2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之直線與方程（2025年4月）

選擇題（共8小題）

1.（2025?利津縣校級(jí)模擬）某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直

線/1,/2互相平行，橋。E與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分

別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A,B,C處，其中入口A點(diǎn)（定點(diǎn)）在橋。E上，且A到直線A,/2的距離

分別為加，/22（加，〃2為定值），入口5,。分別在直線/2,/1上，公園的一邊A8與直線/2所成的銳角

ZABD為a,另一邊AC與AB垂直設(shè)該休閑公園的面積為S（a）,當(dāng)a變化時(shí),下列說(shuō)法正確的是（）

B.函數(shù)S（a）的最小值為號(hào)1

71

C.右ai,a2c（0,—）且ai〈a2,則S（ai）<S（a2）

2

TCTT

D.若ai,a2e（0,―）且ai+a2=子則S（ai）—S（a2）

22

2.（2024秋?南昌縣校級(jí)期末）已知直線/i,/2的斜率分別為h,ki,傾斜角分別為ai,a2,貝廣'%>七”

是“ai>a2”的（）

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（2024秋?吉安期末）直線3x+2y-3=0與3無(wú)+2y=0之間的距離為（）

V3V5V73V13

A.—B.—C.—D.----

513913

4.（2024秋?廣東校級(jí)期末）若直線h：twc+y+2=0與直線fa：2x+（m-l）y+機(jī)=0平行，則m的值為（）

A.2或-1B.-1C.-2或1D.2

5.（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，NACB=90°,AC=2,BC=L當(dāng)點(diǎn)A、C分別在x、

y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B到原點(diǎn)。的最大距離是（)

y

A.1+V2B.V6C.V5D.3

6.（2024秋?城廂區(qū)校級(jí)期末）已知點(diǎn)0（0,0）,A（0,1）,B（1,1）,C（1,0）,平面上僅在線段04

AB,8C所在位置分別放置一個(gè)雙面鏡.現(xiàn)有一道光束沿向量1=（bm）（加＞0）的方向從線段OC

上某點(diǎn)（不含端點(diǎn)）射入，若光束恰好依次在BC,AB,各反射一次后從線段OC上某點(diǎn)射出，則相

的取值范圍是（）

117223

A.0,2）B.東會(huì)C.弓，2）D.0，1）

7.（2024秋?廣州期末）已知a,b,c成等差數(shù)列，過點(diǎn)尸（7,0）作直線/：辦+by+c=0的垂線，垂足

為H,則點(diǎn)Q（2,1）到點(diǎn)X的距離的最大值為（）

A.1B.V2C.2V2D.3V2

8.（2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐

詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)

性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頑的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先

到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A（2,4）,

軍營(yíng)所在位置為8（6,2）,河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到

軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）

A.將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6x-j-8=0

B.將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為（得，號(hào)）

C.將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是尤-6y+6=0

D.“將軍飲馬”走過的總路程為5

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025春?城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知點(diǎn)P（X,y）在圓。：（X-1）（y-1）2=2上，則x+y的最大值是4

B.已知直線依-y-1=0和以-3,1）,M3,2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)上的取值范圍為—|Wk<1

C.已知點(diǎn)尸（a,b）是圓/+/=，外一點(diǎn)，直線/的方程是°無(wú)+處=/,則直線/與圓相離

D.已知直線/i：mx-y+2=0,fa：x+my+2—O,則存在實(shí)數(shù)相，使得人和/2關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

（多選）10.（2025春?遼寧月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-ALBICIDI中，N為平面BiQCB內(nèi)一點(diǎn)（含

邊界），尸為平面ABC1D1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若&N=VI,則點(diǎn)N軌跡為圓的一部分

B.若/DDiB=/DDiN,則點(diǎn)N軌跡為橢圓的一部分

C.若點(diǎn)P到A1D與到AB的距離相等，則點(diǎn)P軌跡為拋物線的一部分

D.若點(diǎn)P到4A的距離為1,則點(diǎn)尸軌跡為雙曲線的一部分

（多選）11.（2025?宿遷模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（xi,yi）,B（x2,y2）,定義：ABn-

