。、0、C為頂點的三角形與△AOC相似時，求點。的坐標(biāo).

（3）在（1）的拋物線上找一點￡,使得怛E-CE|的值最小并求點￡的坐標(biāo).

9.已知在平面直角坐標(biāo)系xQy中，拋物線,=加+法+《。片0）經(jīng)過點A（-l,0）、3（3,0）、C（0,3）三點,

點D和點C關(guān)于拋物線對稱軸對稱，拋物線頂點為點G.

備用圖

⑴求該拋物線的解析式；

⑵連接CG、BG,求GCB的面積；

(3)在對稱軸右側(cè)的拋物線上有一點M,平面內(nèi)是否存在一點N,使得C、G、M、N為頂點的四邊形是菱形？

若存在，求出點N的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；

(4)連接AD、BD,將拋物線向下平移后，點。落在平面內(nèi)一點E處，過2、E兩點的直線與線段AD交于

點、F,當(dāng)一BDF與一?相似時，直接寫出平移后拋物線的解析式.

(2)如圖1,作直線x=t(O<f<3),分別交x軸，線段BC,拋物線于￡),E,F三點、,連接CP.若7BDE

與△CEF相似，求f的值;

(3)如圖2,過BC的中點7/作動直線(異于直線BC)交拋物線于N兩點，若直線MC與直線3N

交于點P.證明：點尸在一條定直線上運(yùn)動.

11、(24-25九年級上?山東東營?階段練習(xí))如圖，已知拋物線y=-F+法+c經(jīng)過4(0,3)和《；-：)兩點,

直線A5與％軸相交于點C,尸是直線AB上方的拋物線上的一個動點，P￡>_L九軸交A5于點。.

⑴求該拋物線的表達(dá)式；

⑵若PE尤軸交AB于點E,求PD+PE的最大值；

(3)若以A,P,。為頂點的三角形與△AOC相似，請直接寫出所有滿足條件的點P的坐標(biāo).

12.(2025九年級下?江蘇?專題練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)y=-f+bx+c的圖象與x軸交于點4-4,0)和點

B,與y軸相交于點C(o,4).

備用圖

(1)求該二次函數(shù)的解析式；

⑵點。在線段Q4上運(yùn)動，過點。作x軸的垂線，與AC交于點Q,與拋物線交于點P.探究是否存在點P

使得以點P,C,。為頂點的三角形與△ADQ相似？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

13.如圖，已知拋物線、="2+法-3與x軸交于A、B兩點，與了軸交于C點，經(jīng)過A、B、C三點的圓的

圓心M(l,⑺恰好在此拋物線的對稱軸上，M的半徑為石，設(shè)，"與y軸交于。，拋物線的頂點為E.

(1)求加的值及拋物線的解析式；

(2)若尸在拋物線第四象限上，求使四邊形O3FC的面積最大時的點尸的坐標(biāo)；

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點尸，使得以P、A、C為頂點的三角形與BCE相似？若存在，請指出點尸的位

置，并求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

14.如圖，在矩形Q4BC中，49=10,AB=8,沿直線CD折疊矩形OABC的一邊BC,使點B落在Q4邊

上的點E處.分別以O(shè)C,OA所在的直線為X軸，)軸建立平面直角坐標(biāo)系，拋物線>=依2+法+。經(jīng)過0,

D,C三點.

(1)求AD的長及拋物線的解析式；

(2)一動點尸從點E出發(fā)，沿EC以每秒2個單位長的速度向點C運(yùn)動，同時動點。從點C出發(fā)，沿CO以每

秒1個單位長的速度向點。運(yùn)動，當(dāng)點尸運(yùn)動到點C時，兩點同時停止運(yùn)動.設(shè)運(yùn)動時間為，秒，當(dāng)，為何

值時，以尸、。、C為頂點的三角形與VAOE相似？

15.(24-25九年級上?江蘇南京?期中)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線M：>=一/十區(qū)十。過點人。,2)、

點8(0,2),頂點為點C,拋物線M的對稱軸交x軸于點D

)八

1-

---------1-----1-----1----->

O1x

⑴直接寫出拋物線M的表達(dá)式和點C的坐標(biāo)；

⑵點尸在x軸上，當(dāng)，AOP與ACD相似時，求點P坐標(biāo).

