考點(diǎn)規(guī)范練48分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理一、基礎(chǔ)鞏固1.十字路口來往的車輛,如果不允許掉頭,那么行車路線共有()A.24種 B.16種 C.12種 D.10種答案:C解析:根據(jù)題意,行車路線的起點(diǎn)有4種,行駛方向有3種,因此行車路線共有4×3=12(種).故選C.2.5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有()A.10種 B.20種C.25種 D.32種答案:D解析:5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組,每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組,則不同的報(bào)名方法共有25=32種.故選D.3.如圖,給A,B,C,D,E5個(gè)點(diǎn)涂色,要求同一條線段的兩個(gè)端點(diǎn)不能同色,現(xiàn)有4種不同的顏色可供選擇,則不同的涂色方法種數(shù)為()A.24 B.48 C.96 D.120答案:C解析:先涂A,B,E三個(gè)點(diǎn),有4×3×2=24(種)涂色方法;再涂點(diǎn)C,有2種涂色方法;最后涂點(diǎn)D,有2種涂色方法.故不同的涂色方法有24×2×2=96(種).4.某學(xué)校有東、南、西、北四個(gè)校門,學(xué)校對進(jìn)入四個(gè)校門做出如下規(guī)定:學(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園,教師只能從南門或北門進(jìn)入校園.現(xiàn)有2名教師和3名學(xué)生要進(jìn)入校園(不分先后順序),則進(jìn)入校園的方式共有()A.6種 B.12種 C.24種 D.32種答案:D解析:第一步安排學(xué)生,因?yàn)閷W(xué)生只能從東門或西門進(jìn)入校園,所以3名學(xué)生進(jìn)入校園的方式共有23=8(種);第二步安排教師,因?yàn)榻處熤荒軓哪祥T或北門進(jìn)入校園,所以2名教師進(jìn)入校園的方式共有22=4(種).由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知2名教師和3名學(xué)生進(jìn)入校園的方式共有8×4=32(種).5.已知集合M={1,1,2},N={3,4,6,8},從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo),則在平面直角坐標(biāo)系中位于第一、第二象限內(nèi)的不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A.18 B.16 C.14 D.12答案:C解析:分兩類:第一類,M中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),N中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),在第一象限內(nèi)的點(diǎn)共有2×2=4(個(gè)),在第二象限內(nèi)的點(diǎn)共有1×2=2(個(gè));第二類,M中的元素作為點(diǎn)的縱坐標(biāo),N中的元素作為點(diǎn)的橫坐標(biāo),在第一象限內(nèi)的點(diǎn)共有2×2=4(個(gè)),在第二象限內(nèi)的點(diǎn)共有2×2=4(個(gè)).故所求不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為4+2+4+4=14.6.三邊長均為正整數(shù),且最大邊長為11的三角形的個(gè)數(shù)是.

答案:36解析:另兩邊長用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨設(shè)1≤x≤y≤11,要構(gòu)成三角形,必須x+y≥12.當(dāng)y取11時(shí),x可取1,2,3,…,11,有11個(gè)三角形;當(dāng)y取10時(shí),x可取2,3,…,10,有9個(gè)三角形;……當(dāng)y取6時(shí),x只能取6,只有1個(gè)三角形.因此所求三角形的個(gè)數(shù)為11+9+7+5+3+1=36.7.已知有5名同學(xué)參加某演講比賽,其中3名女生,2名男生.若男生不排第一個(gè)演講,且2名男生不能相鄰演講,則不同的演講順序有種.

答案:36解析:第一步,安排女生演講順序,有3×2×1=6(種);第二步,安排男生演講順序,女生安排好后,有4個(gè)空位,因?yàn)槟猩慌诺谝粋€(gè)演講,且兩名男生不能相鄰演講,所以只有3個(gè)空位可選,有3×2=6(種).故演講順序有6×6=36(種).8.在數(shù)字0,1,2,3,4,5,6中,任取3個(gè)不同的數(shù)字為系數(shù)a,b,c組成二次函數(shù)y=ax2+bx+c,則一共可以組成個(gè)不同的解析式.

