PAGEPAGE1中檔題保分練(三)1．(2024·駐馬店模擬)數(shù)列{an}滿意a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2－eq\f(n＋2,2n).(1)求數(shù)列{an}的通項公式；(2)設(shè)bn＝eq\f(an,1＋an·1＋an＋1)，求{bn}的前n項和Tn.解析：(1)當(dāng)n＝1時，a1＝2－eq\f(3,2)＝eq\f(1,2)；當(dāng)n≥2，nan＝2－eq\f(n＋2,2n)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(n＋1,2n－1)))＝eq\f(n,2n)，可得an＝eq\f(1,2n)，又∵當(dāng)n＝1時也成立，∴an＝eq\f(1,2n).(2)bn＝eq\f(\f(1,2n),\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n＋1))))＝eq\f(2n＋1,2n＋12n＋1＋1)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋1＋1)))，∴Tn＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2＋1)－\f(1,22＋1)＋\f(1,22＋1)－\f(1,23＋1)＋…＋\f(1,2n＋1)－\f(1,2n＋1＋1)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2n＋1＋1)))＝eq\f(2,3)－eq\f(2,2n＋1＋1).2．(2024·聊城模擬)為響應(yīng)綠色出行，某市在推出“共享單車”后，又推出“新能源租賃汽車”．每次租車收費(fèi)的標(biāo)準(zhǔn)由兩部分組成：①里程計費(fèi)：1元/公里；②時間計費(fèi)：0.12元/分．已知陳先生的家離上班公司12公里，每天上、下班租用該款汽車各一次．一次路上開車所用的時間記為t(分)，現(xiàn)統(tǒng)計了50次路上開車所用時間，在各時間段內(nèi)頻數(shù)分布狀況如下表所示：時間t(分)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)次數(shù)122882將各時間段發(fā)生的頻率視為概率，一次路上開車所用的時間視為用車時間，范圍為[20,60)分．(1)估計陳先生一次租用新能源租賃汽車所用的時間不低于30分鐘的概率；(2)若公司每月發(fā)放800元的交通補(bǔ)助費(fèi)用，請估計是否足夠讓陳先生一個月上下班租用新能源租賃汽車(每月按22天計算)，并說明理由．(同一時段，用該區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)解析：(1)設(shè)“陳先生一次租用新能源租賃汽車的時間不低于30分鐘”的事務(wù)為A，則所求的概率為P(A)＝1－P(eq\x\to(A))＝1－eq\f(12,50)＝eq\f(19,25)，所以陳先生一次租用新能源租賃汽車的時間不低于30分鐘的概率為eq\f(19,25).(2)每次開車所用的平均時間為25×eq\f(12,50)＋35×eq\f(28,50)＋45×eq\f(8,50)＋55×eq\f(2,50)＝35(分)．每次租用新能源租賃汽車的平均費(fèi)用為1×12＋0.12×35＝16.2(元)．每個月的費(fèi)用為16.2×2×22＝712.8(元)，712.8＜800.因此公司補(bǔ)貼夠每月上下班租用新能源租賃汽車．3．(2024·臨川一中模擬)如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD∥BC，AB＝AD＝2BC＝2，PB＝PD，PA＝eq\r(3).(1)求證：PA⊥BD；(2)若PA⊥AB，BD＝2eq\r(2)，E為PA的中點(diǎn).(ⅰ)過點(diǎn)C作始終線l與BE平行，在圖中畫出直線l并說明理由；(ⅱ)求平面BEC將三棱錐P-ACD分成的兩部分體積的比．解析：(1)證明：取BD中點(diǎn)O，連接AO，PO.∵AB＝AD，O為BD中點(diǎn)，∴AO⊥BD，又PB＝PD，O為BD中點(diǎn)，∴PO⊥BD，又AO∩PO＝O，∴BD⊥平面PAO，又PA?平面PAO，∴PA⊥BD.(2)(ⅰ)取PD中點(diǎn)F，連接CF，EF，則CF∥BE，CF即為所作直線l，理由如下：∵在△PAD中，E、F分別為PA、PD中點(diǎn)，∴EF∥AD，且EF＝eq\f(1,2)AD＝1.又∵AD∥BC，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，∴EF∥BC且EF＝BC，∴四邊形BCFE為平行四邊形.∴CF∥BE.(ⅱ)∵PA⊥AB，PA⊥BD，AB∩BD＝B，∴PA⊥平面ABD.又在△ABD中，AB＝AD＝2，BD＝2eq\r(2)，AB2＋AD2＝BD2，∴AB⊥AD.又PA⊥AB，PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD.VP-ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3)，VC-AEFD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\f(\r(3),2)×2＝eq\f(\r(3),2)，∴VP-ECF＝eq\f(2\r(3),3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),6)，∴eq\f(VP-ECF,VC-AEFD)＝eq\f(\f(\r(3),6),\f(\r(3),2))＝eq\f(1,3).4．請在下面兩題中任選一題作答(選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知直線l的參數(shù)方程：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝t，,y＝1＋2t))(t為參數(shù))和圓C的極坐標(biāo)方程：ρ＝2eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))(θ為參數(shù))．(1)將直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；(2)推斷直線l和圓C的位置關(guān)系．解析：(1)消去參數(shù)t，得直線l的直角坐標(biāo)方程為y＝2x＋1；ρ＝2eq\r(2)sin(θ＋eq\f(π,4))，即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，兩邊同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去參數(shù)θ，得圓C的直角坐標(biāo)方程為：(x－1)2＋(y－1)2＝2.(2)圓心C到直線l的距離d＝eq\f(|2－1＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(2\r(5),5)<eq\r(2)，所以直線l和圓C相交．(選修4－5：不等式選講)(2024·菏澤模擬)已知f(x)＝|x－1|＋|x－2|.(1)解不等式：f(x)≤x＋3；(2)不等式|m|·f(x)≥|m＋2|－|3m－2|對隨意m∈R恒成立，求x解析：(1)①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥2,2x－3≤x＋3))?2≤x≤6，②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＜x＜2,x－1＋2－x≤x＋3))?1＜x＜2，③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤1,3－2x≤x＋3))?0≤x≤1，由①②③可得x∈[0,6]．(2)①當(dāng)m＝0時，0≥0，∴x∈R；②當(dāng)m≠0時，即f(x)≥eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)－3))對m恒成立，eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1))－eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)－3))≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2,m)＋1－\