16.（24-25九年級上?江蘇宿遷?階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-d+3x+4與x軸交于A,B兩點（點A位于

點3的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物線的對稱軸/與x軸交于點M長為1的線段尸。（點尸位于點。的

上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)動.

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標(biāo)；

（2）求CP+PQ+少的最小值以及此時點P的坐標(biāo)；

⑶過點尸作尸M，y軸于點M,當(dāng)ACPM和AOBN相似時，求點Q的坐標(biāo).

17.（24-25九年級上?江蘇泰州?階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線氏y=-/+6x+c經(jīng)過

點A（-3,-l）,與y軸交于點3（0,2）.

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

（2）在直線上方拋物線上有一動點C,連接OC交AB于點。，求—的最大值及此時點C的坐標(biāo).

18.如圖，拋物線y=-/+3x+4與x軸交于A,2兩點（點A位于點8的左側(cè)），與y軸交于C點，拋物

線的對稱軸/與x軸交于點N,長為1的線段PQ（點P位于點。的上方）在x軸上方的拋物線對稱軸上運(yùn)

⑴直接寫出A,B,C三點的坐標(biāo)；

⑵過點尸作尸河，y軸于點M,當(dāng)ACPM和—QBN相似時，求點。的坐標(biāo).

19.在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)>=/+笈+2的圖像與無軸交于A(-3,0),3(1,0)兩點，與y軸交于點

C.

⑴求a,。的值；

(2)點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P,使△ACP的面積最大？若存在，求出點尸的坐

標(biāo)；若不存在，說明理由；

(3)點。是直線AC上方拋物線上一動點，過點。作無軸于點￡,是否存在點0.使以點2、Q、E為

頂點的三角形與△AOC相似？若存在，求出。點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

20.如圖，已知二次函數(shù)〉=1(彳+2)(辦+6)的圖象過點4(-4,3),8(4,4).

48

(1)求二次函數(shù)的解析式；

(2)請你判斷是什么三角形，并說明理由.

⑶若點尸在第二象限，且是拋物線上的一動點，過點P作垂直x軸于點試探究是否存在以「、H、

。為頂點的三角形與VABC相似？若存在，求出尸點的坐標(biāo).若不存在，請說明理由.

21.如圖，已知拋物線y=aN+bx+c(分0)經(jīng)過A(-l,0),8(4,0),C(0,2)三點.

(1)求這條拋物線和直線BC的解析式；

(2)E為拋物線上一動點，是否存在點￡,使以A、B、E為頂點的三角形與AC03相似？若存在，試求出

點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由

壓軸專題04二次函數(shù)(相似三角形問題)

司技法全歸納

知識考點與解題策略

【解題思路】

相似三角形存在性問題解題的一般步驟：

i.找等角：尋找兩個三角形中相等的定角，通常定角為直角、對頂角、公共角或內(nèi)錯角(同位角)，或通過

互余(互補(bǔ))進(jìn)行轉(zhuǎn)化等方法得到的等角.

2.求點坐標(biāo)：(1)根據(jù)兩組邊成比例列關(guān)系式；

(2)根據(jù)另一組角相等求坐標(biāo).

學(xué)：典題固基礎(chǔ)

例題1(24-25九年級上?江蘇徐州?階段練習(xí))如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1,0)、E(3,0)兩

(2)設(shè)拋物線頂點為D,求四邊形AEDB的面積；

(3)△AOB與ADBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由.

【答案】(1)y=-M+2x+3；(2)9；(3)AAOBSADBE.理由見解析.

【分析】(1)易得c=3,故設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3,根據(jù)拋物線所過的三點的坐標(biāo)，可得方程組,

解可得a、b的值，即可得解析式；

(2)易由頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)，根據(jù)圖形間的關(guān)系可得四邊形ABDE的面積=SABO+S梯形BOFD+SDFE

代入數(shù)值可得答案;

(3)根據(jù)題意，易得NAOB=NDBE=90。，K—=—=即可判斷出兩三角形相似.

BDBE2

【詳解】解：(1);拋物線與y軸交于點(0,3),

，設(shè)拋物線解析式為y=ax?+bx+3(a#0)

a-b+3=0

根據(jù)題意，得

9a+3b+3

a=-1

解得

b=2

拋物線的解析式為y=-x2+2x+3；

(2)如圖，設(shè)該拋物線對稱軸是DF,連接DE、BD.過點B作BGLDF于點G.

