第6章一元一次方程

6.1從實際問題到方程

教學目標

知識與技能

使學生會列一元一次方程解決實際問題，能判斷一個數是否為某個方程的解.

過程與方法

通過對實際問題的分析，體會一元一次方程為從實際問題中建立的數學模型所帶來的方

便.

情感、態(tài)度與價值觀

感受數學源于生活實際，乂應用于生活實際，進一步認識數學中方程與現實世界的密切

聯系.

重點難點

重點

列一元一次方程解決實際問題.

難點

審清題意，找出題目中“相等關系”.

教學過程

一、情境導入

1.教師用投影儀投影：一本筆記本1.2元，小紅有6元錢，那么她最多能買到幾本這樣

的筆記本？

問題：此題可以有幾種解法？分別解答出來.

2.卡片顯示，觀察卡片上的式子，你能填上適當的數嗎？（卡片上式子分別為：3+口=

4\

-7

8,0-2=7,5X?36

如果將這5張卡片中未知的數均用字母x表示，它們將如何表現呢?

4X

-=-

36

3.觀察問題I、2中的式子有何共同特點？

4.教師點評：通過設未知數，列方程，將實際問題轉化為數學中的方程問題來解決.

板書：從實際問題到方程

二、探究交流

1.某校初中一年級328名師生乘車外出春游，已有2輛校車可乘坐64人，還需租用44

座的客車多少輛？

［問題1］你有幾種方法解答？

列方程解：設租44座客車x輛，有44x+64=328.算術法解：（328—64）：44.

［問題2］這個方程你能解嗎？你是怎樣解的？

依據是什么？

想一想.：列方程求解具有什么樣的優(yōu)點？很容易將實際問題轉化為一個數學中的方程問

題，然后只需解方程即可.

2.教師給出方程解的定義.

3.習題鞏固

檢驗下列各括號里的數是不是它前面方程的解：

(l)6(x+3)=30(x=5,x=2)：

(2)3y—l=2y+l(y=4,y=2)；

(3)(x-2)(x-3)=0(x=0,x=2,x=3).

4.思考：將教材中第2頁問題2中的“三分之一”改為“三分之二”，試著用剛才的兩

種方法求解.

5.問題：教材第5頁中的“思考”.

教師小結：方程能讓我們很容易地將實際問題轉化為方程問題，至于方程的求解我們學

到后面就很容易解決了.

三、鞏固練習

1.方程12(x—3)=2x+4的解是()

A.x=3B.x=—3C.x=—4D.x=4

2.已知x=2是方程2(x-3)+l=x+m的解，則m等于()

A.3B.2C.-3D.-2

3.某長方形球場周長為310米，長和寬之差為35米，這個球場的長和寬分別是多少米？

四、課時小結

1.本節(jié)課我們主要學習了怎樣用列方程來解實際問題的辦法，體會到列方程的優(yōu)點.

2.在列方程解決問題時，應分析題意中數量關系，找出所蘊含的等量關系，列出方程.

3.檢驗一個數是不是方程的解，應代入方程中，檢驗式子是否成立.

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

板書設計

一、情境導入

一、探究交流

三、鞏固練習

四、課堂小結

五、布置作業(yè)

教學反思

本節(jié)課在設計上重點體現學生的自主探究，首先在引入時，問題設計體現出教師的教學

活動是建立在學生認識發(fā)展水平和已有的知識經驗的基礎上，承接以前的算術法為基礎的方

程意識，探究過程在對教材例題的處理上，讓學生探究方程解法與算術解法的優(yōu)劣，從而讓

學生在自主探索中進行比較，自己得出結論.較之傳統(tǒng)的教學活動而言，體現了學生的主體

地位，著重于學生的探索活動，強調了學生的自我發(fā)現在方程的解的概念這部分的處理上的

重要性，繼續(xù)強化了學生的探索活動.

6.2解一元一次方程

6.2.1等式的性質與方程的簡單變形

第1課時等式的基本性質教學目標

知識與技能

1.掌握等式的基本性質.

2.會利用等式的基本性質解簡單的一元一次方程.

重點難點

重點

等式的兩個基本性質.

難點

利用等式的兩個性質解一元一次方程.

教學過程

一、創(chuàng)設情境明確目標

小明和王力在玩蹺蹺板，當他們位于蹺蹺板兩端的時候，恰好處于平衡的位置..這時，

李強和小麗也來了，如果他們二人的體重相等，他們這時也分別坐在蹺蹺板的兩端，這時候

蹺蹺板是否仍然平衡？

二、合作探究達成目標

探究點一等式的基本性質

活動一：觀察下面的天平變化，你可以得出與等式有關的什么性質？

5r=^r+42r=4r=2

【展示點評】等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式.等式兩邊

同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果仍是等式.

