第十四章動(dòng)能定理第一節(jié)力的功定義（2）功的單位為

J（焦耳），1

J=1

N·m（1）功為代數(shù)量從能量的角度來(lái)分析和處理質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題，主要用于求解速度（角速度）和加速度（角加速度）。一、常力在直線運(yùn)動(dòng)中的功為常力

F在路程

s

上作的功其中，

為力F

與位移

r正方向之間的夾角。說(shuō)明二、變力的功1.自然坐標(biāo)形式元功2.直角坐標(biāo)形式元功式中，F(xiàn)x、Fy、Fz

分別為力

F

在

x、y、z

軸上的投影?？偣偣θ追N常見(jiàn)力的功1.重力的功說(shuō)明式中，h

為重心的高度差（2）重力的功為狀態(tài)參量，與路徑無(wú)關(guān)。（1）重心下降作正功，上升作負(fù)功。說(shuō)明：2.彈性力的功彈性力式中，k

稱為彈簧的剛度系數(shù)。式中，

1=x1－x0、

2=x2－x0，分別為彈簧的初、末變形量。彈性力的功為狀態(tài)參量，與路徑無(wú)關(guān)。彈性力的功

3.繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力（力偶）的功若，則有[例1]如圖，兩等長(zhǎng)的桿

AC、BC在

C

處鉸接，并懸掛質(zhì)量為

m

的物塊

D。一剛度系數(shù)為

k

的彈簧連于兩桿的中點(diǎn)，彈簧的自然長(zhǎng)度

l0=

AC

/

2。若不計(jì)兩桿自重，試求當(dāng)

∠CAB

由

60°變?yōu)?/p>

30°時(shí)，作用與系統(tǒng)上的所有力所作的總功。解：1）物塊

D

的重力的功物塊

D

下降的高度差故得物塊

D

的重力的功2）彈性力的功彈簧的初變形量彈簧的末變形量彈性力的功故得作用于系統(tǒng)上的所有力所作的總功[例2]如圖，圓盤(pán)的半徑

r=0.5

m

，可繞水平軸

O

轉(zhuǎn)動(dòng)。在繞過(guò)圓盤(pán)的繩上懸掛兩物塊A、B，質(zhì)量

mA=3

kg、mB

=2

kg。在圓盤(pán)上作用一力偶，力偶矩按M=4

的規(guī)律變化（M以

N·m

計(jì)，

以

rad

計(jì)）。設(shè)繩與盤(pán)之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求轉(zhuǎn)角由

0

到

2

時(shí)，作用于系統(tǒng)上的所有力所作的總功。解：1）物塊的重力的功2）力偶的功故得作用于系統(tǒng)上的所有力所作的總功第二節(jié)動(dòng)能定義：一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能單位：J（焦耳），二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定義為質(zhì)點(diǎn)系中所有質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的總和，記作

T

，即三、剛體的動(dòng)能1.平移剛體2.繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體式中，Jz

為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸

z

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量3.平面運(yùn)動(dòng)剛體或者式中，JP為剛體對(duì)速度瞬心軸

P

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量JC為剛體對(duì)質(zhì)心軸

C

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量vC

為剛體的質(zhì)心

C的速度[例3]如圖，質(zhì)量為

m、長(zhǎng)為

l的勻質(zhì)桿繞定軸

O

擺動(dòng)，已知擺動(dòng)方程為

=

0sinbt

，其中

0

、b

為常數(shù)，試計(jì)算該桿在任一瞬時(shí)的動(dòng)能。解：桿件對(duì)軸

O

的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角速度故得該桿在任一瞬時(shí)的動(dòng)能[例4]如圖，定滑輪

B（可視為勻質(zhì)圓盤(pán)）和勻質(zhì)圓柱體

C

的質(zhì)量均為

m1、半徑均為

R，重物

A的質(zhì)量為

m2

，圓柱體

C沿傾角為

的斜面作純滾動(dòng)，已知重物

A

的速度為

v。假設(shè)繩與輪間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，并不計(jì)繩的質(zhì)量，試求系統(tǒng)的動(dòng)能。重物

