壓軸專題11阿氏圓模型

背：技法全歸納

知識考點與解題策略

阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k"為常數，且際1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點4、5都在。0外，P為。。上一動點，已知片小。3（即竺=上），連

0B

接PA、PB,則當的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

如圖2,在線段06上截取。。使OC=k?r（即9￡=攵），?.?絲=%,??.”="，

OPOBOBOP

PC

VZPOC=ZBOP,:ZOCsxBOP,:.土=k，BPk-PB=PC.

PB

故本題求“PA+hPB”的最小值可以轉化為“PA+P。的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、P、C三點共線時，“P4+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）;點在圓內：向外取點（系數大于1）；一

內一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸響題中，我們見識了“hR4+P5”最值問題，其中P

點軌跡是直線，而當P點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

可典題固基礎

例題1如圖1,在R7A42C中，ZACB=90°,CB=4,C4=6,圓C的半徑為2,點尸為圓上一動點，連

接AP,BP,求：

?AP+-BP,

2

@2AP+BP,

（3）^AP+BP,

④AP+33P的最小值.

S新題型特3

1.如圖，在RdABC中，ZACB=90°,CB=7,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,尸為。C上一動點,

連接AP、BP,則的最小值為（）

A

c.4+VioD.25/13

2.（23-24九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2,點。是邊的中點，G為正

方形內一動點，且GO=1.點P是邊上另一動點，連接尸G、PA,則B4+PG的最小值為

3.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在。。中，點A、點B在。。上，=90°,。4=6,點C在。4上,

且0c=2AC,點。是02的中點，點M是劣弧4B上的動點，則CM+2OW的最小值為

4.如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為。。，尸是。。上一動點，則友必十尸8的最小值為

5.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓。內切于-1CB.尸為圓。上一動點，過點尸作PM、PN分別

垂直于2CB的兩邊，垂足為M、N,則PM+2PN的取值范圍為.

A

CNB

6.如圖所示的平面直角坐標系中，A(0,4),8(4,0),尸是第一象限內一動點，OP=2,連接心、BP,則

7.如圖，在VABC中，ZB=9O°,AB=CB=2,以點8為圓心作圓2與AC相切，點尸為圓B上任一動點,

則PA+1pC的最小值是

2

8.如圖，在RtVABC中，AB=AC=4,點E,尸分別是AB,AC的中點，點P是扇形的用上任意一

點，連接BP,CP,則^BP+CP的最小值是.

--------------------------

9.（2020.江蘇南京?二模）如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的

圓上有一個動點。連接A。、BD、CD,則2AD+38O的最小值是.

10.如圖，已知正方ABC。的邊長為6,圓8的半徑為3,點尸是圓8上的一個動點，則PD-gpC的最大

值為.

11.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內有一動點尸，且BP=6.連接CP,將線段PC繞點尸逆時針旋

轉90。得到線段尸Q.連接CQ、DQ,則goQ+CQ的最小值為

【答案】5

12.（20-21九年級上?江蘇宿遷?期末）問題提出：如圖①，在&AABC中，ZC=90°,CB=4,CA=6,QC

的半徑為2,尸為圓上一動點，連接AP、BP,求AP+12尸的最小值.

2

圖①圖①備用圖圖②

(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點O,使C/A1,

CDCP1PDCD11

則==大^=彳.又/PCANBCP,所以△PCEA45CP.所以二二不二7.所以=所以

CrCB2BPCr22

A尸+；BP=AP+P。.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：+尸的最小值為二

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求gAP+BP的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形C。。中，ZCOD=^0°,0C=6,04=3,OB=5,P是CD上一點，求

2上4+PB的最小值.

13.(九年級下?江蘇鹽城?階段練習)如圖1,拋物線>=依2+(4+3)》+3(。工0)與無軸交于點4(4,。)，與y

軸交于點8,在x軸上有一動點E(〃?,0)(0<加<4),過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于

(1)求a的值和直線AB的函數表達式：

C,6

(2)設APA/N的周長為C-AAEN的周長為a,若射二不求相的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段。￡繞點。逆時針旋轉得到OE',旋轉角為a(00<a<90°),連接

2

EA、E'B,求石公+百石》的最小值.