由頂點坐標(biāo)公式得頂點坐標(biāo)為D(1,4)

設(shè)對稱軸與x軸的交點為F

四邊形ABDE的面積=SABO+S梯形BOFD+SDFE

=1AO?BO+1(BO+DF).OF+3EF,DF

=1xlx3+|x(3+4)Xl+gx2x4

=9；

(3)相似，如圖,

BDXBG+DG2

?*-BE=SJBO2+OE2=3叵

DE=7DF2+EF~=2若

.".BD2+BE2=20,DE2=20

即：BD2+BE2=DE2,

所以ABDE是直角三角形

/.ZAOB=ZDBE=90°,5.—=—=^,

BDBE2

【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式及

相似三角形的判定定理的應(yīng)用.

例題2如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，拋物線y=x2向左平移1個單位，再向下平移4個單位，得到拋物

線y=(x-h)2+k,所得拋物線與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左邊)，與y軸交于點C,頂點為D.

(1)求h、k的值；

(2)判斷4ACD的形狀，并說明理由;

(3)在線段AC上是否存在點M,使AAOM與△ABC相似？若存在，求出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明

理由.

【答案】(1)h=-1,k=-4(2)△ACD是直角三角形；(3)見解析

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律即可得到h、k的值；

(2)根據(jù)(1)題所得的拋物線的解析式，即可得到A、C、D的坐標(biāo)，進(jìn)而可求出AC、AD、CD的長，

然后再判斷△ACD的形狀；

(3)易求得B點的坐標(biāo)，即可得到AB、AC、OA的長;△人0乂和4ABC中，已知的相等角是/OAM=NBAC,

若兩三角形相似，可考慮兩種情況：

@ZAOM=ZABC,此時OM〃BC,△AOM^AABC；?ZAOM=ZACB,此時△AOMs^ACB；

根據(jù)上述兩種情況所得到的不同比例線段即可求出AM的長，進(jìn)而可根據(jù)/BAC的度數(shù)求出M點的橫、縱

坐標(biāo)，即可得到M點的坐標(biāo).

解：(1),.,ynxz的頂點坐標(biāo)為(0,0),

；.y=(x-h)2+k的頂點坐標(biāo)D(T,-4),

.'.h=-1,k=-4(3分)

(2)由(1)得丫=(x+1)2-4

當(dāng)y=0時，

(x+1)2-4=0

Xl=-3,X2=l

/.A(-3,0),B(1,0)(1分)

當(dāng)x=0時，y=(x+1)2-4=(0+1)2-4=-3

；.C點坐標(biāo)為(0,-3)

又：頂點坐標(biāo)D(-1,-4)(1分)

作出拋物線的對稱軸x=-1交x軸于點E

作DFLy軸于點F

在RtAAED中，AD2=22+42=20

在RtAAOC中，ACM2+32=18

在RtACFD中，CD2=12+12=2

VAC2+CD2=AD2

.,.△ACD是直角三角形;

(3)存在.由(2)知，OA=3,OC=3,貝必AOC為等腰直角三角形，NBAC=45。；

連接OM,過M點作MGLAB于點G,

AC=

①若△AOMsAABC,則想

ABAC

3X3^蚯

日SnP3_AM

7W人乂=

44

VMGXAB

VM點在第三象限

AM()；

②若AAOMsaACB,則整端,

ACAD

3AM

即Bri礪F

OG=AO-AG=3-2=1

VM點在第三象限

AM(-1,-2).

綜上①、②所述，存在點M使△AOM與△ABC相似，且這樣的點有兩個，其坐標(biāo)分別為()，(-1,

2).

練新題型特訓(xùn)

1.(24-25九年級上?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí))如圖，已知二次函數(shù)、=依2-2以+3(。*0)的圖象與x軸交于A、

2兩點，交了軸于點C,且OC=3O4.

⑴求該二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點G是直線上方拋物線上的動點，連接3C、GC、GB,求G3C面積的最大值.

⑶將直線AC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。，交拋物線于點Q,求。點坐標(biāo).

【答案】(l)y=-d+2x+3

【分析】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的關(guān)系式，函數(shù)最值問題，旋轉(zhuǎn)問題相似三角形的判定與性

質(zhì)等知識.

