“百師助學(xué)”課程《求線段比問題的常見解決方法》教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容分析求線段比值的考試題型，一般出現(xiàn)在選擇題，填空題，甚至還是出現(xiàn)在最后一道壓軸題中。所以這是一個(gè)難點(diǎn)和重點(diǎn)。求三角形中線段的比值問題的考試題型，一般思路：1.不需要做輔助線直接找相似三角形2.利用平行線構(gòu)造相似三角形證線段比3.通過垂直線段構(gòu)造全等或者三角形，設(shè)參數(shù)求線段比特別是在題目條件中沒有給出線段長度的前提下，很多同學(xué)感到毫無頭緒，這個(gè)時(shí)候，需要引入能表示線段長度的量，即設(shè)參數(shù)。設(shè)參數(shù)也是初中數(shù)學(xué)的常用方法，可廣泛用于求線段比值，角度比值，面積比值，因?yàn)樵谇蟊戎档倪^程中，參數(shù)通常會(huì)被消掉，使用參數(shù)，一定記得“過河拆橋”，即消參在使用參數(shù)之前，如何想到用參數(shù)？題目條件沒有線段長，卻要求比值是其一，存在特殊邊長之間的關(guān)連。例如等腰直角三角形，含30゜角的直角三角形等是其二，存在等量關(guān)系例如全等，對稱等是其三。教材以及學(xué)情分析學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了相交線，平行線，三角形，四邊形（主要是四邊形）等圖形的性質(zhì)和圖形的判定，積累的較為豐富的教學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，空間觀念逐步增強(qiáng)，幾何直觀與推理能力都得到了一定的培養(yǎng)，對數(shù)學(xué)思想，方法也有了初步的感悟，特別是經(jīng)過有關(guān)平行線、三角形、平行四邊形性質(zhì)與判定的學(xué)習(xí)，合理推理能力和演繹推理能力都得到了大幅度的提高。以上都為本節(jié)課的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)教學(xué)重點(diǎn)構(gòu)造相似三角形的思路聯(lián)想設(shè)參數(shù)的思想滲透一題多解開拓解題思維教學(xué)難點(diǎn)：構(gòu)造全等或者相似三角形求線段比綜合知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用三、教學(xué)過程模塊一：作平行線構(gòu)造相似三角形求線段比這之類的題目主要思路是：1.過已知的比例節(jié)點(diǎn)作平行構(gòu)造相似三角形向外補(bǔ)齊作平行構(gòu)造相似三角形過未知的節(jié)點(diǎn)作平行線知識(shí)梳理：例題1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，BC＝2.D為邊AB上一點(diǎn)，連接CD.且tan∠BCD＝，E為BC中點(diǎn)，連接AE交CD于點(diǎn)F，求的值.解法一：過點(diǎn)作EM//AB交CD于點(diǎn)M∴∠CEM=∠B又∵∠C=∠C∴ΔCEM∽ΔCBD∴∴∴EM=∵EM//AB∴∠FEM=∠A又∵∠EFM=∠AFD∴ΔEFM∽ΔAFD∴∴∴解法二：過點(diǎn)A作AM//BC交CD的延長線于點(diǎn)M∴∠C=∠M又∵∠BDC=∠ADM∴ΔCBD∽ΔMAD∴∴∴AM=6∵AM//BC∴∠C=∠M又∵∠EFC=∠AFM∴ΔEFC∽ΔAFM∴∴∴解法三：過點(diǎn)F作FM//BC,交AB于點(diǎn)M∴∠DMF=∠B又∵∠BDC=∠BDC∴ΔDMF∽ΔDBC∴∴設(shè)DM=x,MF=2x∵M(jìn)F//BE∴∠AMF=∠B∴ΔAMF∽ΔABE∴∴∴又∵ΔAMF∽ΔABE∴∴∴總結(jié)：胡亂作平行，但是從已知節(jié)點(diǎn)作平行線構(gòu)造三角形會(huì)更加方便我們解題跟進(jìn)練習(xí)：1.如圖，在矩形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD的中點(diǎn)，BF與EC、ED分別交于點(diǎn)M，N．已知AB＝4，BC＝6，則MNBM的長為．【解答】解：延長CE、DA交于Q，如圖1，∵四邊形ABCD是矩形，BC＝6，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝6，AD∥BC，∵F為AD中點(diǎn)，∴AF＝DF＝3，在Rt△BAF中，由勾股定理得：BF＝＝＝5，∵AD∥BC，∴∠Q＝∠ECB，∵E為AB的中點(diǎn)，AB＝4，∴AE＝BE＝2，在△QAE和△CBE中∴△QAE≌△CBE（AAS），∴AQ＝BC＝6，即QF＝6+3＝9，∵AD∥BC，∴△QMF∽△CMB，∴＝＝，∵BF＝5，∴BM＝2，F(xiàn)M＝3，延長BF和CD，交于W，如圖2，同理AB＝DW＝4，CW＝8，BF＝FW＝5，∵AB∥CD，∴△BNE∽△WND，∴＝，∴＝，解得：BN＝∴MN＝BN﹣BM＝﹣2＝，2.