14.已知ACDE與VABC有公共頂點C,ACDE為等邊三角形，在VABC中，ZBAC=120°.

⑴如圖1,當點E與點8重合時，連接AD,已知四邊形ABDC的面積為2代，求鉆+AC的值；

⑵如圖2,AB=AC,A、E、。三點共線，連接AE、BE,取BE中點連接AM,求證：AD=2AM-,

(3汝口圖3,AB=AC=4,CE=2,將ACDE以C為旋轉中心旋轉，取DE中點尸，當8歹+立A歹的值最小

4

時，求tan/AB尸的值.

15.如圖1,拋物線＞=〃/+法一4與x軸交于A、5兩點，與，軸交于點C,其中點A的坐標為(-1,。)，拋

圖1圖2

(1)求拋物線的解析式；

(2)若點尸是直線BC下方的拋物線上一個動點，是否存在點尸使四邊形ABPC的面積為16,若存在，求出點

P的坐標若不存在，請說明理由；

(3)如圖2,過點8作8斤，3c交拋物線的對稱軸于點尸，以點C為圓心，2為半徑作。C,點。為上的

一個動點，求正BQ+FQ的最小值.

4

16.如圖，RtAABC,ZACB=90°,AC=BC=2,以C為頂點的正方形CDEF(C、D、E、尸四個頂點按

逆時針方向排列)可以繞點c自由轉動，且CO=V^,連接A凡BD

(1)求證：△BDC出LAFC

(2)當正方形CAM有頂點在線段A8上時，直接寫出且A。的值；

2

(3)直接寫出正方形8所旋轉過程中，且的最小值.

2

17.如圖，點A、8在0。上，且。4=08=6,且OALO8,點C是。1的中點，點。在08上，且。。=

4,動點尸在。。上.求2PC+PO的最小值.

18.如圖1所示，。0的半徑為r,點A、8都在。。外，P為。。上的動點，已知r=kOB.連接PA,

PB,則當“小+七尸8”的值最小時，P點的位置如何確定？

A

A

圖1

19.如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸，y軸分別交于A,C兩點，拋物線y=x?+bx+c

經過A,C兩點，與x軸的另一交點為B

(1)求拋物線解析式及B點坐標；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC,當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC

面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

(3)如圖2,若P點是半徑為2的。B上一動點，連接PC、PA,當點P運動到某一位置時，PC+gPA的

值最小，請求出這個最小值，并說明理由.

壓軸專題11阿氏圓模型

技法全歸納

知識考點與解題策略

阿氏圓模型

模型解讀

動點到兩定點距離之比為定值（即：平面上兩點A、B,動點尸滿足PA/PB=k（"為常數，且際1））,

那么動點的軌跡就是圓，因這個結論最早由古希臘數學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)的，故稱這個圓稱為阿波羅尼斯

圓，簡稱為阿氏圓。

如圖1所示，。。的半徑為r,點A、5都在。。外，P為。。上一動點，已知片左。3（即&=k），連

0B

接PA、PB,則當“PA+hPB”的值最小時，P點的位置如何確定？最小值是多少呢？

OPOBOBOP

,：ZPOC=ZBOP,：.APOC^ABOP,二二=左，BPk-PB=PC.

PB

故本題求“PA+hP3”的最小值可以轉化為“PA+PO,的最小值。

其中與A與C為定點，尸為動點，故當A、尸、C三點共線時，“PA+PC”值最小，如圖3所示。

阿氏圓求最值的本質就是通過構造母子相似，化去比例系數，轉化為兩定一動將軍飲馬型求最值，難點在

于如何構造母子相似。

阿氏圓最值問題常見考法：點在圓外：向內取點（系數小于1）;點在圓內：向外取點（系數大于1）;-

內一外：提系數；隱圓型阿氏圓等。

注意區(qū)分胡不歸模型和阿氏圓模型：在前面的“胡不歸”問題中，我們見識了“hB4+P3”最值問題，其中P

點軌跡是直線，而當尸點軌跡變?yōu)閳A時，即通常我們所說的“阿氏圓”問題.

曾典題固基.