【小組討論】若ma=mb,那么下列等式不一定成立的是（）

A.a=b

B.ma-6=mb-6

D.ma+8=mb+8

（提示：要特別注意兩邊都除以同一個數時，除數不能為0.）

【反思小結】仔細觀察分析原等式與各選項中的等式的結構、系數有何變化，從而確定

是應用了等式的哪條性質.

【反思小結】見學生用書“當堂練習”相應部分.

探究點二利用等式的基本性質解方程

活動一：閱讀教材第133頁例I、例2,解下列方程：

⑴x+2=7

解：方程兩邊________，得.

（2）4=x-5

解：方程兩邊________,得.

（提示：把求出的解代入原方程，就可以知道求得的解對不對哈?。?/p>

（3）-3x=15

解：方程兩邊________，得.

【展示點評】利用等式性質解一元一次方程，就是利用等式性質把方程ax+b=O（arO）

變開，最終化為x=一，的形式，x=?叫一元一次方程ax+b=O的解，求方程解的過程，叫

做解方程.

【小組討論】利用等式的基本性質解方程，通常有哪些步驟？需要注意哪些問題？

【反思小結】利用等式的基本性質解方程的一般步驟：（1）利用等式的基本性質I,在方

程的兩邊都加上或減去同一個代數式，使方程左邊只含有未知數，右邊只含有常數；（2）利用

等式的基本性質2,在方程的兩邊同時除以未知數的系數或乘未知數系數的倒數，將未知數

的系數化為1,從而求得方程的解.運用性質1時.,一定要注意等式兩邊同時加上（或減去）

同一個數或同一個代數式，才能保證所得結果乃是等式，這里要特別注意“同時”和“同一

個”.運用性質2時，除了要注意等式兩邊同時乘（或除以）同一個數，才能保證所得垢果乃

是等式以外，還必須注意等式兩邊不能都除以0,因為0不能做除數.

【反思小結】見學生用書“當堂練習”相應部分.

三、總結梳理達成目標

1.本課知識點：

（1）等式的基本性質1：等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，所得結果仍是等式.可

以用符號表9為：若A=B,則A土C=B±C.

（2）等式的基本性質2：等式兩邊同時乘同一個數（或除以同一個不為0的數），所得結果

仍是等式.可以用符號表示為：若人=8,且C#0,則AXC=BXC,9=圣

2.應用性質時注意：

運用性質I時，一定要注意等式兩邊同時加上（或減去）同一個代數式，才能保證所得結

果乃是等式，這里要特別注意同時和同一個.

運用性質2時，除了要注意等式兩邊同時乘（或除以）同一個數，才能保證所得結果乃是

等式以外，還必須注意等式兩邊不能都除以0,因為0不能做除數.

3.我的困惑：

四、達標檢測反思目標

1.下列變形正確的是（）

A.如果2x-3=7,那么2x=7—3

B.如果3x—2=x+l,那么3x—x—1—2

C.如果-2x=5,那么x=5+2

D.如果一|x=l,那么x=—3

2

2.在方程6*—1=1,2:《=不7*—1=乂+1,5*=2—*中，與方程6*=2的解相同的有（）

A.4個B.3個C.2個D.1個

3.如圖，下列四個天平中，相同形狀的物體的質量是相等的，其中第①個天平是平衡的，

根據第①個天平，后三個天平仍然平衡的有（）

①②④

A.0個B.1個C.2個D.3個

4.解方程2x—4=1時，先在方程的兩邊都.,得到.,然后在方程的兩

邊都，得至Ux=.

5.利用等式的基本性質解方程.

(l)-1x4-3=2；(2)3x—3=x+1.

五、作業(yè)

課后作業(yè)見學生用書的“課后作業(yè)”部分.

教學反思

本節(jié)課采用從生活中的蹺蹺板引入學習，激發(fā)學生學習興趣，采用類比等式性質創(chuàng)設問

題情景的方法，引導學生的自主探究活動，教給學生類比、猜想驗證等研究問題的方法，培

養(yǎng)學生善于動手、善于觀察、善于思考的學習習慣.利月學生的好奇心設疑、解疑，讓學生

積極參與，大膽猜想，使學生在自主探索和合作交流中理解和掌握本節(jié)課的內容.在整個探

究學習的過程中充滿師生之間、學生之間的交流和互動，體現教師是教學活動的組織者、引

導者、合作者，學生才是學習的主體.

第2課時方程的簡單變形

教學目標

知識與技能

I.通過實踐以及日常生活中的問題，直觀感受方程的簡單變形.

2.在觀察思考的基砒上，體會方程的兩種變形及解方程的兩個基本步驟.

3.進一步熟悉方程的兩個變形及解方程的兩個重要步驟.

過程與方法

1.讓學生經歷知識的形成過程，培養(yǎng)學生自主探索和相互合作的能力.

2.引導學生自主探索復雜方程的解法，體會方程不同解法中所蘊含的轉化思想.