1*

nn

（|xt-x2\+|yi-y2l）"-若s,fCN",且s<f,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若A,8關(guān)于x軸對(duì)稱，則

B.若A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則氏

C.若OAs^lOBs,貝l|OAt=2OBt

D.若二={MMMkWl},貝UPUQ

（多選）12.（2025?南通模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（xi,yi）,B（尤2,*）,定義：||4B||〃=

1*

nn

C\x1-x2\+\y1-y2\）n,若s,reN,且s<f,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若A,?關(guān)于x軸對(duì)稱,則||AB||s=MB||t

B.若A,8關(guān)于直線產(chǎn)x對(duì)稱，貝叫A8||s2||A8||r

C.若||。411s=2||OB||s,貝叫。411r=2||O8||「

D.若尸={MMM|sWl},Q={MIIAMIW1}，貝UPiQ

三.填空題（共4小題）

13.（2025春?黃浦區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)A（1,-3）、B（5,2）,點(diǎn)P在y軸上，則|AP|+|2P|的最小值

為.

14.（2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考）直線x+2y-3=0與直線x-y-5=0的夾角的大小為.

15.（2025春?浦東新區(qū)校級(jí)月考）已知點(diǎn)P,。分別在直線A：x+y+2=0與直線/2：x+y-l=0上，且尸。

JJ1,點(diǎn)A（-3,-3）,B（3,0）,則|AP|+|PQ+|QB|的最小值為.

16.（2024秋?泗陽(yáng)縣期末）已知點(diǎn)A（-1,0）,B（1,0）,若直線y=fcv+4上存在點(diǎn)M,使M^+MB2

=10,則實(shí)數(shù)4的取值范圍是.

四.解答題(共4小題)

17.(2025春?黃浦區(qū)校級(jí)月考)直線/過點(diǎn)P(3,2),且與x軸，y軸正半軸分別交于A,8兩點(diǎn).

—>—>

⑴若AP=2PB,求直線/的方程；

(2)求△AQB的面積的最小值.

18.(2025?榆次區(qū)校級(jí)學(xué)業(yè)考試)如圖，已知橢圓C：—(a>l)的上頂點(diǎn)為A,離心率為一,

az3

若不過點(diǎn)A的動(dòng)直線/與橢圓C相交于尸、0兩點(diǎn)，且=

(I)求橢圓C的方程；

(II)求證：直線/過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).

19.(2024秋?海南校級(jí)期末)已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)：A(1,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求過點(diǎn)B且與直線AC平行的直線方程；

(2)求△ABC中邊上的高所在的直線方程.

20.(2024秋?四川校級(jí)期末)已知°>0,三條直線/i：ax-y+a—0,h：x+ay-a(a+l)=0,b：(a+1)

x-y+a+l=0兩兩相交，交點(diǎn)分別為A,B,C.

(1)證明：AABC是直角三角形，且有一個(gè)頂點(diǎn)為定點(diǎn);

(2)求△ABC面積的最大值.

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之直線與方程(2025年4月)

參考答案與試題解析

一.選擇題(共8小題)

題號(hào)12345678

答案DDDBACDB

二.多選題(共4小題)

題號(hào)9101112

答案ADACABDABD

一.選擇題(共8小題)

1.(2025?利津縣校級(jí)模擬)某市計(jì)劃在一條河上修建一座水上休閑公園，如圖所示.這條河兩岸所在直

線/1,/2互相平行，橋。E與河岸所在直線垂直.休閑公園的形狀可視為直角三角形，它的三個(gè)入口分

別設(shè)在直角三角形的頂點(diǎn)A,B,C處，其中入口A點(diǎn)(定點(diǎn))在橋DE上，且A到直線A,/2的距離

分別為歷，h2(hl,/72為定值)，入口8,C分別在直線/2,上，公園的一邊A8與直線/2所成的銳角

ZABD為a,另一邊AC與AB垂直設(shè)該休閑公園的面積為5(a),當(dāng)a變化時(shí),下列說(shuō)法正確的是()

