專題6.6解三角形【十大題型】

【人教A版(2019)]

A題型梳理■

【題型1余弦定理邊角互化的應用】............................................................4

【題型2余弦定理解三角形】...................................................................5

【題型3正弦定理邊角互化的應用】............................................................7

【題型4正弦定理解三角形】...................................................................8

【題型5正弦定理判定三角形解的個數(shù)】.......................................................10

【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】.......................................................12

【題型7三角形面積公式的應用】..............................................................14

【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】...................................................16

【題型9求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】...............................................20

【題型10距離、高度、角度測量問題】........................................................24

A舉一反三

【知識點1余弦定理、正弦定理】

i.余弦定理

(1)余弦定理及其推論的表示

三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它

文字表述

們夾角的余弦的積的兩倍.

公式表述a2=b1+c1-2bccosA,b1=(fi+c1-2accosB,c2=tz2+fe2-2<7/?cosC.

222222222

.b-\-c—a_a-\-c—b萬a+b—c

推論COSA="，cos5=c,COSC=cT.

2bclaclab

(2)對余弦定理的理解

①余弦定理對任意的三角形都成立.

②在余弦定理中，每一個等式都包含四個量，因此已知其中三個量，利用方程思想可以求得未知的量.

③余弦定理的推論是余弦定理的第二種形式，適用于已知三角形三邊來確定三角形的角的問題用余弦

定理的推論還可以根據(jù)角的余弦值的符號來判斷三角形中的角是銳角還是鈍角.

④余弦定理的另一種常見變式：b2+c2-a2=2.bccosA,a2+c2-b2=2accosB,a2+b2-c2=2abcosC.

2.正弦定理

(1)正弦定理的表示

在A43C中，若角&B,C對應的邊分別是。力,以則各邊和它所對角的正弦的比相等，即二、

sinC.

(2)正弦定理的常見變形

nr)c

在A45C中，由正弦定理得二一-=—一-=——?=k(k>0),貝1!〃=左sinZ,b=ksinB,c=isinC,由此可得

sinAsinsinC

正弦定理的下列變形:

sinAasinC_csin3_b

6zsinB=bsmA,tzsinC=csinAZ?sinC=csinB；

sinBbsinAasinCcf

b_c_a+b_a+c_b+c_a+b-\-c

sinAsinBsinCsinA+sinBsinA+sinCsinB+sinCsinA+sinB+sinC

③。:b:c=sin4:sin5:sinC；

ab

④=2R,(尺為△ZBC外接圓的半徑).

sinAsinBsinC

(3)三角形的邊角關系

由正弦定理可推導出，在任意三角形中，有“大角對大邊，小角對小邊”的邊角關系.

3.解三角形

(1)解三角形的概念

一般地，三角形的三個角4民C和它們的對邊。也c叫做三角形的元素.在三角形中，已知三角形的幾個

元素求其他元素的過程叫做解三角形.

(2)余弦定理在解三角形中的應用

利用余弦定理可以解決以下兩類解三角形的問題：

①已知兩邊及它們的夾角，求第三邊和其他兩個角;

③已知三邊，求三角形的三個角.

(3)正弦定理在解三角形中的應用

ab

公式蕭^反映了三角形的邊角關系

sinAsinB

b_ca

由正弦定理的推導過程知，該公式實際表示為:.上述的

sinBsinCsinAsinC

每一個等式都表示了三角形的兩個角和它們的對邊的關系.從方程角度來看，正弦定理其實描述的是三組方

程，對于每一個方程，都可“知三求一”，于是正弦定理可以用來解決兩類解三角形的問題：

①已知兩角和任意一邊，求其他的邊和角，

③已知兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角.

4.對三角形解的個數(shù)的研究

已知三角形的兩角和任意一邊，求其他的邊和角，此時有唯一解，三角形被唯一確定.

已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，求其他的邊和角，此時可能出現(xiàn)一解、兩解或無解的情況，三

角形不能被唯一確定.

(1)從代數(shù)的角度分析“己知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角“時三角形解的情況，下面以已知

a力和解三角形為例加以說明.