(1)令兀=0,求出7=3,得點C(0,3),OC=3,由℃=3Q4得。4=1,A(—1,0),

把A(-l,0)代入y=ax2-2ax+3(aw0),求出〃=一1,故可求出y=-x2+2x+3；

(2)過點G作GEU軸于點E,求出3(3,0),設(shè)G(x,-V+2x+3),得OE=x,BE=3—x,GE=-x2+2x+3,

根據(jù)SBGC=S梯形COEG+SBGE-SB"得二次函數(shù)表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)可得結(jié)論；

(3)證明一AOCsCPO,求出。尸=9,得尸(9,0),運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線PC的解析式，聯(lián)立方程組并

求解即可得出點G的坐標(biāo).

【詳解】(1)解：對于y=依？-2(xv+3(a*0),當(dāng)x=0時，y=3,

???C（0,3）,

???0C=3,

OC=3OA,

：.OA=1,

???A（-1,O）,

才巴A（-1,O）代入,=依2一2〃%+3（〃。0）,得：

a+2a+3=0,

解得，a=—l,

???二次函數(shù)解析式為：k7+2%+3；

（2）解：對于y=「？+2%+3,令y=0,得一%2+2%+3=0,

解得，xl=-l,x2=3f

???5（3,0）,

???03=3,

過點G作GELx軸于點

rV

/OEB

設(shè)G（%,-%2+2%+3）,則?！?尤，BE=3—x,GE=—x2+2x+3,

又SBGC~S梯形COEG+SBGE—SBOC

：.SBGC=g（GE+OC）OE+gBEGE—goBOC

?**G5c面積有最大值，最大值為打；

O

(3)解：設(shè)02的延長線交X軸于點P,

根據(jù)題意得NACP=90。,

/.ZACO+ZPCO=90°,

又NQAC+ZACO=90。,

ZOAC=ZOCP,

又ZAOC=ZCOP=90°,

，ACOs_cPO,

.AOCO

??而一拓’

??§一”

.??PO=9,

???P（9,0）,

設(shè)直線PC的解析式為y=kx+b,

把C（0,3）,尸（9,0）代入y=Ax+b,得:

色=3

19左+人=0'

b=3

解得，71，

13

???直線PC的解析式為J=-1x+3,

1。

y___尤+3

聯(lián)立方程組得「一3,

y=-X2+2x+3

7

,/C（0,3）,

2.（24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí)）如圖，拋物線y=-Y+4x+5與x軸交于43兩點，且與y軸交

于點C,直線y=-x-l經(jīng)過點A且與拋物線交于另一點。.

（1）填空：寫出下列點的坐標(biāo)A；B；C

（2）設(shè)點P是位于直線AD上方的拋物線上的一個動點，連接序、PD,求的面積的最大值;

⑶。點在x軸上且位于點B的左側(cè)，若以Q,B,C為頂點的三角形與△ABD相似，求點。的坐標(biāo).

【答案】⑴（一1,0）,3（5,0）,（0.5）；

⑵最大值為3當(dāng)43；

O

(3)。點坐標(biāo)為［，"或［］，"?

【分析】(I)當(dāng)y=o時，解出X的值，即可知道A3點坐標(biāo)；當(dāng)尤=。時，解出y的值，即可知道C點坐

標(biāo)；

(2)過戶點作*軸的垂線，與無軸交于G點，與4)交于尸點，過。點作工軸的平行線，與尸尸的延長線

交于“點，設(shè)P(珞-?9t+),求出尸尸長度，再轉(zhuǎn)化△產(chǎn)相＞的面積，得到

SPAD=-x(-r+5r+6)x7=--p--Y+—,進(jìn)而可求出面積最大值；

2212)8

(3)通過計算可得NABC=NR4T)=45。，進(jìn)而可知只可能存在4。成5乙氏山和兩種情

況，利用相似三角形性質(zhì)進(jìn)行分情況討論即可；

本題考查了二次函數(shù)綜合問題、面積最值問題以及相似三角形性質(zhì)，能夠正確做出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1);拋物線y=-尤?+4x+5與x軸交于43兩點，且與，軸交于點C,

