試卷第=page44頁，共=sectionpages134134頁第一章勾股定理內(nèi)容導(dǎo)航知識點(diǎn)類型一、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題類型三、勾股定理在網(wǎng)格圖中的應(yīng)用類型四、折疊背景下的勾股定理應(yīng)用類型五、應(yīng)用勾股定理證明線段的平方關(guān)系類型六、勾股定理的證明類型七、勾股定理與弦圖類型八、應(yīng)用勾股定理構(gòu)造圖形解決問題類型九、勾股定理的實(shí)際應(yīng)用類型十、綜合問題中的勾股定理應(yīng)用知識點(diǎn)1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應(yīng)用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．知識點(diǎn)2．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時(shí)，用幾個(gè)全等的直角三角形拼成一個(gè)規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個(gè)小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．知識點(diǎn)3．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗(yàn)證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉(zhuǎn)化為形，作用是判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運(yùn)用勾股定理的逆定理解決問題的實(shí)質(zhì)就是判斷一個(gè)角是不是直角．然后進(jìn)一步結(jié)合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個(gè)角是不是直角，先要構(gòu)造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．知識點(diǎn)4．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個(gè)數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個(gè)數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…知識點(diǎn)5．勾股定理的應(yīng)用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時(shí)勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應(yīng)用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關(guān)線段的長度．②由勾股定理演變的結(jié)論：分別以一個(gè)直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用：運(yùn)用勾股定理的數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)世界的實(shí)際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應(yīng)用：利用勾股定理把一個(gè)無理數(shù)表示成直角邊是兩個(gè)正整數(shù)的直角三角形的斜邊．知識點(diǎn)6．平面展開-最短路徑問題（1）平面展開﹣?zhàn)疃搪窂絾栴}，先根據(jù)題意把立體圖形展開成平面圖形后，再確定兩點(diǎn)之間的最短路徑．一般情況是兩點(diǎn)之間，線段最短．在平面圖形上構(gòu)造直角三角形解決問題．（2）關(guān)于數(shù)形結(jié)合的思想，勾股定理及其逆定理它們本身就是數(shù)和形的結(jié)合，所以我們在解決有關(guān)結(jié)合問題時(shí)的關(guān)鍵就是能從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型．類型一、兩點(diǎn)間距離公式的應(yīng)用1．如圖，動點(diǎn)從（0，3）出發(fā)，沿軸以每秒1個(gè)單位長度的速度向下移動，同時(shí)動點(diǎn)從出發(fā)，沿軸以每秒2個(gè)單位長度的速度向右移動，當(dāng)點(diǎn)移動到點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)、同時(shí)停止移動．點(diǎn)在第一象限內(nèi)，在、移動過程中，始終有，且．則在整個(gè)移動過程中，點(diǎn)移動的路徑長為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意過P點(diǎn)作交于D點(diǎn)，作交于E點(diǎn)，并利用全等三角形判定,得出，從而分當(dāng)時(shí)，有（0，3），，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為以及當(dāng)時(shí)，有、O（0，0），、H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，繼而由點(diǎn)移動的路徑為一條線段利用兩點(diǎn)間距離公式求得點(diǎn)移動的路徑長.【詳解】解：由題意過P點(diǎn)作交于D點(diǎn)，作交于E點(diǎn)，如圖，∵，∴,∴,∵,∴,即有,由題意可知，當(dāng)時(shí)，有（0，3），，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由，即有，解得，即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；當(dāng)時(shí)，有、O（0，0），、H，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由即圖上，即有，解得，即此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為；由圖可知點(diǎn)移動的路徑為一條線段，則點(diǎn)移動的路徑長為：.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的運(yùn)動問題，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)和判定以及兩點(diǎn)間距離公式是解題的關(guān)鍵.2．已知為實(shí)數(shù)，則代數(shù)式的最小值為．【答案】13【分析】根據(jù)的幾何意義結(jié)合圖象求出最小值即可．【詳解】∵，如圖所示，由代數(shù)式的結(jié)構(gòu)構(gòu)造點(diǎn)P（m，0），A（8，3），B（3，9），則，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A'（3，-9），則，∴代數(shù)式的最小值為13.【點(diǎn)睛】本題考查了圖形與坐標(biāo)求最值問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)代數(shù)式的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為求最值問題．3．在紙片中，，，.如圖，直角頂點(diǎn)在原點(diǎn)，點(diǎn)在軸負(fù)半軸上，當(dāng)點(diǎn)在軸上向上移動時(shí)，點(diǎn)也隨之在軸上向右移動，當(dāng)點(diǎn)到達(dá)原點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)停止移動.在移動過程中，點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離是．【答案】【分析】取B1C1的中點(diǎn)E，連接OE、A1E，利用直角三角形的性質(zhì)得到OE=2，再根據(jù)勾股定理求出A1E的長度，即可得到O、E、A1三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大.【詳解】如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接OE、A1E，當(dāng)O、E、A1三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大，∵△B1C1O是直角三角形，點(diǎn)E是B1C1的中點(diǎn)，∴OE=B1C1=2，C1E=2，∵A1C1=2，∠A1C1B1=90，∴A1E=,∴點(diǎn)A到原點(diǎn)的最大距離是，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，題中OE的長度是定值，正確理解O、E、A1三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離最大是解題的關(guān)鍵.4．閱讀理解：在平面直角坐標(biāo)系中，任意兩點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）之間的位置關(guān)系有以下三種情形；①如果AB∥x軸，則y1＝y(tǒng)2，AB＝|x1﹣x2|②如果AB∥y軸，則x1＝x2，AB＝|y1﹣y2|③如果AB與x軸、y軸均不平行，如圖，過點(diǎn)A作與x軸的平行線與過點(diǎn)B作與y軸的平行線相交于點(diǎn)C，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（x2，y1），由①得AC＝|x1﹣x2|；由②得BC＝|y1﹣y2|；根據(jù)勾股定理可得平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)的距離公式AB＝．小試牛刀：（1）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（﹣2，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，3）則AB＝；（2）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（3，﹣4）則AB＝；（3）若點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，2），B點(diǎn)坐標(biāo)為（7，﹣1）則AB＝；學(xué)以致用：若點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)B坐標(biāo)為（4，4），點(diǎn)P是x軸上的動點(diǎn)，當(dāng)AP+PB取得最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為并求出AP+PB最小值＝；挑戰(zhàn)自我：已知M＝，N＝根據(jù)數(shù)形結(jié)合，直接寫出M的最小值＝；N的最大值＝；【答案】小試牛刀：（1）5；（2）6；（3）5；學(xué)以致用：（，0），2；挑戰(zhàn)自我：3；2．【分析】小試牛刀：（1）利用兩點(diǎn)間的距離公式AB=|x1-x2|進(jìn)行解答；（2）利用兩點(diǎn)間的距離公式AB=|y1-y2|進(jìn)行解答；（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式AB=進(jìn)行解答；學(xué)以致用：利用軸對稱的性質(zhì)求得點(diǎn)P的坐標(biāo)以及AP+PB的最小值；挑戰(zhàn)自我：利用M、N所表示的幾何意義解答．【詳解】小試牛刀：（1）AB＝|x1﹣x2|＝|3﹣（﹣2）|＝5．（2）AB＝|y1﹣y2|＝|﹣4﹣2|＝6．（3）AB＝＝＝5．學(xué)以致用：如圖，∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（2，2），∴點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)A′的坐標(biāo)是（2，﹣2），連接A′B，直線A′B與x軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P．設(shè)直線A′B為y＝kx+b（k≠0），則，解得．∴直線A′B為y＝3x﹣8．令y＝0，則x＝，即P（，0），此時(shí)AP+PB＝A′B＝．挑戰(zhàn)自我：M＝，當(dāng)M取最小值時(shí)，M表示點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（6，4）的距離與點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（3，2）的距離之和（或M表示點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（6，﹣4）的距離與點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（3，﹣2）的距離之和），此時(shí)M最小值＝．N＝，當(dāng)N取最大值時(shí)，N表示點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（6，﹣4）的距離與點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（3，2）的距離之差（或M表示點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（6，﹣4）的距離與點(diǎn)（x，0）與點(diǎn)（3，2）的距離之差），此時(shí)M最小值＝．【點(diǎn)睛】考查學(xué)生的閱讀理解能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，仿照題意求出答案.5．閱讀材料，在平面直角坐標(biāo)系中，已知x軸上兩點(diǎn)、的距離記作，如果、是平面上任意兩點(diǎn)，我們可以通過構(gòu)造直角三角形來求間的距離．如圖，過A、B分別向x軸、y軸作垂線、和、，垂足分別是、、、，直線交于點(diǎn)Q，在中，，，∴．(1)由此得到平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)、間的距離公式為：______．(2)直接應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算點(diǎn)，之間的距離為______．(3)在平面直角坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，，P為x軸上任一點(diǎn)，求的最小值：(4)應(yīng)用平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式，求代數(shù)式的最小值（直接寫出答案）．(5)應(yīng)用拓展：如圖，若點(diǎn)D在上運(yùn)動，，，連接，，求的周長的最小值．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)【分析】此題主要考查了利用軸對稱求最值問題以及兩點(diǎn)之間距離公式，正確轉(zhuǎn)化代數(shù)式為兩點(diǎn)之間距離問題是解題關(guān)鍵．（1）由即可求解；（2）直接利用兩點(diǎn)之間距離公式，把兩點(diǎn)代入求解即可；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，連接，直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，的最小值就是線段，求出的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求解即可；（4）代數(shù)式表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短可知點(diǎn)在以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段上時(shí)，其距離之和最小，再利用兩點(diǎn)之間距離公式求解即可；（5）過A作，作B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，由對稱性可證的周長的最小值為，利用勾股定理求解即可；【詳解】（1）由題意知：、，，，故答案為：；（2），，，故答案為：5；（3）作點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，連接，直線與x軸的交點(diǎn)即為所求的點(diǎn)P，的最小值就是線段，如圖，B關(guān)于x軸對稱的點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，的最小值為；（4）代數(shù)式表示點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)在以點(diǎn)和為端點(diǎn)的線段上時(shí)，其距離之和最小，的最小值為：；（5）過A作，作B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連接，，B，關(guān)于直線對稱，，，，的最小值為，的周長的最小值為，，，，，，在中，，的周長的最小值為．6．?dāng)?shù)和形是數(shù)學(xué)的兩個(gè)主要研究對象，我們經(jīng)常運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、數(shù)形轉(zhuǎn)化的方法解決一些數(shù)學(xué)問題．下面我們來探究“由數(shù)思形，以形助數(shù)”的方法在解決代數(shù)問題中的應(yīng)用．探究一：求方程|x﹣1|＝5的解（1）探究|x﹣1|的幾何意義如圖①，在以O(shè)為原點(diǎn)的數(shù)軸上，設(shè)點(diǎn)A′對應(yīng)點(diǎn)的數(shù)為x﹣1，由絕對值的定義可知，點(diǎn)A′與O的距離為|x﹣1|，可記為：A′O＝|x﹣1|．將線段A′O向右平移一個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A對應(yīng)的數(shù)為x，點(diǎn)B的對應(yīng)數(shù)是1，因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝|x﹣1|．因此，|x﹣1|的幾何意義可以理解為數(shù)軸上x所對應(yīng)的點(diǎn)A與1所對應(yīng)的點(diǎn)B之間的距離AB．（2）求方程|x﹣1|＝5的解因?yàn)閿?shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為5，所以方程的解為．探究二：探究的幾何意義（1）探究的幾何意義如圖②，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（x，y），過M作MP⊥x軸于P，作MQ⊥y軸于Q，則點(diǎn)P點(diǎn)坐標(biāo)（x，0），Q點(diǎn)坐標(biāo)（0，y），|OP|＝x，|OQ|＝y(tǒng)，在Rt△OPM中，PM＝OQ＝y(tǒng)，則MO＝＝＝因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)M（x，y）與原點(diǎn)O（0，0）之間的距離MO．（2）探究的幾何意義如圖③，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x﹣1，y﹣5），由探究（二）（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向右平移1個(gè)單位，再向上平移5個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，5）．因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（1，5）之間的距離AB．（3）探究的幾何意義請仿照探究二（2）的方法，在圖④中畫出圖形，并寫出探究過程．（4）的幾何意義可以理解為：．拓展應(yīng)用：（5）的幾何意義可以理解為：點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)E（2，﹣1）的距離與點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)F（填寫坐標(biāo)）的距離之和．（6）的最小值為．（直接寫出結(jié)果）【答案】探究一：（2）﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）見解析；（4）點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；（5）（﹣1，5）；（6）3【分析】探究一：（2）因?yàn)閿?shù)軸上的-4或6所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為5，即可求解；探究二：（3）參考（1）的過程畫出函數(shù)圖象即可求解；（4）根據(jù)前面的探究可知幾何意義是表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離，即可求解；拓展應(yīng)用：（5）由探究二（4）可知：+表示點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)F（-1，5）的距離之和；（6）當(dāng)點(diǎn)A位置線段EF之間時(shí)，此時(shí)EF=AF+AE，進(jìn)而求解．【詳解】解：探究一：（2）因?yàn)閿?shù)軸上的﹣4或6所對應(yīng)的點(diǎn)與1所對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離都為5，所以方程的解為x＝﹣4或6，故答案為：﹣4或6，x＝﹣4或6；探究二：（3）如圖④，在直角坐標(biāo)系中，設(shè)點(diǎn)A′的坐標(biāo)為（x+3，y+4），由探究二（1）可知，A′O＝，將線段A′O先向左平移3個(gè)單位，再向下平移4個(gè)單位，得到線段AB，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，y），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，﹣4），因?yàn)锳B＝A′O，所以AB＝，因此的幾何意義可以理解為點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)B（﹣3，﹣4）之間的距離AB；（4）根據(jù)前面的探究可知的幾何意義是表示點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離，故答案為點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)（a，b）之間的距離；拓展應(yīng)用：（5）由探究二（4）可知：+表示點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)E（2，﹣1）的距離和點(diǎn)A（x，y）與點(diǎn)F（﹣1，5）的距離之和，故答案為（﹣1，5）；（6）當(dāng)A（x，y）位于直線EF外時(shí)，此時(shí)點(diǎn)A、E、F三點(diǎn)組成△AEF，∴由三角形三邊關(guān)系可知：EF＜AF+AE，當(dāng)點(diǎn)A位置線段EF之間時(shí)，此時(shí)EF＝AF+AE，∴+的最小值為EF的距離，∴EF＝，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查學(xué)生的閱讀理解能力，解題的關(guān)鍵是正確理解題意，仿照題意求出答案，本題也考查了學(xué)生的綜合能力，屬于中等題型．類型二、以直角三角形的邊為邊的圖形面積問題7．勾股定理是人類早期發(fā)現(xiàn)并證明的重要數(shù)學(xué)定理之一，是數(shù)形結(jié)合的重要細(xì)帶．?dāng)?shù)學(xué)家歐幾里得利用如圖驗(yàn)證了勾股定理．以直角三角形的三條邊為邊長向外作正方形，正方形，正方形，連接，，具中正方形面積為1，正方形面積為5，則以為邊長的正方形面積為（