由正弦定理、正弦函數(shù)的有界性及三角形的性質可得：

①若sing=04>l,則滿足條件的三角形的個數(shù)為0；

a

②若縹1=1,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1；

③若sinB=24<l,則滿足條件的三角形的個數(shù)為1或2.

a

顯然由0<sin3=&/■<：!可得2有兩個值，一個大于90。，一個小于90。，考慮至廣大邊對大角”、“三

a

角形內(nèi)角和等于180。”等，此時需進行討論.

(2)從幾何的角度分析“已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角”時三角形解的情況，以已知。力

(1)化邊為角，通過三角變換找出角之間的關系；

(2)化角為邊，通過代數(shù)變形找出邊之間的關系，正(余)弦定理是轉化的橋梁.

無論使用哪種方法，都不要隨意約掉公因式，要移項提取公因式，否則會有漏掉一種形狀的可能.注意

挖掘隱含條件，重視角的范圍對三角函數(shù)值的限制.

6.三角形的面積公式

(1)常用的三角形的面積計算公式

①=ha=^b-hh=-c-瓦(瓦，瓦也分別為邊a,b,c上的高).

②將瓦=bsinC,hb=csmA,Ac=asin3代入上式可得旌皿；=5。/山。=爹灰^11/=萬的$畝2,即三

角形的面積等于任意兩邊與它們夾角的正弦值乘積的一半.

(2)三角形的其他面積公式

①旌""=1『(。+6+。尸|rZ,其中r,/分別為aABC的內(nèi)切圓半徑及的周長.

2sinBsinCsinAsinCsinAsinB

②S&ABC=5a，SAABC=5b2，^AABC=°2

sinAsin5sinC

【題型1余弦定理邊角互化的應用】

【例1】（23-24高一下?甘肅天水?期中）在A45C中，角4,B,。所對的邊分別為Q,b,c,且2acos

B—c—2a,b—2a,則（）

A.2a=3cB.3a=2cC.b=2cD.2b=c

【解題思路】根據(jù)余弦定理邊角互化即可求解.

【解答過程】由2acosB=c—2a得2a°:°一）=c—2a=>a2—b2=—2ac,

2ac

由于b=2a,所以小―4Q2=-2qc,故3Q=2C,

故選：B.

【變式1-1]（23-24高一下?貴州黔西?期中）在△ABC中，已知（a+b+c）（b+c—a）=3bc,則角4等于

（）

A.150°B.120°C.60°D.30°

【解題思路】根據(jù)題意結合余弦定理運算求解.

【解答過程】因為(a+b+c)(b+c-d)=3bc,整理得扶+c2-a2=be,

由余弦定理可得cos/="戲-。2=票=[

2bc2bc2

且0°<力<180。，所以4=60。.

故選：C.

【變式1-2](24-25高一下?全國?課后作業(yè))在銳角三角形ABC中，a=l,b=2,則邊c的取值范圍是

()

A.l<c<V3B.1<c<V5

C.V3<c<V5D.V3<c<3

【解題思路】由銳角三角形及余弦定理列不等式組，結合三角形三邊關系即可結果.

【解答過程】由題意cosC=之器貯>0,即。2+板=5>?2,貝心〈迷，

同理｛/2=2；，2,即C2>3,則C>?又b-a=1<c<b+a=3,

綜上，V3<c<V5,

故選：C.

【變式1-3](24-25高一下?安徽滁州?階段練習)若鈍角△4BC的內(nèi)角4B,C滿足4+C=2B,且最大邊

長與最小邊長的比值為小，則根的取值范圍是()

A.(1,2)B.(2,+8)C.[3,+8)D.(3,+8)

【解題思路】先利用三角形內(nèi)角和結合條件求得B=60。，然后利用余弦定理及鈍角三角形得￡>2,即可求

解.

【解答過程】設三角形的三邊從小到大依次為a,b,c,

因為力+C=2B,則4+B+C=3B=180。，故可得8=60。，

根據(jù)余弦定理得：cosB==于是/=a2+c2-ac,

"f2a-c'2

因為△ABC為鈍角三角形，故a2+b2-c2<0,于是2Q2-QCV0,即2>2,

則Tn=(>2,即mG(2,+co).

故選：B.

【題型2余弦定理解三角形】

【例2】(23-24高一下?天津?期中)在△ABC中，角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若a=b=

遮，c=2,則角A=()

A.30°B.60°C.120°D.150°

【解題思路】根據(jù)余弦定理即可求解.