情感、態(tài)度與價值觀

I.激發(fā)學生濃厚的學習興趣，使學生有獨立.思考，勇于創(chuàng)新的精神，養(yǎng)成按客觀規(guī)律辦

事的良好習慣.

2.使學生掌握解方程的基本方法，體驗方法的多樣性，培養(yǎng)學生的實踐能力和創(chuàng)新精神，

領悟數學來源于生活的宗旨，養(yǎng)成獨立思考和合作交流的能力.

重點難點

重點

1.移項法則及其應用.

2.讓學生經歷自主探索解方程的每一步變形依據，歸納解方程的一般步驟.

難點

1.從具體實例中抽象出方程的兩種變形.

2.方法的靈活應用與多樣性.

教學過程

一、情境導入

設計意圖：通過學生自主探究和演示實驗，讓學生直觀感受方程的兩個變形，進而激發(fā)

他們的學習興趣和探究欲望，從而更容易理解和接受這兩條性質.

教師先提出實驗的要求：請同學們仔細觀察實驗的過程，思考能否從中發(fā)現規(guī)律，再用

自己的語言敘述發(fā)現的規(guī)律.

分組實驗(時間約10分鐘)：每小組準備天平一架、他碼和等質量小木塊若干.教師引導

學生進行以下操作.

操作(1)

1.先在托盤中放入一小木塊，然后在另一個托盤中加入祛碼，使天平平衡.

2.然后在天平中放入等質量的小木塊各一塊，觀察此時天平是否平衡，可以重復此步.

操作(2)

1.在兩個托盤中放入等質量的木塊各一塊，觀察此時天平是否平衡.

2.在兩個托盤中放入等質量的木塊各相等的數量，觀察此時天平是否平衡，可以重復此

步.

思考，這其中包含的數學道理足什么？

學生討論后交流，然后師生共同歸納出方程變形的兩條性質：

變形I：方程的兩邊都加上或都減去同一個數或同一個整式，方程的解不變.

變形2：方程的兩邊都乘以或除以同一個不為零的數，方程的解不變.

1.方程的兩個變形是什么？

2.解方程進行移項時應注意哪叫問題？

3.解方程的最后一步是什么？

4.解方程：2x+3=L

教師盡量讓后進生板演，并對出現的問題進行討論、分析.

二、探究新知

設計意圖：進一步滲透模型化的思想，引發(fā)學生認知上的沖突，尋求解決途徑，感受解

決問題的方法與思路.

1.出示教材第6頁例1：解下列方程：(l)x—5=7；(2)4x=3x—4.

問題：怎樣解這個方程？如何利用方程的兩個變形使它們向x=a的形式轉化呢？

學生思考：探索：對于方程(1),可在方程兩邊同加上5；對于方程(2),可在方程兩邊都

減去3x,從而把兩個方程的解求出來.

歸納：像上面這樣，將方程中的某些項改變符號后，從方程的一邊移到另一邊的變形叫

做移項.

通過移項，含未知數的項和常數項分別位于方程的左右兩邊，使方程更接近于x=a的形

式.

2.出示例題，解方程：

(l)8x=2x-7；

(2)6=8+2x.

師巡回觀察.然后講評：

①每一步是怎樣變形的？變形的依據是什么？

②解方程的格式，提醒與計算題格式的不同點.

③揭示變形中可能的“多余步驟”，如移項中將含未知數的項移到方程右邊；系數化為

1時可能出現的錯誤.

3.“我來當老師”

解方程：⑴%—1=/(2)3x+2=4x；

(3)5—3x=7；(4)^x+|=0.

教師引導板演的學生逐一講述每一步怎樣變形.

4.分組對抗

每個學習小組在黑板上出一道解方程題，并在相鄰的小組挑一位同學解答，且要求說出

每一步是怎樣變形的.

5.例題講解

解方程：2y—1=1y-3.

教師請不同解法的學生演示其解答過程.

師點評，并引導歸納解方程的一般步驟.

三、嘗試運用、加深鞏固

設計意圖：通過對移項方法的嘗試運用，加深對該方法的理解與掌握，使學生能夠利用

該種方法去解方程.

師出示教材第6頁例2：解方程：⑴-5x=2；(2)|x=；.

兩組學生板演，其余學生在練習本上完成.然后針對學生的完成情況進行點評，讓學生

進一步體會”系數化為1”的依據.

1.解下列方程，并說出每一步是怎樣變形的：

(l)5x=2x+3；(2)2y+l=3y—4.

2.列方程求下列各數：

(l)x的;等于x的;與3的差.

(2)某數的3倍加上5,等于該數的4倍減去7.

師巡視指導.

四、小結與作業(yè)

設計意圖：通過師生共同歸納本節(jié)所學的知識，進一步整合本節(jié)內容，使學習的知識更

加有條理，更利于知識的鞏固和消化.

1.小結：方程的兩個變形是什么？移項中應注意哪些問題？

2.解方程的一般步驟，以及各步驟是怎樣變形的？

3.各步驟的先后順序不一，解法不唯一.