）A．4 B．5 C．6 D．【答案】D【分析】此題考查的是勾股定理的證明；過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由正方形的性質(zhì)可知、的長，利用直角三角形面積公式可得的長，再勾股定理可得、的長，最后利用勾股定理可得答案．正確作出輔助線是解決此題的關(guān)鍵．【詳解】解：過點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，正方形面積為5，正方形面積為1，，，，，是直角三角形，，，，即，，，，，以為邊長的正方形面積為10．故選：．8．如圖，中，，，．分別以、、為邊在的同側(cè)作正方形、、，四塊陰影部分的面積分別為、、、．則等于（

）

A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，矩形的判定，勾股定理．過F作于D，先證明得到，再證明，得到，進(jìn)一步證明，，則可證明，由此求解即可．【詳解】解：過F作于D，連接，

∴，∴，∴，又∵，，∴，∴，同理可證，∴．

由可得：，∴，∵，即，且，，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴平行四邊形是矩形，∴，又∵，∴，∴，同理可得，∴，∵，∴，∴；故選：A．9．如圖，在中，，分別以為邊向上作正方形、正方形、正方形，點(diǎn)在上，若，則圖中陰影的面積為．【答案】6【分析】如圖，連接，過點(diǎn)作，證明，從而得到、、在一條直線上，在類比趙爽弦圖可得，，，現(xiàn)只需求出邊的長度即可計(jì)算面積．【詳解】如圖，連接，過點(diǎn)作，∴，∵四邊形是正方形，∴，，又∵，∴∴在與中：∴（AAS）∴又∵是正方形，∴，，∴，∴是平行四邊形，∴∴、、在一條直線上，故：也是直角三角形且，由四邊形是正方形，是正方形，是正方形，、是全等的三角形，類比趙爽弦圖已知，即可證明（此處證明略）則：∵，∴∴．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題是考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．10．如圖，在直角三角形中，直角邊，，以它的三邊分別作出了正方形、、，把、、的面積分別記為、、，則．【答案】18【分析】過點(diǎn)A作AM⊥EH交EH延長線于點(diǎn)M，連接MG，F(xiàn)M，根據(jù)題意可證得△AEM≌ADEF，從而得到AM=DF，進(jìn)而S△AHE=S△DEF，同理S△BDC=S△GFM=S△DEF，可得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF，即可求解．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A作AM⊥EH交EH延長線于點(diǎn)M，連接MG，F(xiàn)M，∵正方形、、，∴DF=DC，DE=DB，AE=DE，EF=FG，F(xiàn)L=DF，∠GFL=90°，∠EDF+∠BDC=180°，∴∠AME=∠DFE=90°，∵∠AEM+∠DEM=90°，∠DEM+∠DEF=90°，∴∠AEM=∠DEF，∵AE=DE，∴△AEM≌ADEF（AAS），∴AM=DF，∵EH=EF，∴，∴S△AHE=S△DEF，同理：S△BDC=S△GFM=S△DEF，∵S△GFL=FG×FL，∴S△GFL=DF×EF=S△DEF，∵直角邊，，∴S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF=3××3×4=18，∴．故答案為：18．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形性的性質(zhì)，求三角形的面積，全等三角形的判定和性質(zhì)，得到S△AHE+S△BDC+S△GFL=3×S△DEF是解題的關(guān)鍵．11．在中，，如圖1，分別以，，為邊向外作等邊三角形，，（1）若，，則______．（2）如圖2，將沿翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)記為，①連接，請求出的度數(shù)．②若保持不變，隨著的長度變化，點(diǎn)也隨之運(yùn)動，試探究的值是否變化，若不變，求出的值；若改變，求出的最小值．【答案】（1）；（2）①30°；②變化，的最小值為【分析】（1）過F作AB的垂線，垂足為H，得出等邊的面積,同理得出另兩個(gè)等邊三角形的面積,由勾股定理易得的面積等于另兩個(gè)等邊三角形的面積的和,從而可求得結(jié)果;(2)①由翻折易得：，從而可證得≌，即得PE⊥CE，從而可求得;②連接PF，與①同，可證得，且求得，表明點(diǎn)P在定直線FP上，根據(jù)垂線段最短即可求得AP的最小值．【詳解】（1）過作于，∵是等邊三角形，，∴，∴，∴，同理可得，，∵，∴，∴，∴，∵，，∴.（2）①∵、都是等邊三角形，∴，，，∵沿翻折得到，∴，，∴.∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∵，∴，②連接，∵是等邊三角形，∴，，∵是等邊三角形，翻折得到，∴，.∴，∴.在和中，，∴≌（SAS），∴.∴，∴點(diǎn)在過點(diǎn)且垂直的直線上移動，故的值會發(fā)生改變，由點(diǎn)到直線的距離垂線段最短可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),取得最小值.在中,的最小值為.∴的最小值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、勾股定理、圖形面積的計(jì)算、求最值，涉及了圖形的變換，輔助線的作法，是一個(gè)綜合性的問題，對學(xué)生的知識進(jìn)行了全面而綜合的考查．把翻折，實(shí)質(zhì)是把分別繞點(diǎn)C、B順時(shí)針和逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°而得到和．另外，②小題也可以這樣解：易得，則由①的結(jié)論可知：∥，且可得，所以四邊形為平行四邊形，則,表明點(diǎn)在定直線上，余下同原題解法．12．[方法儲備]如圖1，在中，為的中線，若，，求的取值范圍．中線倍長法：如圖2，延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)，可證明，由全等得到，從而在中，根據(jù)三角形三邊關(guān)系可以確定的范圍，進(jìn)一步即可求得的范圍．在上述過程中，證明的依據(jù)是______，的范圍為______；[思考探究]如圖3，在中，，為中點(diǎn)，、分別為、上的點(diǎn)，連結(jié)、、，，若，，求的長；[拓展延伸]如圖4，為線段上一點(diǎn)，，分別以、為斜邊向上作等腰和等腰，為中點(diǎn)，連結(jié)，，．①求證：為等腰直角三角形；②若將圖4中的等腰繞點(diǎn)轉(zhuǎn)至圖5的位置（，，不在同一條直線上），連結(jié)，為中點(diǎn)，且，在同側(cè)，連結(jié)，．若，，求和的面積之差．【答案】[方法儲備]，；[思考探究]；[拓展延伸]①見解析；②【分析】[方法儲備]由得出，在中，根據(jù)三邊關(guān)系得到，即可求解，[思考探究]延長至點(diǎn)，使得，由得出，，從而得，應(yīng)用勾股定理求出，結(jié)合垂直平分，即可求解，[拓展延伸]①延長至點(diǎn)，使得，由，可得，，由，，，即可求證，②延長至點(diǎn)，使得，由，可得，，導(dǎo)角得，由，可得，，作，，，通過勾股定理得到邊長間的關(guān)系，代入，即可求解，本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練應(yīng)用“倍長中線法”．【詳解】[方法儲備]解：在和中，，，，在中，，即：，，，，故答案為：，，[思考探究]解：延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，在和中，，，，，，，，在中，，而，，垂直平分，，故答案為：，[拓展延伸]解：①延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，在和中，，，，，，又，，，，又，，為等腰直角三角形，②如圖，延長至點(diǎn)，使得，連結(jié)，，，為中點(diǎn)，同上“倍長中線”方法可得，，，設(shè)，，，，，，，分別過，作，，，為垂足，，設(shè)，，，，，，，解得，，，故答案為：．13．問題再現(xiàn)：數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要的思想方法，借助這種方法可將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀，從而可以幫助我們快速解題，初中數(shù)學(xué)里的一些代數(shù)公式，很多都可以通過表示幾何圖形積的方法進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．