【解答過程】由余弦定理可得cosA=三蕓|=-哼，

???ae(om)-A=q，即150°,

故選：D.

【變式2-1](23-24高一下?河南洛陽?期中)△ABC中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別為a,b,c,cosf=

率BC=2,AC=5,則4B=()

A.2V3B.V17C.V29D.V41

【解題思路】先利用二倍角余弦公式求解cosC,再利用余弦定理轉化求解即可.

【解答過程】因為3號=看所以cosC=2cos2|-1=2x：-l=-|，

又BC=2,AC=5,

所以4B2=BC2+AC2-2xBCxACxcosC=22+52-2x2x5x(-|)=41,

所以48=V44.

故選：D.

【變式2-2](23-24高一下?浙江?期中)已知△ZBC的三條邊長分別為a,b,c,且(a+b)：(b+c)：(a+c)

=12:13:15,則此三角形的最大角與最小角之和為()

A-B.rC.4D.

3346

【解題思路】根據(jù)題意由邊長比例關系可求得Q=7k力=5k,c=8k,再由余弦定理可得即可得出結

論.

(a+b=12fc

【解答過程】根據(jù)題意不妨設(b+c=13k,k>0；解得。=7k力=5/c,c=8k,

la+c=15k

所以可得此三角形的最大角與最小角分別為NC和乙&

由余弦定理可得cos4=絲喘這=繳!=今又4E(0jr),

可得

所以C+B=n-A=與.

故選：B.

【變式2-3](23-24高一下?山西長治?期末)在△ABC中，角力，B,C所對應的邊分別為a,b,c,

a—2c—2,+tan|=4,則6=()

A.V2B.V3C.2D.V5

【解題思路】先根據(jù)tan等+tan5=4求出C,然后利用余弦定理求出A

【解答過程】由tan等+tanq=4得tan^+tan|=4,

.n—C.ccc

TT—CCsm-----sin-cos-sin—

tan——Ftan-=—WrH-r=~~hH------------i=4,

2Zcos--cos-sin-cos-

2222

1

:.sm"r-cos—r=45

22

???sinf=*

又a=2c=2,

所以a=2>c=1,

所以ce(o(),

?.“c--6-,

???3。=苧=*=崎二解得6=但

故選：B.

【題型3正弦定理邊角互化的應用】

【例3】(23-24高一下?青海海東?期中)在△4BC中，角4SC所對的邊分別為a,b,c,若B=242=

爭貝必=()

nnnIT

A.7。B.q7C.37D.z7

【解題思路】根據(jù)題意利用正弦定理可得COS4=￥，即可得結果.

【解答過程】因為急=白，則合12=黑=益3=多

可得cos/=浮且4G(0,71),所以4=

故選：B.

【變式3-11(23-24高一下?北京通州?期中)在△ABC中,角4B,C的對邊分別為a,b,c,則S＞中是

“asinZ>bsinB”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【解題思路】根據(jù)正弦定理分別判斷充分性和必要性即可.

【解答過程】若4>B,則a>6>0,由正弦定理可知高=熹=2凡

貝！Jsin/>sinB>0,

則asinA>bsinB,則可得“/>是“asinA>bsinB”的充分條件，

再由asinZ>bsinB,由正弦定理得次>按,則a>b,則4>8,

則“asin/>bsinB”是“4>8”的必要條件，

所以“>B^asinA>bsinB”的充要條件.

故選：C.

【變式3-2]（23-24高一下?吉林長春?期末）已知內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若

A'.B\C=1:1:4,則a:b:c等于（）

A.1:1：V3B.2:2：V3C.1:1:2D.1:1:4

【解題思路】根據(jù)正弦定理求解即可.

【解答過程】因為4&C=1:1:4,故/=B=]+；+4=*C=if~4=夸，

由正弦定理，a\b\c=sin4sinB:sinC=sin^:sin^:sin^==1：1：V3.

故選：A.

【變式3-3]（23-24高一下?江蘇淮安?階段練習）在△ABC中，若4=30。,a=1,則不蒜彳=（）

sinoTZsinL

A.2B.|C.YD.V3

【解題思路】由同角的三角函數(shù)關系求出sinA,再根據(jù)正弦定理邊化角，即可求得答案.

