1人教A版2019選擇性必修第三冊第八章《成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析》

在必修課程中，我們學(xué)習(xí)了單個(gè)變量的觀察數(shù)據(jù)的直觀表示和統(tǒng)計(jì)特征的刻畫等知識與方法．例如，用直方圖描述樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，用均值刻畫樣本數(shù)據(jù)的集中趨勢，用方差刻畫樣本數(shù)據(jù)的離散程度等．這些方法主要適用于通過樣本認(rèn)識單個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)規(guī)律．

在現(xiàn)實(shí)中，我們還經(jīng)常需要了解兩個(gè)或兩個(gè)以上變量之間的關(guān)系．例如，教育部門為掌握學(xué)生身體健康狀況，需要了解身高變量和體重變量之間的關(guān)系；醫(yī)療衛(wèi)生部門要制定預(yù)防青少年近視的措施，需要了解有哪些因素會(huì)影響視力，以及這些因素是如何影響視力的；商家要根據(jù)顧客的意見改進(jìn)服務(wù)水平，希望了解哪些因素影響服務(wù)水平，以及這些因素是如何起作用的；等等．

為此，我們需要進(jìn)一步學(xué)習(xí)通過樣本推斷變量之間關(guān)系的知識和方法．

本章的學(xué)習(xí)內(nèi)容有成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性、一元線性回歸模型和2×2列聯(lián)表等，這些知識與方法在解決實(shí)際問題中非常有用.可以發(fā)現(xiàn)，兩個(gè)隨機(jī)變量的相關(guān)性可以通過成對樣本數(shù)據(jù)進(jìn)行分析；利用一元線性回歸模型可以研究變量之間的隨機(jī)關(guān)系，進(jìn)行預(yù)測；利用2×2列聯(lián)表可以檢驗(yàn)兩個(gè)隨機(jī)變量的獨(dú)立性.

本章的學(xué)習(xí)對于提高我們解決實(shí)際問題的能力，提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模等素養(yǎng)都是非常有幫助的.

如果變量y是變量x的函數(shù)，那么由x就可以唯一確定y.然而，現(xiàn)實(shí)世界中還存在這樣的情況：兩個(gè)變量之間有關(guān)系，但密切程度又達(dá)不到函數(shù)關(guān)系的程度.例如，人的體重與身高存在關(guān)系，但由一個(gè)人的身高值并不能確定他的體重值.那么，該如何刻畫這兩個(gè)變量之間的關(guān)系呢?下面我們就來研究這個(gè)問題.8.1成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)相關(guān)性

我們知道，一個(gè)人的體重與他的身高有關(guān)系.一般而言，個(gè)子高的人往往體重值較大，個(gè)子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素.

例如生活中的飲食習(xí)慣、體育鍛煉、睡眠時(shí)間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系：8.1.1變量的相關(guān)關(guān)系

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在.例如：1.子女身高y與父親身高x之間的關(guān)系.一般來說，父親的個(gè)子高，其子女的個(gè)子也會(huì)比較高；父親個(gè)子矮，其子女的個(gè)子也會(huì)比較矮.但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結(jié)構(gòu)、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高.2.商品銷售收入y與廣告支出x之間的關(guān)系.一般來說，廣告支出越多，商品銷售收人越高.但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質(zhì)量、居民收入等因素有關(guān).

兩個(gè)變量具有相關(guān)關(guān)系的事例在現(xiàn)實(shí)中大量存在.例如：3.空氣污染指數(shù)y與汽車保有量x之間的關(guān)系.一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數(shù)會(huì)上升.但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業(yè)生產(chǎn)排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數(shù)的因素.4.糧食畝產(chǎn)量y與施肥量x之間的關(guān)系.在一定范圍內(nèi)，施肥量越大，糧食畝產(chǎn)量就越高.但施肥量并不是決定糧食畝產(chǎn)量的唯一因素，糧食畝產(chǎn)量還要受到土壤質(zhì)量、降水量、田間管理水平等因素的影響.