如圖1，是一個(gè)重要公式的幾何解釋，請你寫出這個(gè)公式：如圖2，在中，，以的三邊長向外作正方形的面積分別為，試猜想之間存在的等量關(guān)系，直接寫出結(jié)論．如圖3，如果以的三邊長為直徑向外作半圓，那么第問的結(jié)論是否成立？請說明理由．如圖4，在中，，三邊分別為，分別以它的三邊為直徑向上作半圓，求圖4中陰影部分的面積．【答案】（1）；（2）；（3）結(jié)論仍成立，理由見詳解；（4）30【分析】（1）根據(jù)大正方形的面積等于兩個(gè)小正方形的面積加兩個(gè)長方形的面積即可得出答案；（2）分別求出三個(gè)正方形的面積，再用勾股定理求解即可；（3）分別求出三個(gè)半圓的面積，計(jì)算即可；（4）陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積．【詳解】解：（1）由正方形的面積可得出：；故答案為：；（2）由圖可得：,在直角三角形中有：∴；故答案為：；（3）結(jié)論仍成立，理由如下：由圖可得出：∴在直角三角形中有：∴．因此，結(jié)論仍成立．（4）由圖可知：陰影部分的面積為兩個(gè)小半圓的面積減去大的半圓的面積再加上三角形的面積，由（3）可知為兩個(gè)小半圓的面積等于大的半圓的面積，因此，陰影部分的面積等于三角形的面積，∵．【點(diǎn)睛】本題考查的知識點(diǎn)是勾股定理的拓展，巧妙利用數(shù)形結(jié)合思想方法，借助這種方法將抽象的數(shù)學(xué)知識變得直觀是解此題的關(guān)鍵．14．勾股定理是人類最偉大的十個(gè)科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一，西方國家稱之為畢達(dá)哥拉斯定理．在我國古書《周髀算經(jīng)》中就有“若勾三，股四，則弦五”的記載，我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（如圖1），后人稱之為“趙爽弦圖”，流傳至今．(1)①勾股定理的證明，人們已經(jīng)找到了400多種方法，請從下列幾種常見的證明方法中任選一種來證明該定理（以下圖形均滿足證明勾股定理所需的條件）；②如圖1，大正方形的面積是17，小正方形的面積是5，如果將如圖1中的四個(gè)全等的直角三角形按如圖2的形式擺放，求圖2中最大的正方形的面積．(2)如圖4、5、6，以直角三角形的三邊為邊或直徑，分別向外部作正方形、半圓、等邊三角形，這三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有______個(gè)；(3)如圖7所示，分別以直角三角形三邊為直徑作半圓，設(shè)圖中兩個(gè)月形圖案（圖中陰影部分）的面積分別為、，直角三角形面積為，請判斷、、的關(guān)系______．【答案】(1)①見解析；②(2)(3)【分析】（1）①將圖中各個(gè)幾何圖形的面積用兩種方法表示出來，再利用面積相等列等式證明即可；②圖1中：，，即可得，圖2中大正方形的面積為：，據(jù)此即可作答；（2）根據(jù)題意得：，再分別計(jì)算正方形、半圓形和等邊三角形的面積，即可完成求解；（3）結(jié)合題意，首先分別以a為直徑的半圓面積、以b為直徑的半圓面積、以c為直徑的半圓面積、三角形的面積，根據(jù)圖形特點(diǎn)表示出（+），結(jié)合勾股定理，即可得到答案．【詳解】（1）①證明：在圖1中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖2中，大正方形的面積等于四個(gè)全等的直角三角形的面積與中間小正方形面積的和．即，化簡得．在圖3中，梯形的面積等于三個(gè)直角三角形的面積的和．即，化簡得．②在圖1中：，，圖2中大正方形的面積為：，∵，，∴，，∴，∴圖2中大正方形的面積為29．（2）根據(jù)題意得：，如圖4：即有：，，，∴；如圖5：，，，∵，∴；如圖6：下面推導(dǎo)正三角形的面積公式：正的邊長為u，過頂點(diǎn)x作，V為垂足，如圖，在正中，有，，∵，∴，，∴在中，有，∴正的面積為：，∴，，∵∴；∴三個(gè)圖形中面積關(guān)系滿足的有3個(gè)故答案為：3；（3）關(guān)系：，理由如下：以a為直徑的半圓面積為：，以b為直徑的半圓面積為：，以c為直徑的半圓面積為：，三角形的面積為：，∴，即：，結(jié)合（1）的結(jié)論：∴．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、正方形、等邊三角形、圓面積計(jì)算的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理的性質(zhì)，從而完成求解．類型三、勾股定理在網(wǎng)格圖中的應(yīng)用15．在正方形網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形的邊長為，將其頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)．從一個(gè)格點(diǎn)運(yùn)動到與之相距的另一個(gè)格點(diǎn)之間的一次移動，因類似中國象棋中馬的“日”字型跳躍，故稱為一次“跳馬”變換．（1）如圖1，在4×4的正方形網(wǎng)格圖形中，從格點(diǎn)A經(jīng)過一次“跳馬”變換可以到達(dá)的格點(diǎn)為（填“B”“C”或“D”）；（2）如圖2，現(xiàn)有6×6的正方形網(wǎng)格圖形，若從該正方形的格點(diǎn)M經(jīng)過三次“跳馬變換到達(dá)格點(diǎn)N，則共有中不同的跳法．【答案】C12【分析】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，圓的概念等知識，根據(jù)網(wǎng)格的特征和勾股定理可求出，，，然后根據(jù)新定義判斷即可；以M為圓心，為半徑作，該圓經(jīng)過6個(gè)格點(diǎn)，然后再以每一個(gè)格點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，判斷此圓經(jīng)過的各點(diǎn)到N的距離是否等于即可．【詳解】解：∵，，，∴從格點(diǎn)A經(jīng)過一次“跳馬”變換可以到達(dá)的格點(diǎn)為C；以M為圓心，為半徑作，則經(jīng)過格點(diǎn)A、B、C、D、E、F、G、H，以A為圓心，為半徑作，則經(jīng)過6個(gè)格點(diǎn)，其中，，∴或兩種跳法符合“跳馬變換；以H為圓心，為半徑作，則經(jīng)過6個(gè)格點(diǎn)，每個(gè)格點(diǎn)到N的距離都不等于，故此種情況不存在；以G為圓心，為半徑作，則經(jīng)過6個(gè)格點(diǎn)，其中，，∴或兩種跳法符合“跳馬變換；以F為圓心，為半徑作，則經(jīng)過6個(gè)格點(diǎn)，其中，，∴或兩種跳法符合“跳馬變換；∴在左側(cè)的格點(diǎn)中有種，同理在右側(cè)格點(diǎn)中有6種，∴一共有種，故答案為：C，12．16．如圖，是由邊長為1的小正方形構(gòu)成的10×10網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)．五邊形ABCDE的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問題：（1）五邊形ABCDE的周長為．（2）在AB上找點(diǎn)F，使E，C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF對稱；（3）設(shè)DF交CE于點(diǎn)G，連接AG，直接寫出四邊形AEDG的面積；（4）在直線DF上找點(diǎn)H，使∠AHB＝135°．【答案】（1）;（2）見解析；（3）10；（4）見解析．【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出五邊形ABCDE各邊的長，相加即可；（2）連接EC，作DF⊥EC交AB于點(diǎn)F即可；（3）分成兩個(gè)三角形求面積即可；（4）利用等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：（1）由題意，，，，∴五邊形ABCDE的周長=20+，故答案為：．（2）如圖，連接EC，作DF⊥EC交AB于點(diǎn)F，點(diǎn)F即為所求作．∵，DF⊥EC，∴，∴點(diǎn)D，G是CE垂直平分線上的點(diǎn)，∴DF是CE的垂直平分線，∴E，C兩點(diǎn)關(guān)于直線DF對稱；（3）∵，，∴，∴是直角三角形；∴．（4）如圖，過點(diǎn)A作AH⊥DF于H，連接BH，則點(diǎn)H即為所求作．∵，，∴．∴是等腰直角三角形．∴．∴．【點(diǎn)睛】本題考查作圖-軸對稱變換，勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．17．【問題探究】

