重慶市高2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題含解析_第1頁(yè)
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重慶市高2024-2025學(xué)年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末綜合測(cè)試模擬試題注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知兩個(gè)復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),關(guān)于代數(shù)式有以下判斷:①最大值為2;②無(wú)最大值;③最小值為;④無(wú)最小值.其中正確判斷的序號(hào)是()A.①③ B.①④ C.②④ D.②③2.已知二項(xiàng)式,且,則()A. B. C. D.3.已知命題:①函數(shù)的值域是;②為了得到函數(shù)的圖象,只需把函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度;③當(dāng)或時(shí),冪函數(shù)的圖象都是一條直線;④已知函數(shù),若互不相等,且,則的取值范圍是.其中正確的命題個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.14.函數(shù)的遞增區(qū)間為()A., B.C., D.5.已知,則A. B. C. D.6.己知弧長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角為弧度,則這條弧所在的圓的半徑為()A. B. C. D.7.閱讀如圖所示的程序框圖,運(yùn)行相應(yīng)的程序,若輸入的值為1,則輸出的值為()A. B.2 C.0 D.無(wú)法判斷8.某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明,一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75,連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6,已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良,則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.459.下面推理過(guò)程中使用了類比推理方法,其中推理正確的是()A.平面內(nèi)的三條直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a//b.類比推出:空間中的三條直線a,b,c,若a⊥c,b⊥c,則a//bB.平面內(nèi)的三條直線a,b,c,若a//c,b//c,則a//b.類比推出:空間中的三條向量a,b,cC.在平面內(nèi),若兩個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)的比為12,則它們的面積比為14.類比推出:在空間中,若兩個(gè)正四面體的棱長(zhǎng)的比為1D.若a,b,c,d∈R,則復(fù)數(shù)a+bi=c+di?a=c,b=d.類比推理:“若a,b,c,d∈Q,則a+b210.如圖,是正四面體的面上一點(diǎn),點(diǎn)到平面距離與到點(diǎn)的距離相等,則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是()A.直線 B.拋物線C.離心率為的橢圓 D.離心率為3的雙曲線11.已知點(diǎn)滿足,則到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的點(diǎn)的概率為()A. B. C. D.12.如圖,四個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個(gè)大正方形,已知小正方形的外接圓恰好是大正方形的內(nèi)切圓,現(xiàn)在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),從“到”,左邊需增乘的代數(shù)式是___________.14.已知函數(shù),若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.15.已知函數(shù),若方程有四個(gè)不相等的實(shí)根,則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.16.的展開(kāi)式中的系數(shù)是__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)不等式|2x-1|<1的解集為M,且a∈M,b∈M.(1)試比較ab+1與a+b的大?。唬?)設(shè)maxA表示數(shù)集A中的最大數(shù),且h=max{218.(12分)如圖所示,已知是橢圓:的右焦點(diǎn),直線:與橢圓相切于點(diǎn).(1)若,求;(2)若,,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.19.(12分)已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng)時(shí),解不等式;(Ⅱ)若,對(duì)任意都有恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.20.(12分)已知函數(shù).(1)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),求實(shí)數(shù)的取值范圍;(2)若連續(xù)擲兩次骰子(骰子六個(gè)表面上標(biāo)注點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4、5、6),得到點(diǎn)數(shù)分別為和,記事件在恒成立},求事件發(fā)生的概率.21.(12分)已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,各項(xiàng)為正的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,,,.(1)若,求的通項(xiàng)公式;(2)若,求22.(10分)已知在的展開(kāi)式中,只有第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.(1)求含的項(xiàng)的系數(shù);(2)求展開(kāi)式中所有的有理項(xiàng).

