高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省張家口市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名和準考證號等填寫在試卷和答題卡指定位置上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由，即，解得，所以，又，所以.故選：A2.某研究中心對治療哮喘的兩種藥物的療效是否有差異進行實驗，并運用列聯(lián)表進行檢驗，零假設：兩種藥物的療效無差異，計算出，根據(jù)下面的小概率值的獨立性檢驗表，認為“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過（）0.10.050.0100050.0012.7063.8416.6357.87910.828A. B. C. D.【答案】A【解析】，，故“兩種藥物的療效存在差異”犯錯誤的概率不超過.故選：A3.在的展開式中，的系數(shù)為（）A. B.135 C. D.1215【答案】B【解析】對有，則，故的系數(shù)為.故選：B.4.已知，且，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，則，當且僅當，即時，等號成立.故選：D.5.求整數(shù)的正整數(shù)因數(shù)時可將其改寫成若干個質數(shù)的乘積，例如，12的正整數(shù)因數(shù)只需分別從，中各選一個元素相乘即可，則2025的正整數(shù)因數(shù)的個數(shù)為（）A.8 B.10 C.15 D.16【答案】C【解析】因為，所以的正整數(shù)因數(shù)只需分別從，中各選一個元素相乘即可，有種取法，即有個正整數(shù)因數(shù)．故選：C．6.已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因為，所以，所以當時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以，即．故選：B7.過點作兩條直線與曲線（e是自然對數(shù)的底數(shù)）相切，切點的橫坐標分別為，則的值為（）A.e B.e C.3 D.3【答案】C【解析】由，得，設切點坐標為，則切線斜率為，所以切線方程為.因為點在切線上，所以，即，結合題意，則是上述方程的根，所以根據(jù)韋達定理得.故選：.8.已知不等式（其中）的解集中恰有三個正整數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】設函數(shù)，，因為，令，則或，則時，，或時，，，在上遞增，在上遞減，當時，至多一個整數(shù)根；當時，在內(nèi)的解集中僅有三個整數(shù)，根據(jù)圖象，只需，，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列關于一元線性回歸模型的敘述正確的有（）A.經(jīng)驗回歸直線經(jīng)過樣本中心點，點可以不在樣本中B.對于經(jīng)驗回歸直線，增加一個單位，平均增加個單位C.殘差平方和越小，模型的擬合效果越差D.若相關系數(shù)，則與的相關程度很強【答案】AB【解析】A選項，回歸直線一定通過樣本點的中心，但樣本點的中心可以不在樣本中，A選項正確；B選項，由及回歸直線的性質，增加一個單位，平均增加個單位，B選項正確；C選項，殘差的平方和越小，模型擬合效果越好，C選項錯誤；D選項，相關系數(shù)的絕對值接近時，才可以說與的相關程度很強，但很明顯和的偏差很大，因此與的相關程度不強，D選項錯誤.故選：AB10.已知，，下列條件中，能使不等式成立的充分條件有（）A. B. C. D.【答案】BC【解析】對A：若，則，不符合要求，故A錯誤；對B：若，則，符合要求，故B正確；對C：若，則，符合要求，故C正確；對D：若，取，，則，此時，不符合要求，故D錯誤.故選：BC.11.已知函數(shù)（均為常數(shù)且）的導函數(shù)滿足，且，則下列說法正確的有（）A. B.C.是的極值點 D.不等式的解集為【答案】ABD【解析】由，則，又，故，又，即，即有，解得，即，，則，故A、B正確；對C：由恒成立，故單調(diào)遞增，故無極值點，故C錯誤；對D：即為，即，解得，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.設隨機變量服從正態(tài)分布，若，則______．