例題1如圖1,在RT/kABC中，ZACB^9Q°,CB=4,C4=6,圓C的半徑為2,點尸為圓上一動點，連

接AP,BP,求:

@AP+-BP,

2

?2AP+BP,

(3)|AP+BP,

④AP+33P的最小值.

【答案】①回；②2曲；③冬暑；④2歷.

【分析】①在CB上取點。，使C￡>=1,連接CP、DP、AD根據作圖結合題意易證AOCP~APCB,即可

得出=從而推出+=尸。，說明當A、尸、O三點共線時，AP+BD最小，最小值即

為AD長.最后在此△AC。中，利用勾股定理求出A。的長即可；

②由2AP+BP=2(A尸+ggP),即可求出結果；

21

③在C4上取點E,使CE=q，連接CP.EP.BE.根據作圖結合題意易證△ECP~AP0L,即可得出砂=：AP,

從而推出：AP+BP=EP+BP,說明當2、P、E三點共線時，EP+3P最小，最小值即為8E長.最后在RfABCE

中，利用勾股定理求出BE的長即可；

④由AP+3BP=3(gAP+BP),即可求出結果.

【詳解】解：①如圖，在CB上取點。，使8=1,連接CP、DP、AD.

A

?;CD=1,CP=2,CB=4,

.CDCP1

^~CP~~CB~2'

又：ZDCP=NPCB,

"DCP?APCB,

即

BP22

AP+-BP=AP+PD,

2

...當A、尸、D三點共線時，AP+PD最小，最小值即為AZ）長.

:在放△AC。中，AD=yiAC1+CDl=762+12-

，4尸+；8尸的最小值為而'；

②2AP+BP=2(AP+-BP),

2AP+3尸的最小值為2義庖=2庖；

2

③如圖，在CA上取點E,使CE=§,連接。尸、EP、BE.

?：CE=-CP=2,C4=6,

39

.CECP

**CP-CA-3*

又?：/ECP=NPCA,

:?小ECP”PCA,

ppii

即放」AP,

AP33

-AP+BP=EP+BP,

3

，當5、P、E三點共線時，EP+3P最小,最小值即為防長.

???在中，BE=dBC、CE2=業(yè)+守=笠^.

gAP+BP的最小值為零；

④AP+3BP=3(|AP+BP),

AP+33尸的最小值為3x2亙=2歷.

3

【點睛】本題考查圓的基本性質，相似三角形的判定和性質，勾股定理.正確的作出輔助線，并且理解三

點共線時線段最短是解答本題的關鍵.

練新題型特訓

1.如圖，在放AABC中，ZACB=9Q°,CB=1,AC=9,以C為圓心、3為半徑作。C,P為。C上一動點,

連接AP、BP,貝QAP+BP的最小值為（）

C.4+V10D.2年

【答案】B

【詳解】思路引領：如圖，在。1上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.利用相似三角形的性質

證明BJWIAP+BP=PM+PB>BM,利用勾股定理求出BM即可解決問題.

答案詳解：如圖，在CA上截取CM,使得CM=1,連接PM,PC,BM.

■:PC=3,CM=\,CA=9,

：.PC2=CM-CA,

.PCCM

??一，

CACP

?.*ZPCM=AACP,

.PMPC_1

?>-PA-AC-3

：.PM=-PA,

3

-AP+BP=PM+PB,

3

"：PM+PB>BM,

在RtABCM中，VZBCM=90°,CM=1,BC=1,

:.BM7f+7。=5夜,

：.^AP+BP>5y/2,

的最小值為5啦.

故選：B.

2.（23-24九年級上?江蘇徐州?期中）如圖，已知正方形A3。的邊長為2,點。是BC邊的中點，G為正

方形內一動點，且G9=l.點P是CD邊上另一動點，連接PG、PA,則PA+PG的最小值為.

【答案】V13-1/-1+A/13

【分析】本題考查了軸對稱求最短線段，矩形和正方形的性質，圓的定義，勾股定理等知識，利用對稱的

性質作線段的等量轉移是解題關鍵.作點A關于直線。的對稱點A,連接OA,以。為圓心，OG長為半

徑作圓，點G在圓上運動，OA、CD與。。交于點G'、P',則=AD=AL>=2,G'O=GO=1,

當點G、P在G'、尸，位置時，此時點0、G、P、4四點共線，RL+PG+GO有最小值為OA長，過點。

作OELAD于點E,求出。4=歷，即可求解.