???當(dāng)》時，—X2+4x+5=0,解得玉=—1,%=5,

當(dāng)x=0時，y=5,

AA(-l,0),3(5,0),C(0,5),

故答案為：(-1,0),(5,0),(0,5)；

(2)如圖，過尸點作x軸的垂線，與x軸交于G點，與A。交于尸點，過。點作x軸的平行線，與P尸的延

解得

0(6,-7),

設(shè)尸。,孑+由+5),貝iJG(f,O),

?/P在直線AD上，

-1),

：.PF=-t2+4t+5-(-t-i)=-t2+5t+6,

?Q—V_i_Q

,?°PAD—0PAF丁0PFD

=-PFxAG+-PFxDE

22

=；PFx(AG+DE)

=^PFX(XD-XA),

?XD—=6-(-1)=7,

.。1/2u八r7/5、343

SM>AD=^X\~t+5r+6)x7=--t--+—

乙乙\乙Jo

???當(dāng)，=15時，△94。的面積的達(dá)到最大值，最大值為3學(xué)43;

28

(3)如圖，過。點作DELx軸，垂足為E點,

VA(-l,0),3(5,0),C(0,5),0(6,-7),

AE-DE—7,OB=OC=5,AB=6,DB=5^/2,

?*-AD=y/AE2+DE2=7A/2，ZBAD=45°,

又<OB=OC=5,

ZABC=45°,AB=6,BC=-JOB2+oc2=5y[2,

設(shè)Q(見0),則Q5=5一帆,

ZABC=ZBAD=45°f

只可能存在LQBCsABAD和AQBCs^DAB兩種情況,

當(dāng),Q3cs時，

.QBBC5-m5「

??一，Bm|J=,

BADA67A/2

解得：機(jī)=，；

當(dāng)/Q5Cs-￡>A5時，

.QB_BC5-m5及

??一,Rm|J,

DAAB7近6

解得根=一2三0，

綜上。點坐標(biāo)為色，°)或［一日，°)

3.(24-25九年級上?江蘇蘇州?階段練習(xí))如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線V=丘+4與x軸交于點A(-4,0),

與y軸交于點C,拋物線yn-Y+fot+c經(jīng)過A,C兩點且與x軸的正半軸交于點艮

⑵如圖1,若點D為直線AC上方拋物線上一動點，連接AD,當(dāng)NC4D+N3CO=45。時，求。點的坐標(biāo)；

(3)如圖2,若尸是線段Q4的上一個動點，過點尸作直線所垂直于x軸交直線AC和拋物線分別于點G、E,

連接CE.設(shè)點F的橫坐標(biāo)為機(jī)，是否存在以C,G,E為頂點的三角形與*AFG相似，若存在，直接寫出機(jī)

的值；若不存在，請說明理由.

【答案】⑴)=1,y=—/一3x+4

⑵以-3,4)

⑶存在，-2或-3

【分析】(1)將點A的坐標(biāo)直接代入直線解析式可得出％的值；再求出點C的坐標(biāo)，將A,C的坐標(biāo)代入

拋物線解析式，即可得出結(jié)論;

(2)連接BC,AD,過點B作y軸的對稱點E,角度推導(dǎo)得到4。CE,設(shè)直線CE表達(dá)式為：y=kx+b,

j-k+0=0(k=4

代入C,E得：7",解得：-,則鼬=砧=4,設(shè)直線AT＞表達(dá)式為：＞=?+〃，求得直線AD

=4[b=4

v=-—3%+4

,求解即可；

{y=4尤+16

(3)根據(jù)題意需要分兩種情況，當(dāng)ZECG=N4FG=9O。時，當(dāng)NCEG=ZAFG=90。時，一種是發(fā)現(xiàn)CEAO,

另一種過點E作軸于點K,得到VEKC為等腰直角三角形，則EK=KC,建立方程，分別求出加的

值即可.

【詳解】(1)解：直線＞=區(qū)+4與x軸交于點A(-4,0),

-4-k+4—0,

■■■直線AC的表達(dá)式為y=x+4；

當(dāng)x=0時，y=4,

???點C的坐標(biāo)為(0,4),

將A(-4,0),點C的坐標(biāo)(0,4),代入y=-f+bx+c,

,「一16—46+c=0

2

二拋物線的解析式為y=-x-3x+4:

(2)解：連接8C,AD,過點8作〉軸的對稱點E,

對于丁=-%2-3%+4,當(dāng)y=。，貝1」-爐一3%+4=0,

解得：%=1或％=Y,

.*.5(1,0),

則E(-LO),

由對稱得：ZBCO=ZECO,

當(dāng)x=0,y=4,

AOC=4,而由4(—4,0)知OA=4,

：.OA=OC,

???^AOC=90°,

???ZACO=ZCAO=45°f

???ZACE+ZECO=45°9

,:NCW+N5co=45。，

???ZC4D+ZECO=45°

JZACE=ACAD,

：.ADCE,

[-k+b=Q

設(shè)直線C片表達(dá)式為：y=kx+b,代入C,E得:.