在ΔABC中，AD是ΔABC的中線，點(diǎn)E為AB上一點(diǎn).（1）如圖①，若點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，CE與AD交于點(diǎn)0，證明：AO=2OD（2）如圖②，點(diǎn)F為AC上一點(diǎn)，連接EF交AD于點(diǎn)0，若,，求的值.【解答】證明：過點(diǎn)D作DM//CE交AB于點(diǎn)M∵AD是BC邊上的中線∴BD=CD∴BM=EM∵E是AB的中點(diǎn)∴BE:EA=1:1則AO:OD=AE:EG=2:1∴AO=2OD延長CB,FE交于點(diǎn)M,過點(diǎn)D作DN//FE交AC于點(diǎn)N，∴△AOF∽△ADN,△CMF∽△CDN∴AO:OD=AF:FN=2:1=6:3∵AF:FC=3:2=6:4,∴FN:NC=MD:DC=3:1∵BD=CD∴MD:CD=MD:BD=3:1過點(diǎn)B作BP//EF交AD于點(diǎn)于點(diǎn)P∴△AOE∽△APB,△BDP∽△MDO∴MB:BD=OP:PD=2:1∵AO:OD=2:1=6:3∴AO:OP=6:2=AE:EB=3:1∴AE:BE=33.如圖，在四邊形ABCD中，AC與BD相交于點(diǎn)O，∠ABC＝∠DAC＝90°，tan∠ACB＝，＝，則＝．【解答】解：如圖，過點(diǎn)D作DM∥BC，交CA的延長線于點(diǎn)M，延長BA交DM于點(diǎn)N，∵DM∥BC，∴△ABC∽△ANM，△OBC∽△ODM，∴＝＝tan∠ACB＝，＝＝，又∵∠ABC＝∠DAC＝90°，∴∠BAC+∠NAD＝90°，∵∠BAC+∠BCA＝90°，∴∠NAD＝∠BCA，∴△ABC∽△DAN，∴＝＝，設(shè)BC＝4a，由＝＝得，DM＝3a，∴AB＝2a，DN＝a，AN＝a，∴NB＝AB+AN＝2a+a＝a，∴＝＝＝．∴=故答案為：．模塊二：通過作垂直線段求線段比例.如圖，在?ABCD中，AD＝BD，∠ADC＝105°，點(diǎn)E在AD上，∠EBA＝60°，則的值是?解法一：【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥AD于H，設(shè)∠ADB＝x，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴BC∥AD，∠ADC＝∠ABC＝105°，∴∠CBD＝∠ADB＝x，∵AD＝BD，∴∠DBA＝∠DAB＝，∴x+＝105°，∴x＝30°，∴∠ADB＝30°，∠DAB＝75°，∵BH⊥AD，∴BD＝2BH，DH＝BH，∵∠EBA＝60°，∠DAB＝75°，∴∠AEB＝45°，∴∠AEB＝∠EBH＝45°，∴EH＝BH，∴DE＝BH﹣BH＝（﹣1）BH，∵AB＝＝＝（﹣）BH＝CD，∴＝，解法二：過點(diǎn)D作DN?AB于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DM?BE，BE延長線的延長線于點(diǎn)M在?ABCD中，CD//AB,∴∠A=180°-105°=75°∵AD＝BD∴∠BDA=180°-75°×2=30°又∵DN?AB∴∠BDN==∴在△BDN和△DBM中,∴△BDN≌△DBM（AAS）∴MD=BN設(shè)MD=BN=x，在?ABCD中，AB=CD=2X在Rt△BEM中,∴DE=∴方法總結(jié)：作垂線段的題目中，往往都暗示有特殊角：30度，45度，60度角，或者有等腰三角形，或者有三角函數(shù)或者有角平分線或者和面積有關(guān)的計(jì)算跟進(jìn)練習(xí)：1.如圖，，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB上一點(diǎn)，H為AC上一點(diǎn)，∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，直接寫出＝．【解答】:解法一：解：過點(diǎn)C作CM?AB于點(diǎn)M，過點(diǎn)C作CN?DH于點(diǎn)N，過點(diǎn)D作DP?AH于點(diǎn)P設(shè)BC=3,AC=4,AB=5則△BMC∽△BCA∴∴∵BC＝DC且CM?AB，∴,∴∵DP?AH,∠ACB＝90°且∠A=∠A∴△ADP∽△ABC∴∴∵∠ABC＝∠HDC∠ABC=∠BDC∴∠BDC=∠HDC又∵CM?AB，CN?DH∴∵∠DHP＝∠CHN∠DPH=∠CNH=∴△DPH∽△CNP∴解法二：過點(diǎn)C作CE⊥CD交DH的延長線于E，過點(diǎn)C作CF⊥AB于F，∴∠DCE＝∠BCA＝90°，∵∠ABC＝∠HDC，CB＝CD，∴△ABC≌△EDC（ASA），∴∠A＝∠E，CE＝AC，∵∠AHD＝∠EHC，∴△ADH∽△ECH，∴，設(shè)AC＝CE＝4x，∵，∠ACB＝90°，∴BC＝3x，AB＝5x，∴cosB＝，∴BF＝BC＝x，∵CB＝CD，∴DF＝BF＝x，∴AD＝5x﹣x﹣x＝x，∴＝，2．