答案:180解析:分三步完成:第一步任取一個(gè)數(shù)為a,由于a不為0,有6種方法;第二步從剩余的6個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)為b,有6種方法;第三步從剩余的5個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)為c,有5種方法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知共有6×6×5=180(個(gè))不同的解析式.9.我們把中間位上的數(shù)字最大,而兩邊依次減小的多位數(shù)稱為“凸數(shù)”.如132,341等,則從1,2,3,4,5中任取3個(gè)數(shù),可以組成無重復(fù)數(shù)字的三位“凸數(shù)”的個(gè)數(shù)是.

答案:20解析:根據(jù)“凸數(shù)”的特點(diǎn),中間的數(shù)字只能是3,4,5,故分三類.第一類,當(dāng)中間數(shù)字為“3”時(shí),此時(shí)有2種;第二類,當(dāng)中間數(shù)字為“4”時(shí),從1,2,3中任取兩個(gè)放在4的兩邊,故有A32=6(第三類,當(dāng)中間數(shù)字為“5”時(shí),從1,2,3,4中任取兩個(gè)放在5的兩邊,故有A42=12(種根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,可知組成無重復(fù)數(shù)字的三位凸數(shù)的個(gè)數(shù)是2+6+12=20.10.如圖,用4種不同的顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色,要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色,相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色,且4種顏色都要使用,則不同的涂色方法種數(shù)為.

答案:96解析:按區(qū)域1與3是否同色分類:第一類,區(qū)域1與3同色,第一步,涂區(qū)域1與3,有4種涂色方法;第二步,涂區(qū)域2,4,5,有A33故當(dāng)區(qū)域1與3同色時(shí),共有4A33=24(種)第二類,區(qū)域1與3不同色,第一步,涂區(qū)域1與3,有A42種涂色方法;第二步,涂區(qū)域2,有2種涂色方法;第三步,涂區(qū)域4,只有1種涂色方法;第四步,涂區(qū)域5,有3故當(dāng)區(qū)域1與3不同色時(shí),共有A42×2×1×3=72(種由分類加法計(jì)數(shù)原理,可知不同的涂色方法種數(shù)為24+72=96.二、綜合應(yīng)用11.如圖,現(xiàn)提供5種顏色給圖中5個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同,則不同的涂色方法共有()A.120種 B.260種 C.340種 D.420種答案:D解析:先涂區(qū)域1,2,5,有A53=60(種)涂色方法;再涂區(qū)域3,4,若區(qū)域3與區(qū)域1同色,則區(qū)域3只有1種涂色方法,區(qū)域4有3種涂色方法,若區(qū)域3與區(qū)域1不同色,則區(qū)域3有2種涂色方法,區(qū)域4有2種涂色方法.故不同的涂色方法有60×(1×3+2×2)=420(種12.某校開設(shè)8門課程供學(xué)生選修,其中A,B,C三門由于上課時(shí)間相同,至多選一門.學(xué)校規(guī)定每名同學(xué)選修三門,則每名同學(xué)不同的選修方案種數(shù)為()A.30 B.40 C.90 D.140答案:B解析:因?yàn)锳,B,C三門至多選一門,所以可分兩類:第一類,A,B,C三門課都不選,有C53=10(種)第二類,A,B,C中選一門,剩余5門課中選2門,有C31C52=故根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理知共有10+30=40(種)方案.13.用數(shù)字3,6,9組成四位數(shù),各數(shù)位上的數(shù)字允許重復(fù),且數(shù)字3至多出現(xiàn)一次,則可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.81 B.48 C.36 D.24答案:B解析:根據(jù)題意,分兩類情況討論.第一類,數(shù)字3不出現(xiàn),此時(shí)四位數(shù)的每個(gè)數(shù)位上的數(shù)都為6或9,故四位數(shù)有2×2×2×2=16(個(gè)).第二類,數(shù)字3出現(xiàn)一次,此時(shí)四位數(shù)的一個(gè)數(shù)位上的數(shù)為3,剩下的三個(gè)數(shù)位上的數(shù)為6或9,故四位數(shù)有4×2×2×2=32(個(gè)).故可以組成的四位數(shù)的個(gè)數(shù)為16+32=48.14.(2023新高考Ⅰ,13)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種.