4.解方程的最后一步一定要化為形如“x=a”的形式.

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

通過學習讓學生學會了方程簡單變形，進?步熟悉了方程的兩個變形及解方程的兩個步

驟，激發(fā)了學生濃厚的學習興趣，養(yǎng)成獨立思考和合作交流的能力.

6.2.2解一元一次方程

第1課時解含括號的一元一次方程教學目標

知識與技能

感受一元一次方程的定義，進一步理解并掌握解一元一次方程的方法.

過程與方法

經歷含括號的一元一次方程求解過程，能用去括號、移項、系數化為1等步蛛來解一元

一次方程.

情感、態(tài)度與價值觀

通過解方程，體會轉化思想在數學中的重要作用，培養(yǎng)學生自覺反思求解和自覺檢驗方

程的解是否正確的良好習慣.

重點難點

重點

含括號的一元一次方程的解法.

難點

括號前是負號的處理.

教學過程

一、情境導入

設計意圖：通過學生的自主嘗試、觀察、歸納，有效地激發(fā)學生的參與欲望，培養(yǎng)學生

的創(chuàng)新能力和分析解決問題的能力.

師用投影給出以下幾個方程：-2x=4,4x=^,44x+64=328,13+x=/45+x）.

提出問題：這些方程有什么共同特點？

學生思考后，分小組進行交流.歸納.

師最后概括：（1）只含有一個未知數；（2）含有未知數的式子是整式；（3）未知數的次數是

1.

具備以上特點的方程叫一元一次方程.

這節(jié)課我們就來學習怎樣解一元一次方程（師板書）.

二、嘗試探究

設計意圖：通過學生的探究活動，讓學生感受解一元一次方程的步驟，會使用其步驟去

嘗試解一元一次方程，從而達到熟練掌握的目的，培養(yǎng)學生解決問題的能力.

I.解方程:3（x-2）+l=x-（2x-l）.

［注意］（1）在學生自主探索的基礎上，教師可有針對性地引導利用前面所學過的相關知識

（如怎樣去括號，去括號應注意什么等）進行解答；

（2）讓學生自覺理解每一步解答的依據.

2.師板書解方程的步驟：

解：去括號得：3x—6+1=x—2x+I,

即：3x-5=-x+1,

移項得：3x+x=l+5,

即：4x=6.

系數化為1得：x=W

（通過板書解題步驟，滲透解方程的一般步驟，使解題規(guī)范化，讓學生養(yǎng)成良好的解題習

慣）.

3.嘗試練習：解下列方程：（l）-5（x-l）=l；（2）2—（1一x）=2.

三、鞏固練習，深化認識

設計意圖：通過練習，使學生進一步鞏固解一元一次方程的方法；通過對不同解法的探

討，開拓學生的思維，提高他們分析問題和解決問題的能力.

1.解方程：一2（x—1）=4.

［注意］（1）學生中可能出現不同的解法，如：①一2x+2=4；②x-l=-2,應給予他們講

清思，路的機會，教師作適當的引導：（2）如果學生不能利用不同的解法，教師可適時提出指導

建議，從而形成兩種解法.

2.議一議

組織學生比較兩種不同的解法，在獨立思考的基礎上，進行交流.

3.練一練

解下列方程：（1）一3（、-5）=6；（2）2（3-x）=9.

四、回顧反思

設計意圖：通過回顧反思，進一步整合本節(jié)課所學的知識，使所學知識更有條理性，解

題方法更加明確，有利于學生知識的形成、深化.

師；1.你能識別怎樣的方程是一元一次方程？（從概念上進行概括）

2.你認為含括號的一元一次方程應如何解？（去括號，移項，合并同類項，系數化為1.）

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

本節(jié)通過學習一元一次方程的定義及其解法，讓學生掌握了如何判斷方程是一元一次方

程和一元一次方程的步驟：去括號、移項、合并同類項、系數化為1.通過解方程讓學生體會

到了轉化的思想在數學中的重要作用.

第2課時解含分母的一元一次方程

教學目標

知識與技能

經歷解方程基本思路是把“復雜”轉化為“簡單”，把“新”轉化為“舊”的過程，進

一步理解并掌握如何去分母的解題方法.

過程與方法

i.通過解方程去分母的過程，體會轉化思想.

2.進一步體會解方程方法的靈活多樣性，培養(yǎng)解決不同問題的能力.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生自覺反思求解和自覺檢驗方程的解是否正確的良好習慣，養(yǎng)成團隊合作的精神.

重點難點

重點

運用去分母解方程.

難點

去分母時需解決的兒個問題.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

設計意圖：能夠創(chuàng)設問題情境，發(fā)展學生用方程解決問題的能力，感受方程是刻畫客觀

世界量與量之間關系的重要工具，激發(fā)學生的學習熱情；同時也從簡單到復雜，鞏固所學的

解方程的知識，為去分母做鋪墊.

