武漢二中2025屆高三年級(jí)高考模擬試題數(shù)學(xué)試卷考試時(shí)間：2025年5月21日下午15：00-17：00試卷滿分：150分選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)（

）A．1 B． C．2 D．3．將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線，再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€，最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的．若曲線恰好是函數(shù)的圖象，則在區(qū)間上的值域是（

）A． B． C． D．4．把分別寫有1，2，3，4，5，6的六張卡片全部分給甲、乙、丙三個(gè)人，每人至少一張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號(hào)的，那么不同的分法種數(shù)為（

）A．60 B．36 C．30 D．125．在無窮等差數(shù)列中，公差為d，則“存在，使得”是“（）”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．某同學(xué)參加綜合實(shí)踐活動(dòng)，設(shè)計(jì)了一個(gè)封閉的包裝盒，包裝盒如圖所示：底面是邊長為2的正方形，，，，均為正三角形，且它們所在的平面都與平面垂直，則該包裝盒的容積為（

）A． B． C． D．207．如圖，橢圓與雙曲線有共同的右焦點(diǎn)，這兩條曲線在第一、三象限的交點(diǎn)分別為A、B，直線與雙曲線右支的另一個(gè)交點(diǎn)為，形成以為斜邊的等腰直角三角形，則該橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)是奇函數(shù)，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．設(shè)樣本空間，且每個(gè)樣本點(diǎn)是等可能的，已知事件，則下列結(jié)論正確的是（

）A．事件A與B為互斥事件 B．事件兩兩獨(dú)立C． D．10．如圖所示，在正方體中，M是棱上一點(diǎn)（不包含端點(diǎn)），平面與棱交于點(diǎn)N.則下列說法正確的是（

）A.四邊形是平行四邊形；B.四邊形可能是正方形；C.任意平面都與平面垂直；D.對(duì)任意M點(diǎn)，一定存在過M的直線l，使l與直線和都相交.11．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)點(diǎn)（其中）進(jìn)行一次變換，得到點(diǎn)，記為，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．為圖象上一動(dòng)點(diǎn)，，若的軌跡仍為函數(shù)圖象，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．的展開式的第5項(xiàng)的系數(shù)是．（用數(shù)字作答）13．近幾年，我國新能源汽車產(chǎn)業(yè)進(jìn)入了加速發(fā)展的階段，呈現(xiàn)市場規(guī)模、發(fā)展質(zhì)量“雙提升”的良好局面．新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，其中的主要成分是碳酸鋰．下表是某地2023年3月1日至2023年3月5日電池級(jí)碳酸鋰的價(jià)格與日期的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：日期代碼12345電池級(jí)碳酸鋰價(jià)格（十萬元／噸）4.13.93.83.9根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算出在樣本點(diǎn)處的殘差為，則的值為．14.在△ABC中，，，為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，前項(xiàng)和為，且，是與的等差中項(xiàng).(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．已知在三棱錐中，，，，，(1)證明：平面平面ABC；(2)求二面角的正弦值．17．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；(2)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)若在上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，已知橢圓與橢圓有相同的離心率，點(diǎn)在橢圓上．過點(diǎn)的兩條不重合直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，與橢圓相交于和四點(diǎn)．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求證：；(3)若，設(shè)直線的傾斜角分別為，求證：為定值．19．阿爾法狗是谷歌公司開發(fā)的人工智能程序，它第一個(gè)戰(zhàn)勝了圍棋世界冠軍.它可以借助計(jì)算機(jī)，通過深度神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模擬人腦的機(jī)制來學(xué)習(xí)、判斷、決策.工程師分別用人類圍棋對(duì)弈的近100萬、500萬、1000萬種不同走法三個(gè)階段來訓(xùn)練阿爾法狗，三個(gè)階段的阿爾法狗依次簡記為甲、乙、丙.(1)測試階段，讓某圍棋手與甲、乙、丙三個(gè)阿爾法狗各比賽一局，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，記該棋手連勝兩局的概率為p，試判斷該棋手在第二局與誰比賽p最大，并寫出判斷過程.(2)工程師讓甲和乙進(jìn)行圍棋比賽，規(guī)定每局比賽勝者得1分，負(fù)者得0分，沒有平局，比賽進(jìn)行到一方比另一方多兩分為止，多得兩分的一方贏得比賽.已知每局比賽中，甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且每局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.（ⅰ）若比賽最多進(jìn)行5局，求比賽結(jié)束時(shí)比賽局?jǐn)?shù)X的分布列及期望的最大值;（ⅱ）若比賽不限制局?jǐn)?shù)，記“甲贏得比賽”為事件M，證明：