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn),利用平面向量的加法的幾何意義以及平面向量的數(shù)量積可以判斷出的最值情況.【詳解】設(shè)兩個(gè)復(fù)數(shù),,在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn),因此有:因?yàn)?復(fù)數(shù),的實(shí)部和虛部都是正整數(shù),所以,(當(dāng)且僅當(dāng)),故,假設(shè)有最小值,則,顯然對(duì)于也成立,于是有這與相矛盾,故不存在最小值;對(duì)任意正整數(shù),,,,故沒(méi)有最大值,因此②④說(shuō)法正確.故選:C本題考查了復(fù)數(shù)的向量表示,考查了平面向量的數(shù)量積的計(jì)算,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、D【解析】

把二項(xiàng)式化為,求得其展開(kāi)式的通項(xiàng)為,求得,再令,求得,進(jìn)而即可求解.【詳解】由題意,二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,令,可得,即,解得,所以二項(xiàng)式為,則,令,即,則,所以.本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,其中解答中把二項(xiàng)式,利用二項(xiàng)式通項(xiàng),合理賦值求解是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

:①根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷;②根據(jù)三角函數(shù)的圖形關(guān)系進(jìn)行判斷;③根據(jù)冪函數(shù)的定義和性質(zhì)進(jìn)行判斷;④根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系,利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行判斷.【詳解】①因?yàn)槭窃龊瘮?shù),所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域是,故①正確;②函數(shù)圖象上的所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)的圖像,故②錯(cuò)誤;③當(dāng)時(shí),直線挖去一個(gè)點(diǎn),當(dāng)時(shí),冪函數(shù)的圖形是一條直線,故③錯(cuò)誤;④作出的圖像如圖所示:所以在上遞減,在上遞增,在上遞減,又因?yàn)樵谏嫌袃蓚€(gè),在上有一個(gè),不妨設(shè),則,即,則的范圍即為的范圍,由,得,則有,即的范圍是,所以④正確;所以正確的命題有2個(gè),故選C.該題考查的是有關(guān)真命題的個(gè)數(shù)問(wèn)題,在結(jié)題的過(guò)程中,涉及到的知識(shí)點(diǎn)有指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)圖像的平移變換,零指數(shù)冪的條件以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,靈活掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵.4、A【解析】分析:直接對(duì)函數(shù)求導(dǎo),令導(dǎo)函數(shù)大于0,即可求得增區(qū)間.詳解:,,增區(qū)間為.故答案為A.點(diǎn)睛:本題考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用,需要注意的是函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一定是函數(shù)的定義域的子集,因此求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間一般下,先求定義域;或者直接求導(dǎo),在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.5、C【解析】

根據(jù)已知求出,再求.【詳解】因?yàn)椋?,從?故選C本題主要考查誘導(dǎo)公式和同角的三角函數(shù)關(guān)系,考查二倍角的正弦公式,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】

利用弧長(zhǎng)公式列出方程直接求解,即可得到答案.【詳解】由題意,弧長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角為2弧度,則,解得,故選D.本題主要考查了圓的半徑的求法,考查弧長(zhǎng)公式等基礎(chǔ)知識(shí),考查了推理能力與計(jì)算能力,是基礎(chǔ)題.7、B【解析】

由條件結(jié)構(gòu),輸入的x值小于0,執(zhí)行y=﹣x,輸出y,等于0,執(zhí)行y=0,輸出y,大于0,執(zhí)行y=1x,輸出y,由x=1>0,執(zhí)行y=1x得解.【詳解】因?yàn)檩斎氲膞值為1大于0,所以執(zhí)行y=1x=1,輸出1.故選:B.本題考查了程序框圖中的條件結(jié)構(gòu),條件結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)是,算法的流程根據(jù)條件是否成立有不同的流向,算法不循環(huán)執(zhí)行.8、A【解析】

試題分析:記“一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”,“第二天空氣質(zhì)量也為優(yōu)良”,由題意可知,所以,故選A.考點(diǎn):條件概率.9、D【解析】