教師出示一組解方程的練習題：解方程:①7x=6x—4：②8=7-2y；③5x+2=7:《一8；

④8—2(x—7)=x—(x—4).

鼓勵四名學生板演，其余學生在練習本上自主完成解題，看哪組同學全對的人數最多.

教師巡視，學生完成后點評，并讓學生回憶解一元一次方程的基本程序(板書)：

①去括號：②移項；③合并同類項：④兩邊同除以未知數的系數.

二、探究新知

設計意圖：任何未知的探求都希望通過已知來解決，這是數學中“化歸”思想的核心問

題，必須尋找以往的經驗進行解決，通過學生的觀察與比較，嘗試與探索，可知如何去分母

成為主題.

師：根據以上解方程的基本程序，你能解下面的方程嗎？

1(x+14)=1(x+20).

根據“舊”知識，學生會作如下解答.

解法一：去括號，得：1x+2=1x+5,

移項得：|x—1x=5-2,

3

合并同類項，得：一條=3，

3

兩邊同除以一合得x=-28.

師：該方程與前面講過的方程有什么不同？

生：以前學過的方程的系數都為整數，而這一題目中出現了分數.

師：能否把分數系數化為整數？

生：在方程兩邊同乘以各分母的最小公倍數28即可.

師：這樣使解方程避免“計算”分數的復雜性，使解方程過程簡單.

解法二：方程兩邊同乘以28得：

4(x+14)=7(x+20),

去括號得：4x+56=7x+140,

移項得：4x-7x=140—56,

合并同類項得：-3x=84.

兩邊同除以一3得：x=-28.

師：去分母，方程兩邊同乘以一個什么數合適呢？

生：分組討論后得出：方程兩邊都乘以所有分母的最小公倍數，從而去掠分母.于是解

方程的基本程序中又多了一步“去分母”，教師添上“云分母”這一步驟，完整得出解一元

一次方程的基本程序.

三、體驗成功

設計意圖：通過及時鞏固，反饋學習的效果，使學生進一步熟練掌握解一元一次方程的

步驟，進一步體驗化歸思想，也同時通過解方程中組內的交流、合作，達到團結協(xié)作的目的，

體驗成功的快樂.

解方程：

讓學生自主完成解題，然后組內互相交流自己的結論，并自覺檢驗方程的解是否正確，

若發(fā)現錯誤，讓同伴幫助出錯的同學找原因，及時糾正.

教師強調：①不能漏乘不含分母的項；②注意給分子添括號.

練習：教材第10頁練習第1題，學生口答.

四、小結

設計意圖：用表格的形式，比較系統(tǒng)地總結本節(jié)所學內容，讓學生更容易掌握；也同時

在讓學生完成填表的過程中，培養(yǎng)他們的語言表達能力.

師：今天我們學習了哪些新知識？你有什么收獲？你能填寫下列表格嗎？

步驟根據注意事項

去分母

去括號

移項

合并同類項

未知數的系數化為1

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

本節(jié)課講述如解帶有分母的一元一次方程.在上一節(jié)課的基礎上進一步完整了解一元一

次方程的基本步驟：去分母、去括號、移項、合并同類項，系數轉化為1.重點讓學生掌握了

在去分母時應該注意利用等式的基本性質②在方程兩邊都乘以某個數，不能漏掉每一項，否

則題目將發(fā)生的變化得到就是一個錯誤的結論.

第3課時一元一次方程的應用

教學目標

知識與技能

體會用方程來解決問題的便捷與直觀，培養(yǎng)運用數學建模思想解決問題的能力.

過程與方法

經歷探究用一元一次方程解決簡單實際問題的一般方法與基本過程，會列出一元一次方

程解簡單的應用題.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生樂于思考，不怕困難的精神.

重點難點

重點

探究用方程來解決實際問題的?般步驟與方法.

難點

找出并根據題H中的等量關系列出方程.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，導入新課

設計意圖：通過練習，使學生熟悉鞏固解一元一次方程的過程中合并同類項和移項的方

法，為進一步學習方程的應用作準備.

師：練習解方程：(l)-4x+0.5x=6；

(2)7x+5=4.5x+7.5；

(3)4x—7=6x—5；

(4)|x-3=1x.

學生獨立完成，然后互相交流.

二、探究新知

設計意圖：通過觀察、討論、比較，讓學生體驗列方程解應用題的過程，培養(yǎng)學生分析

解決問題的能力，激發(fā)學生不怕困難，勇于探索的精神.

1.教師出示教材第II頁例6.

引導學生根據教材中出示的表格進行分析.

學生分組進行討論交流，教師巡視，也可以參與到討論中去，和大家交流看法.從而歸

納出怎樣設未知數，如何找等量關系，最終列出方程51—x=45+x.達到求解的目的.

2.教師出示教材第12頁例7.