武漢二中2025屆高三年級(jí)高考模擬試題數(shù)學(xué)試卷參考答案題號(hào)1234567891011答案BBBABCCBBDACDABD3.【詳解】將正弦曲線向左平移個(gè)單位得到曲線的圖象；再將曲線上的每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼牡玫角€的圖象；最后將曲線上的每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?倍得到曲線的的圖象.由于曲線恰好是函數(shù)的圖象.在區(qū)間上，，，.故在區(qū)間上的值域是.故選：B.4.【詳解】先將卡片分為符合條件的三份，由題意知：三人分六張卡片，且每人至少一張，至多四張，若分得的卡片超過一張，則必須是連號(hào)，相當(dāng)于將，，，，，這六個(gè)數(shù)用兩個(gè)隔板隔開，在五個(gè)空位插上兩個(gè)隔板，共種情況，再對(duì)應(yīng)到三個(gè)人有種情況，則共有種法.故選：A．5.【詳解】充分性：若，，此時(shí)，而，滿足，即存在，使得，但是不成立.故充分性不成立；必要性：若，則，此時(shí).故必要性滿足.故選：B6.【詳解】如圖，把幾何體補(bǔ)全為長方體，則，，所以該包裝盒的容積為，故選：C7.【詳解】設(shè)左焦點(diǎn)為，則，，，，在中用勾股定理，化簡得，所以所以，所以.故選:C.8.【詳解】因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以為偶函數(shù)，所以，即，故的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由的圖象關(guān)于直線對(duì)稱得，即，即，所以關(guān)于對(duì)稱，所以，所以，故是奇函數(shù)，所以B選項(xiàng)正確；因?yàn)?，又，所以，即，所以，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；不能得到的奇偶性與的值，故A，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B9．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以事件與不互斥，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，，，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，交集為，則，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，，故D正確.故選：BD.10.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)槠矫媾c棱交于點(diǎn)，所以四點(diǎn)共面，在正方體中，由平面平面，又平面平面，平面平面，所以，同理可得，故四邊形一定是平行四邊形，故A正確對(duì)于B，在正方體中，面，因?yàn)槊?，所以，若是正方形，有，，若不重合，則與矛盾，若重合，則不成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，同理：，又平面，平面，，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，故C正確.對(duì)于D,設(shè)M坐標(biāo)為（1,0,m），l與直線和分別相交與N,PQ點(diǎn)坐標(biāo)（0,q,1），P點(diǎn)坐標(biāo)為（p,1,0），且則有：解得，此時(shí)三點(diǎn)共線，符合要求故D正確.另解：設(shè)平面與交于，交于，則平面，又平面故與必相交，故直線滿足要求.故選：ACD.11．【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，故A正確；因?yàn)?，，所以，故B正確；因?yàn)椋?，故，而，故，同理，故，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)椋蕦㈨槙r(shí)針旋轉(zhuǎn)后仍為函數(shù)圖像，故圖象上的任意一點(diǎn)切線的斜率大于或等于，故即在上恒成立，故，故D成立.故選：ABD.12．21013．0.2514.13.【詳解】由題知，可得．又，由，可得．故.故答案為：0.2514.【詳解】因?yàn)?，故，故，故，所以，延長至，使得，連接，則為的垂直平分線，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)等號(hào)成立，而，故的最小值為，故答案為：15.【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因?yàn)槭桥c的等差中項(xiàng)，所以，所以，因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列；……（6分）（2）因?yàn)閿?shù)列是公差為1，首項(xiàng)為的等差數(shù)列，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以,所以，……（13分）16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）

取BC的中點(diǎn)為點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)為點(diǎn)E，連接DO，EO，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，故，故，在中，，，在中，，，，，，，且EO、面ABC，面ABC，又面BCD，面面………………（7分）（2）由（1）得面ABC，，所以可以以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作平行于的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面BCD的法向量，，設(shè)平面ABD的法向量，，，，，，，二面角的正弦值為………（15分）17．【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為(3)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，切點(diǎn)為，，∴，∴切線方程為：………………（3分）（2）當(dāng)時(shí)，，令，，令，得到，∴時(shí)，，∴在單調(diào)遞增，即在單調(diào)遞增；∴時(shí)，，∴在單調(diào)遞減，即在單調(diào)遞減；∵，且時(shí)，恒成立，∴變化時(shí)，的變化情況如下表：0極小值∴的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間為，………（8分）（3），∵時(shí)，，，∴，若，則恒成立，∵在上存在零點(diǎn)，∴；，由（2）可知在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.∴，∵，∴，①若，即，時(shí)，，，，，∴，，∴在單調(diào)遞增，∴，∴無零點(diǎn).②若，即，時(shí)，∵，使得，當(dāng)時(shí)，，∴變化時(shí)，的變化情況如下表：0極小值∴在上單調(diào)遞減，∴，∴在無零點(diǎn).，，，單調(diào)遞增，∴，∴，，∴，∴∴，∴在上存在零點(diǎn).綜上所述，若在上存在零點(diǎn)，實(shí)數(shù)的取值范圍為.………………（15分）18．【答案】(1)(2)證明見解析(3)，證明見解析【詳解】（1）由題意知，兩橢圓有相同的離心率，則有，，又點(diǎn)在橢圓上，有，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.…………………（3分）（2）要證，即證，設(shè)，當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，由橢圓對(duì)稱性可知成立，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為，則方程為，由得，，由得，，得，，，，則有.所以與等底等高，有.………（10分）（3）由（2）可知，同理有，由，可得，則有，設(shè)直線的斜率為，直線方程為，設(shè)，由得，，，，所以，即，化簡得，即，由題意，所以，所以.………………（17分）19．【答案】(1)在第二局與甲比賽p最大，判斷過程見解析(2)（i）分布列見解析，；（ii）證明見解析【詳解】（1）該棋手在第二局與甲比賽p最大，該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，，，記，，，該棋手連勝兩盤，則第二盤為必勝盤，記該棋手在第二盤與甲比賽連勝兩局的概率為，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠?，則，同理，該棋手在第二盤與乙比賽連勝兩局的概率，該棋手在第二盤與丙比賽連勝兩局的概率，因?yàn)椋栽撈迨衷诘诙峙c甲比賽p最大.……………（5分）（2）（?。┮?yàn)闆]有平局，所以每局比賽結(jié)果僅有“甲獲勝”或者“乙獲勝”，則，由題意得X的所有可能取值為：2，4，5，，，，所以X的分布列為：245所以X的期望為：，由，