(1)構(gòu)造多邊形比較無理數(shù)大?。涸趫D1的正方形方格紙中（每個(gè)小正方形的邊長都為1），線段的長度為，線段的長度為．①請結(jié)合圖1，試說明；②在圖2中，請嘗試構(gòu)造三角形，比較與的大??；③在圖3中，請嘗試構(gòu)造四邊形，比較與的大??；【遷移運(yùn)用】(2)如圖4，線段，為線段上的任意一點(diǎn)，設(shè)線段．則是否有最小值？如果有，請求出最小值，并僅用無刻度的直尺在圖中標(biāo)出取最小值時(shí)點(diǎn)的位置；如果沒有，請說明理由．【答案】(1)①見解析；②圖見解析，；③圖見解析，(2)有最小值，最小值為10【分析】（1）①根據(jù)三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行判斷即可；②構(gòu)建邊長為，，的三角形即可判斷；③構(gòu)建邊長為，，，的四邊形，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系和不等式的性質(zhì)即可判斷；（2）設(shè)，故存在邊長為，2的直角三角形和邊長為，4的直角三角形，根據(jù)，邊長為和邊長為的兩條線段的和滿足，即可判斷這兩條邊在上，即可作圖，根據(jù)勾股定理求解即可．【詳解】（1）解：①在圖1的正方形方格紙中（每個(gè)小正方形的邊長都為1），線段的長度為，線段的長度為．故在中，，即；②如圖：在正方形方格紙中構(gòu)建，，，故在中，，即；