[b=4

伙=4

解得：7/

[b=4

卜人口=%=4,

設(shè)直線AD表達(dá)式為：y=4x+n9

代入A得：—16+〃=0,

解得：b=16,

???直線表達(dá)式為：y=4x+16f

Y——入2_3工4

聯(lián)立直線4。表達(dá)式和拋物線表達(dá)式，得：＞一

y=4x+l6

fx=—3fx=—4

解得：,或c(舍)，

b=4[y=0

，0(-3,4)；

(3)解：存在，理由如下：

由圖形可知ZCGE=ZAGF,

:?若,.CEG與AFG相似，則需要分兩種情況，

當(dāng)ZECG=Z4FG=90。時，過點E作EK_Ly軸于點K,

由上知NACO=45。,

ZECK=90°-ZACO=45°,

???VEKC為等腰直角三角形,

:.EK=KC,

則E^m,—m2—3m+4),

則KC=—m2—3m+4—4=—m2-3m,EK=—m,

—m2-3m=—m,

解得：m=—2或機(jī)=0；

當(dāng)NCEG=NAFG=90。時，則CEAO

令y=-x2-3x+4=4,

解得：%=—3或％=o（舍）

即m=—39

綜上，當(dāng)加的值為-2或-3時，以C,G,E為頂點的三角形與二AFG相似.

【點睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，主要考查的是待定系數(shù)法求二次（一次）函數(shù)解析式、二次函數(shù)圖象

上點的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，解題的關(guān)鍵是第（3）問中需分兩種情況討論.

4.（24-25九年級上?江蘇蘇州?期末）直線y=-3x+3與x軸交于點8與y軸交于點C,拋物線y=-Y+"+c

經(jīng)過8,C兩點，與x軸的另一交點為A,連接AC,點尸為AC上方的拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖①，連接交線段AC于點。，若PD:30=5:16,求此時點P的坐標(biāo)；

(3)如圖②，連接PC.過點P作PEy軸，交線段AC于點若APCE與VA3C相似，求出點尸的橫坐標(biāo)

及線段FE長.

【答案】⑴y=-x?-2x+3

⑵或K)

39520

(3)xP=-->PE=-^xP=--,PE=~

【分析】(1)先確定點3、C的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求拋物線的解析式；

(2)先求直線AC和的解析式，再聯(lián)立求出交點的橫坐標(biāo)，證明BDGsBPH,根據(jù)相似三角形對應(yīng)

邊成比例建立方程求解即可；

(3)分兩種情況：ABCs,EPC或AABCs^ECP,根據(jù)對應(yīng)邊成比例建立方程求解即可.

【詳解】(1)解：直線V=-3x+3與無軸交于點5,與丁軸交于點C,

令x=0,則y=3；令y=0,則x=l,

.?.8(1,0),C(0,3)

,拋物線>=-尤2+fcv+c經(jīng)過B,C兩點，

將3、C的坐標(biāo)代入解析式可得

—l+b+c=0

c=3

二拋物線解析式為：y=-x2-2x+3；

(2)解：令拋物線y=*_2.x+3=0,可得x=l或％=-3,

A(-3,0),

-C(0,3),

二設(shè)直線AC的解析式為：y=kx+bi,

將A(-3,0),C(0,3)代入直線y=kx+4,得

'3左+4=0

i仇=3,

k=l

解得:

