bupt線性代數(shù)期末考試試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}\)，則\(\vertA\vert=\)（）A.-2B.2C.10D.-102.若向量組\(\alpha_1=(1,0,0)\)，\(\alpha_2=(0,1,0)\)，\(\alpha_3=(0,0,1)\)，則該向量組（）A.線性相關(guān)B.線性無關(guān)C.秩為2D.不能確定3.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(Ax=0\)有非零解，則（）A.\(\vertA\vert\neq0\)B.\(\vertA\vert=0\)C.\(A=0\)D.\(A\neq0\)4.對于矩陣\(A\)，若\(A^T=A\)，則\(A\)是（）A.對稱矩陣B.反對稱矩陣C.正交矩陣D.單位矩陣5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則\((AB)^T=\)（）A.\(A^TB^T\)B.\(B^TA^T\)C.\(AB\)D.\(BA\)6.若\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，則\(kA\)（\(k\neq0\)）的特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(k\lambda\)C.\(\frac{\lambda}{k}\)D.\(\lambda+k\)7.設(shè)\(A\)是\(n\)階可逆矩陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，則\(A^{-1}\)的特征值為（）A.\(\lambda\)B.\(\frac{1}{\lambda}\)C.\(-\lambda\)D.\(\lambda^{-1}\)8.二次型\(f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2\)的矩陣為（）A.\(\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&1\\1&1&3\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}1&1&0\\1&2&1\\0&1&3\end{pmatrix}\)9.設(shè)\(A\)為\(3\times3\)矩陣，\(R(A)=2\)，則齊次線性方程組\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.010.若\(A\)，\(B\)為同階方陣且\(AB=BA\)，則\((A+B)^2=\)（）A.\(A^2+2AB+B^2\)B.\(A^2+B^2\)C.\(A^2+AB+B^2\)D.\(2(A^2+B^2)\)答案：1.A2.B3.B4.A5.B6.B7.B8.A9.A10.A二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，則下列等式正確的是（）A.\((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\)B.\((AB)^k=A^kB^k\)（\(k\inN\)）C.\(\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert\)D.\((A+B)(A-B)=A^2-B^2\)E.若\(A\)，\(B\)可逆，則\((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\)2.設(shè)向量組\(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\)線性相關(guān)，則（）A.存在不全為零的數(shù)\(k_1,k_2,k_3\)，使得\(k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+k_3\alpha_3=0\)B.向量組中至少有一個向量可由其余向量線性表示C.向量組的秩小于3D.向量組的行列式為零E.向量組的極大線性無關(guān)組所含向量個數(shù)小于33.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系為\(\xi_1,\xi_2\)，則（）A.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\inR\)）是\(Ax=0\)的解B.\(\xi_1,\xi_2\)線性無關(guān)C.\(n-R(A)=2\)D.\(A\xi_1=A\xi_2=0\)E.若\(\xi\)是\(Ax=0\)的解，則\(\xi=k_1\xi_1+k_2\xi_2\)4.設(shè)\(A\)為對稱矩陣，則（）A.\(A=A^T\)B.\(A\)的特征值為實數(shù)C.\(A\)可正交相似對角化D.對于任意\(x\neq0\)，\(x^TAx\)是二次型E.\(A\)的不同特征值對應(yīng)的特征向量正交5.設(shè)\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣，且\(A\)相似于\(B\)，則（）A.\(\vertA\vert=\vertB\vert\)B.\(R(A)=R(B)\)C.\(A\)與\(B\)有相同的特征值D.\(A\)與\(B\)有相同的特征向量E.\(A\)與\(B\)可化為相同的對角矩陣6.設(shè)二次型\(f(x)=x^TAx\)（\(A\)為對稱矩陣），則（）A.二次型的矩陣\(A\)是唯一的B.二次型經(jīng)可逆線性變換\(x=Cy\)后化為\(y^T(C^TAC)y\)C.若\(A\)正定，則\(A\)的所有順序主子式大于零D.若\(A\)負定，則\(A\)的所有奇數(shù)階順序主子式小于零E.二次型的標準形是唯一的7.設(shè)\(\lambda_1,\lambda_2\)是矩陣\(A\)的兩個不同特征值，\(\xi_1,\xi_2\)分別是對應(yīng)于\(\lambda_1,\lambda_2\)的特征向量，則（）A.\(\xi_1+\xi_2\)不是\(A\)的特征向量B.\(\xi_1,\xi_2\)線性無關(guān)C.\(\lambda_1\xi_1+\lambda_2\xi_2\)是\(A\)的特征向量D.\(k_1\xi_1+k_2\xi_2\)（\(k_1,k_2\neq0\)）不是\(A\)的特征向量E.\(\lambda_1\lambda_2\)是\(A^2\)的特征值8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(R(A)=n-1\)，則（）A.