答案:64解析:若選2門課,只需體育類和藝術(shù)類各選1門,有C41×C4若選3門課,分兩類.體育類選1門、藝術(shù)類選2門,體育類選2門、藝術(shù)類選1門,有C41×C4綜上,共有16+48=64(種)不同的選課方案.15.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443,94249等.顯然兩位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,…,99;三位回文數(shù)有90個(gè):101,111,121,…,191,202,…,999,則五位回文數(shù)有個(gè).

答案:900解析:第一步,選左邊第一個(gè)數(shù)字和右邊第一個(gè)數(shù)字相同,有9種選法;第二步,選左邊第二個(gè)數(shù)字和右邊第二個(gè)數(shù)字相同,有10種選法;第三步,選左邊第三個(gè)數(shù)字,也就是右邊第三個(gè)數(shù)字,有10種選法.故五位回文數(shù)有9×10×10=900(個(gè)).16.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4},定義函數(shù)f:M→N.若點(diǎn)A(1,f(1)),B(2,f(2)),C(3,f(3)),△ABC的外接圓的圓心為D,且DA+DC=λDB(λ∈R),則滿足條件的函數(shù)有答案:12解析:由D為△ABC的外接圓的圓心,DA+DC=λDB(λ∈R),可知△ABC為等腰三角形,且|BA|=|BC|,則必有f(1)=f(3),f(1)≠當(dāng)f(1)=f(3)=1時(shí),f(2)=2,3,4,有3種;當(dāng)f(1)=f(3)=2時(shí),f(2)=1,3,4,有3種;當(dāng)f(1)=f(3)=3時(shí),f(2)=1,2,4,有3種;當(dāng)f(1)=f(3)=4時(shí),f(2)=1,2,3,有3種.故滿足條件的函數(shù)有12種.三、探究創(chuàng)新17.如圖,某班級義務(wù)勞動(dòng)志愿者小組參加植樹活動(dòng),準(zhǔn)備在一拋物線形地塊上的A,B,C,D,G,F,E七點(diǎn)處各種植一棵樹苗,其中點(diǎn)A,B,C分別與點(diǎn)E,F,G關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.現(xiàn)有三種樹苗,要求每種樹苗至少種植一棵,且關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的兩點(diǎn)處必須種植同一種樹苗,則不同的種植方法種數(shù)是.

答案:36解析:依題意,只需考慮A,B,C,D四點(diǎn)處種植樹苗情況即可.當(dāng)A,B,C三點(diǎn)處種植樹苗均不相同時(shí),有A33=6(種)種植方法,此時(shí)點(diǎn)D處有3種種植方法,故不同的種植方法有6×3=18(種);當(dāng)A,B,C三點(diǎn)處有兩點(diǎn)種植樹苗相同時(shí),有C32A32=18(種)種植方法,此時(shí)點(diǎn)D處只有1種種植方法,故不同的種植方法有18×1=18(種).由分類加法計(jì)數(shù)原理,可知不同的種植方法有1818.用6種不同的顏色給三棱柱ABCDEF的六個(gè)頂點(diǎn)涂色,要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色,且每條棱的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色,則不同的涂色方法有種.

答案:8520解析:第一類,6種顏色都用上,此時(shí)涂色方法有A66=720(種第二類,6種顏色只用5種,第一步,選出5種顏色,方法有C65種;第二步,涂A,B,C三點(diǎn),方法有A53種;第三步,涂D,E,F三點(diǎn)中的兩點(diǎn),方法有A32種;第四步,涂剩余的一點(diǎn),方法有2種.故此時(shí)涂色方法有C65第三類,6種顏色只用4種,第一步,選出4