【詳解】解：,??正方形的邊長為2,點。是BC邊的中點，

AD=BC=CD=2,OC=1,NBCD=NCDA=90。,

如圖，作點A關于直線C。的對稱點AI連接OA,以。為圓心，OG長為半徑作圓，點G在圓上運動，OA'

與CD與。。交于點P、G,

則上4=24',AD=AD=2,G'O=GO=1,

.-.PA+PG+GO=PA'+PG+G'O>OA',

當點G、尸在G'、戶位置時，此時點0、G'、P'、4四點共線，叢+PG+GO有最小值為OA長,

過點。作OE_LAD于點E,則四邊形OCDE是矩形,

,-.DE=OC=l,OE=CD=2,

:.AE=3,

OA!=4OE~+A!E2=V13，

尸A+PG+GO的最小值為屈,

.?.R4+PG的最小值為屈-GO，即屈-1,

故答案為：V13-1.

AE~二D二二予.A'

3.（2020?江蘇常州?一模）如圖，在。。中，點A、點B在。。上，/AO8=90。，。4=6,點C在。4上,

且OC=2AC,點。是03的中點，點M是劣弧4B上的動點，則CM+200的最小值為

【答案】4A/10

【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，勾股定理，兩點之間線段最短，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造相似三角形解決問題.延長到T,使得3T=03,連接MT,CT.利用相似三角形的性

質證明=,求CM+2DM的最小值問題轉化為求O0+MT的最小值.利用兩點之間線段最短得到

CM+MT>CT,利用勾股定理求出CT即可解題.

【詳解】解：延長02到T,使得37=03,連接MT,CT.

???點。是05的中點,

，OD=DB=3,OT=12,

「?OM2=ODOT,

.0M_OT

'~6D~~6M'

??,ZMOD=ZTOM,

AMODSROM,

'HT~~OT~2,

MT=2DM,

..CM+2DM=CM+MT>CT,

??,OC=2ACf

??.OC=4,

又???在RtZXOCT中，ZCOT=90°,OT=129

CT=y]0C2+0T2=V42+122=4A/10，

CM+2DM>4^10,

CM+2DM的最小值為,

故答案為：45710.

4.如圖，邊長為4的正方形，內切圓記為。0,尸是。。上一動點,則&B4+PB的最小值為

【答案】2號

【分析】也PA+PB=&（叢+與PB）,利用相似三角形構造PB即可解答.

【詳解】解：設。。半徑為廠,

DC

0P=r=；BC=2,0B=&r=26,

取OB的中點/,連接P/,

OI=lB=yH,

OP2

BE日嘉乎3,

:?條器,NO是公共角，

:.△BOPs^poi,

?.?—PI=O1=—,

PBOP2

;.Pl=^lpB,

2

：.AP+—PB=AP+PI,

2

...當A、P、/在一條直線上時，AP+立尸8最小,

2

作IELAB于E,

???NA5O=45。，

：.1E=BE=—BI=\,

2

：.AE=AB-BE=3,

.?.A/=732+I2=Vio>

：.AP+也PB最小值=A/=A/10,

2

?；gPA+PB=e（理+惇PB）,

；?忘%+P8的最小值是&4/=血*加=2班.

故答案是25行.

【點睛】本題是“阿氏圓”問題，解決問題的關鍵是構造相似三角形.

5.如圖所示，ZACB=60°,半徑為2的圓0內切于—ACB.尸為圓。上一動點，過點尸作尸”、PN分別

垂直于—ACB的兩邊，垂足為“、N,則R0+2PN的取值范圍為.

【答案】6-26VpM+2PNV6+2石

【分析】本題考查了切線的性質，解直角三角形；方法一，PM+2PN=2^PM+PN^,作MHLPN,

=,確定HN的最大值和最小值.方法二，延長〃尸交CB于點E,求得NEPN=60°,得至UPE=2PN,

PM+2PN=PM+PE=ME,當ME與。。相切時，取得最大和最小，據此求解即可.