【解答過程】根據(jù)正弦定理邊角互化可知高=盤=爵=2R,

olllzlOlIlL*

所”"2c_2R(sinB+2sin0_?口?

sinB+2sinCsinB+2sinCsin/3'

故選：A.

【題型4正弦定理解三角形】

【例4】（23-24高一下?江蘇常州?期末）在△ABC中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,若/=今

tanB=~Y，a=yp7,貝必=()

A.2B.V5C.3D.V7

【解題思路】利用同角的三角函數(shù)的基本關系可求得sinB,利用正弦定理可求解.

【解答過程】由tanB亭可得舞=容又sin2B+cos2B=l,

后22

所以(/cosB)+cos2^=1,解得cosB=±厲,

又因為tanB=遑>0,0<B<TI,所以OvBv1所以sinB=Qos8=g

2z2V7

由正弦定理可得就=白，所以當=圭，解得b=2.

sin/ismo-a

故選：A.

【變式4-1］（23-24高一下?黑龍江哈爾濱?階段練習）在△ABC中，角/,B,C的對邊分別是a,b,c

1

已知acosC=3ccos4且tanC=§,則人=()

71n_3n

A-6B-4C.3D-T

【解題思路】由正弦定理可得sinAcosC=3sinCcos4從而得當：=［吟，即有tanC=〈tan4,再結合tanC=

COSCJCOSA5

（及ae（o,ir）,求解即可.

【解答過程】解：因為acosC=3ccos/,所以cosCW0,cosZH0,

所以sin/cosC=3sinCcosZ,

i,sinCsinZ

從而Zl=得t年=而7

即tanC=[tan4

又tanC=

所以tanZ=1,

又因為/6(0,ii),

所以

故選：B.

【變式4-2］（23-24高一下?山東聊城?期中）已知△48C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,若sin/=

419

W，cosC=—,a=2,則b=()

A33c63-33*3

AB."D-五或元

-元65

【解題思路】由題意求出cos4=±，inC=備，再根據(jù)兩角和的正弦公式求得sinB,利用正弦定理即可求得

答案.

【解答過程】由題意知：在A42C中，sin4=1,cosC=||,a=2,貝iJC為銳角，

所以sinC==差因為sinH>sinC>0,且sinAKl,所以4為銳角或鈍角,

當Ae（0,},貝Ijcos4=J1一=|,

T曰.c./“一、.4.^412,3563

十是sinB=sinM+G=smA4cosC+cosZsmC=TX—+-x—=—,

、J51351365

v由，_=」_

人RsinZ-sinBa=2,

―rzt=ijasinB2x^|63

可得6=—V=T=h

sinZ-26

5

當4eg,Tt),貝I]cosA=Jl-Q)2=-|,

于是sinB=sinM+C)=sirL4cosc+cos/lsinC=7X71+(—-)x-77=77

vy513\5，1365

v由，—=」_

人RsinZ-SinBa=2,

―,asinB

可rZ得t=Ib=

故選：D.

【變式4-3]（23-24高一下?山西大同?期中）在△ABC中，內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,若

c=3,b=V6,C=60°,則/=()

A.45°B.75°C.105°D.135°

【解題思路】利用正弦定理求出B,即可求出4

【解答過程】由正弦定理得爵=荒，所以sinB=^=乎義乎=乎,

因為c>b,所以C>B,所以B=45。,

則4=180°-60°-45°=75°,

故選：B.

【題型5正弦定理判定三角形解的個數(shù)】

【例5】（23-24高一下?天津西青?期末）由下列條件解△ABC,其中有兩解的是（）

A.b=20M=45°,C=80°B.a=30,c=28,B=60°

C.a=11,b=6,A=45°D.a=9,c=10,A=30°

【解題思路】根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°及三角形三邊關系，結合正弦定理和余弦定理逐項判斷即可.

【解答過程】對于A,由6=20/=45°,C=80°,B=180°—4—C=55°,由正弦定理可得白=號=白，

0111/1sinifoiiiL.