如圖，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D為AB的中點(diǎn)，AE⊥CD于F，交BC于E，連接BF，若∠BFE＝45°，則的值為．【解答】解：過點(diǎn)B作BG⊥AE交AE的延長線于點(diǎn)G，∵AE⊥CD，∠BFE＝45°，∴△BFG為等腰直角三角形，設(shè)BG＝FG＝a，∵AG⊥DF，AG⊥BG，D為AB邊上的中點(diǎn)，∴DF為△AGB的中位線，∴DF＝a，AG＝2a，∴AB＝a，在Rt△ABC中，CD為AB邊上的中線，∴CD＝a，∴CF＝a，∵CF∥GB，∴△CFE∽△BGE，∴＝＝，故答案為：．3．如圖，在矩形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，，連接DE，F(xiàn)是BC上一點(diǎn)，且∠DEF＝30°，，則＝．【解答】解：過點(diǎn)F作FN⊥DE于N,延長DE,CB相交于點(diǎn)M設(shè)FN=3,DN=4,DF=5;則EN=,EF=6∴設(shè)AE=，BE=2x由8字相似△DAE∽△MBE，得,∴∴∵∠M＝∠M∠MBE=∠MNF=90°∴△MEB∽△MNF∴∴∴∴∴模塊三：圖形變換中求線段比例.如圖，在△ABC中，AB＝AC，tanB＝，點(diǎn)D為BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ABD沿AD翻折得到△ADE，DE交AC于點(diǎn)G，GE＜DG，且AG：CG＝3：1，則＝．解法一：【解答】解：如圖，過點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)A作AH⊥DE于點(diǎn)H，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，∠B＝∠E，AF＝AH，AB＝AE，BF＝EH，∴∠E＝∠C，設(shè)CG＝a，則AG＝3a，∴AB＝AC＝AE＝4a，在Rt△ABF中，tanB＝＝，∴BF＝AF，∴，解得：或AF＝（舍去），∴AH＝AF＝，BF＝EH＝，在Rt△AGH中，GH＝＝＝，∴EG＝EH﹣GH＝＝，∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG，∴，即，∴，∴＝，解法二：過點(diǎn)G作GM⊥AE于點(diǎn)M,過點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N設(shè)AG=3,CG=1,∴AC=AB=4在Rt△ABN中,BN=∴在等腰三角形ABC中，BC=2BN=2由翻折可知∴ 在Rt△MEG中，設(shè)∵∠AGE＝∠DGC，∠E＝∠C，∴△AEG∽△DCG∴∴∴∴∴可得：x=1，或者x=∵GE＜DG,∴x=1舍去方法總結(jié)：此類問題往往含有相等的線段，相等的角，折疊后往往有相似三角形，再分別求出線段長跟進(jìn)練習(xí)：1.已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)，連接CD，將△BCD沿CD翻折得△B′CD，B′D交AC于點(diǎn)E，則的值為（） B． C． D．【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥CD于H，過點(diǎn)E作EF⊥CD于F，∵∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝20，∴AB＝＝＝10，S△ABC＝×10×20＝100，∵點(diǎn)D為斜邊中點(diǎn)，∠ACB＝90°，∴AD＝CD＝BD＝5，∴∠DAC＝∠DCA，∠DBC＝∠DCB，∴sin∠BCD＝sin∠DBC＝＝，∴＝，∴BH＝4，∴CH＝＝＝2，∴DH＝3，∵將△BCD沿CD翻折得△B′CD，∴∠BDC＝∠B'DC，S△BCD＝S△DCB'＝50，∴tan∠BDC＝tan∠B'DC＝，∴＝＝，∴設(shè)DF＝3x，EF＝4x，∵tan∠DCA＝tan∠DAC＝，∴，∴FC＝8x，∵DF+CF＝CD，∴3x+8x＝5，∴x＝，∴EF＝，∴S△DEC＝×DC×EF＝，∴S△CEB'＝50﹣＝，∴＝，故選：A．2.如圖，在正方形ABCD中，對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長交AD于點(diǎn)G，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則的值為．【解答】解：以O(shè)為原點(diǎn)