③如圖：在正方形方格紙中構(gòu)建，，，，連接，

故在中，，則，在中，，故，即；（2）解：有最小值；理由如下：設(shè)，則，如圖：

，當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，的值最小，∴的最小值，即的最小值為10．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系，勾股定理，最值問題等，解題的關(guān)鍵是借助數(shù)形結(jié)合的思想解決問題．18．如圖，由邊長為1的小正方形構(gòu)成的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上.請用無刻度尺按要求作圖：(1)在圖1中，作的高；(2)在圖2中作圖：①找一格點(diǎn)使，且；②連接，在上畫出一點(diǎn)，連，使將四邊形的面積平分．【答案】(1)見解析；(2)①見解析；②見解析．【分析】（1）根據(jù)三角形的高的定義畫出圖形即可；（2）①結(jié)合勾股定理和網(wǎng)格圖即可；②在上取格點(diǎn)，使，再取線段的中點(diǎn)，即可．【詳解】（1）如圖1，線段為所求；證明：取網(wǎng)格點(diǎn)M、N、P，連接PN、PB、AM，如圖，結(jié)合網(wǎng)格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN，∵∠PAM+∠MPA=90°，∴∠PBN+∠MPA=90°，∴在△PBH中，∠PHB=90°，即AH⊥BC，AH符合要求；（2）①如圖2，點(diǎn)為所求；②如圖2，點(diǎn)為所求．①證明：結(jié)合網(wǎng)格圖和勾股定理，可得，，即，，即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°，即有：AC⊥AD，，即D點(diǎn)滿足要求；②證明：由割補(bǔ)法，可求得的面積為，根據(jù)，則的面積，∴與的面積相等，根據(jù)網(wǎng)格作圖可知，線段的中點(diǎn)為，∴，∴，則線段平分四邊形的面積．【點(diǎn)睛】本題考查作圖?應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，三角形的高，中線等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題．19．提出問題：在4×4的正方形方格紙上，各個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形共有幾個(gè)？問題探究：為了解決上面的問題，我們先從最簡單的情形入手，從中找到解決問題的方法．探究一：在1×1的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取2個(gè)數(shù)值：1，，以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下一種情況：1、1、．當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×2=4個(gè)．故在1×1的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為4個(gè)．探究二：在2×2的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取5個(gè)數(shù)值：1，2，，，．以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下三種情況：1、1、；、、2；2、2、．（1）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×2=16個(gè)．（2）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，圖形中長為2的線段有6條，其中有4條在2×2正方形的四周上，每條這樣的線段對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有2條在2×2正方形的內(nèi)部，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有4×1+2×2=8個(gè)．（3）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×2=4個(gè)．故在2×2的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為16+8+4=28個(gè)．探究三：在3×3的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取個(gè)數(shù)值．以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下五種情況：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有18條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有18×2=36個(gè)．（2）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，圖形中長為2的線段有16條，其中有條在3×3正方形的四周上，每條這樣的線段對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有條在3×3正方形的內(nèi)部，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有個(gè)．（3）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×2=16個(gè)．（4）當(dāng)斜邊長為時(shí)，圖形中長為的線段有12條，其中有8條對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；有4條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16個(gè)．（5）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是3×3正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×2=4個(gè)．故在3×3的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)．問題解決：在4×4的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為個(gè)．拓展延伸：在2×2×1的長方體中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)（每個(gè)1×1×1小正方體的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)），并且以等腰直角三角形為底面的直三棱柱的個(gè)數(shù)為個(gè)．【答案】探究三：9，8，8，24，96；問題解決：244；拓展延伸：48【分析】問題解決：按探究一、二的規(guī)律，先確定所有線段，然后確定所有符合等腰直角三角形的邊長組合，再逐個(gè)確定每一個(gè)組合對應(yīng)的等腰直角三角形個(gè)數(shù)，進(jìn)而可確定等腰直角三角形的總個(gè)數(shù)．拓展延伸：在2×2×1的長方體中，只需要確定正面、側(cè)面、上面所有的等腰三角形的個(gè)數(shù)即可得到答案．【詳解】解：探究三：在3×3的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取9個(gè)數(shù)值：。以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下五種情況：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、．（1）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有18條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有18×2=36個(gè)．（2）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，圖形中長為2的線段有16條，其中有8條在3×3正方形的四周上，每條這樣的線段對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有8條在3×3正方形的內(nèi)部，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有24個(gè)．（3）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×2=16個(gè)．（4）當(dāng)斜邊長為時(shí)，圖形中長為的線段有12條，其中有8條對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；有4條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×1+4×2=16個(gè)．（5）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是3×3正方形的對角線，這樣的線段有2條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有2×2=4個(gè)．故在3×3的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為96個(gè)．問題解決：在4×4的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取14個(gè)數(shù)值：這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下八種情況：1、1、；、、2；2、2、；、、；3、3、；、、4；、、；4、4、．（1）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有32條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有32×2=64個(gè)．（2）當(dāng)斜邊長為2時(shí)，圖形中長為2的線段有30條，其中有12條在4×4正方形的四周上，每條這樣的線段對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有18條在4×4正方形的內(nèi)部，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有12+36=48個(gè)．（3）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是2×2正方形的對角線，這樣的線段有18條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有18×2=36個(gè)．（4）當(dāng)斜邊長為時(shí)，圖形中長為的線段有32條，其中有16條對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；有16條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有16×1+16×2=48個(gè)．（5）當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是3×3正方形的對角線，這樣的線段有8條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8×2=16個(gè)．（6）當(dāng)斜邊長為4時(shí)，圖形中長為4的線段有10條，其中有8條每條對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有2條每條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8+4=12個(gè)．（7）當(dāng)斜邊長為時(shí)，圖形中長為的線段有12條，其中有8條每條對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形；另有4條每條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有8+8=16個(gè)．（8）當(dāng)斜邊長為時(shí)，圖形中長為的線段有2條，每條對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有4個(gè)．故在4×4的正方形方格紙上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的等腰直角三角形的個(gè)數(shù)為：64+48+36+48+16+12+16+4=244個(gè)．拓展延伸：在2×2×1的長方體中：（1）在正面的2×1的方格上，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的線段長度可取3個(gè)數(shù)值：1，,2．以這些線段組成的等腰直角三角形按三邊長來考慮可以分為以下兩種情況：1、1、；、、2．當(dāng)斜邊長為時(shí)，斜邊一定是1×1正方形的對角線，這樣的線段有4條，每條這樣的線段對應(yīng)著兩個(gè)等腰直角三角形，共有4×2=8個(gè)；當(dāng)斜邊長為2時(shí)，長為2的線段有2條，每條這樣的線段對應(yīng)著一個(gè)等腰直角三角形，共有2個(gè)；故正面共有10個(gè)等腰直角三角形．（2）在側(cè)面的2×1的方格上，等腰直角三角形的個(gè)數(shù)與（1）相同，共10個(gè)。（3）在上面的2×2的方格上，由探究二得知有28個(gè)等腰直角三角形．故在2×2×1的長方體中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)（每個(gè)1×1×1小正方體的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)），并且以等腰直角三角形為底面的直三棱柱的個(gè)數(shù)為48個(gè)．【點(diǎn)睛】本題考查規(guī)律探索，并按規(guī)律解決問題，懂得按題意研究和總結(jié)規(guī)律，并按規(guī)律解決問題是解題的關(guān)鍵．20．現(xiàn)場學(xué)習(xí)題：問題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長分別為、、，求這個(gè)三角形的面積．小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為1），再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖1所示．這樣不需求△ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積．

（1）請你將△ABC的面積直接填寫在橫線上．思維拓展：（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法．若△ABC三邊的長分別為、、（a＞0），請利用圖2的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長為a）畫出相應(yīng)的△ABC，并求出它的面積是：．【答案】（1）2.5；（2）見解析，3a2【分析】（1）把△ABC所在長方形畫出來，再用矩形的面積減去周圍多余三角形的面積即可（2）是直角邊長為a、a的直角三角形的斜邊；是直角邊長為4a，2a的直角三角形的斜邊；是直角邊長為a，5a的直角三角形的斜邊，把它整理為一個(gè)矩形的面積減去三個(gè)直角三角形的面積．【詳解】（1）S△ABC＝4×2﹣×4×1﹣×1×1﹣×2×3＝2.5；（2）S△ABC＝5a×2a﹣×a×a﹣×2a×4a﹣×a×5a＝3a2；故答案為：2.5；3a2．

【點(diǎn)睛】此題考查在網(wǎng)格中畫圖，勾股定理計(jì)算邊長，構(gòu)建矩形求網(wǎng)格中三角形的面積，根據(jù)三角形三邊的長度在網(wǎng)格中畫出三角形是關(guān)鍵，需掌握直角三角形的勾股數(shù)才能正確畫圖.類型四、折疊背景下的勾股定理應(yīng)用21．如圖，在等腰中，，，點(diǎn)和分別是和上兩點(diǎn)，連接，將沿折疊，得到，點(diǎn)恰好落在的中點(diǎn)處，與交于點(diǎn)，則折痕的長度為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】在Rt中，求出，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，求得，在中，求出，過點(diǎn)怍于點(diǎn)，則，設(shè)，則，在Rt中，，可求，在Rt中，，可求，則．【詳解】解∶由折疊可知，，等腰Rt中，，，是的中點(diǎn)，，在Rt中，，，設(shè)，則，在中，，，，在Rt中，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，，，設(shè)，則，在Rt中，，在Rt中，，，，，故選∶C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理與折疊問題，等腰三角形的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．22．如圖，在中，，以各邊為斜邊分別向外作等腰、等腰、等腰，將等腰和等腰按如圖方式疊放到等腰中，已知，，則長為（

