PAGEPAGE52.基本不等式基礎(chǔ)鞏固1函數(shù)y=3x2+6A.3C.6解析：y=3x2+∵3x2+3>0,∴y≥2當(dāng)且僅當(dāng)3x2+3=6x2+1答案：D2已知a>0,b>0,則1A.2 B.2解析：1a+1b+2ab≥21答案：C3若x,y∈R,且滿意x+3y=2,則3x+27y+1的最小值是()A.3BC.6 D.7解析：3x+27y+1=3x+33y+1≥23x·33y+答案：D4設(shè)a,b是正實(shí)數(shù),以下不等式恒成立的序號為()①③a2+b2>4ab-3b2;④ab+A.①③ B.①④ C.②③ D.②④解析：對于①,ab-2aba+b=答案：D5設(shè)a>0,b>0,若3A.8 B.4 C.1 D.解析：∵3是3a與3∴(3)2=3a·3b,即3=3此時(shí)=2+ba+ab當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12故1a答案：B6已知0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2ab解析：由已知條件可得a+b>2∵a2<a,b2<b,∴a+b>a2+b2.∴四個(gè)數(shù)中最大的是a+b.答案：a+b7已知正數(shù)x,y滿意x+2y=1,則x解析：由于正數(shù)x,y滿意x+2y=1,則=10+xy+當(dāng)且僅當(dāng)x+2所以x+8答案：188已知a,b,c>0,且a+b+c=1,求證:1a+分析：(1)留意“1”的代換.(2)a證明：1=3+≥3+2+2+2=9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=139若a>0,b>0,且1(1)求a3+b3的最小值;(2)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并說明理由.解:(1)由得ab≥2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2故a3+b3≥2a3b3≥42,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)(2)由(1)知2a+3b≥2由于43>6,因此不存在a,b,使得2a+310某種汽車購車時(shí)費(fèi)用為10萬元,每年的保險(xiǎn)、加油費(fèi)用共9千元,汽車的年修理費(fèi)用逐年以等差數(shù)列遞增,第一年為2千元,第2年為4千元,第三年為6千元,……問這種汽車運(yùn)用幾年后報(bào)廢最合算(即汽車的年平均費(fèi)用為最低)?解:設(shè)這種汽車運(yùn)用n年后報(bào)廢最合算,這n年中汽車每年的平均費(fèi)用為y萬元,則y==10當(dāng)且僅當(dāng)10n=故這種汽車運(yùn)用10年后報(bào)廢最合算.實(shí)力提升1已知不等式(x+y)1x+ay≥9對隨意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)A.2 B.4 C.6 D.8解析：(x+y)1x+ay∵(x+y)1x+ay≥9對隨意∴需(a+1)2≥9.∴a答案：B2某公司租地建倉庫,每月土地占用費(fèi)y1與倉庫到車站的距離成反比,而每月庫存貨物的運(yùn)費(fèi)y2與倉庫到車站的距離成正比,假如在距離車站10km處建倉庫,這兩項(xiàng)費(fèi)用y1和y2分別為2萬元和8萬元,那么,要使這兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小,倉庫應(yīng)建在離車站()A.5km處 B.4km處 C.3km處 D.2km處解析：設(shè)倉庫到車站的距離為xkm,由已知得y1=費(fèi)用之和y=y1+y2=0.8x+當(dāng)且僅當(dāng)0.8x=20x,即x=5時(shí),等號成立答案：A3若a,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-23A.C.2解析：因?yàn)閍,b,c>0,且a(a+b+c)+bc=4-2所以4-2=≤1當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí),等號成立.所以(23-2)2≤(2a+b+c)2,則2a+b+c答案：D4函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,其中mn>0,則1解析：函數(shù)y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的圖象恒過定點(diǎn)A(-2,-1).∵點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上,∴-2m-n+1=0,即2m+n=1.又mn>0,∴m>0,n>0.則1m+2n(2m+n答案：85(2024天津,理12)若a,b∈R,ab>0,則a解析：∵a,b∈R,且ab>0,∴a當(dāng)且僅當(dāng)答案：4★6若正數(shù)a,b滿意ab=a+b+3,則ab的取值范圍是.

解析：令ab=t(t>0),則由ab=a+b+3≥2ab+3(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號成立),得t2≥2t+3,即t2-2t-3≥0.解得t≥3或∴ab≥9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí),等號成立.答案：[9,+∞)7已知a,b,x,y>0,x,y為變量,a,b為常數(shù),且a+b=10,a解:x+y=(x+y)=a+b+bxy當(dāng)且僅當(dāng)bx故(x+y)min=(即a+b+2又a+b=10,②由①②可得8已知a>b,ab=1,求證:a2+b2≥22證明：∵a>b,∴a-b>0.又ab=1,∴=(a-b)+∴a2+b2a當(dāng)且僅當(dāng)a-b=即a-b=2(★9如圖,為處理含有某種雜質(zhì)的污水,要制造一個(gè)底面寬為2m的無蓋長方體沉淀箱,污水從A孔流入,經(jīng)沉淀后從B孔流出,設(shè)箱體的長度為am,高度為bm,已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a,b的乘積ab成反比,現(xiàn)有制箱材料60m2,問當(dāng)a,b各為多少時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小?(A,B孔的面積忽視不計(jì))分析：題意中的“雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)”可按“雜質(zhì)的含量”理解,設(shè)為y.由題意y與ab成反比,又設(shè)比例系數(shù)為k,則y=kab.由于受箱體材料多少的限制,a,b之間應(yīng)有肯定的關(guān)系式,即2×2b+2ab+2a=60,因此該題的數(shù)學(xué)模型是已知ab+a+2b=30,a>0,b>0,求a,b解法一設(shè)流出的水中雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,由題意知y=kab,其中k為比例系數(shù)(∵據(jù)題設(shè)有2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0),∴b=30-a2+a(由a>∴y=令t=a+2(t>0),則a=t-2.從而=∴y=當(dāng)且僅當(dāng)t=64t,即a+∴a=6.由a=6可得b=3.綜上所述,當(dāng)a=6,b=3時(shí),經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二設(shè)流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y,依題意y=kab,其中k為比例系數(shù),k>0,要求y的最小值,必需求出依題設(shè)知2×2b+2ab+2a=60,即ab+a+2b=3