A.函數(shù)S(a)的最大值為//訪2

B.函數(shù)S(a)的最小值為包”

2

71

C.若ai,a2c(0,-)且aiVa2,則S(ai)<S(a2)

2

T[TJ~

D.若ai,a2C(0,—)且ai+a2=5，則S(ai)—S(a2)

22

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式；兩條平行直線間的距離.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)題意構(gòu)建三角函數(shù)模型，從而利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：根據(jù)題意可得AE=/n,AD=h2,ZABD=ZCAE=a,

所以心裊八2

AB=

sina

所以RtAlBC的面積S(。)=%C?仲石撼施=黯，/(0,沙

所以當(dāng)sin2a=1時(shí)，S(a)取到最小值〃1〃2,無(wú)最大值，所以A選項(xiàng)，3選項(xiàng)都錯(cuò)誤;

71

對(duì)C選項(xiàng)，若ai,a2E(0,―),且ai〈a2,可得0V2aiV2a2Vn,

2

但是sin2ai與sin2a2的大小不定,

所以S(ai)與S(a2)的大小關(guān)系不定，所以。選項(xiàng)錯(cuò)誤;

7TTT

對(duì)。選項(xiàng)，因?yàn)閍i,a2G(0,―),且ai+a2=5，

22

所以。2=2—011,

n

所以sin2a2=sin2(—―ai)=sin(TT-2ai)=sin2ai,

2

所以S(ai)=S(a2),所以。選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直角三角形的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

2.(2024秋?南昌縣校級(jí)期末)已知直線/1,/2的斜率分別為h,ki,傾斜角分別為ai,a2,貝

是“ai>a2”的()

A.充分而不必要條件

B.必要而不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】直線的斜率；直線的傾斜角.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，即可求解.

【解答】解：直線/1,/2的斜率分別為％,k2,傾斜角分別為ai,oa,"ki>k2”,例如心=1,ki=-1,

可得ai=*a2=普，前者推不出后者，

反之a(chǎn)i=￥，a2=%滿足ai>a2,可得上>匕，即后者推不出前者，所以直線/1,/2的斜率分別為總，

近，傾斜角分別為ai,a2,則“總>近”是“ai>a2”的既不充分也不必要條件.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的傾斜角與斜率之間的關(guān)系，屬于中檔題.

3.（2024秋?吉安期末）直線3x+2y-3=0與3尤+2y=0之間的距離為（）

V3V5V73V1

A.—B.—C.—D.-----

513913

【考點(diǎn)】?jī)蓷l平行直線間的距離.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算即可求解.

【解答】解：由兩條平行直線間的距離公式可得d=早劃=4

蹲7?13

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)：平行線間的距離公式，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.（2024秋?廣東校級(jí)期末）若直線/i：mx+y+2=0與直線fa：2x+（m-l）y+?i=0平行，則m的值為（）

A.2或-1B.-1C.-2或1D.2

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】根據(jù)兩直線平行時(shí)斜率相等，列出方程求解，再排除兩直線重合的情況即可得到答案.

【解答】解：因?yàn)橹本€/i：mx+y+2=0與直線/2：2x+（m-1）y+??=0平行，

則一TH=-------p解得：m=2或m=-1,

771-1

當(dāng)加=2時(shí)，兩直線重合，舍去；當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，驗(yàn)證滿足.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：直線平行的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計(jì)算能力，屬于中檔

題.

5.（2024秋?西湖區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=2,BC=1,當(dāng)點(diǎn)A、C分別在x、

y軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B到原點(diǎn)。的最大距離是（）

y

A.1+V2B.V6C.V5D.3

【考點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；邏輯思維；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】取AC的中點(diǎn)。，連接8。，。。，根據(jù)數(shù)形結(jié)合分析可知|80|忘|8。+|。。］,根據(jù)8,。，。的

位置關(guān)系即可求解.