）A．2 B． C．6 D．8【答案】D【分析】設(shè)AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，由勾股定理可求a2+b2＝c2，由，可求b＝4，即可求解．【詳解】解：設(shè)AD＝DB＝a，AF＝CF＝b，BE＝CE＝c，∴ABa，ACb，BCc，∵∠BAC＝90°，∴AB2+AC2＝BC2，∴2a2+2b2＝2c2，∴a2+b2＝c2，∵將等腰Rt△ADB和等腰Rt△AFC按如圖方式疊放到等腰Rt△BEC，∴BG＝GH＝a，∵，∴（a+c）（c﹣a）＝16，∴c2﹣a2＝32，∴b2＝32，∴b＝4，∴ACb＝8，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，折疊的性質(zhì)，利用整體思想解決問題是本題的關(guān)鍵．23．如圖，在中，，D在上，將沿直線翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，如果，那么的面積是．【答案】1【分析】先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=2，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到∠BAC=30°，在根據(jù)折疊的性質(zhì)得BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，由于AD⊥ED得，所以∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中可計(jì)算出，，則，在RtDEF中計(jì)算出，，然后利用計(jì)算即可．【詳解】解：∵∠C=90°，AC=，BC=1，∴，∴∠BAC=30°，∵ADB沿直線BD翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)E處，∴BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∵AD⊥ED，∴，∴∠CBF=∠BED=30°，在RtBCF中，，，∴，在RtDEF中，，，∴．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，含30度的直角三角形三邊的關(guān)系，平行線的性質(zhì)及折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)線段相等；對應(yīng)角相等．24．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，將邊AC沿CE翻折，使點(diǎn)A落在AB上的點(diǎn)D處，再將邊BC沿CF翻折，使點(diǎn)B落在CD的延長線上的點(diǎn)B'處，兩條折痕與斜邊AB分別交于點(diǎn)E，F(xiàn)，則的面積為．【答案】/【分析】根據(jù)折疊性質(zhì)和余角定理可知△CEF是等腰直角三角形，△B′FD是直角三角形，運(yùn)用勾股定理求出DF和B′F的值，再求出∠B′FD是直角，即可得出B′DF的面積．【詳解】解：連接DF，如圖：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，CD＝AC＝3，B′C＝BC＝4，∠ACE＝∠DCE，∠BCF＝∠B′CF，CE⊥AB，∴B′D＝4﹣3＝1，∠DCE+∠B′CF＝∠ACE+∠BCF，∵∠ACB＝90°，∴∠ECF＝45°，∴△ECF是等腰直角三角形，∴EF＝CE，∠EFC＝45°，∴∠BFC＝∠B′FC＝135°，∴∠B′FD＝90°，∵S△ABC＝AC?BC＝AB?CE，∴AC?BC＝AB?CE，∵根據(jù)勾股定理求得AB＝5，∴CE＝，∴EF＝，ED＝AE＝＝，∴AD＝2×＝，DF＝EF﹣ED＝，∴B'F＝BF＝AB﹣AD﹣DF＝，∵∠B＝∠B′，∠A＝∠CDE＝∠B′DF，又∵∠A+∠B＝90°，∴∠B′+∠B′DF＝90°，∴∠B′FD＝180°﹣（∠B′+∠B′DF）＝180°﹣90°＝90°，∴S△B′DF＝DF?B′F＝×＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了折疊性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握折疊性質(zhì)及勾股定理，運(yùn)用等面積法求出CE的值．25．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°．點(diǎn)E是BC上的一點(diǎn)，D為AC中點(diǎn)，連接ED，將△CED沿ED翻折，得到△EDC′，連接AC′，BC′．若DC′⊥AB，AC′＝2，則△ABC的面積為．【答案】【分析】設(shè)AB與C′D交于O點(diǎn)，根據(jù)等腰直角三角形以及折疊找到三角形AOC′的三邊關(guān)系利用勾股定理計(jì)算即可.【詳解】∵等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，D為AC中點(diǎn)∴DB=DC=DA，∠BAD=45°∵將△CED沿ED翻折，得到△EDC′，∴DC=DC′設(shè)DB=DC=DA=DC′=x∵DC′⊥AB∴△AOD是等腰直角三角形∴∴在Rt△AOC′中，∵AC′＝2∴解得∴故答案為【點(diǎn)睛】本題綜合考察勾股定理與等腰直角三角形，解題過程中與二次根式有關(guān)的運(yùn)算也是解題的關(guān)鍵.26．如圖，長方形中，，，點(diǎn)P在邊上（不含端點(diǎn)B，C），直線與的延長線交于點(diǎn)E．(1)當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，的長為，的長為；(2)將沿直線折疊得到，點(diǎn)落在長方形的內(nèi)部，延長交直線于點(diǎn)．①在（1）的條件下，求出的長；（小陳不完整的求解過程如下，請你幫他補(bǔ)充完整．）（只需在答題卡對應(yīng)區(qū)域?qū)懗鍪Ｓ嗲蠼膺^程）②連接，求周長的最小值．【答案】(1)，3(2)①；②6【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)，可得，，利用即可證明，得到；（2）①設(shè)，則，，在中，由勾股定理得，即；②可得的周長，當(dāng)點(diǎn)恰好位于對角線上時(shí)，最小，在中，由勾股定理得，則的最小值，即可得周長的最小值．【詳解】（1）∵當(dāng)點(diǎn)P是的中點(diǎn)時(shí)，∴，∴，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，∴，∴，故答案為：；．（2）①由折疊得，，，設(shè)，則，，在中，，，解得，即；②由折疊得，，的周長，連接，，由兩點(diǎn)之間線段最短可知，當(dāng)點(diǎn)恰好位于對角線上時(shí)，最?。B接，在中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了折疊的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，掌握折疊是一種軸對稱，折疊前后的圖形對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊相等，靈活運(yùn)用相關(guān)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．如圖①，在長方形ABCD中，已知AB=13，AD=5，動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿線段DC向終點(diǎn)C運(yùn)動，運(yùn)動時(shí)間為t秒，連接AP，把△ADP沿著AP翻折得到△AEP．（注：長方形的對邊平行且相等，四個(gè)角都是直角）(1)如圖②，射線PE恰好經(jīng)過點(diǎn)B，求出此時(shí)t的值；(2)當(dāng)射線PE與邊AB交于點(diǎn)F時(shí)，是否存在這樣的t的值，使得FE=FB？若存在，請求出所有符合題意的t的值；若不存在，請說明理由；(3)在動點(diǎn)P從點(diǎn)D到點(diǎn)C的整個(gè)運(yùn)動過程中，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，則此時(shí)t=___________．【答案】(1)1(2)或13(3)或10【分析】（1）由長方形性質(zhì)得知，，，，再證，則，然后由勾股定理得，則，由此得出結(jié)論．（2）分兩種情況：E在矩形內(nèi)部和外部兩種情況，分別根據(jù)等量關(guān)系列出方程即可解答．（3）分兩種情況：E在AB上方和下方兩種情況，由折疊性質(zhì)與勾股定理即可解答．【詳解】（1）四邊形ABCD是長方形，，，，，，由翻折性質(zhì)可知：，，在中，由勾股定理得：，，，．（2）存在，分兩種情況：如圖③，當(dāng)點(diǎn)E在長方形內(nèi)部時(shí)：作于G，設(shè)，則由翻折可知，，在中，由勾股定理可得：，即，解得：，即，在與中：，解得：．如圖④，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動至與點(diǎn)C重合時(shí)，在與中：，．綜上，當(dāng)或時(shí)，有．（3）過點(diǎn)E作交AB于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)N．如圖⑤，點(diǎn)E在長方形內(nèi)部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：如圖⑥，點(diǎn)E在長方形外部：則，在中，由勾股定理得：在中，由勾股定理得：，即解得：綜上，若點(diǎn)E到直線AB的距離等于3，或．【點(diǎn)睛】本題是幾何綜合題目，考查了軸對稱的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的判定等知識，綜合性強(qiáng)，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)及勾股定理，進(jìn)行分類討論解題是本題的解題關(guān)鍵．28．折疊問題是幾何變換常見的數(shù)學(xué)問題，其本質(zhì)是軸對稱圖形，而長方形的折疊又往往會與勾股定理相關(guān)聯(lián)．?dāng)?shù)學(xué)活動課上，同學(xué)們以“折疊”為主題開展了數(shù)學(xué)活動：在長方形紙片中，，，點(diǎn)M在邊上，．【活動探究1】（1）如圖1，將長方形紙片沿折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)處，與交于點(diǎn)E，求線段的長．【活動探究2】（2）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上將紙片左邊部分沿折疊，使恰好落在直線上，點(diǎn)C，D的對稱點(diǎn)為，．①求折痕的長；②連接，求的長．【答案】（1）（2）①②【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，求得，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；（2）①根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，求得，由（1）知，，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；②如圖，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)定理和勾股定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）∵將長方形紙片沿折疊，，∵解得（2）①：將紙片左邊部分沿折疊，使恰好落在直線上，∴，∵，∴，∴，∴，由（1）知，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；②如圖2，