由。=駕和?=駕可知a和c只有唯一解，所以△ABC只有唯一解，因此A不正確；

smBsmb

對于B,因為a=30,c=28,8=60°,由余弦定理/=a2+c?—2accosB可知b只有唯一解，

所以三角形的三個邊唯一確定，即只有唯一解，因此B不正確；

對于C,因為a=11力=6,4=45°,由正弦定理得常］=《萬，

即5比8=等=得*￥=￥<乎，又b<a,所以B<45°,

所以角B只有唯一解，即△4BC只有唯一解，因此C不正確；

對于D,因為a=9,c=10/=30°,由正弦定理得矣?=肅，

所以sinC=^=弓x：=|>:,又c>a,所以C>2=30°,所以角C有兩個解，即△ABC有兩個解，因此D

正確.

故選：D.

【變式5-1］（23-24高一下?江蘇揚州?期中）在△ABC中，若a=l,cos4=q，b=2,則三角形解的個

4

數(shù)為（）

A.0個B.1個C.2個D.不確定

【解題思路】先求出sinA=；,再由正弦定理求出角B即可得解.

【解答過程】由題a<6,所以4<8/6（0弓），

又cos4=孚，所以sin"=Vl-cos24=（手）

所以0<力且由正弦定理矣j=-^nsinB=也吧=%=3，

osmAsinFa12

所以由Be（0,7t）得B=,或弓，故三角形解的個數(shù)為2.

故選：C.

【變式5-2］（23-24高一下?河北張家口?期末）在△ABC中，內(nèi)角N,B,C所對的邊分別為a,b,c,sinB=

爭:=3,若△ABC有兩解，則6的取值范圍為（）

A.（V3,3）B.（V3,3］C.（8,+8）D.［3,+8）

【解題思路】根據(jù)題意得到三角形有兩解的條件，進而得解.

【解答過程】三角形中，sinB=掾,c=3,如圖,

當△4BC有兩解時，csinB<b<c,

即3x曰<6<3,即遮<6<3.

故選：A.

【變式5-3］（23-24高一下?湖北?期中）根據(jù)下列條件，判斷三角形解的情況，其中有兩解的是（）

A.b=1,A=45°,C=60°B.a=l,c=2,B=60°

C.a-3,b=1,B=120°D.a=3,6=4,A=45°

【解題思路】根據(jù)已知結合正弦定理判斷各個選項即可.

【解答過程】A項是角角邊類型的三角形，有唯一解；

B項解兩邊夾一角類型的三角形，是唯一解；

C項是兩邊一對角類型的三角形，角B為鈍角，也是三角形的最大角，對應三角形最大邊，但是b<a,故

該三角形無解；

D項是兩邊一對角類型的三角形，=JsinB=^>^=sin45°,B有兩個解，此三角形有兩

解.

故選：D.

【題型6正、余弦定理判定三角形形狀】

【例6】（23-24高一下?福建龍巖?期中）在中，內(nèi)角/,B,C所對的邊分別是a,b,c,cosB=-

I，asinB=bsinC,則該三角形的形狀是（）

A.直角三角形B.等腰三角形C.等邊三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值可得8=與，即可結合正弦定理求解.

【解答過程】由cosB=-f86（0刀）,則8=三，

由asinB=bsinC,貝Usin/sinB=sinBsinC,

由于sinBW0,貝!JsinZ=sinC,

???/,C均為三角形的內(nèi)角，A=C,即。=<7,

故該三角形的形狀是等腰三角形.

故選：B.

【變式6-1］（23-24高一下?安徽馬鞍山?期末）在△ABC中，角B,C所對的邊分別是a,b,c,若6cos

A+acosB=csinC,則△ABC為（）

A.等腰三角形B.等邊三角形

C.直角三角形D.等腰直角三角形

【解題思路】由正弦定理和正弦和角公式化簡得到sinC=l,求出C=?得到答案.

【解答過程】由正弦定理得sinBcosA+sinXcosB=sin2C,

其中sindcosB+cosAsmB=sin（4+B）=sinC,

所以sinC=sin2C,

因為Ce（0,p）,所以sinCKO,

故sinC=1,

因為Ce（O,n）,所以c=5，

故△ABC為直角三角形.

故選：C.