【解答】解：在△ABC中，ZACB=90°,AC=2,8C=1,點(diǎn)A、C分別在x、y軸上運(yùn)動(dòng)，

取AC的中點(diǎn)。，連接BZ),0D,

1_______

VZACB=90°,：.\0D\=j|XC|=1,BD=Vl2+I2=V2,

由圖可知，\B0\<\BD\4-\D0\=V2+1,

當(dāng)B,O,。三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，

所以點(diǎn)B到原點(diǎn)O的最大距離是企+1.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間中兩點(diǎn)間距離公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

6.(2024秋?城廂區(qū)校級(jí)期末)已知點(diǎn)。(0,0),A(0,1),B(1,1),C(1,0),平面上僅在線段04

AB,BC所在位置分別放置一個(gè)雙面鏡.現(xiàn)有一道光束沿向量1=(1,(根>0)的方向從線段OC

上某點(diǎn)(不含端點(diǎn))射入，若光束恰好依次在BC,AB,各反射一次后從線段OC上某點(diǎn)射出，則相

的取值范圍是（）

1I3223

A.歲2）B.（尹I）C.（j,2）D.6，j）

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程；平面中直線的方向向量和法向量.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】直接結(jié)合對(duì)稱問題的求解方法求解即可.

【解答】解：假設(shè)光線從尸射入，依次經(jīng)過。，R,S反射，最終從T射出，設(shè)NQPC=a,

設(shè)PC=〃，0<n<l,kpQ=m=tana,所以CQ=〃z〃，所以加，

所以詈,所以4R=1—[+〃，AS^m1，

所以0s0T=2~m~mn

1

<mn<10m<-

0n

八A—mn.、1

0<--------<1=>m>—n-222121

且《mn+1<m<——（因?yàn)椤?gt;——且——<-）,

n+1n+2n+1n+1n

0<m+mn_l<1^m<—n+2

^^2—m—mn一、2

2

即一<m<2,

3

一,2

所以機(jī)的取值范圍是（J,2）.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的方程，對(duì)稱問題的求解，是中檔題.

7.（2024秋?廣州期末）已知辦b,c成等差數(shù)列，過點(diǎn)尸（-1,0）作直線/：ax+Z?y+c=0的垂線，垂足

為H,則點(diǎn)。(2,1)到點(diǎn)”的距離的最大值為()

A.1B.V2C.2V2D.3V2

【考點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離公式.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】首先根據(jù)a，b,c成等差數(shù)列得出直線/過定點(diǎn)，再求出點(diǎn)H的軌跡方程，根據(jù)平面幾何知識(shí)

得出最值.

【解答】解：,ra,b,c成等差數(shù)列，.\a+c=2b,

直線/：―+力+c=0恒過定點(diǎn)A(1,-2),

過點(diǎn)尸(-1,0)作直線/：ax+6y+c=0的垂線，垂足為

則點(diǎn)X的軌跡是以AP為直徑的圓，AP的中點(diǎn)8坐標(biāo)為(0,-1),

\AP\=J(l+l)2+(-2—0)2=2vL

.,.點(diǎn)X的軌跡方程為f+(y+1)2=2,

點(diǎn)Q到點(diǎn)H的最大值為|QB|+r=7(2-0)2+(1+I)2+V2=3/.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查等差數(shù)列、點(diǎn)的軌跡、圓的方程、兩點(diǎn)間距離的最大值等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能

力，是中檔題.

8.(2024秋?嘉定區(qū)校級(jí)期末)2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐

詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)

性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頒的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交

河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先

到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是A(2,4),

軍營(yíng)所在位置為8(6,2),河岸線所在直線的方程為x+y-3=0,若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到

軍營(yíng)(“將軍飲馬”)的總路程最短，則()

A.將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是6x-y-8=0

B.將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為(學(xué)，拈

C,將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是x-6y+6=0

D.“將軍飲馬”走過的總路程為5

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】由題意畫出圖形，則由三角形三邊關(guān)系可知點(diǎn)C為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”，A,C,

81三點(diǎn)共線滿足題意，其中點(diǎn)81為點(diǎn)8關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，對(duì)于A,由根據(jù)881被x+y-3=0垂直平

分求出81的坐標(biāo)進(jìn)一步可求得方程對(duì)比即可；對(duì)于8,聯(lián)立直線方程求解即可；對(duì)于C,由兩點(diǎn)求出

斜率，寫出直線的點(diǎn)斜式方程，化簡(jiǎn)對(duì)比即可；對(duì)于根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求解即可.