師：此題中應設什么為未知數？(新團員為x名)

可以用x表示的有哪些量？其中所涉及的等量關系是什么？

怎樣列方程？

學生討論交流后，由組內派代表回答問題，通過師生互動最終列出方程：

32x+24(65-x)=1800.

解方程讓學生自主完成，集中反饋.

三、嘗試運用

設計意圖：通過對問題的解決，培養(yǎng)學生分析解決問題的能力，從而讓學生學會用一元

一次方程去分析和解決生活中的問題，增強數學的應用意識.

師出示問題：

1.甲隊原有a人，乙隊原有b人，現從甲隊抽調x人去乙隊，則現在甲隊有

人，乙隊有人.

2.買4本練習本與3支鉛筆一共用了1.24元，已知鉛筆每支0.12元，則練習本每本多

少元？

3.小紅今年6歲，她的祖父72歲，幾年后，小紅的年齡是她祖父年齡的%

學生先獨立完成，然后組內討論交流，最后教師引導集中反饋.

四、小結

設計意圖：通過小結，讓學生進一步了解列方程解應用題的步驟，便于他們形成一個完

整的知識體系，更利于他們對列方程解決實際問題的全面認識.

列方程解決實際問題的步驟：(1)弄清題意和其中的數量關系，用字母表示適當的未知數；

(2)找出問題所給出的有關數量的相等關系，它反映了未知量和已知量之間的關系；(3)對這個

等量關系中涉及的量，列出所需的表達式，根據等最關系得到方程.

在設未知數和作出解答時，應注意量的單位.

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

本節(jié)學習了用方程解決簡單實際問題，讓學生認識并掌握了用一元一次方程解決實際問

題的一般方法與基本過程，會通過審題列出一元一次方程解簡單的應用問題，重點燭要弄清

未知條件和已知條件之間的數量關系，培養(yǎng)學生樂于思考，不怕困難的精神.

6.3實踐與探索

第1課時實踐與探索（一）

教學目標

知識與技能

1.通過分析圖形問題中的基本等量關系，建立方程解決問題.

2.進一步了解一元一次方程在解決實際問題中的應用.

過程與方法

1.經歷實踐活動，感受具體問題中數量之間的關系和變化規(guī)律.

2.在動手探索活動中，初步體會數形結合思想在實踐應用中的作用.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生敢于面對和克服數學活動中困難的能力，使他們擁有運用知識解決問題的成功

體驗，建立學好數學的自信心.

重點難點

重點

應用方程解決具體的實際問題.

難點

在實踐活動中借助直觀的圖形來列方程.

教學過程

一、創(chuàng)設情境，引入新課

設計意圖：通過學生小時候玩過的“捏橡皮泥”的游戲引入課題，讓學生看到自己所學

知識與現實世界息息相關，學習會更主動，由此激發(fā)學生的學習興趣與學習熱情.

師：小時候，大家玩過橡皮泥嗎？（展示準備好的模型）這是用橡皮泥捏成的高為10厘米

的圓柱，現在要將它改成高為3座米的圓柱，但不能剩余橡皮泥，哪位同學愿意試試？你能

描述一下它的外形變化嗎？在這個過程中，圓柱的體枳是否發(fā)生變化？學生枳極思考，踴躍

參與問題的回答.

二、探究新知

設計意圖：在引例的基礎上，將具體問題呈現給學生，然后師生共同討論解決問題的方

法，使學生感受數學在實際生活中的應用，培養(yǎng)學生解決問題的能力.

1.（師出示投影）將一個底面直徑是10厘米，高為36厘米的圓柱體改造為底面直徑為20

厘米的圓柱，高變成了多少？

（1）你能分析題目中的三知條件和未知量嗎？

（2）改造前后圓柱的什么量是相等的？

（板書）相等關系：改造前的體積=改造后的體積.

（3）要求的未知數是什么？如何設？你能用所設的“x”表示改造后的體積嗎？

學生在充分思考后，可適當交流，在教師的引導下設出未知數，從而列出方程.

設高變成x厘米，則。（學）-36=11?（舒?x.

然后學生完成求解過程.

2.（出示鐵絲）問：這根鐵絲圍成長方形，能圍出多個個不同的長方形？這些長方形的周

長有什么關系？

學生思考后回答.

［問題1］（出示投影）用一根長60厘米的鐵絲圍成一個長方形,（1）使得長方形的寬是長的東2

求這個長方形的長和寬？

（2）使長方形的寬比長少4厘米，求這個長方形的面積；

（3）當長方形的長與寬相等時，即圍成一個正方形，它的邊長是多少？面積呢？

問：此問題中的相等關系是什么？（1）中有幾個未知數？如何設？

（避免出現多個未知數同時設為x）

三個同學上黑板解答，教師巡視下面學生的解答情況，個別指導.