對(duì)四個(gè)答案中類比所得的結(jié)論逐一進(jìn)行判斷,即可得到答案【詳解】對(duì)于A,空間中,三條直線a,b,c,若a⊥c,對(duì)于B,若b=0,則若a//b對(duì)于C,在平面上,正三角形的面積比是邊長(zhǎng)比的平方,類比推出在空間中,正四面體的體積是棱長(zhǎng)比的立方,棱長(zhǎng)比為12,則它們的體積比為1對(duì)于D,在有理數(shù)Q中,由a+b2=c+d2可得,b=d,故正確綜上所述,故選D本題考查的知識(shí)點(diǎn)是類比推理,解題的關(guān)鍵是逐一判斷命題的真假,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】分析:由題設(shè)條件將點(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等轉(zhuǎn)化成在面VBC中點(diǎn)P到V的距離與到定直線BC的距離比是一個(gè)常數(shù),依據(jù)圓錐曲線的第二定義判斷出其軌跡的形狀.詳解:∵正四面體V﹣ABC∴面VBC不垂直面ABC,過(guò)P作PD⊥面ABC于D,過(guò)D作DH⊥BC于H,連接PH,可得BC⊥面DPH,所以BC⊥PH,故∠PHD為二面角V﹣BC﹣A的平面角令其為θ則Rt△PGH中,|PD|:|PH|=sinθ(θ為V﹣BC﹣A的二面角的大?。贮c(diǎn)P到平面ABC距離與到點(diǎn)V的距離相等,即|PV|=|PD|∴|PV|:|PH|=sinθ<1,即在平面VBC中,點(diǎn)P到定點(diǎn)V的距離與定直線BC的距離之比是一個(gè)常數(shù)sinθ,又在正四面體V﹣ABC,V﹣BC﹣A的二面角的大小θ有:sinθ=<1,由橢圓定義知P點(diǎn)軌跡為橢圓在面SBC內(nèi)的一部分.故答案為:C.點(diǎn)睛:(1)本題主要考查二面角、橢圓的定義、軌跡方程等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.(2)解答本題的關(guān)鍵是聯(lián)想到圓錐曲線的第二定義.11、B【解析】

作出圖象,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形,到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓,由此利用幾何概型能求出到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率.【詳解】點(diǎn)滿足,

當(dāng),時(shí),;

當(dāng),時(shí),;

當(dāng),時(shí),;

當(dāng),時(shí),.

作出圖象,得到點(diǎn)P的坐標(biāo)圍成的圖形是以原點(diǎn)為中心的邊長(zhǎng)為正方形,

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P圍成的圖形是以原點(diǎn)為圓心,半徑為1的圓,

到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離的點(diǎn)P的概率為:

故選:B.本題考查概率的求法,幾何概型等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,是中檔題.12、B【解析】分析:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,其內(nèi)切圓的直徑為1,則小正方形的邊長(zhǎng)為,從而陰影部分的面積為,由此利用幾何概型能求出在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.詳解:設(shè)大正方形的邊長(zhǎng)為1,其內(nèi)切圓的直徑為1,則小正方形的邊長(zhǎng)為,所以大正方形的面積為1,圓的面積為,小正方形的面積為,則陰影部分的面積為,所以在大正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自陰影部分的概率.點(diǎn)睛:本題主要考查了面積比的幾何概型及其概率的計(jì)算問(wèn)題,其中根據(jù)題意,準(zhǔn)確求解陰影部分的面積是解答本題的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,以及函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、.【解析】

從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是,化簡(jiǎn)即可得出.【詳解】假設(shè)時(shí)命題成立,則,當(dāng)時(shí),從到時(shí)左邊需增乘的代數(shù)式是.故答案為:.本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】

根據(jù)題意,求得,解不等式即可求得結(jié)果.【詳解】容易知,故可得,故等價(jià)于,解得.故答案為:.本題考查分段函數(shù)函數(shù)值的求解,涉及二次不等式的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.15、【解析】

先由題意,得顯然不是方程的根;當(dāng)時(shí),原方程可化為,令,,用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性,極值,確定函數(shù)的大致形狀,原方程有四個(gè)根,即等價(jià)于的圖象與直線有四個(gè)不同的交點(diǎn),結(jié)合圖象,即可求出結(jié)果.【詳解】當(dāng),顯然不成立;當(dāng)時(shí),由得,令,,即,則,方程有四個(gè)不相等的實(shí)根等價(jià)于的圖象與有四個(gè)不同的交點(diǎn),當(dāng)時(shí),,則,由得,由得,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此,函數(shù)的極小值為;當(dāng)時(shí),,則,由得;由得;所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,因此函數(shù)的極大值為.畫出函數(shù)的大致圖象如下:由圖象可得,只需.故答案為:.本題主要考查由函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)的問(wèn)題,熟記分段函數(shù)的性質(zhì),導(dǎo)數(shù)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性,求函數(shù)的極值等,靈活運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法求解即可,屬于??碱}型.16、243【解析】分析:先得到二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng),然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù).詳解:二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為,∴展開(kāi)式中的系數(shù)為.點(diǎn)睛:對(duì)于非二項(xiàng)式的問(wèn)題,解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題處理,對(duì)于無(wú)法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題,可根據(jù)組合的方式“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù),此時(shí)要注意考慮問(wèn)題的全面性,防止漏掉部分情況.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)見(jiàn)解析;(2)(2,+∞).【解析】試題分析:(1)解不等式|2x-1|<1可得M=(0,1),即a,b范圍已知,然后比較ab+1和a+b的大小可用作差法;(2)很顯然由a∈(0,1),知2a∈(2,+∞),同樣2b∈(2,+∞),對(duì)a+bab,a+bab≥2ab試題解析:(1),(2)∴考點(diǎn):解絕對(duì)值不等式,比較大小,新定義.18、(1);(2).【解析】