∵，∴，∴，有【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握各性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．類型五、應(yīng)用勾股定理證明線段的平方關(guān)系29．定義：若一個(gè)三角形存在兩邊平方和等于第三邊平方的3倍，則稱此三角形為“平方倍三角形”．（1）若一個(gè)三角形的三邊長分別是，和2，次三角形是否為平方倍三角形？請你作出判斷并說明理由；（2）若一個(gè)直角三角形是平方倍三角形，求該直角三角形的三邊之比（結(jié)果按從小到大的順序排列）；（3）如圖，中，，，為的中線，若是平方倍三角形，求的面積．【答案】（1）此三角形是平方倍三角形，理由見詳解；（2）1：1：；（3）或【分析】（1）根據(jù)平方倍三角形的定義判斷，即可；（2）結(jié)合勾股定理和平方倍三角形的定義，列出等式，進(jìn)而即可得到答案；（3）先根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可設(shè)：CD=AB=AD=BD=x，再根據(jù)平方倍三角形的定義，分兩種情況：①當(dāng)，②當(dāng)，分別求解，即可．【詳解】（1）此三角形是平方倍三角形，理由如下：∵，滿足是平方倍三角形的定義，∴三邊長分別是，和2的三角形是平方倍三角形；（2）在Rt?ABC中，如圖所示，則①，∵Rt?ABC是平方倍三角形，∴②，把①代入②得：，即：a=b，把a(bǔ)=b代入①得：c=，∴該直角三角形的三邊之比=1：1：；（3）∵中，，為的中線，∴CD=AB=AD=BD，設(shè)CD=AB=AD=BD=x，則AB=2x，∵AB＞BC，∴2x＞5，即：x＞，∵是平方倍三角形，①當(dāng)，則，解得：，∴AB=2x=，AC=，∴的面積=，②當(dāng)，則，解得：，∴AB=2x=，AC=，∴的面積=，綜上所述，的面積為或．【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理、平方倍三角形的定義，熟練掌握勾股定理以及分類討論的思想方法，是解題的關(guān)鍵．30．如圖，△ABC中AC=BC，點(diǎn)D，E在AB邊上，連接CD，CE．(1)如圖1，如果∠ACB=90°，把線段CD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CF，連接BF，①求證：△ACD≌△BCF；②若∠DCE=45°，求證：DE2=AD2+BE2；(2)如圖2，如果∠ACB=60°，∠DCE=30°，用等式表示AD，DE，BE三條線段的數(shù)量關(guān)系，說明理由．

【答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）DE2=EB2+AD2+EB·AD，證明詳見解析【分析】（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=CD，∠DCF=90°，再根據(jù)已知條件即可證明△ACD≌△BCF；②連接EF，根據(jù)①中全等三角形的性質(zhì)可得∠EBF=90°，再證明△DCE≌△FCE得到EF=DE即可證明；（2）根據(jù)（1）中的思路作出輔助線，通過全等三角形的判定及性質(zhì)得出相等的邊，再由勾股定理得出AD，DE，BE之間的關(guān)系．【詳解】解：（1）①證明：由旋轉(zhuǎn)可得CF=CD，∠DCF=90°∵∠ACD=90°∴∠ACD=∠BCF又∵AC=BC∴△ACD≌△BCF②證明：連接EF，由①知△ACD≌△BCF∴∠CBF=∠CAD=∠CBA=45°，∠BCF=∠ACD，BF=AD∴∠EBF=90°∴EF2=BE2+BF2，∴EF2=BE2+AD2又∵∠ACB=∠DCF=90°，∠CDE=45°∴∠FCE=∠DCE=45°又∵CD=CF，CE=CE∴△DCE≌△FCE∴EF=DE∴DE2=AD2+BE2

⑵DE2=EB2+AD2+EB·AD理由：如圖2，將△ADC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，得到△CBF，過點(diǎn)F作FG⊥AB，交AB的延長線于點(diǎn)G，連接EF，∴∠CBE=∠CAD，∠BCF=∠ACD，BF=AD∵AC=BC，∠ACB=60°∴∠CAB=∠CBA=60°∴∠ABE=120°，∠EBF=60°，∠BFG=30°∴BG=BF，F(xiàn)G=BF∵∠ACB=60°，∠DCE=30°，∴∠ACD+∠BCE=30°，∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=30°∵CD=CF，CE=CE∴△ECF≌△ECD∴EF=ED在Rt△EFG中，EF2=FG2+EG2又∵EG=EB+BG∴EG=EB+BF，∴EF2=（EB+BF）2+（BF）2∴DE2=（EB+AD）2+（AD）2∴DE2=EB2+AD2+EB·AD

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與旋轉(zhuǎn)模型，解題的關(guān)鍵是找出全等三角形，轉(zhuǎn)換線段，并通過勾股定理的計(jì)算得出線段之間的關(guān)系．31．如圖1，中，，D，E是直線上兩動點(diǎn)，且．探究線段、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系：小明的思路是：如圖2，將沿折疊，得，連接，看能否將三條線段轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，…請你參照小明的思路，探究并解決下列問題：(1)猜想、、三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(2)如圖3，當(dāng)動點(diǎn)在線段上，動點(diǎn)運(yùn)動在線段延長線上時(shí)，其它條件不變，（1）中探究的結(jié)論是否發(fā)生改變？請說明你的猜想并給予證明．【答案】(1)(2)不變，，證明見詳解【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）通過證明，得到，在中，有，即；（2）作，且截取，連接，連接，先證明，再證明，則，在中，，即．【詳解】（1）解：，∵中，，∴，將沿折疊，得，連接∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴在中，有，即．（2）解：結(jié)論不變，作，且截取，連接，連接，∵，∴，，又，，，，，又，，，，，，在中，，即．32．我們定義：兩邊平方和等于第三邊平方的兩倍的三角形叫做“奇異三角形”．（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”

是命題．(填寫“真命題、假命題”)（2）在RtΔABC中，∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtΔABC是“奇異三角形”，則a：b：c＝．（3）如圖，在四邊形ACBD中，∠ACB=∠ADB=90°，AD=BD，若在四邊形ACBD內(nèi)存在點(diǎn)E使得AE＝AD，CB＝CE．①求證：ΔACE是“奇異三角形”；②當(dāng)ΔACE是直角三角形時(shí)，且AC＝，求線段AB的長．【答案】（1）真；（2）；（3）①證明見解析；②或．【分析】（1）等邊三角形三邊長相等，可判斷符合“奇異三角形”定義；（2）先根據(jù)勾股定理，可得出a、b、c的關(guān)系，再根據(jù)“奇異三角形”可得出a、b、c的關(guān)系，化簡可求得a：b：c的值；（3）①先在Rt△ABD和Rt△ACB中，利用勾股定理得出邊的關(guān)系，再利用邊長之間的轉(zhuǎn)化，推導(dǎo)得出△ACE是“奇異三角形”；②設(shè)BC=a，AD=b，根據(jù)“奇異三角形”ACE，可得出a、b之間的關(guān)系，在Rt△ACE中，利用勾股定理也可得a、b的關(guān)系式，從而求出a、b的值，進(jìn)而得出AB的長．【詳解】（1）設(shè)等邊三角形的邊長為a則兩邊平方和=，第三邊平方的兩倍為：2∵2∴結(jié)論為：真；（2）∵△ABC是直角三角形，∴∵△ABC是“奇異三角形”，∴化簡得：，解得b=，c=∴a：b：c＝；（3）①證明：，是“奇異三角形”②設(shè)，由①得：為直角三角形或當(dāng)時(shí)由上述得當(dāng)時(shí)由上述得或【點(diǎn)睛】本題考查勾股定理和一種新的定義的理解，解題關(guān)鍵是結(jié)合勾股定理和“奇異三角形”的定義，得出邊長之間的關(guān)系，推導(dǎo)來求解．33．如圖，在等腰直角中，，D是線段上一點(diǎn)（），連接，過點(diǎn)C作的垂線，交的延長線于點(diǎn)E，交的延長線于點(diǎn)F.（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）若，求的大?。ㄓ煤氖阶颖硎荆?；（3）若點(diǎn)G在線段上，，連接.①判斷與的位置關(guān)系并證明；②用等式表示之間的數(shù)量關(guān)系.