【變式6-2］（23-24高一下?天津?階段練習）在aABC中，已知片條=京鬻/，則△ABC的形狀為

（）

A.直角三角形B.等腰三角形

C.等腰或直角三角形D.等邊三角形

【解題思路】利用余弦定理邊化角化簡等式，再利用二倍角的正弦及正弦函數(shù)性質推理判斷即可.

asin74bsinB

【解答過程】在aABC中，由高愛記而量下及余弦定理，得

2accosB2bccosA'

整理得sinAcos力=sinBcosB,即sin24=sin2B,

而0<24<2TT,0<2B<2it,0<2A+2B<2n,因此24=2B或24+2B=n,

所以4=B或4+B=,即△ABC為等腰三角形或直角三角.

故選：C.

【變式6-3］（23-24高一下?江蘇鎮(zhèn)江?期中）在△ABC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,若a—ccosB=b—c

cos4則△ZBC的形狀是（）三角形

A.等腰B.直角C.等腰直角D.等腰或直角

【解題思路】利用余弦定理將等式整理得到呼衛(wèi)=四尸，對a2+b2-c2=0或a?+b2-c2力。分類討論

即可判斷.

【解答過程】由Q-CCOSB=b-ccos4,

由余弦定理得a—cx號衛(wèi)=b-cx竺一,

2ac2bc

222222

化zb間待a+Zj—ca+6-c

當a?+b2-c2=0時,BPa2+h2=c2,則△ABC為直角三角形;

當a2+62-c2Ho時，得。=匕，則△ABC為等腰三角形；

綜上：△ABC為等腰或直角三角形，故D正確.

故選：D.

【題型7三角形面積公式的應用】

【例7】(23-24高一下?內(nèi)蒙古赤峰?階段練習)已知在△4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,6,c,若

b=2,c=2V3,且2sin(B+C)cosC=1-2cos4sinC,則△ABC的面積是()

A.2V3B.亨C.亨或孚D.V3^2V3

【解題思路】由sin(B+C)=sin(n-X)=sin4結合題意先求出8,再由余弦定理求出a的值即可由面積公式

SAABC=gacsinB得解.

【解答過程】因為sin(B+C)=sin(Tt-X)=sinX,

所以由2sin(B+C)cosC=1—2cosAsinC得2sirh4cosc+2cosAsinC=2sin(4+C)=2sin(n—B)=2sinB=1,

所以sinB=2，因為b<c,又Be(Om),則8為銳角，所以8=也

所以扶=a2+c2—2accosB,BP22=a2+(2V3)2—2ax2V3x日，

化簡為小―6a+8=0=a=4或a=2,

所以=/csinB=-x2x2V3sin-=遮或S&BC=^acsinB=-x4x2V3sin-=2g,

故選：D.

【變式7-1](23-24高一下?山西呂梁?期末)在△ABC中，內(nèi)角48C的對邊分別為a,瓦c,若缶+人一。)

(a+h+c)=3ab,a=4力=2,則△ABC的面積是()

A.2B.4C.2V3D.3

【解題思路】由余弦定理求出c,再由面積公式求解即可.

【解答過程】若（a+Z?—c）（a+b+c）=3ab,則小+b2-c2=ab,

ab_1

由余弦定理得cosC=

吆:/2ab2'

因為OVCVir,所以c=T，

則△4BC的面積是地sinC=打8X曰=2點

故選：C.

【變式7-2]（23-24高一下?山東聊城?期末）在△ABC中，角/,B,C的對邊分別為a,b,c,c=2,a2+

b2=竽absinC+4,則△ABC面積的最大值為（）

A.字B.1C.V3D.2V3

【解題思路】根據(jù)題意利用余弦定理可得C=今進而可得a?+爐=+4,再利用基本不等式結合面積公

式運算求解.

【解答過程】因為c=2,且a2+爐=Z^3absinC+4,即a2+〃=Z^3absinC+c2,

整理可得a?+b2—c2=^-absmC,

由余弦定理可得2abeosC=^-absmC,則tanC=V3,

且Ce（0,it）,可知C=3則a?+爐=i^absinC+4=ab+4,

又因為a?+爐22ab,當且僅當a=b=2時，等號成立，

貝!|ab+422a6,BPah<4,

所以△力BC面積的最大值為打4x^=倔

故選：C.