【答案】【解析】由，故，則.故答案為：.13.已知隨機變量，若期望，方差，則的值為______．【答案】40【解析】由題意得，解得.故答案為：4014.不透明的盒子中裝有大小質地相同的4個紅球、2個白球，每次從盒子中摸出一個小球，若摸到紅球得1分，并放回盒子中搖勻繼續(xù)摸球；若摸到白球，則得2分且游戲結束．摸球次后游戲結束的概率記為，則______；游戲結束后，總得分記為，則的數(shù)學期望______．【答案】；【解析】；的可能取值為，且，則，則，則，則，即，又，故.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）求的圖象在點處的切線方程；（2）若（為函數(shù)導函數(shù)），求在區(qū)間上的最大值和最小值．解：（1），，，則有，化簡得，即的圖象在點處的切線方程為；（2），則，則當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則有最大值，又，，故在區(qū)間上的最大值和最小值分別為、.16.小明同學設置手機密碼的六位數(shù)字，準備將e（）的前6位數(shù)字（1，2，2，7，8，8，）按照一定的順序進行設置．（1）記事件：相同的數(shù)字排在一起，求事件發(fā)生的概率；（2）記事件：只有一組相同的數(shù)字排在一起，求事件發(fā)生的概率；（3）記事件：相同數(shù)字不相鄰且相同數(shù)字之間只有一個數(shù)字，求事件發(fā)生的概率．解：（1）將相同的數(shù)字排在一起，只需將兩個2、兩個8分別看成同一元素，與另外兩個元素全排列即可，此時共有種不同排法，任意排列時共有種不同排法，故；（2）只有一組相同的數(shù)字排在一起，共有種不同排法，則；（3）若兩個2之間不是8，兩個8之間不是2，則有種不同排法，若兩個2之間是8，則必有或的排序，此時共有種不同排法，故共有種不同排法，則.17.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)極值；（2）討論的單調(diào)性．解：（1）當時，，定義域為，所以，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以極小值為，無極大值.（2）由上問得，而，令，解得,此時恒成立，故在上單調(diào)遞增，令，解得，令，解得或，當時，，故，，，此時令，，令，，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，由二次函數(shù)性質得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，，，，，令，，令，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增.18.已知不透明的盒子中有8個相同的乒乓球，球上標有數(shù)字1，2，3，…，8，有放回地隨機抽取兩次（每次抽取1個球），記下球上的數(shù)字，，原點和點，點．（1）記事件或．求事件發(fā)生的概率．（2）記事件的面積不大于5．求事件發(fā)生的概率．（3）記事件是銳角．事件是銳角三角形．求在事件發(fā)生的條件下事件發(fā)生的概率．解：（1）有8數(shù)字、有8數(shù)字可取，有放回地隨機抽取兩次（每次抽取1個球），共有種取法，，，，若，則，即，符合條件的基本事件有8種，若，則，即，符合條件的基本事件有6種，所以；（2）直線方程為，設點到直線的距離為，因為，所以，可得，符合條件的基本事件有，，，，，，，，共35個，；（3）有8數(shù)字、有8數(shù)字可取，有放回地隨機抽取兩次（每次抽取1個球），共有種取法，設直線與直線垂直，且過原點，因為，則直線，其64個點中，有8個落在直線上，剩余56個點中，一半在直線上方，一半在直線下方，要想是銳角，則點應在直線下方，其中滿足要求的點有28個，故是銳角即，與平行且過點的直線方程為，若是銳角三角形，則點落在直線與直線之間，根據(jù)點的坐標特征，應在直線上，滿足要求的點有共7個，所以，所以.19.某臺球選手采用如下方法進行障礙球訓練：在不透明的盒子里裝有3個紅球和2個黑球，這5個球除顏色外完全相同，每次擊球前從盒中任取一個球放置到障礙點，然后用母球擊球．如果障礙球被打進，則繼續(xù)從盒子中取球放置到另一個障礙點，進行第二次擊球；如果障礙球沒被打進，則繼續(xù)在同一點進行第二次擊球；如此反復進行下去，直到5個球全部被打進去為止．假設該選手在每個障礙點將球打進的概