【詳解】解：方法一，作于H,作MF_LBC于尸，

:.NPMC=NPNC=90。,

:.ZMPN=30—NPMC—/PNC—NC=120。,

:.ZMPH=180°-NMPN=60°,

HP=PMcosZMPH=PM?cos60°=-PM,

2

PN+-PM=PN+HP=NH,

2

?:MF=NH,

當MP與。。相切時，MR取得最大和最小,

如圖1,

A

FNB

圖1

連接。尸，OG,OC,

可得：四邊形OPMG是正方形，

：.MG=OP=2,

在MACOG中，

CG=OGtan60°=273,

:.CM=CG+GM=2+2.,

在.RNCMF中,

MF=CM-smZACB=(2+2^)x^-=3+y/j,

2

:.HN=MF=3+y/3,

PM+2PN=2(gpM+PN)=2HN=6+26,

如圖2,

圖2

由上知：CG=26，MG=2,

CM=26-2,

:.HM=Q^fxq=3-6,

:.PM+2PN=2(gpM+/W)=2fflV=6—25

:.6-2J3<PM+2PN<6+2.y/3.

故答案為：6-2^3<PM+2PN<6+2.

、PN分別垂直于ZACB的兩邊,

/.ZAffW=120°,

ZEPN=60°,

：.PE=2PN,

：.PM+2PN=PM+PE=ME,

...當ME與。。相切時，ME取得最大和最小，

連接。尸，作。

可得：四邊形0PMD是正方形，

;.MD=OP=2,

在Rt^CO。中，ZDOC=^AOB=30°,CD=2^3,

:.CM=CD+DM=2+2y/3,

；?ME的最大值為V§CM=2百+6,

故答案為：6-2A/3<PM+2PA^<6+2A/3.

6.如圖所示的平面直角坐標系中，4。,4),3(4,0),尸是第一象限內一動點，OP=2,連接轉、BP,則

BP+^AP的最小值是

【答案】行

0PnA

【分析】取點TQ1),連接尸T,BT.根據。尸2=OT.Q4,有金=荒，即可證明APOTSAA。尸，即有,

進而可得尸T=：PA,則有PB+：PA=PB+PT,利用勾股定理可得W=爐工=舊，則有

小三尸2折，問題得解.

【詳解】解：如圖，取點T(O，D,連接PT,BT.

8(4,0),

■：OP=2,

.'.OP2=OTOA,

.OPOA

一而一而‘

?;/POT=ZAOP,

..△POTSAAOP,

PT=-PA,

2

:.PB+-PA=PB+PT,

2

BT=712+42=#7>

：.PB+PT>y/ll,

:.BP+^AP>4n,（當B、P、T三點共線時取等號）

.?.臺尸+:2臺的最小值為而'.

故答案為：厲.

【點睛】本題考查阿氏圓問題，相似三角形的判定和性質，勾股定理等知識，解題的關鍵是學會添加常用

輔助線，構造相似三角形解決問題.

7.如圖，在VABC中，ZB=90°,AB=CB=2,以點8為圓心作圓2與AC相切，點尸為圓B上任一動點，

則PA+顯PC的最小值是.

2

【答案】V5

【分析】作8“，AC于"，取8C的中點。，連接PD,如圖，根據切線的性質得為。B的半徑，再根

據等腰直角三角形的性質得到BH=1-AC=V2，接著證明仆BPDSABCP得到尸。=曰PC,所以出+gpC

=PA+PD,而PA+PD>AD（當且僅當A、P、。共線時取等號），從而計算出A。得到以+變尸C的最小值.

2

【詳解】解：作8HLAC于H,取BC的中點。，連接PD,如圖,

；AC為切線，

為。B的半徑，

VZABC=90°,AB=CB=2,

:.AC=0BA=2近,

；.BH=gAC=④,

：.BP=y[2,

..PBy/2BD1近

'BP~sj2~2

而NPBD=NCBP,

:.△BPDsMCP,

.PD_PB

：.PD=JiPC,

2

：.PA+^±PC=PA+PD,

2

而心+尸。沙。（當且僅當A、P、。共線時取等號），

而小＞=后不=6，

，%+P。的最小值為

即以+[PC的最小值為右.