（講評后可讓不同解法的學生發(fā)言，百花齊放）

問：觀察這三個同學的解答結果，你有什么發(fā)現？

三、解決問題

設計意圖：通過探究可使學生明白在解決問題的過程中體會到解決問題是可以有不同策

略的，每個人都應有自己對問題的理解，并在此基礎上形成自己解決問題的基本策略.

師提出問題：如果將以上問題中的寬比長少4厘米改為3厘米、2厘米、1厘米、0!里米,

長方形的面積有什么變化？

學生動手計算、討論、歸納.教師最后點評總結.

四、反思與提高

設計意圖：在反思中梳理知識脈絡，從而讓學生對列方程解決實際問題有一個全面認識.

（議一議）你認為利用方程解決問題的關鍵是什么？在尋找圖表問題中的等量關系時，你

有什么秘決？

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

本節(jié)課為實踐操作課，更進?步讓學生了解用?元?次方程來解決有關圖形的問題，既

讓學生動手進行實踐操作，乂把數的知識運用在實踐中初步體會了數形結合思想在實踐應用

中的作用.

第2課時實踐與探索（二）

教學目標

知識與技能

通過學生調查現行的利率問題，經歷運用方程解決實際問題的過程，感受到方程是刻畫

現實問題的有效數學模型.

過程與方法

在經歷用方程解決利率等實際問題的過程中，培養(yǎng)學生學習的興趣和主動探索的習慣.

情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生對數學的熱情，實事求是的態(tài)度以及與他人合作、交流的能力.

重點難點

重點

培養(yǎng)學生通過實踐去探索數學問題的意識.

難點

有關利率、利潤率等相關問題的理解.

教學過程

一、創(chuàng)設問題情境

設計意圖：從生活中引入問題，激發(fā)學生的學習興趣，自發(fā)地后動思維機制，快速地進

入問題情境.

1.提出問題

師：（出示一張取款單）這是老師昨天在銀行取款時得到的，誰能給同學們講一講每一項

的含義？（給學生一定的思考、交流時間）

生：木金就是開始老師存入銀行的錢，利息是銀行給的，木息和是本金和利息的總和，

利率就是利息與本金的比，利息稅不知道.

師:我國從1999年11月1日起開始對儲蓄存款利息征收個人所得稅，期間利息稅由20%

調到5%,現在由于金融危機，暫停征收利息稅，教育儲蓄和購買國庫券?直不收利息稅；

每個期數內的利息與本金比叫利率.（根據學生情況講解有關儲蓄的知識）

2.點題

師：根據存款的方式、時間不同，銀行所給的利率也不同，今天我們來研究儲蓄的問題.

二、自主探究

設計意圖：通過實際生活中的實例，用問題的形式來探究新課內容，使學生感受數學來

源于生活，生活中需要數學.

師：我們大家都是七年級同學，六年后將走進大學校門，假設上大學需要5000元學費，

你的爸爸媽媽現在就參加教育儲蓄，下面有兩種儲蓄方式：（1）先存一個3年期的，年利率為

2.7%：（2）直接存一個6年期的年利率為2.88%.你認為哪種儲蓄方式開始存入的本金比較少？

教師指導學生自主學習.

1.獨立思考階段：給學生充分的獨立思考、探究時間，使學生對新問題.能結合自己已

有的知識，尋求新的問題解決方法.教師巡視，了解學生的探究情況，隨時調節(jié)教學環(huán)節(jié).

2.小組討論交流階段：學生有了自己的想法后，可與小組內的同學展開交流，從而體現

數學教學是數學思維過程的教學，學數學的過程是學生頭腦中構建數學認知結構的過程，是

學生的一種自主性行為，用自身的創(chuàng)造活動去感受數學是做出來的，不是教出來的.

3.成果展示階段：［生1］設開始存入x元，若按第一種方式，則1.081x（1+2.7%X3）=

5000,1.16856lx=5000,x^4279（元）.

［師］談談你的想法.

［生1］我是這樣想的，第一個3年期，本金為x元，利息為xX2.7%X3,本息和為x（l

+2.7%X3）=1.081x；第二個三年期,本金為1.081X,利息為L081xX2.7%X3,本息和要達

到5000元.就是說，開始大約存入4280元，3年期滿后將本息和再存入一個3年期，6年后

能達到5000元.

［生1］若按第二種儲蓄，則x（1+2.88%X6）=5000,x=4263（元），如果直接存一個6年

期的，開始只需存入4263元.

［師］通過學習，你們選擇哪一種儲蓄方式呢？學生齊聲說第二種.

三、試一試

設計意圖：通過練習，使學生感受數學與生活的聯系，激發(fā)學生熱情，鞏固本節(jié)所學的

知識.

師：出示教材第17頁中的問題2.

學生討論解決，然后師生共同寫出解答.

四、小結

設計意圖：通過小結，回顧和梳理本節(jié)所學知識，便于讓學生識記，更好地掌握和理解

本節(jié)所學的內容.