因?yàn)樵谙嚓P(guān)關(guān)系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法直接用函數(shù)去描述變量之間的這種關(guān)系.對上述各例中兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系，我們往往會(huì)根據(jù)自己以往積累的經(jīng)驗(yàn)作出推斷.“經(jīng)驗(yàn)之中有規(guī)律”，經(jīng)驗(yàn)的確可以為我們的決策提供一定的依據(jù)，但僅憑經(jīng)驗(yàn)推斷又有不足.例如，不同經(jīng)驗(yàn)的人對同一情形可能會(huì)得出不同結(jié)論，不是所有的情形都有經(jīng)驗(yàn)可循等.因此，在研究兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系時(shí)，我們需要借助數(shù)據(jù)說話，即通過樣本數(shù)據(jù)分析，從數(shù)據(jù)中提取信息，并構(gòu)建適當(dāng)?shù)哪Ｐ?，再利用模型進(jìn)行估計(jì)或推斷.

變量的相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系的區(qū)別和聯(lián)系：相同點(diǎn)：兩者均是兩個(gè)變量之間的關(guān)系；不同點(diǎn)：①函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，如勻速直線運(yùn)動(dòng)中時(shí)間t與路程s的關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定的關(guān)系，如一塊農(nóng)田的小麥產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系；②函數(shù)關(guān)系是兩個(gè)隨機(jī)變量之間的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系是非隨機(jī)變量與隨機(jī)變量之間的關(guān)系；③函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．練習(xí)：下列關(guān)系中，屬于相關(guān)關(guān)系的是__________①正方形的邊長與面積之間的關(guān)系②農(nóng)作物的產(chǎn)量與施肥量之間的關(guān)系③出租車打車費(fèi)與行駛的里程④降雪量與交通事故的發(fā)生率之間的關(guān)系②④兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.相關(guān)關(guān)系：探究：在對人體的脂肪含量和年齡之間關(guān)系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機(jī)樣本數(shù)據(jù)，如下表所示.表中每個(gè)編號下的年齡和脂肪含量數(shù)據(jù)都是對同一個(gè)體的觀測結(jié)果，它們構(gòu)成了成對數(shù)據(jù).編號1234567年齡/歲23273941454950脂肪含量/%9.517.821.225.927.526.328.2編號891011121314年齡/歲53545657586061脂肪含量/%29.630.231.430.833.535.234.6根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關(guān)系嗎？

為了更加直觀地描述上述成對樣本數(shù)據(jù)中脂肪含量與年齡之間的關(guān)系，我們用圖形展示成對樣本數(shù)據(jù)的變化特征、用橫軸表示年齡，縱軸表示脂肪含量，則表中每個(gè)編號下的成對樣本數(shù)據(jù)都可用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成了如下圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.我們把這樣的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.

觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，這些散點(diǎn)大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應(yīng)的脂肪含量值呈現(xiàn)增加的趨勢.這樣，由成對樣本數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關(guān)關(guān)系.

如果從整體上看，當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值也呈現(xiàn)增加的趨勢，我們就稱這兩個(gè)變量正相關(guān)；如果當(dāng)一個(gè)變量的值增加時(shí)，另一個(gè)變量的相應(yīng)值呈現(xiàn)減小的趨勢，則稱這兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).

由圖可推斷脂肪含量與年齡這兩個(gè)變量正相關(guān).思考：（1）兩個(gè)變量負(fù)相關(guān)時(shí)，成對樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖有什么特點(diǎn)？（2）你能舉出生活中兩個(gè)變量正相關(guān)或負(fù)相關(guān)的一些例子嗎？

散點(diǎn)圖是描述成對數(shù)據(jù)之間關(guān)系的一種直觀方法．觀察下面的散點(diǎn)圖，從中我們不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現(xiàn)正相關(guān)性，而且從整體上可以看出散點(diǎn)落在某條直線附近．一般地，如果兩個(gè)變量的取值呈現(xiàn)正相關(guān)或負(fù)相關(guān)，而且散點(diǎn)落在一條直線附近，我們就稱這兩個(gè)變量線性相關(guān)．年齡/歲脂肪含量/%