故答案為：5

【點睛】本題考查了切線的性質：圓的切線垂直于經過切點的半徑.解決問題的關鍵是利用相似比確定線

段PO=1pc.也考查了等腰直角三角形的性質.

2

8.如圖，在RtVABC中，AB=AC=4,點E,尸分別是48,AC的中點，點P是扇形AEF的用上任意一

點，連接BP,CP,則［BP+CP的最小值是.

【答案］

【分析】在AB上取一點T,使得連接口叫CT.證明△尸Ai如‘推出篝=冬=?

推出PT=gP5,推出/P8+CP=C尸+PT,根據尸C+尸mTC,求出CT即可解決問題.

【詳解】解：在A8上取一點T,使得AT=1,連接尸T,PA,CT.

*：PA=2.AT=1,AB=4,

???唐2=4=ATMS

.PAAB

*'AT-PA?

'：APAT=ZPAB,

:.^PAT^^BAP,

,PT_API

??尸3—5，

：.PT=WPB,

：.^PB+CP=CP+PT,

'：PC+PT>TC,

在RjACT中，

'：ZCAT=9Q°,AT=1,AC=4,

CT=yjAT2+AC2=#7，

:.^PB+pc>Jr/,

1PB+PC的最小值為V17.

故答案為后.

【點睛】本題考查等腰直角三角形的性質，三角形相似的判定與性質，勾股定理的應用，三角形的三邊關

系，圓的基本性質，掌握以上知識是解題的關鍵.

9.（2020?江蘇南京?二模）如圖，在△ABC中，ZACB=9Q°,BC=12,AC=9,以點C為圓心，6為半徑的

圓上有一個動點。連接A。、BD、CD,則240+32。的最小值是.

【答案】12^0

2

【分析】如下圖，在CA上取一點E,使得CE=4,先證ADCEsaACD,將轉化為DE,從而求得

2

-AD+BD的最小距離，進而得出2AD+3BD的最小值.

【詳解】如下圖，在CA上取一點E,使得CE=4

CDAC

~CE~^D

ZECD=ZACD

△DCE^AACD

EDDC_6

AD-AC-9

2

ED二一AQ

3

在^EDB中，ED+DB>EB

.,.ED+DB最小為EB,即ED+DB=EB

：.-AD+DB=EB

3

在RtAECB中，EB=7122+42=4a

：.-AD+DB=4s/10

3

.?.2AD+3DB=12V10

故答案為：12^/10.

【點睛】本題考查求最值問題，解題關鍵是構造出△DCEs/XACD.

10.如圖，已知正方ABCD的邊長為6,圓8的半徑為3,點尸是圓B上的一個動點，則尸PC的最大

值為.

【答案】y

3

【分析】如圖，連接在上取一點使得3M=5,進而證明43尸則在點尸運動的任

意時刻，均有尸M=gpc,從而將問題轉化為求的最大值.連接PD,在APAM中，PD-PM<DM,

故當M、尸共線時，為最大值，勾股定理即可求得

3

【詳解】如圖，連接取，在2C上取一點M,使得.二,

AD

3

BP31

BM_2_1>

BC62

BMBP

\-ZPBM=ZCBP

LBPMsABCP

.MPBM\

,PC~BP~2

:.MP=-PC

2

:.PD--PC=PD-MD

2

在小PDM中，PD-PM<DM,

當。、M,P共線時，為最大值,

四邊形MCD是正方形

NC=90°

在HtACDM中，DM=SC+MC?=卜+=y

故答案為：—■

【點睛】本題考查了圓的性質，相似三角形的性質與判定，勾股定理，構造［PC是解題的關鍵.

11.如圖，在邊長為4的正方形ABC。內有一動點P,且8P=&.連接CP,將線段PC繞點尸逆時針旋

轉90。得到線段尸。.連接CQ、DQ,則《QQ+CQ的最小值為

【答案】5

【分析】連接AC.AQ,先證明△BCPs△AC。得絲="即AQ=2,在AO上取AE=1,證明△QA￡s^DAQ

BP2

得EQ=；QD,故g￡)2+C2=E2+C9CE,求出CE即可.