【變式7-3]（23-24高一下?海南?？?期末）△48C中，角4B,C的對邊分別為a,b,c,sin2B+sin2C-

sin2i4=sinfisinC,a=4,BC邊上的中線為遙，則△ABC的面積為（）

A.V3B.2V3C.3D.4

【解題思路】利用正弦定理將角化邊，再由余弦定理求出4再用向量的方法表示中線，再由余弦定理可得

be的值，進而求出該三角形的面積.

【解答過程】因為sir^B+sin2C-sin24=sinBsinC,由正弦定理可得〃+?2-。2=6c,

22

由余弦定理可得接+c—a=2bccosA9可得cos/=p

而4E(0,ir),可得

由余弦定理可得小=62+c2-2bccosA=b2+c2—bc,

即16=〃+02—be,①

因為BC邊上的中線為遙，設中線為4。，

貝!J2而=獲+正，

兩邊平方可得4前2=AB2+AC2+2AB.正=啟+笈+2函.西cos/,

即4X6=h2+c2+bc,(2)

②一①可得2bc=8,即兒=4,

所以SA4BC=^besinA=：x4X乎=V3.

【題型8正、余弦定理在幾何圖形中的應用】

【例8】(23-24高一下?北京?期中)如圖，在梯形45c。中，AB//CD,=2詬CD=痣34=^,cos乙4DB=

1

3J

⑴求cos/ABD；

(2)求5C的長.

【解題思路】(1)計算出sin/、sin乙408,利用兩角和的余弦公式可求得cos乙48。的值.

(2)在△48。中，利用正弦定理可求出80的長，然后在△BCD中利用余弦定理可求得的長.

【解答過程】⑴在△4BD中，cos4=半，cos^ADB=貝必、均為銳角，

則sin/=Vl—cos2i4=亨，sinZ.ADB=yj1—cos2Z-ADB=竽，

cosZ-ABD=cos(ji—A—Z.ADB)=—cos(4+乙ADB)=sinAsinZ.ADB—cosAcosZ.ADB

_V3.2?_五￡_V6

"V-s"V3~-9-,

/-、+.zABBD__ABsinA2A/6X^

(2)在△A4BD中，由正弦定m理n得有據(jù)=瓦/80=菽痂==^=3,

3

由4B//CD,得乙BDC=4ABD,在△BCD中，由余弦定理得：BC2=BD2+CD2-2BD-CDcos

Z.BDC=9+6-2?3-V6--=11,

所以BC=V1T.

【變式8-1](23-24高一下?廣東佛山?期中)在四邊形4BCD中，AB//CD,記乙4CD=a,AD-sinD=V3XC-

cosa,ABAC的角平分線與BC相交于點E,且4E=1,AB=43.

(1)求cosa的大?。?/p>

(2)求BC的值.

【解題思路】(1)由正弦定理化簡得到力DsinD=4Csina,再由2。?sin。=四4。?cosa,兩式相除求得

tana=V3,即可求解;

⑵根據(jù)題意，利用S.E+S皿E=SAB3求得"=浮結合余弦定理，即可求解.

【解答過程】(1)在△"￡＞中，由正弦定理得照=含，所以4DsinD=4Csina,

因為/D?sin。=g/C?cosa,兩式相除得1=]?，所以tana=板，

又因為OVaVn,可得仇=1所以cosa=g.

(2)因為所以4=a=*

又因為/E平分可得NB/E=/.CAE=J,

因為+SACAE=SZ\BAC，且/8=遍,AE=1,

所以,B/Esin]+3c.AEsxx^=-TlCsinp

即:x遍x1xg+^ACx1x|=|xWACx孚，解得ac=苧，

在△2BC中，由余弦定理得BC2=AC2+AB2-2AB-ACcos^BAC

=(^)2+(V3)2-2x^xV3x|=p所以BC=|.

【變式8-2](23-24高一下?內(nèi)蒙古?期中)如圖，在平面四邊形2BCD中，BC=2/BCD=*△BCD的面積

為孚

C

⑴求BD；

(2)若/。=2y[2,^-ABD=今，求sinZJlDB.