【答案】（1）補(bǔ)全圖形，如圖見解析；（2）；（3）①DG與BC的位置關(guān)系:DG⊥BC.見解析；②2CG2=DG2+AB2.【分析】（1）根據(jù)題意畫出圖形解答即可；（2）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可；（3）①根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的判定解答即可；如圖：構(gòu)造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等證明△PGD為直角三角形，PG=AB即可得到結(jié)論.【詳解】解：（1）補(bǔ)全圖形，如圖所示：

（2），，，，，交BD的延長線于點(diǎn)E，，，，；（3）①與BC的位置關(guān)系：，證明如下：連接BG交AC于點(diǎn)M，延長GD交BC于點(diǎn)H，如圖2，

，，，≌，，，，，，，，，；②如圖：作等腰Rt△BPD，連接PG、PD，

由①得BG⊥AC，∠PBD=90°，∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°，∴∠ADB=∠GBP，在△ADB和△GBP中，,∴△ADB≌△GBP（SAS），∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°，由①得，∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD為直角三角形，∴PD2+DG2=PD2∵PD2=2BD2,BD=CG∴【點(diǎn)睛】此題是三角形綜合題，主要根據(jù)等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，構(gòu)造出全等三角形解答．34．如圖，在中，，，．(1)如圖1，求的長；(2)如圖2，，與交于點(diǎn)，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接，是右側(cè)一點(diǎn)，且，，連接、，是的中點(diǎn)．探究、和之間的數(shù)量關(guān)系并證明；(3)如圖3，動點(diǎn)由點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度在射線上勻速運(yùn)動，同時(shí)動點(diǎn)也從出發(fā)，在射線上以每秒個(gè)單位的速度勻速運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時(shí)間為秒（），當(dāng)點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，求的值．【答案】(1)(2)；見解析(3)或【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)與判定；（1）過作的垂線，垂足是，在中，設(shè)，根據(jù)勾股定理得出，進(jìn)而得出，在中，勾股定理，即可求解；（2）先證明，進(jìn)而證明，得出，同理，則，在，，根據(jù)勾股定理得出，，即可得出結(jié)論；（3）過作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，則，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，證明，根據(jù)，建立方程，解方程，即可求解．②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，同理，即可求解．【詳解】（1）解：過作的垂線，垂足是，在中，∵，∴，∴，∴，設(shè)，在中，，，∵，∴，∴，在中．（2）∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，同理，∴，在中，，在中，，∴（3）解：過作于點(diǎn)，作于點(diǎn)，作，與交于點(diǎn)，則，①當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，如圖，∵，，∴，∴，∴，∵，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即，∴；②當(dāng)點(diǎn)在的延長線上時(shí)，如圖，則，∵，∴，∴，綜上，當(dāng)點(diǎn)到直線的距離等于時(shí)，或．類型六、勾股定理的證明35．本學(xué)期我們接觸到了幾何學(xué)上的明珠——勾股定理．千百年來，人們對它的證明趨之若鶩，其中有著名的數(shù)學(xué)家，也有業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者，有普通的老百姓，也有國家總統(tǒng)，下面試舉三例，一起領(lǐng)略其魅力．(1)【驗(yàn)證】圖1是由兩個(gè)邊長分別為、、的直角三角形和一個(gè)兩條直角邊都是的直角三角形拼成，試用兩種不同的方法表示這個(gè)圖形的面積，通過計(jì)算證明勾股定理；(2)【應(yīng)用】如圖2，和都是等邊三角形，點(diǎn)在內(nèi)部，連接、、．若，，，求的長；(3)【提升】如圖，在一般三角形中，，，，是邊的中線．在一般三角形中，如何用、、表示．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】本題主要考查了全等三角形性質(zhì)和判定，勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用運(yùn)用這些知識．（1）利用梯形面積公式和圖形由三個(gè)直角三角形拼成表示出面積，再簡單計(jì)算即可；（2）先證明，進(jìn)而可得，由可證明，在中，求即可解答；（3）由是邊的中線，可得，設(shè)，則，，由勾股定理得：，，即，可得，進(jìn)而得到，，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．【詳解】（1）解：，，，，；（2）和都是等邊三角形，，，，，即，在和中，，，，，，，，；（3）過點(diǎn)作于點(diǎn)，是邊的中線，，設(shè)，則，，由勾股定理得：，，即，得：，，，，，即，．36．【材料閱讀】我國古人對勾股定理的研究非常深邃．如圖1，已知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），由勾股定理：，得，則，得到：．從而得到了勾股定理的推論：己知直角三角形三邊長為a，b，c（c為斜邊），則【問題解決】如圖2，已知的三邊長分別為，如何計(jì)算的面積？據(jù)記載，古人是這樣計(jì)算的：作邊上的高．以的長為斜邊和直角邊作（如圖3），其中．

(1)用古人的方法計(jì)算的值，完成下面的填空：=[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）]=__________(2)試直接利用閱讀材料中勾股定理的推論繼續(xù)完成面積的計(jì)算過程；(3)你還有其他計(jì)算的面積的方法嗎？寫出解答過程．【答案】(1)(2)見解析(3)見解析【分析】本題考查了勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．（1）由題中勾股定理的推論將空格補(bǔ)充完整即可；（2）根據(jù)材料中勾股定理的推論，完成面積的計(jì)算過程即可；（3）設(shè)，根據(jù)勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面積公式求解即可．【詳解】（1）故答案為：；（2）在中，由勾股定理的推論，可知：．∵，∴，∴，在中，，∴，∴；（3）如圖2，設(shè)，由勾股定理，得，，解得，，∴，∴．37．經(jīng)典證明：歐幾里得在《原本》中證明勾股定理的思路如下：如圖1，首先分別以三邊為邊長作正方形，正方形，正方形．過點(diǎn)C作的垂線，交于點(diǎn)D，交于點(diǎn)G，然后證明正方形的面積與長方形的面積相等，正方形的面積與長方形的面積相等，最后得出正方形的面積等于正方形與正方形的面積之和，從而完成勾股定理的證明．方法點(diǎn)撥：如圖2，連接、，可證明，從而得到，利用平行線的相關(guān)性質(zhì)可以得到，，于是得到……．

問題解決：(1)請你結(jié)合“經(jīng)典證明”的思路與“方法點(diǎn)撥”證明勾股定理．(2)如圖3，將放在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C均落在格點(diǎn)上．請?jiān)诰W(wǎng)格中，只用無刻度的直尺，畫出一個(gè)以為一邊的長方形，使該長方形的面積等于，井簡要說明畫圖方法（保留畫圖痕跡，無需證明）【答案】(1)證明見解析(2)畫圖見解析【分析】（1）過點(diǎn)C作的垂線，分別交和于點(diǎn)，．連接，，再結(jié)合全等三角形的性質(zhì)與平行線的性質(zhì)證明，，，，，，從而可得結(jié)論；（2）分別以、、為一邊作正方形，正方形，正方形；延長交于點(diǎn)Q，連接，平移至，位置，直線分別交，于點(diǎn)T，S，則四邊形即為所求．【詳解】（1）證明：過點(diǎn)C作的垂線，分別交和于點(diǎn)，．連接，，

∵，∴，∴，，∵四邊形是正方形，四邊形是長方形，∴，，∴，同理可得：，∴，，∴，∵，∴．（2）分別以、、為一邊作正方形，正方形，正方形；延長交于點(diǎn)Q，連接，平移至，位置，直線分別交，于點(diǎn)T，S，則四邊形即為所求，如圖，

．

【點(diǎn)睛】本題考查的是全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理的證明，復(fù)雜作圖，熟練的利用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問題是關(guān)鍵．38．如圖1，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)大正方形，中間是個(gè)小正方形，這個(gè)圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時(shí)給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在弦圖中（如圖2），連接，并延長交于點(diǎn)K，連接．若，則的長為（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)K作，與的延長線交于點(diǎn)M，由圖形關(guān)系求得，再求得，，求得與，進(jìn)而由勾股定理求得結(jié)果．【詳解】解：過點(diǎn)K作，與的延長線交于點(diǎn)M，∵，，∴，∵是正方形，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，，，∵，∴，又∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴中，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是構(gòu)造直角三角形．類型七、勾股定理與弦圖39．如圖，四個(gè)全等的直角三角形圍成一個(gè)正方形ABCD和正方形EFGH，即趙爽弦圖，連接AC，F(xiàn)N交EF，GH分別于點(diǎn)M，N已知AH=3DH，且S正方形ABCD，則圖中陰影部分的面積之和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用勾股定理求出DH和AH，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AE=DH=CG=，CG：FG=AE：EH=1:2，根據(jù)全等