高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖北省部分高中2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知函數(shù)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由，則，.故選：C.2.5名同學(xué)分別報(bào)名參加書(shū)法、繪畫(huà)、攝影、編程四個(gè)社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)至少1人，不同的報(bào)名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】B【解析】由題，先將5人分成四組有種，再將四組分配給4個(gè)社團(tuán)有種，所以不同的報(bào)名方法有種.故選：B.3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，則斜率，又，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.故選：A.4.若，則（）A. B. C. D.0【答案】A【解析】令，可得，令，可得，所以，故選：A5.設(shè)，若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】∵，∴.令，解得或.若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)由，可得；若，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得或；令，解得，∴函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，滿足題意，此時(shí)由，可得；當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得或，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞減，此時(shí)是函數(shù)的極大值點(diǎn)，不符合題意，綜上，一定成立.故選：D.6.已知函數(shù)，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由題意可得，解得且，即定義域?yàn)椋膳懦鼶，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，可排除A；當(dāng)，，可排除A，綜上，C為正確選項(xiàng).故選：C7.已知函數(shù)..為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列正確的為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令函數(shù)，而函數(shù)是偶函數(shù)，則，即函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)得，即函數(shù)上遞增，則在上遞增，因?yàn)?，所以，即，所以，雖然，但不能確定與的大小，故ABC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8.已知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域滿足：，解得，則函數(shù)的定義域?yàn)?，，要使得函?shù)有3個(gè)零點(diǎn)，則在有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，整理得，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列結(jié)論正確的有（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】ACD【解析】對(duì)于A，若，則，故選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，若，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，若，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.10.下列說(shuō)法正確的是（）A.甲、乙、丙、丁、戊5人站成一排，甲不在最左端，則共有96種排法B.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生相鄰的排法共有1280種C.2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有4800種D.2名男生和5名女生站成一排，2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有3120種【答案】AD【解析】對(duì)于A：先排最左端，有種排法，再排剩余4個(gè)位置，有種排法，則共有種排法，故A正確；對(duì)于B：2名男生相鄰，有種排法，和剩余5名女生排列，相當(dāng)于6人作排列，有種排法，所以共有種排法，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：先排5名女生，共有種排法，且形成6個(gè)空位，再排2名男生，共有種排法，所以共有種排法，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：由C選項(xiàng)可得2名男生和5名女生站成一排，則2名男生互不相鄰的排法共有種排法，若女生甲在最左端，且男生互不相鄰的排法有種排法，所以2名男生互不相鄰且女生甲不能排在最左端的排法共有種，故D正確.故選：AD11.已知定義在上的函數(shù)滿足,且當(dāng)時(shí)，.若在上恒成立，則k的可能取值為（）A.1 B.0 C. D.【答案】CD【解析】定義在上的函數(shù)滿足，則為奇函數(shù)，所以，所以，則當(dāng)時(shí)，，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以在上遞增，不等式轉(zhuǎn)化為：，所以，即，因?yàn)?，所以，則，故故選：CD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，則_____.【答案】3【解析】∵，∴，.∵函數(shù)在點(diǎn)處切線方程為，∴，，解得，，∴.故答案：.13.已知，的二項(xiàng)式系數(shù)的最大值分別為a，b，若，則正整數(shù)______.【答案】5【解析】因?yàn)闉榕紨?shù)，為奇數(shù)，結(jié)合二項(xiàng)式系數(shù)的最值可得，又因?yàn)椋?，可得，整理可得，解得，故答案為?.14.已知，若對(duì)于，不等式恒成立，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】不等式，可化為，，令，則，所以在上單調(diào)遞增，因，，所以，，則，所以不等式，即為，，即對(duì)恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即單調(diào)遞減，，則，即的取值范圍為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、1個(gè)黑球的袋中任取3個(gè)球，求：（1）恰好取到2個(gè)紅球的概率；（2）至少取到1個(gè)紅球的概率.解：（1）設(shè)“恰好取到2個(gè)紅球”為事件A，則；（2）設(shè)“至少取到1個(gè)紅球”為事件B，則.16.已知函數(shù)，且.（1）求的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）由題意知，，所以，又，所以，故函數(shù)解析式為.（2）由（1）知，，令，得，（舍），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.在的展開(kāi)式中，（1）求有理項(xiàng)的個(gè)數(shù)；（2）系數(shù)最大的項(xiàng)是第幾項(xiàng)?解：（1）由二項(xiàng)式定理知，要為有理項(xiàng)則，因?yàn)?，且，所以，故有理?xiàng)有4個(gè)；（2）設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則解得，又，故.所以系數(shù)最大的項(xiàng)為第8項(xiàng)18.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求在點(diǎn)處的切線方程；（2）若對(duì)，都有恒成立，求的取值范圍；（3）已知，若存在，使得，求證：.解：（1）當(dāng)時(shí)，，所以，所以.又，故所求切線方程為，即.（2）方法一：原命題等價(jià)于對(duì)恒成立，令，則，.∵，令，∴.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，又，所以，故的取值范圍為.方法二：由題意知，當(dāng)時(shí)，，又，①當(dāng)時(shí)，恒成立，即在上單調(diào)遞減，所以恒成立，所以，②當(dāng)時(shí)，由，得到，由，得到，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)，即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以，（舍去）；當(dāng)即時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以；當(dāng)即時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，得到，所以，綜上，的取值范圍為.（3）∵，令，得，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又且，所以.要證，只需證明，因?yàn)?，，且函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以只需證明，又因?yàn)?，即證，令，即，注意到，因?yàn)椋瑒t在上單調(diào)遞減，所以在上恒成立，所以.19.已知函數(shù)，其中.（1）若偶函數(shù)，求；（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（3）若對(duì)，求的取值范圍.（注：記，可用含的表達(dá)式表示）解：（1）由題意可知，即即，即則，又，故.（2）當(dāng)時(shí)，，則，令，則恒成立，故在上單調(diào)遞增，又，，故使得，則得；得，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又因，則，又，則在上存在一個(gè)零點(diǎn)，故在上有2個(gè)零點(diǎn).（3）因?qū)愠闪?，則當(dāng)時(shí)，上式必