A

平移，速度為

v滑輪

B繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，角速度為圓柱體

C

作平面運(yùn)動(dòng)，其質(zhì)心速度解：，角速度重物

A

的動(dòng)能滑輪

B

的動(dòng)能圓柱體

C

的動(dòng)能故系統(tǒng)的動(dòng)能第三節(jié)動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理1.微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功，即2.積分形式在質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的某段過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力所作的功，即二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理1.微分形式2.積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的增量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功的和，即在質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)的某段過(guò)程中，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力所作功的總和，即注意：為作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有外力和內(nèi)力所作功的總和[例1]如圖，質(zhì)量為

m

的物塊，自高度

h

處自由落下，落到下面有彈簧支撐的平板上。設(shè)平板的質(zhì)量為

m1，彈簧的剛度系數(shù)為k。若不計(jì)彈簧質(zhì)量，試求彈簧的最大壓縮量。解：以物塊下落時(shí)刻為初時(shí)刻，彈簧達(dá)最大壓縮量時(shí)為末時(shí)刻，運(yùn)用積分形式的動(dòng)能定理。1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻末時(shí)刻取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象2）計(jì)算所有力的總功物塊重力的功初時(shí)刻，彈簧在板的重力作用下有一初壓縮量末時(shí)刻，令彈簧的最大壓縮量為

max平板重力的功彈性力的功故得作用于質(zhì)點(diǎn)系上的全部力所作的總功3）計(jì)算彈簧的最大壓縮量根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的積分形式的動(dòng)能定理解得彈簧的最大壓縮量為[例2]如圖，勻質(zhì)輪Ⅰ的質(zhì)量為

m1，半徑為

r1，在勻質(zhì)曲柄的帶動(dòng)下沿半徑為

r2

的固定輪Ⅱ作純滾動(dòng)。曲柄

O1O2的質(zhì)量為

m2，長(zhǎng)

l

=r1+

r2。系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，曲柄上作用有一不變的力偶矩

M。初始時(shí)系統(tǒng)靜止。若不計(jì)各處摩擦，試求曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角

時(shí)，曲柄的角速度和角加速度。解：1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角

時(shí)，令曲柄

O1O2的的角速度為

，則輪Ⅰ的質(zhì)心速度輪Ⅰ的角速度取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象

1=

l

/

r1初時(shí)刻1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能曲柄

O1O2

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，輪Ⅰ作平面運(yùn)動(dòng)。當(dāng)曲柄轉(zhuǎn)過(guò)角

時(shí)，系統(tǒng)動(dòng)能為2）計(jì)算所有力的總功系統(tǒng)處于水平面內(nèi)，重力不作功，只有力偶

M

作功故作用于系統(tǒng)上的所有力的總功為3）計(jì)算曲柄的角速度和角加速度根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的積分形式的動(dòng)能定理解得曲柄的角速度為將上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間

t

求導(dǎo)，即得曲柄的角加速度解：1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻[例3]

卷?yè)P(yáng)機(jī)如圖，鼓輪

O

在常力偶矩

M

的作用下通過(guò)一根細(xì)繩將勻質(zhì)圓柱

C

由靜止開(kāi)始沿傾角為

的斜坡上拉。已知鼓輪的半徑為

r1、質(zhì)量為

m1、質(zhì)量集中分布于輪緣處；圓柱

C

的半徑為r2、質(zhì)量為

m2

。假設(shè)圓柱

C

沿斜坡只滾不滑，繩與鼓輪之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，試求當(dāng)圓柱中心

C

經(jīng)過(guò)路程

s

時(shí)的速度和加速度。鼓輪

O

繞定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，圓柱C

作平面運(yùn)動(dòng)當(dāng)圓柱中心

C

經(jīng)過(guò)路程

s

時(shí)圓柱的角速度令其速度為

vC

，則鼓輪的角速度取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻故當(dāng)圓柱中心

C

經(jīng)過(guò)路程

s時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)能為2）計(jì)算所有力的總功受力分析在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有圓柱C

的重力m2g和主動(dòng)力偶矩

M

作功，故得總功為3）計(jì)算圓柱中心

C

的速度和加速度根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的積分形式的動(dòng)能定理3）計(jì)算圓柱中心

C

的速度和加速度解得圓柱中心

C

的速度將上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間

t

求導(dǎo)，即得圓柱中心

C

的加速度[例4]

