湖北省部分高中2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)，則（）A． B． C． D．2．5名同學(xué)分別報名參加書法、繪畫、攝影、編程四個社團，每個社團至少1人，不同的報名方法有（）A．種 B．種 C．種 D．種3．曲線在處的切線方程為（）A． B． C． D．4．若，則（）A． B． C． D．05．設(shè)，若為函數(shù)的極小值點，則（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A． B．C． D．7．已知函數(shù)..為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，則下列正確的為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列結(jié)論正確的有（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則10．下列說法正確的是（）A．甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，則共有96種排法B．2名男生和5名女生站成一排，則2名男生相鄰的排法共有1280種C．2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有4800種D．2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有3120種11．已知定義在上的函數(shù)滿足，且當(dāng)時，.若在上恒成立，則k的可能取值為（）A．1 B．0 C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)在點處的切線方程為，則.13．已知，的二項式系數(shù)的最大值分別為a，b，若，則正整數(shù).14．已知，若對于，不等式恒成立，則的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．從裝有3個紅球、2個白球、1個黑球的袋中任取3個球，求：(1)恰好取到2個紅球的概率；(2)至少取到1個紅球的概率.16．已知函數(shù)，且.(1)求的解析式；(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.17．在的展開式中，(1)求有理項的個數(shù)；(2)系數(shù)最大的項是第幾項?18．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求在點處的切線方程；(2)若對，都有恒成立，求的取值范圍；(3)已知，若存在，使得，求證：.19．已知函數(shù)，其中.(1)若是偶函數(shù)，求；(2)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的零點個數(shù)；(3)若對，求的取值范圍.（注：記，可用含的表達式表示）

參考答案1．【答案】C【詳解】由，則，.故選C.2．【答案】B【詳解】由題，先將5人分成四組有種，再將四組分配給4個社團有種，所以不同的報名方法有種.故選B.3．【答案】A【詳解】，則斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.故選A.4．【答案】A【詳解】令，可得，令，可得，所以，故選A.5．【答案】D【詳解】∵，∴.令，解得或.若，即時，當(dāng)時，令，解得或；令，解得，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時是函數(shù)的極大值點，不符合題意；當(dāng)時，令，解得；令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，此時是函數(shù)的極小值點，滿足題意，此時由，可得；若，即時，當(dāng)時，令，解得或；令，解得，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時是函數(shù)的極小值點，滿足題意，此時由，可得；當(dāng)時，令，解得；令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，此時是函數(shù)的極大值點，不符合題意，綜上，一定成立.故選D.6．【答案】C【詳解】由題意可得，解得且，即定義域為，可排除D，設(shè)，則，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，即，所以當(dāng)時，，可排除A；當(dāng)，，可排除A，綜上，C為正確選項.故選C.7．【答案】D【詳解】令函數(shù)，而函數(shù)是偶函數(shù)，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時，求導(dǎo)得，即函數(shù)在上遞增，則在上遞增，因為，所以，即，所以，雖然，但不能確定與的大小，故ABC錯誤，D正確.故選D.8．【答案】B【詳解】函數(shù)的定義域滿足：，解得，則函數(shù)的定義域為：，，要使得函數(shù)有3個零點，則在有兩個變號零點，令整理得，所以，解得，故實數(shù)的取值范圍為.故選B.9．【答案】ACD【詳解】對于A，若，則，故選項A正確；對于B，若，則，故選項B錯誤；對于C，若，則，故選項C正確；對于D，若，則，故選項D正確.故選ACD.10．【答案】AD【詳解】對于A：先排最左端，有種排法，再排剩余4個位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對于B：2名男生相鄰，有種排法，和剩余5名女生排列，相當(dāng)于6人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯誤；對于C：先排5名女生，共有種排法，且形成6個空位，再排2名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C錯誤；對于D：由C選項可得2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有種，故D正確.故選AD.11．【答案】CD【詳解】定義在上的函數(shù)滿足，則為奇函數(shù)，所以，所以，則當(dāng)時，，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上遞增，不等式轉(zhuǎn)化為：，所以，即，因為，所以，則，故故選CD.12．【答案】3【詳解】∵，∴，.∵函數(shù)在點處的切線方程為，∴，，解得，，∴.13．【答案】5【詳解】因為為偶數(shù)，為奇數(shù)，結(jié)合二項式系數(shù)的最值可得，又因為，即，可得，整理可得，解得.14．【答案】【詳解】不等式，可化為，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因為，，所以，，則，所以不等式，即為，，即對恒成立，令，則，當(dāng)時，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即單調(diào)遞減，，則，即的取值范圍為.15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)“恰好取到2個紅球”為事件A，則；（2）設(shè)“至少取到1個紅球”為事件B，則.16．【答案】(1)(2)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間.【詳解】（1）由題意知，，所以，又，所以，故函數(shù)解析式為.（2）由（1）知，，令，得，（舍），當(dāng)時，；當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17．【答案】(1)4個(2)第8項【詳解】（1）由二項式定理知，要為有理項則，因為，且，所以，故有理項有4個；（2）設(shè)第項的系數(shù)最大，則解得，又，故.所以系數(shù)最大的項為第8項18．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【詳解】（1）當(dāng)時，所以，所以又，故所求切線方程為，即（2）方法一：原命題等價于對恒成立，令，則，∵，令∴∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減又，，又，所以故的取值范圍為.方法二：由題意知，當(dāng)時，，又，①當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以恒成立，所以，②當(dāng)時，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，（舍去），當(dāng)即時，在上單調(diào)遞減，，所以當(dāng)即時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，所以，綜上，的取值范圍為.（3）∵，令，得則在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增又且，所以要證，只需證明，因為，，且函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需證明，又因為，即證，令，即，注意到，因為，則在上單調(diào)遞減，所以在恒成立，所以.19．【答案】(1)(2)2個(3)【詳解】（1）由題意可知，即即，即則，又，故.（2）當(dāng)時，，則，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故使得，則得；得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因，則，又，則在上存在一個零點，故在上有2個零點.（3）因?qū)愠闪ⅲ瑒t當(dāng)時，上式必然成立，此