【解答】解：由題意可知A,8在x+y-3=0的同側(cè),

設(shè)點(diǎn)8關(guān)于直線x+y-3=0的對(duì)稱點(diǎn)為Bi（a,b）,

A,C,Bi三點(diǎn)共線滿足題意，點(diǎn)C為使得總路程最短的“最佳飲水點(diǎn)”,

（竽+竽一3=。

則《

b—2,《、4

v-a-Z6X(1-1))=-1

解得｛ML

即Bi(1,-3),

對(duì)于A,直線ABi的斜率為k=4~(-3)=7,

z—1

以將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是y+3=7（x-1）,

即7x-y-10=0,

故A錯(cuò)誤;

7%—10—y=0

對(duì)于8,聯(lián)立

.%+y—3=0

183

181

即將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為（竽，笄）,

故B正確；

對(duì)于C,由C選項(xiàng)分析可知點(diǎn)C偌，笄），

2

-181

直線CB的斜率為k6-

183

所以直線的方程為y-2=;（久一6）,

即x-7y+8=0,

故C錯(cuò)誤；

22

對(duì)于D,\AC\+\CB\=\AC\+\CBr\=\ABr\=Vl+7=5VL

即“將軍飲馬”走過的總路程為5夜，

故。錯(cuò)誤.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線的方程，重點(diǎn)考查了對(duì)稱問題，屬中檔題.

二.多選題（共4小題）

（多選）9.（2025春?城關(guān)區(qū)校級(jí)月考）下列結(jié)論正確的是（）

A.已知點(diǎn)P（x,y）在圓C：（x-1）2+（j-1）2=2上，則無(wú)+y的最大值是4

B.已知直線fcv-y-1=0和以M（-3,1）,M3,2）為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)左的取值范圍為―狂k<1

C.已知點(diǎn)尸（a,b）是圓/+f=/外一點(diǎn)，直線/的方程是依+勿=凡則直線/與圓相離

D.已知直線/1：mx-y+2=0,fa：x+my+2=0,則存在實(shí)數(shù)相，使得/1和/2關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱

【考點(diǎn)】直線的一般式方程與直線的性質(zhì)；過圓上一點(diǎn)的圓的切線方程；由直線與圓的位置關(guān)系求解直

線與圓的方程或參數(shù)；圓上的點(diǎn)到直線的距離及其最值.

【專題】整體思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合直線的斜率及直線與圓的位置關(guān)系求解.

【解答】解：A選項(xiàng)，因?yàn)辄c(diǎn)P（尤，y）在圓C：（x-1）2+（y-1）2=2上，

則x=l+V^cosa,y=1+y/2sina,其中ae[0,2ir],

所以x+y—2+y/2sina+>f2cosa=2+2sin（a+今）,

當(dāng)a=今時(shí)，x+y取得最大值4,

故A正確；

B選項(xiàng)，由左（x-0）-。+1）=0,

Afx-0=0

+1=0，

所以㈡，

即直線丘-y-1=0過點(diǎn)產(chǎn)（0,-1）,

2+1_1+12

又kpN3^0―?KpM~-3-0

則實(shí)數(shù)上的取值范圍為kW—941,

即B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,已知點(diǎn)尸（〃，b）是圓/+y2=，外一點(diǎn),

則

r2

則圓心（0,0）到直線4%+勿=”的距離<r,

y/a2+b2

則直線/與圓相交,

即C錯(cuò)誤;

對(duì)于￡）,已知直線/i：mx-y+2=0,Z2：x+nty+2=0,

因?yàn)闄C(jī)義1+（-1）Xm=0,

即/l_L/2,

顯然，當(dāng)m=0時(shí)，直線/1：y=2和直線/2：元=-2關(guān)于直線x+y=0對(duì)稱,

即。正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了點(diǎn)到直線的距離公式，重點(diǎn)考查了直線的斜率及直線與圓的位置關(guān)系，屬中檔題.