【詳解】解：如圖，連接AC、AQ,

1/四邊形ABCD是正方形，PC繞點P逆時針旋轉90。得到線段PQ,

：.NACB=NPCQ=45。，

：.ZBCP=ZACQ,cosZACB=—=—,cosZPCQ=—=—,

AC2QC2

???ZACB=ZPCO,

:.XBCPSXNCQ,

.AQ拒

??-

BP2

,:BP=6,

：.AQ=2,

，。在以A為圓心，A。為半徑的圓上,

在A￡>上取AE=1,

AE_1

~AQ~2

：./\QAE^/\DAQ,

嘲J即叫”，

???^DQ+CQ=EQ+CQ>CE,

連接CE,

CE=ylDE、Clf=5,

???1DQ+C。的最小值為5.

故答案為：5.

【點睛】本題主要考查了正方形的性質，旋轉的性質，相似三角形的性質與判定，三角函數，解題的關鍵

在于能夠連接AC、AQ,證明兩對相似三角形求解.

12.(20-21九年級上?江蘇宿遷?期末)問題提出：如圖①，在R〃ABC中，ZC=90°,CB=4,G4=6,QC

的半徑為2,尸為圓上一動點，連接AP、BP,求+的最小值.

2

圖①圖①備用圖圖②

(1)嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖①，連接CP,在CB上取一點。，使CA1,

CDCP1PDCD11

貝!J==育又NPCD=ZBCP,所以△PCD^ABCP.所以====7.所以=所以

CrCn2orCr22

AP+^BP=AP+PD.請你完成余下的思考，并直接寫出答案：4尸+38尸的最小值為二

(2)自主探索：在“問題提出”的條件不變的前提下，求《AP+研的最小值；

(3)拓展延伸：如圖②，已知在扇形CO。中，NCOD=90°,0C=6,(24=3,OB=5,P是CD上一點，求

2R4+PB的最小值.

【答案】(1)后

Q呼

(3)13

【分析】(1)利用勾股定理即可求得本題答案；

2CDCP11

(2)連接CP,在C4上取點￡>,使CD=w，則有/3二二二不，可證APCDSAACP,得到=

即,AP+BP=BP+尸。，從而;AP+3P的最小值為2D；

33

(3)延長0A到點E,使CE=6,連接PE,。尸，可證^OAP^OPE,得到EP=2PA，得到2上4+PB=EP+PB,

當E,P,B三點共線時，得到最小值.

【詳解】(1)解：如圖連接AD,

VAP+-BP=AP+PD,要使4尸+工2尸最〃、，

22

...當AP+AD最小，當點AP,。在同一條直線時，AP+AD最小,

AP+：3尸的最小值為AD,

在吊2X40)中，CD=1,AC=6,

AD=y/AC2+CD2=屈'

A尸+：8尸的最小值為歷，

故答案為：歷；

2

(2)解：如圖連接CP,在C4上取點。，使

.CDCP

…而一演—5'

,:ZPCD=ZACP,

：.APCDS^ACP,

：.PD=-AP

3f

：.-AP+BP=BP+PD,

3

[AP+BP的最小值為BD=JBC?+CD?=2y，

33

故答案為：零；

（3）解：如圖延長Q4到點E,使CE=6,

OE=OC-^-CE=12f

連接尸EOP,

???Q4=3,OB=5,

.OAOP

''~OP~~OE~^'

ZAOP=ZAOPf

:?△OAPsQPE,

AP1

???—_―,

EP2

/.EP=2PA,

2PA+PB=EP+PB,

.?.當E,P,8三點共線時，取得最小值：BE=^OB2+OE2=13-

故答案為：13.

【點睛】本題考查勾股定理，相似三角形判定及性質，最值得確定.

13.（九年級下?江蘇鹽城?階段練習）如圖1,拋物線>=加+（。+3戶+3（4工0）與無軸交于點A（4,0）,與y

軸交于點8,在x軸上有一動點E（"40）（0<〃z<4）,過點E作x軸的垂線交直線AB于點N,交拋物線于

點、P,過點P作于點

(1)求a的值和直線AB的函數表達式：

(2)設△PMN的周長為C-AAEN的周長為G，若m=5'求機的值.