如圖，勻質(zhì)桿

AB

長(zhǎng)為

l

，質(zhì)量為

m1，B

端靠在光滑墻壁上，另一端

A

用光滑鉸鏈與勻質(zhì)圓輪的輪心

A

相連。已知圓輪的質(zhì)量為

m2，半徑為

R

，在水平面上作純滾動(dòng)。假設(shè)運(yùn)動(dòng)初始時(shí)系統(tǒng)靜止，AB

桿與水平線間的夾角

=

45°，試求輪心

A

在初瞬時(shí)的加速度。解：1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻桿和輪都作平面運(yùn)動(dòng)在任一時(shí)刻，AB

桿的速度瞬心為點(diǎn)

P令輪心

A

的速度為vA

，則有圓輪的角速度AB

桿的角速度取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻故在任一時(shí)刻，系統(tǒng)的動(dòng)能為2）計(jì)算所有力的總功受力分析在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有桿AB

的重力

m1g

作功，故總功為

3）計(jì)算輪心

A

在初瞬時(shí)的加速度根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的積分形式的動(dòng)能定理將上式兩邊同時(shí)對(duì)時(shí)間

t

求導(dǎo)，

并令即得輪心

A

在初瞬時(shí)的加速度注意到，解：1）計(jì)算動(dòng)能初時(shí)刻[例5]

如圖，長(zhǎng)為

l

、質(zhì)量為

m

的勻質(zhì)桿

AB靜止直立于光滑水平地面上。若桿受微小擾動(dòng)而自由倒下，試求桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的角速度和地面約束力。桿AB作平面運(yùn)動(dòng)。注意到，桿AB沿水平方向不受力，故由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定律可知，在桿倒下過(guò)程中，質(zhì)心

C將鉛直向下運(yùn)動(dòng)。同時(shí)，桿端

A

貼著地面水平向左運(yùn)動(dòng)。取桿

AB

為研究對(duì)象1）計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能初時(shí)刻在任一時(shí)刻，桿

AB

的速度瞬心為點(diǎn)

P令桿

AB

的角速度為

，刻，桿

AB

的動(dòng)能為則在任一時(shí)2）計(jì)算所有力的總功受力分析在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，只有桿AB

的重力作功，故有3）計(jì)算桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的角速度根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系的積分形式的動(dòng)能定理當(dāng)桿剛剛達(dá)到地面時(shí)，

=0，即得此時(shí)桿AB

的角速度4）計(jì)算桿剛剛達(dá)到地面時(shí)的地面約束力桿剛剛達(dá)到地面時(shí)，受力分析運(yùn)動(dòng)分析根據(jù)剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程由基點(diǎn)法，取點(diǎn)

A

為基點(diǎn)，質(zhì)心

C

的加速度將上式兩邊向

y

軸投影，得補(bǔ)充方程聯(lián)立解之，即得桿

AB剛剛達(dá)到地面時(shí)的地面約束力第四節(jié)功率、功率方程與機(jī)械效率一、功率1.功率的定義力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功，記作

P，即2）在國(guó)際單位制中，功率單位為W（瓦），1W=1J/s說(shuō)明：（ps

為公制馬力）（hp為英制馬力）1）功率為代數(shù)量，P

＞

0，輸入功率；P

＜

0，消耗功率2.功率的實(shí)用算式力的功率力偶矩的功率二、功率方程與機(jī)械效率1.功率方程質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能相對(duì)于時(shí)間的變化率等于質(zhì)點(diǎn)系上所有作用力的功率的代數(shù)和，即注意：功率方程中功率的正負(fù)號(hào)2.機(jī)器的功率方程對(duì)于機(jī)器，功率方程可改寫(xiě)為3.機(jī)器的機(jī)械效率機(jī)器在穩(wěn)定運(yùn)轉(zhuǎn)階段的有用功率與輸入功率比稱為機(jī)器的機(jī)械效率，記作

，即◆

任何機(jī)器的機(jī)械效率均小于

1解：[例6]已知車床的電動(dòng)機(jī)功率

P輸入=5.4kW，機(jī)械效率

=70%

，工件的直徑

d=100

mm，轉(zhuǎn)速

n=42

r/min，試問(wèn)允許切削力的最大值為多少？工件勻速轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，車床的有用功率故得允許切削力的最大值為解：[例7]如圖，用膠帶輸送機(jī)輸送物料，已知輸送速度

v

=1.26