（多選）10.（2025春?遼寧月考）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABC。-ALBCLDI中，N為平面81cle8內(nèi)一點(diǎn)（含

邊界），P為平面ABC1D內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）

A.若A[N=a,則點(diǎn)N軌跡為圓的一部分

B.若NDDiB=NDDiN,則點(diǎn)N軌跡為橢圓的一部分

C.若點(diǎn)P到4。與到A8的距離相等，則點(diǎn)尸軌跡為拋物線的一部分

D.若點(diǎn)P到4A的距離為1,則點(diǎn)尸軌跡為雙曲線的一部分

【考點(diǎn)】與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程.

【專題】計(jì)算題；整體思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離；運(yùn)算求解；新定義類.

【答案】AC

【分析】根據(jù)各個(gè)選項(xiàng)的條件，結(jié)合圓，橢圓，拋物線，雙曲線的定義逐一分析判斷即可.

【解答】解：對(duì)于A,若A5=a,

1

則點(diǎn)N軌跡為平面BiC1CB內(nèi)以51為圓心，以1為半徑的一圓，故A項(xiàng)正確；

4

對(duì)于8,若NDDiB=NDDiN,

根據(jù)題目在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-43ICLDI中，N為平面內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），

P為平面ABC1D1內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），

則點(diǎn)N為平面BiCiCB與以DDi為軸、BD為底面半徑的圓錐面的公共點(diǎn)，

軌跡為雙曲線的一部分，故8項(xiàng)錯(cuò)誤；

對(duì)于C,設(shè)4。與AD1交于點(diǎn)O,點(diǎn)尸到4。的距離等于尸。，

若點(diǎn)P到A1D與到AB的距離相等，即點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離與到AB的距離相等，

則軌跡為拋物線的一部分，故C項(xiàng)正確；

對(duì)于D,若點(diǎn)P到A1A的距離為1,

則點(diǎn)尸為平面ABCLDI與以A41為軸、AB為底面半徑的圓柱面的公共點(diǎn)，

軌跡為橢圓的一部分，故。項(xiàng)錯(cuò)誤.

故選：AC.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查與直線有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，涉及理解圓，橢圓，拋物線，雙曲線的定義，屬于中等

題.

(多選)11.(2025?宿遷模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A(xi,yi),B(%2,y2),定義：ABn=

1*

nn

{\xr-x2\+|yi-y2l)"-若s,reN",且s<r,則下列結(jié)論正確的是()

A.若A,8關(guān)于x軸對(duì)稱，則

B.若A,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則

C.若OAS=2OBS,則OAt=2OBt

D.若尸={MMM|sWl},Q={M|||AMIW1},則PUQ

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解；新定義類.

【答案】ABD

【分析】利用給定定義結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性求解A,B,舉反例判斷C,利用子集的性質(zhì)結(jié)合給定條件判斷

D即可.

【解答】解：對(duì)于選項(xiàng)A,因?yàn)锳,B關(guān)于x軸對(duì)稱，且A(xi,yi),B(x2,y2),

所以8(尤1,-yi),

1

nn

結(jié)合新定義：A(xi,yi),B(x2,y2),定義：ABn=(|%!-x2\+|yi-y2|)"-

111

ss?s?