【解題思路】(1)由三角形面積公式求出CD的長，再由余弦定理可求出BD

(2)根據(jù)已知條件可由正弦定理優(yōu)先求出sinNBAD=￥，進而可由內(nèi)角和為IT,以及誘導、三角恒等變換公

式可求出sin乙40&

【解答過程】(1)因為SABCDuTBOCD-sinNBCOuEi,又BC=2,4BCD",

所以CD=V^+1.在△BCD中，由余弦定理得：

BD2=BC2+CD2-2BC-CDcos乙BCD=22+(V3+1)2-2x2x(V3+1)x=2,

所以8。=好.

(2)在△ABD中，由正弦定理得占=總而，即T=/系，

解得siMB4D=乎，又所以cos4B2D=當，

所以sin4408=sin(ji-z.ABD-/LBAD)=sm(z_ABD+4BAD),

=sinZ.ABDcosZ.BAD+cosZ.ABDsinz.BAD,

=鼻西+返義遐=玄+；=工故sin乙4DB=X

24244444

【變式8-3］（23-24高一下?河南?階段練習）如圖，。為△ZBC所在平面內(nèi)一點且點&。位于直線AC的

兩側，在△ADC中，24D-DC=空士嚕

⑴求“DC的大??；

(2)若NB4D=5，^ABC=^,4B=l,DC=2,求4C的長.

【解題思路】(1)由已知條件得|4。|2+|DC|2—x|DC|,在△力DC中，由余弦定理得cos乙4DC=

押可；

(2)設NC4D=a,AC^x,在△ACO和△ABC中都由正弦定理得x=正，％=公夫不，即巫=

sinazsin^a--jsina

1

2sin(J)最后化簡即可?

【解答過程】(1)因為在△4DC中，2|/W|—|DC|=阻音繇阻，

22

所以|4D|2+\DC\-\AC\=\AD\x\DC\,

在△4DC中，由余弦定理得|AD|2+|DC|2_/C|2=?X\AD\X\DC\XCOS^ADC,

所以cos4WC=1,

因為在△ADC中，Z71DCG(O,Tt),所以乙4DC=?

(2)在△AC。中，設NC4D=a,AC^x,

則由正弦定理得筆彳=即x=—^xsin乙4DC=巫，①

smZ.ADCsmZ.CADsmz.CADsina

又在中，Z.CAB=-^—a,=兀一,一(g—a)=a—3

貝U由正弦定理得標=—，即比二反xsin〃BC=^blJ,②

則由①②兩式得,2sin(aY>即2V^sin(q-。=sina,

展開并整理得2sina=V3cosa,即4sin2a=3cos2a=3—3sin2a,所以sin2a=

因為在△/CD中，sincr>0,所以sina=￥^,

把sina=今代入①式得，\AC\=—=禁=V7.

7JsinaV21

【題型9求三角形中的邊長或周長的最值或范圍】

【例9】(23-24高一下?湖北武漢?期中)在銳角△4BC中，角4,B,C的對邊分別為a,hc,S為△力BC的面積,

a=4,且2S=a2—(b—c)2,則△ABC的周長的取值范圍是()

A.(8,4A/5+4]B.(12,275+2]C.(8,2而+21D.(12,475+4]

【解題思路】利用面積公式和余弦定理可得ta《=)ana=，然后根據(jù)正弦定理及三角變換可得6+c=5

(sinB+sinC)=4代sin(g+<p),再根據(jù)三角形是銳角三角形，得到B的范圍，轉化為三角函數(shù)求值域的問

題.

【解答過程】12s=a2—(6—c)2=a2—b2—c2+2bc=2bc—2bccosA,

???S=bc—bccosA=jhcsinyl,

.-.1-cosX=jsinTl,即2sin2?=sin^cosp4為銳角,

A1A14.4,3巾，

???tan-=-,tanA=7TI=4=",C0Si4=又a=4,

由正弦定理可得白=盤=焉=5,

olllziS111￡5o1iIC/

所以b+c=5(sinB+sinC)=5[sinB+sin(i4+8)]

/34\

=5IsinB+ysinB+gcosBI=8sinB+4cosB

=4V^sin(B+0),其中tan0=g(p=g

因為△ABC為銳角三角形，

所以萬一4<B貝!J]—4+(p<B+(p+0

ranA_,TTA

即：2~2<B+(P<2+2'

/A2

所以cos]<sin(B+卬)W1,又cos^=石，

.-.8<4V5sin(B+<p}<4V5