觀察散點(diǎn)圖8.1-2，我們發(fā)現(xiàn)：圖(1)中的散點(diǎn)落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)；類似地，圖(2)中的散點(diǎn)落在一條折線附近，這兩個(gè)變量也具有相關(guān)性，但它們既不是正相關(guān)，也不是負(fù)相關(guān)；圖(3)中的散點(diǎn)雜亂無章，無規(guī)律可言，看不出兩個(gè)變量有什么相關(guān)性．

一般地，如果兩個(gè)變量具有相關(guān)性，但不是線性相關(guān)，那么我們就稱這兩個(gè)變量非線性相關(guān)或曲線相關(guān)．

課堂小結(jié)：兩個(gè)變量有關(guān)系，但又沒有確切到可由其中的一個(gè)去精確地決定另一個(gè)的程度，這種關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系.1.相關(guān)關(guān)系把成對樣本數(shù)據(jù)用直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)表示出來，由這些點(diǎn)組成的統(tǒng)計(jì)圖叫做散點(diǎn)圖.2.散點(diǎn)圖3.正相關(guān)與負(fù)相關(guān)一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)減小的趨勢.正相關(guān)：一個(gè)變量隨另一個(gè)變量的增加呈現(xiàn)增加的趨勢.負(fù)相關(guān)：1.舉例說明什么叫相關(guān)關(guān)系．相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有什么區(qū)別？例如，身高與腳長的關(guān)系，一般來說，身高較高的人腳長也會(huì)較長，但身高相同的人腳長末必相同；

受教育程度和收人水平的關(guān)系，一般來說，受教育程度高的人收入也較高，但受教育程度相同的人收入未必相同．

相關(guān)關(guān)系是指從總的變化趨勢來看，變量之間存在著某種關(guān)系，但這種關(guān)系又不能用函數(shù)關(guān)系完全表達(dá)出來．相關(guān)關(guān)系是不確定性的數(shù)量關(guān)系，對其中一個(gè)變量的每個(gè)取值，另一個(gè)變量可能有多個(gè)不同的取值；而函數(shù)關(guān)系是確定性的數(shù)量關(guān)系，對自變量的每個(gè)取值，因變量有唯一確定的值與之對應(yīng)．相同點(diǎn)：均是指兩個(gè)變量的關(guān)系．不同點(diǎn)：函數(shù)關(guān)系是一種確定的關(guān)系，因果關(guān)系；而相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．

請看課本P95：練習(xí)12.根據(jù)下面的散點(diǎn)圖，判斷圖中的兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系．負(fù)相關(guān)非線性相關(guān)不相關(guān)正相關(guān)

請看課本P95：練習(xí)23.下表給出了一些地區(qū)的鳥的種類數(shù)與該地區(qū)的海拔高度的數(shù)據(jù)，鳥的種類數(shù)與海拔高度是否存在相關(guān)關(guān)系？如果是，那么這種相關(guān)關(guān)系有什么特點(diǎn)？地區(qū)ABCDEFGHIJK海拔/m1250115810674577017316106701493762549鳥的種類/種363037111113171329415海拔高度/m解：從散點(diǎn)圖中散點(diǎn)的分布看，鳥的種類數(shù)與海拔高度正相關(guān)，鳥的種類數(shù)在海拔高度1000m以上的明顯多于在海拔高度1000m以下的．但從局部看，不管是在海拔高度1000m以上，還是在海拔高度1000m以下，鳥的種類數(shù)和海拔高度正相關(guān)都不明顯

請看課本P95：練習(xí)3例：以下是某地不同樓盤新房的銷售價(jià)格y(單位:萬元)和面積x(單位:m2)的數(shù)據(jù)解：面積x(m2)11511080135105銷售價(jià)格y(萬元)24.821.619.429.222(1)畫出數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖；(2)判斷新房的銷售價(jià)格和面積之間是否具有相關(guān)關(guān)系．如果有相關(guān)關(guān)系，是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)？(1)數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖如圖所示.(2)通過以上數(shù)據(jù)對應(yīng)的散點(diǎn)圖可以判斷，新房的銷售價(jià)格和面積之間具有相關(guān)關(guān)系，且是正相關(guān).1.下列所給出的兩個(gè)變量之間存在相關(guān)關(guān)系的為(

)A.學(xué)生的座號