得到A8s=(|xi-x2|+仇721sA=(|yi-(-yi)l)=(|2yi|)=|2%|,

111

t1

同理48t=(\x1-x2\+\yr-%l乎=(lyi-(-yjp)=(|2y/)E=|2%|,

即此時(shí)滿足ABs=A8r,故選項(xiàng)A正確；

對(duì)于選項(xiàng)8,因?yàn)锳,B關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且A(xi,yi),B(%2,J2),

所以8(yi,xi),

i11

ssJ

則48s=(\x1-x2\+仇-y21sA=(2|%!-x2|)=2s|%i-x2l-

i11

t

ABt=Qx1-x2\+|為一%『)7=(2%-久2『)》=2t\X1-x2\,

構(gòu)造/(x)=2,,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得了(無(wú))在R上單調(diào)遞增,

11

AB^ABt,因?yàn)閟,怎N*,且sVf,所以一〉一，得到fG1）>/G1），

sstsc

1111

則2=>2三，得到2引％i—x2\>2t\x1—x2\i即ABs>ABt9

則A?2A3,故選項(xiàng)8正確；

11

s

對(duì)于選項(xiàng)c,由題意得。4=（kil+IM戶,OBS=（%/+僅2r戶，

s5

因?yàn)镺As=2OBs,得到|%1|S+|y/s=2s（1%21s+|y2|）=|2%21s+|2y2|,

1

令%i=2,x2=0,Yi=2,=2W,符合題意，

1t+1.11

止匕時(shí)024t=（2'+2f）t=2t=2t=2x2j

111141

而。&=（|2鄧）下=2s,則2。&=2=+=2x2s,

11

由已知得否〉2"則203>。4,故選項(xiàng)。錯(cuò)誤；

1

對(duì)于選項(xiàng)。，設(shè)M（%,y）EP,AGo,yo）,則74Ms=（1%—%o=+|y—%《戶W1,

1

s

則|%一X0產(chǎn)+\y-y0\<1,同理可得4Ms=（1%—第oF+"一小『尹<1，

得到1%—々）/+ly-y0『<1，而I第一'o|s，|y_yo|s/[o,1],

ss

得到1>|x-x0\+|y-y0\>|x-+|y—Vol"，則M（x,y）EP,

即此時(shí)滿足題意，則。（％,y）eP,得到尸UQ,故選項(xiàng)。正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了新定義問題，是中檔題.

（多選）12.（2025?南通模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)A（xi,yi）,B（必”），定義：\\AB\\n=

1文

（|%1-％2「+M—y2r）說(shuō)若s，怎N，且sV/,則下列結(jié)論正確的是（）

A.若A,8關(guān)于x軸對(duì)稱，^]\\AB\\s=\\AB\\t

B.若A,3關(guān)于直線尸x對(duì)稱，則||A抑$冽依和￡

C.若||。411s=2||O5||s,則||。4||/=2||0叫

D.若尸={MIHMISW1},Q={MMMIW1},貝!|PGQ

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】利用給定定義結(jié)合函數(shù)對(duì)稱性的是求解A,B,舉反例判斷C,利用子集的性質(zhì)結(jié)合給定條件

判斷。即可.

【解答】解：對(duì)于A,因?yàn)锳,8關(guān)于無(wú)軸對(duì)稱，且A(xi,yi),B(%2,y2),

1

所以2(XI,-)1),而||4B||n=(%-久2尸+M-y21n)記，

111

s

得到||4B||s=(ki-x2|+M-y21sA=(I乃一(一>2)?=(|2yi|s)m=\2yr\,

iii

f

同理=(|xi-x2l+仇一為1乎=(仇一(一為)1>=(|2y/>=|2y/t,

即此時(shí)滿足故A正確；

對(duì)于2,因?yàn)锳,2關(guān)于直線y=x對(duì)稱，且ACxi,yi),B(尤2,y2),

ii1

ss?

所以2(yi,XI),則I網(wǎng)Is=(|%1-X2\+|yi-y2|)=(2%-y/s戶=23%

111

t

\\AB\\t=(\x1-x2\+I%=y21A=(2|巧一月|乎=2t\X1-yj,

構(gòu)造/(x)=2,,由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)得了(無(wú))在R上單調(diào)遞增，

11

\\AB\\^\\AB\\t,因?yàn)閟,止N*,且s4,所以一〉一，得到/?1)>/(，1

sstsc

1111

則2亨>2"得到2引％1-y1\>2t\x1-y/,即||A3||s>||AB|L

則||AB||s冽故B正確;

