高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市普通高中2025屆高三下學(xué)期第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知等差數(shù)列的公差為3，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈炔顢?shù)列的公差為，所以.故選：C.2.已知且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題意得A項(xiàng)中的和C項(xiàng)中的的值無(wú)法確定，對(duì)于B，，對(duì)于D，．故選：D3.若為方程的兩個(gè)不同的根，則（）A.－2i B.2i C.－2 D.2【答案】A【解析】因?yàn)?，所以．故選：A4.若雙曲線上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離為4，則點(diǎn)到點(diǎn)的距離為（）A.14 B.12 C.10 D.8【答案】B【解析】由題意可知，，則，則雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，因或，且，故．故選：B5.已知，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)椋?，所?故選：D.6.已知函數(shù)的部分圖象如下，則的解析式可能為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榈膱D象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，所以為偶函數(shù)，排除B，又，排除A，當(dāng)時(shí)，，排除D.故選：C．7.若，且，則的最大值為（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故選：B.8.與曲線和圓都相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，則的方程為，即．圓C：，因?yàn)榕c圓相切，所以，所以，令，則，令，得或，進(jìn)一步得到上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上分別有1個(gè)零點(diǎn)，所以這樣的切線有3條．故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.在中，若，點(diǎn)在邊上，點(diǎn)在邊上，且，，則（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】對(duì)于，，故正確；對(duì)于，因?yàn)?，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)?，所以為邊上的高，的面積為，所以，故錯(cuò)誤；對(duì)于，因?yàn)椋云椒?，即，又，所以，所以，故正確．故選：.10.在三棱錐中，已知為的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A.長(zhǎng)度的取值范圍是B.直線與平面所成的角為C.若，則，所成的角為D.若，則三棱錐外接球的表面積為【答案】BD【解析】對(duì)于A，因?yàn)椋瑸榈闹悬c(diǎn)，所以，所以，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由題，易得，又平面，所以平面，所以與平面所成的角為，故B正確；對(duì)于C，因?yàn)椋裕?，又因?yàn)槠矫?，所以平面，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，如圖，取的中點(diǎn)為F，連接，則，由圖形的對(duì)稱(chēng)性得，三棱錐外接球的球心必在的延長(zhǎng)線上，設(shè)，由，分別由勾股定理得，所以，所以外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故D正確．故選：BD.11.如圖，一個(gè)圓形倉(cāng)鼠籠被分為A，B，C，D四個(gè)區(qū)域，相鄰區(qū)域之間用通道相連，開(kāi)始時(shí)將一只倉(cāng)鼠放入?yún)^(qū)域，倉(cāng)鼠每次隨機(jī)選擇一個(gè)通道進(jìn)入相鄰的區(qū)域，設(shè)經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后倉(cāng)鼠在區(qū)域的概率為，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】對(duì)于A，因?yàn)閭}(cāng)鼠一開(kāi)始在區(qū)域，經(jīng)過(guò)1次選擇后不可能在區(qū)域，所以，故A正確；對(duì)于B，記倉(cāng)鼠經(jīng)過(guò)次隨機(jī)選擇后在B，C，D區(qū)域的概率分別為，，則有所以，進(jìn)一步得，因?yàn)?，所以，所以，所以不成等比?shù)列，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)?，所以，故D正確．故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知集合，非空集合，若，則的取值范圍是______．【答案】【解析】由題意得，又因，所以，解得．故答案為：.13.我們把幾何體的表面積與體積之比稱(chēng)為“相對(duì)積”．已知三棱錐中，分別在棱上，且截面與底面平行，，則三棱錐與三棱錐的相對(duì)積之比為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)三棱錐、三棱錐的體積分別為，表面積分別為，高分別為，因?yàn)?，所以，，，則，，則三棱錐與三棱錐的相對(duì)積之比為．故答案為：14.若過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于B，C兩點(diǎn)，以B，C為切點(diǎn)分別作的兩條切線，則兩條切線的交點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_____．【答案】【解析】設(shè)的方程為，代入中，整理得，設(shè)，則，由題意過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在且不為0，設(shè)為，聯(lián)立，得，由可得，即，所以切線方程為，同理可得過(guò)點(diǎn)的切線方程為.聯(lián)立解得消去，得，所以?xún)蓷l切線交點(diǎn)的軌跡方程為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.小王參加某機(jī)構(gòu)的招聘面試，要從6道簡(jiǎn)答題和4道論述題中任意抽取3道進(jìn)行回答．（1）求小王抽取的3道題中兩種題型都有的概率；（2）每道簡(jiǎn)答題答對(duì)得10分，每道論述題答對(duì)得20分，假設(shè)小王每道題都能答對(duì)，記小王答完3道題的總得分為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）所求概率為.（2）的所有可能取值為，，，，．所以的分布列為X30405060P的數(shù)學(xué)期望.16.如圖，在圓錐中，平面是軸截面，為底面圓周上一點(diǎn)（與不重合），為的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）若，求平面與平面的夾角的大小．（1）證明：在圓錐中，平面，平面,所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，所以，因?yàn)?，平面，所以平面．?）解：在平面內(nèi)，過(guò)作交于點(diǎn)，分別以直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．因?yàn)?，所以，由?）知平面的一個(gè)法向量為．又，所以．設(shè)平面的法向量為，則取，則．所以，所以平面與平面的夾角為．17.如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)，，且，記．（1）證明：；（2）證明：；（3）記，若，求的值．（1）證明：設(shè)，則．由余弦定理得，所以，所以．（2）證明：在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，由（1）知，又，所以．（3）解：若，則≌，得，與已知矛盾．若，則，所以化為，即，整理得，即，解得．18.已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，左、右焦點(diǎn)分別為，直線與交于P，Q兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足（為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)變化時(shí)，面積的最大值為．（1）求的方程；（2）證明：；（3）過(guò)點(diǎn)和線段PQ的中點(diǎn)作一條直線與交于R，S兩點(diǎn)，求四邊形PRQS面積的取值范圍．（1）解：設(shè)的半焦距為．依題意得，所以，解得，所以的方程為．（2）證明：設(shè)，由消去得，則，，因?yàn)椋?，化?jiǎn)得，此時(shí)成立，證畢．（3）解：設(shè)PQ的中點(diǎn)為，因?yàn)橹本€RS經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以不妨設(shè)，則．．由，得點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，所以代入的方程得，化簡(jiǎn)得，則．所以，即四邊形PRQS面積的取值范圍為．19.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（2）若，設(shè)的正零點(diǎn)從小到大依次為．①證明：；②判斷數(shù)列的單調(diào)性，并證明．附：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由題意，即對(duì)任意恒成立．設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞增，，所以，即的取值范圍是．（2）（ⅰ）若，則在定義域內(nèi)恒成立，所以對(duì)任意在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)有唯一零點(diǎn)，所以