\(\vertA\vert=0\)B.\(Ax=0\)的基礎(chǔ)解系所含向量個數(shù)為1C.\(A\)的列向量組線性相關(guān)D.\(A\)有\(zhòng)(n-1\)階子式不為零E.\(A\)的行向量組的秩為\(n-1\)9.下列矩陣中為正交矩陣的是（）A.\(\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}\)B.\(\begin{pmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{pmatrix}\)C.\(\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\)D.\(\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}\)E.\(\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\-\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}\)10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A^2=A\)，則（）A.\(A\)的特征值為0或1B.\(A\)可逆C.\(R(A)+R(A-E)=n\)D.\(A\)可相似對角化E.\(Ax=x\)與\(Ax=0\)的解空間維數(shù)之和為\(n\)答案：1.CE2.ABCE3.ABD4.ABCDE5.ABC6.ABCD7.ABDE8.ABCDE9.ABDE10.ACDE三、判斷題（每題2分，共10題）1.若\(n\)階方陣\(A\)，\(B\)滿足\(AB=0\)，則\(A=0\)或\(B=0\)。（）2.向量組\(\alpha_1=(1,2,3)\)，\(\alpha_2=(4,5,6)\)，\(\alpha_3=(7,8,9)\)線性相關(guān)。（）3.若\(A\)為\(n\)階方陣，則\(\vertkA\vert=k\vertA\vert\)（\(k\inR\)）。（）4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)可逆，則\(A\)的行向量組線性無關(guān)。（）5.二次型\(f(x_1,x_2)=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2\)的矩陣為\(\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}\)。（）6.設(shè)\(\lambda\)是矩陣\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，則\(A\xi=\lambda\xi\)。（）7.若\(A\)，\(B\)為\(n\)階方陣且\(A\)相似于\(B\)，則\(A\)與\(B\)有相同的特征向量。（）8.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(Ax=0\)只有零解，則\(A\)的列向量組線性無關(guān)。（）9.若\(A\)為正交矩陣，則\(\vertA\vert=\pm1\)。（）10.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，若\(A\)的秩為\(n\)，則\(A\)的行最簡形為單位矩陣。（）答案：1.×2.√3.×4.√5.√6.√7.×8.√9.√10.√四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述矩陣可逆的定義及其判定條件。-答案：若存在矩陣\(B\)，使得\(AB=BA=E\)（\(E\)為單位矩陣），則稱矩陣\(A\)可逆。判定條件：\(\vertA\vert\neq0\)；\(A\)的行（列）向量組線性無關(guān)；\(R(A)=n\)（\(A\)為\(n\)階方陣）；\(A\)可化為單位矩陣等。2.什么是向量組的極大線性無關(guān)組？如何求向量組的極大線性無關(guān)組？-答案：向量組的極大線性無關(guān)組是向量組的一個部分組，它線性無關(guān)且向量組中的任意向量都可由它線性表示。求法：將向量組構(gòu)成矩陣，通過初等行變換化為行階梯形矩陣，首非零元所在列對應(yīng)的原向量組中的向量構(gòu)成極大線性無關(guān)組。3.簡述二次型正定的定義及其判定方法。-答案：對于二次型\(f(x)=x^TAx\)，若對于任意\(x\neq0\)，\(f(x)>0\)，則稱二次型正定。判定方法：\(A\)的所有順序主子式大于零；\(A\)的特征值全大于零；存在可逆矩陣\(C\)，使得\(A=C^TC\)。4.設(shè)\(A\)為\(n\)階方陣，\(\lambda\)是\(A\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)于\(\lambda\)的特征向量，簡述特征值與特征向量的性質(zhì)。-答案：\(A\xi=\lambda\xi\)；若\(A\)可逆，則\(\frac{1}{\lambda}\)是\(A^{-1}\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)特征向量；\(k\lambda\)是\(kA\)的特征值，\(\xi\)是對應(yīng)特征向量；不同特征值對應(yīng)的特征向量線性無關(guān)等。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論當\(a\)取何值時，向量組\(\alpha_1=(1,1,1)\)，\(\alpha_2=(1,2,3)\)，\(\alpha_3=(1,3,a)\)線性相關(guān)。-答案：設(shè)矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\\1&3&a\end{pmatrix}\)，計算\(\vertA\vert=a-5\)。當\(\vertA\vert=0\)，即\(a=5\)時向量組線性相關(guān)。2.討論矩陣\(A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&2&0\\0&0&3\end{pmatrix}\)與\(B=\begin{pmatrix}3&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}\)是否相似，為什么？-答案：\(A\)與\(B\)有相同的特征值\(1\