(3)如圖2,在(2)的條件下，將線段0E繞點。逆時針旋轉得到OE',旋轉角為a(0°<a<90°),連接

E'A.E'B,求+的最小值.

【答案】(1)。=-：3.直線AB解析式為產-；3x+3；

4-4

(2)2

⑶也

3

【分析】(1)令產0,求出拋物線與冗軸交點，列出方程即可求出〃，根據待定系數法可以確定直線A8解

析式；

PN6

(2)由APNMs^ANE,推出丁=—,列出方程即可解決問題；

AN5

42

(3)在y軸上取一點M使得0%=1,構造相似三角形，可以證明AM就是的最小值.

【詳解】(1)令y=0,貝!J〃/+(〃+3)x+3=0,

(x+1)(ax+3)=0,

?一十3

a

?拋物線產"2+(。+3)x+3(存0)與x軸交于點A(4,0),

VA(4,0),B(0,3),

設直線A3解析式為廣質+。，則，：；：b=0，

「b7-____3

解得，4,

b=3

3

???直線A3解析式為廣qx+3；

9

\PM.LABfPE±OA,

：./PMN=/AEN,

,：NPNM=NANE,

:?叢PNMS^ANE,

..O

,G5

.PN_6

??=一,

AN5

■:NE//OB,

.AN_AE

??商一質’

AN=—(4-m),

4

3o

v拋物線解析式為y=-+：x+3,

44

3933

PN=——m2+—m+3-(——m+3)=——m2+3m,

4444

32；

——m+3m(

?_A___=9

*,55，

解得m=2或4,

經檢驗x=4是分式方程的增根,

m=2；

4

(3)如圖2,在y軸上取一點的使得連接AM,在AM上取一點E使得OF=OE.

2

此時AE'+^BE'最小(兩點間線段最短，A、M\E共線時)，

【點睛】本題為二次函數綜合題，主要考查相似三角形的判定和性質、待定系數法、最小值問題等知識,

2

解題的關鍵是構造相似三角形，找到線段AM就是+的最小值.

14.已知ACDE與VABC有公共頂點C,ACDE為等邊三角形，在VABC中，/B4c=120。.

⑴如圖1,當點E與點8重合時，連接A。，已知四邊形ABQC的面積為26，求AB+AC的值；

⑵如圖2,AB=AC,A、E、。三點共線，連接AE、BE,取BE中點連接AM,求證：AD=2AM^

(3)如圖3,AB=AC=4,CE=2,將ACDE以C為旋轉中心旋轉，取DE中點F,當8歹+走A歹的值最小

4

時，求tan/ABP的值.

【答案】(1)2后

(2)見解析

小136

45

【分析】(1)延長AC到T,使得CT=54連接DT,過點。做DN，AT于N,證明AABD^TCD(SAS),

得出ZM=DT,ZADB=NTDC,證明A/MT為等邊三角形，設AN=TN=x,得出

SGAT=次.DN=必=26，求出x的值即可得出答案；

(2)延長54到〃使得=連接以7、CH,證明AACD絲AHCE(SAS),得出=證明40

為ABHE的中位線，得出“石=24欣=加，即可證明結論；

(3)連接CP,過點A作AG,3c于點G,以點C為圓心，CT為半徑作圓，在AC上截取CM,

4

連接MF,證明AC?SAC4F,得出必.=空=走，即句0=立人尸，得出8尸+立人尸=8/+根，連

AFCF444

接與G)C交于一點，當點/在此點時，M+RVf最小，即3尸+且A/最小，過點M作肱V，3c于點N,

4

過點A作于點。，求出AQ,8。即可得出答案.

【詳解】(1)解：延長AC到T,使得CT=B4連接DT,過點。做ONLAT于M如圖所示：

?.,△CDE為等邊三角形，ZB4c=120。，

DB=DC,NBDC=60°,

四邊形ABAC中，/3DC+/OC4+/C4B+/ABD=360。,

ZABD+ZACD=ZDCT+ZACD=180°,

：.ZABD