(1)把直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消去得的一元二次方程,直線與橢圓相切,則,結(jié)合可求得;(2)利用(1)中結(jié)論可求得點(diǎn)坐標(biāo),作軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),由,,則有,因此,,這樣可由點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)坐標(biāo),由在直線上可得,這樣結(jié)合,可解得得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】(1)由直線與橢圓方程聯(lián)立得,①,因直線與橢圓相切,則,因此可得;若,則;(2)將代入方程①式可得,因此,,因此點(diǎn),作軸于點(diǎn),軸于點(diǎn),∵,,則有,因此,,∴,,∴,∵在直線上,因此,化簡(jiǎn)得;又由,則可得,即有,∵,∴,則,,因此所求的橢圓方程為.本題考查求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.考查直線與橢圓位置關(guān)系.直線與橢圓相切,只能由直線方程與橢圓方程聯(lián)立,消元后得二次方程,則有結(jié)論.第(2)小題有一定的難度,關(guān)鍵是還要一個(gè)的關(guān)系式,題中解法是通過(guò)幾何方法,由點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)坐標(biāo),僄代入直線方程得到關(guān)系式.另一種方法是,然后取中點(diǎn)為,則有(不需要再求線段長(zhǎng)了),這樣兩個(gè)垂直也可以建立起的關(guān)系式.19、(Ⅰ)(?∞,?5)∪(1,+∞);(Ⅱ)(0,6]【解析】

(Ⅰ)由題知當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6,根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義能求出不等式的解集.

(Ⅱ)由,對(duì)任意都有,只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可,轉(zhuǎn)化成函數(shù)最值問(wèn)題建立不等關(guān)系式,由此能求出a的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)∵函數(shù),∴當(dāng)a=?1時(shí),不等式等價(jià)于|x+3|+|x+1|>6,根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義:|x+3|+|x+1|>6可以看作數(shù)軸上的點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的距離之和大于6,則點(diǎn)x到點(diǎn)?3和點(diǎn)?1的中點(diǎn)O的距離大于3即可,∴點(diǎn)x在?5或其左邊及1或其右邊,即x<?5或x>1.∴不等式的解集為(?∞,?5)∪(1,+∞).(Ⅱ)∵,對(duì)任意都有,只需f(x)的最小值大于等于的最大值即可.由可得,,設(shè),根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì),,∴,解得,又,∴∴a的取值范圍是(0,6].本題考查絕對(duì)值三角不等式,絕對(duì)值不等式的解法:(1)數(shù)形結(jié)合:利用絕對(duì)值不等式的幾何意義[即(x,0)到(a,0)與(b,0)的距離之和]求解.(2)分類討論:利用“零點(diǎn)分段法”求解.(3)構(gòu)造函數(shù):利用函數(shù)的圖像求解,體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想.本題屬于中等題.20、(1)(2)【解析】

(1)函數(shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),等價(jià)于方程有兩不等正實(shí)數(shù)解,由二次方程區(qū)間根問(wèn)題即可得解;(2)由不等式恒成立問(wèn)題,可轉(zhuǎn)化為,求出滿足條件的基本事件的個(gè)數(shù),從而求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?,由函?shù)在區(qū)間上有兩個(gè)不同的零點(diǎn),則方程有兩不等正實(shí)數(shù)解,由區(qū)間根問(wèn)題可得,解得,即實(shí)數(shù)的取值范圍為;(2)若連續(xù)擲兩次骰子(骰子六個(gè)表面上標(biāo)注點(diǎn)數(shù)分別為1、2、3、4

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