4=3

，直線AC的解析式為：y=x+3,

設(shè)尸點坐標(biāo)為（加，-機(jī)2-2加+3）,

設(shè)直線3尸的解析式為：＞=依+",

將3（1,0）,P（機(jī)，-機(jī)機(jī)+3））代入解析式＞中，得

a+n—0

am+n=-2m+3

a=-m-3

解得:

n=m+3

，直線BP的解析式為：y=-（m+3）x+m+3,

聯(lián)立直線6P與直線AC

y=-(〃？+3)尤+機(jī)+3

y=x+3

vn

解得”大

如圖過點尸作尸軸于點”，作OG,龍軸于點G

DG//PH

:"BDG=/BPH,ZBGD=ZBHP=90°

又?ZDBG=ZPBH

:.△BDGS^BPH

PD:BD=5A6

「?BG:BH=16:21

BG=x-x=1---------,BH=x-x=\-m

BDm+4Bp

Im

.加+4二16

1-m21

解得：01=-（或％=-2,

22

經(jīng)檢驗，機(jī)=-；,m=-：都是方程的根，

...當(dāng)機(jī)=一]時，2―2機(jī)+3=，；

57

當(dāng)m=一,時，—m2—2m+—

故點尸的坐標(biāo)為（-；，?。?，（~~~;

2424

（3）解：設(shè)尸點坐標(biāo)為（々,-。2-2〃+3）,

E（〃M+3）,

.?.依=一/_2〃+3-（。+3）=-/_3〃，AC=A/A02+0C2=A/32+32=3>/2，

EC=J（〃-0）2+（a+3-3>==—y[2a,

.FE〃y軸，

,\ZPEC=ZACO,

又?OA=OA=3,OC1OA,

.\ZCAB=ZACO=45°,

:"PEC=/CAB,

①當(dāng)ABCs石pc時，

ACAB

~EC~~EP"

即翠=丁」——，

72a-a-2a+3-a-3

解得：a=-g或a=0,

經(jīng)檢驗a=0不是方程的根，應(yīng)舍去，

:.PE=~cr-3a=--

9

②當(dāng)△ABCsAECP時，

ABAC

~EC~~EP"

即43應(yīng)

-\p2^ct~-2a+3-a-3

3

解得：。=-萬或。=0,

經(jīng)檢驗a=0不是方程的根，應(yīng)舍去，

,9

PE=-cr—3a=—.

4

【點睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法，相似三角形的判定和性質(zhì)等知

識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考壓軸題.

5.(24-25九年級下?江蘇?專題練習(xí))如圖，已知過坐標(biāo)原點的拋物線經(jīng)過A&,0),,3)兩點，且均、

々是方程V+5x+6=0兩根(%>9),拋物線頂點為C.

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點。在拋物線上，點E在拋物線的對稱軸上，且以A、0、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，求

點E的坐標(biāo)；

(3)尸是拋物線上的動點，過點尸作軸，垂足為M,是否存在點尸使得以點尸、。為頂點的三

角形與1130c相似？若存在，求出點尸的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】(l)y=Y+2x

(2)E(「13)或用一1,1)

,,,,5577

⑶存在尸點，P的坐標(biāo)是(1,3),(-5,15),

【分析】(1)通過解方程d+5x+6=0求出占、尤2的值，就可以求出點A、2的坐標(biāo)，再根據(jù)待定系數(shù)法

就可以求出拋物線的解析式.

(2)①當(dāng)0A為邊時，根據(jù)E在x=-l上，能求出。的橫坐標(biāo)，根據(jù)平行四邊形性質(zhì)求出。的坐標(biāo)即可；

②。4為對角線時，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，求出。和C重合，進(jìn)一步求出E的坐標(biāo)；

(3)設(shè)尸(〃z,/+2〃z),根據(jù)勾股定理的逆定理求出直角三角形3OC,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出比例

式，代入求出即可.

【詳解】(1)占、尤2是方程d+5x+6=0的兩根(%＞馬)，

解得原方程的兩根分別是：玉=-2,%=-3,

」.A(-2,0),8(-3,3),

c=0

設(shè)拋物線的解析式為，y=a^+bx+c,則＜4a-26=0,

、9a-36=3

a=\

解得：〃=2,

。二0

拋物線的解析式是y=V+2x.

(2)Qy=j(：2+2x,

，對稱軸為：x=-l,

①當(dāng)。4為邊時，

以A、。、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，

.'.DE//AO,DE=AO=2,

E在對稱軸尸-1上，

.:￡)的橫坐標(biāo)是1或-3,

.■D的坐標(biāo)是(L3)或(-3,3),此時E的坐標(biāo)是(-1,3)；

②當(dāng)AO是對角線時，則OE和AO互相平分，有E在對稱軸上，且線段AO的中點橫坐標(biāo)是-1,

由對稱性知，符號條件的點。只有一個，即是頂點C(T,-l),此時E(T,1),

綜合上述，符合條件的點E共由兩個，分別是E(-l,3)或E(T,1).