11

對(duì)于C,由題意得。4=(%|s+ly/s”,。&=(%/+Mr”，

11

s

因?yàn)閨|OA||s=2||O邨,所以(%|s+|當(dāng)/戶=2(%/+|y2|)?,

sSs

得到|xF+|y1|s=2s+|y2|)=|2%2|+|2y2|,

1

令X】=2,x2=0,=2,y2-2s,符合題意，

1t+1,11

此時(shí)||Q4||t=(2C+2()t=2~=21+t=2X2t,

1111

而||OB||t=(|2i|f)t=23則2||。811t=23+1=2X29,

11

由已知得2m>2K則故C錯(cuò)誤；

對(duì)于。，設(shè)M(x,y)P,A(xo,yo),

1

ss?

則IMMis=(|x-xol+|y-yol)w1，

1

s

則|x-%o|S_|_\y-y0\<1,同理可得=(|久一+I、一丫0『)工W1,

得到|x—%0『+Iy—yo『<1，

s

而久0「，\y-y0\G[0,1]，

ss-

得到1>\x-x0|+|y-y0|>\x-XoP+lyVol'，則M(尤,y)EP,

即此時(shí)滿足題意，則。(尤，y)EP,得到尸UQ,故Z)正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合與函數(shù)的應(yīng)用，屬于難題.

三.填空題(共4小題)

13.(2025春?黃浦區(qū)校級(jí)月考)己知點(diǎn)4(1,-3)、B(5,2),點(diǎn)尸在y軸上，則|4P|+|BP|的最小值為

V61.

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】VH.

【分析】依題意作點(diǎn)A(1,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-1,-3),連接A'B,交y軸于點(diǎn)P,連

接AP,則|4P|=|A'P\,計(jì)算即得HPI+I8PI的最小值.

【解答】解:由題意點(diǎn)A(1,-3)、8(5,2),點(diǎn)P在y軸上，

作出圖象；

3-

定

可得點(diǎn)A(1,-3)關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(-1,-3),連接A'8,交y軸于點(diǎn)P,

連接AP,則|AP|=|A'P\,

此時(shí)|4P|+\BP\=\AfP\+\BP\=\A7B\=V(5+l)2+(2+3)2=后即為最小值.

理由：在y軸上任取點(diǎn)P',連接A'P',AP',BP',易得|AP|=|A'P'\,

貝|+8P|=|A'P'\+BP'\^\A'B\=\AP\+\BP\,

故上述點(diǎn)P即是使|AP|+|BP|取得最小值的點(diǎn).

故答案為：V61.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱問題的應(yīng)用，是中檔題.

14.(2025春?長(zhǎng)寧區(qū)校級(jí)月考)直線x+2y-3=0與直線x-y-5=0的夾角的大小為arctan3

【考點(diǎn)】?jī)芍本€的夾角與到角問題.

【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓；運(yùn)算求解.

【答案】arctan3.

【分析】根據(jù)直線方程得到直線傾斜角的正切值，由此可得結(jié)果.

【解答】解：由題意直線尤+2》-3=0與直線x-y-5=0可化為y=-%+怖和y=x-5,

可得，直線x+2y-3=0的斜率為—會(huì)直線尤-y-5=0的斜率為1.

設(shè)直線x+2y-3=0的傾斜角為a,直線x-y-5=0的傾斜角為由則tana=—東tan0=l,

1-1

tan(or一夕)=_=—3,

設(shè)直線x+2y-3=0與直線％-y-5=0的夾角為8,則tanB=|tan(a-P)|=3,

由66[0，舒得0=arctan3.

故答案為：arctan3.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了兩直線的夾角，是中檔題.

15.(2025春?浦東新區(qū)校級(jí)月考)已知點(diǎn)尸，。分別在直線/1：x+y+2=0與直線/2：x+y-1=0上，且尸Q

3,10?3

口1,點(diǎn)A(-3,-3),B(3,0),則|AP|+|PQ|+|Q8|的最小值為乙.

【考點(diǎn)】與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程.

【專題】方程思想；轉(zhuǎn)化法；直線與圓；運(yùn)算求解.

3