(3)假設(shè)存在，設(shè)尸O,那+2叫，

8(-3,3),C(-l-1),

:.OB2=18,CO?=2,BC2=20,

BO2+CO2=BC2,

是直角三角形，ZCOB=90°,等=3,

.以P、M,。為頂點的三角形和3co相似,

又NC0B=NPM0=90°,

PMOB?.PMOC1

,OM~OC~'一OM~OB~3"

m2+2m八m2+2m1

二.-------=3,------------=-

mm3

57

解得：機(jī)=1或-5或一§或一§,

存在P點，P的坐標(biāo)是(L3),(-5,15),(-|,-|),(-1,J).

【點睛】本題綜合考查了二次函數(shù)的綜合，用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)和判定，

勾股定理的逆定理，平行四邊形的判定等知識點的應(yīng)用，此題綜合性比較強(qiáng)，有一定的難度，對學(xué)生提出

較高的要求.注意：不要漏解，分類討論思想的巧妙運(yùn)用.

6.(24-25?江蘇蘇州階段練習(xí))如圖，拋物線>=-；尤2+法+。與天軸的一個交點為4(—2,0),與y軸的交

點為3(0,4),對稱軸與x軸交于點。

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

⑵點M為y軸正半軸上的一個動點，連接AM,過點M作AM的垂線，與拋物線的對稱軸交于點N,連

接AN.

①若4VW與VA08相似，求點M的坐標(biāo)；

②若點M在>軸正半軸上運(yùn)動到某一位置時，40V有一邊與線段相相等，并且此時有一邊與線段釬具

有對稱性，我們把這樣的點又稱為“對稱點”，請直接寫出“對稱點的坐標(biāo).

【答案】⑴》=-；/+。+4

（2）①M(fèi)點的坐標(biāo)為（0,6）或/，；②M點的坐標(biāo)為（0，J可或（0，面）或（。，/

【分析】（1）利用待定系數(shù)法去求拋物線解析式；

（2）①先求出拋物線的對稱軸為x=3,作MD_L直線x=3于點D,作AE_LMC＞于E,根據(jù)相似三角形的判

定和性質(zhì)進(jìn)行如下的分類討論即可：（1）當(dāng)今AM=籌MN時，（2）當(dāng)A黑M=黑MN時進(jìn)行求解即可；

OBOAOAOB

②先確定AP=5進(jìn)行如下的分類討論即可：（1）當(dāng)A〃=AP=5時，（2）當(dāng)AN=AP=5時，（3）當(dāng)MN=5

時進(jìn)行求解即可.

If_]_2b?.—0

【詳解】⑴將點A（-2,0）,8（0,4）分別代入＞=-片2+法+。得一二=4一，

解得,2,

c=4

1Q

???拋物線的解析式為y=-4x2+3+4；

42

3

（2）①拋物線的對稱軸為直線》=一一/不=3,

2xhJ

作MD_L直線x=3于點D作于E,

,?ZAMN=ZAOB,

.^AMMNAMOB4。

..當(dāng)市二市’即m分廠由=5=2,

???AAMNSZ\5OA,如圖1,

?.*ZEAM+AEMA=90°,/DMN+/EMA=9。。,

ZEAM=ZDMN,

'/ZAEM=ZMDN=90。,

???AAEMS^MDN,

.AEAM2

而A?=3,

AE=6,

此時M點的坐標(biāo)為（。，6）,

,wAMMNAMOA21

??nn===

OAOBMNOB2

：.AMNsAOB,如圖2,

同理可得AAEMs^MDN,

.AEAM_1

"MD~MN~2'

而MD=3,

AE=-,

2

此時M點的坐標(biāo)為

綜上所述，M點的坐標(biāo)為（O,6）或［。弓

②：4-2,0）,尸（3,0）,

AP=5,

當(dāng)AM=AP=5時，OM=V52-22=V21>此時點M的坐標(biāo)為（。，e）;

當(dāng)AN=A尸=5時，點N與點尸重合，則OM2=O4OP,

OM=^/2^3=76,此時M點的坐標(biāo)為（0，"）；

當(dāng)肱V=5時，在RtMND中,DN=｛守一寸=4,

,/AAEMS/\MDN,

,AEEMAE2

??=