師：通過探究學習，你有什么收獲？

生：這節(jié)課我們了解了有關儲蓄的一些知識，理解了利息、利息稅、利率等知識：還體

會到在生活中要有一定的經濟計劃，要學會理財.

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

本節(jié)課學習了用一元一次方程來解決利率和利潤的實際問題.通過學習上學生親身體會

到在實踐生活中的利潤，利率是如何利用一元一次方程解決問題的，體會到了用建立數字模

型解決實際問題的樂趣，增強他們對學習數學的興趣.

第7章一次方程組

7.1二元一次方程組和它的解

教學目標

知識與技能

弄懂二元一次方程、二元一次方程組和它們的解的含義，并會體驗一對數是不是某個二

元一次方程組的解.

過程與方法

學會用類比的方法遷移知識，體驗二元一次方程組在處理實際問題中的優(yōu)越性.

情感、態(tài)度與價值觀

經歷對二元一次方程(組)的概念的學習，感受數學與生活的聯系，感受數學的樂趣.

重點難點

重點

二元一次方程及二元一次方程組概念的理解.

難點

用二元一次方程或二元一次方程組來刻畫實際問題.

教學過程

一、情境導入

1.什么叫一元一次方程？什么是一元一次方程的解？

2.(投影)教材第24頁問題1.

(1)請用算術方法解答.

平均場數：［(9-2)X3-17H(3-l).

(2)請用一元一次方程解答：若設這個隊勝x場，則有：3x+(9-2-x)Xl=17.

(3)試比較以上兩種解法，判斷用算術方法與方程方法來刻畫實際問題中的數量關系，哪

一種較簡便？

(4)此題中有兩個問題.如果分別設為x、y,怎樣列式呢？是不是更容易表示題H中的數

量關系呢？

二、探究交流

1.(投影)教材第25頁的表格

教師巡回指導.

2.對于方程：x+y=7①，3x+y=17②，思考問題：

①它們是一元一次方程嗎？

②這兩個方程有無共同特點？

③類比一元一次方程的概念，能否確定這兩個方程的概念？

教師巡回指導.

教師引導學生得出概念.

含有兩個未知數，并且未知數的次數為1的整式方程叫二元一次方程，兩個二元一次方

程合在一起就組成了二元一次方程組.

教師板書課題：二元一次方程組和它的解.

3.鞏固

下面是二元一次方程的有.

；；22；2；

a.4x_2y=13b.3x—5=2c.x"—yjd.x—x+y+y=5e.x-5x-6=0f.3x—4y.

教師巡回指導.

4.觀察用算術法或一元一次方程求出的答案，然后確定x、y的值.

［思考］：(l)x=5與y=2是否滿足方程①？

(2)x=5與y=2是否滿足方程②？

(3)類比一元一次方程解的概念，能否確定二元一次方程組的解的概念？

5.二元一次方程組解的檢驗練習：

已知下面三對數值：(“x一2'

y=l；

2x+y=5,

哪一對數是方程組°一的解？

［3x+4y=10

教師指導學生進行探索.

三、應用遷移

(1)根據下列語句，分別設出適當未知數，列出二元一次方程或二元一次方程組.

①甲數的;比乙數的4倍多8；

②某種時裝的價格是某種皮裝價格的1.4倍,5件皮裝比3件時裝貴700元.

(2)(投影)教材第26頁問題2

［問題］①計算校園總面積有幾種表示方法？

②題目中能找出哪兩種等量關系？

③能否只用一個未知數，列出一元一次方程？

④列出方程.

教師點評學生的回答狀況.

四、小結

1.二元一次方程的概念.

2.二元一次方程組的概念.

3.二元一次方程組解的概念及注意事項.

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

板書設計

一、情境導入

二、探究交流

三、應用遷移

四、小結

五、布置作業(yè)

教學反思

本節(jié)課最大的特點是：概念多，在處理上滲透類比的思想，讓學生通過探索、交流，類

比一元一次方程的有關概念，自行歸納出相關概念，著眼于學生的歸納能力，對類比思想的

感悟.通過類比，體會到從算術方法到一元一次方程到二元一次方程組的演化過程，感受到

數學建模思想在實際問題應用中所帶來的便捷，同時，通過例題、習題對?概念進行鞏固，建

立起完整的概念體系.

7.2二元一次方程組的解法

第1課時用代入法解二元一次方程組

教學目標

知識與技能

通過探索二元一次方程組的解法，通過化二元一次方程組為一元一次方程的過程，體會

消元的思想，掌握直接代入法解二元一次方程組.

過程與方法

理解代入消元法的基本思想體現的化未知數為已知的化歸思想方法.

情感、態(tài)度與價值觀

在數學學習活動中獲得成功的體驗，樹立自信心.

重點難點

重點

用代入法解二元一次方程組.

難點

體會用一個未知數表示另一個未知數進行代入消元.

教學過程

一、回顧

1.什么叫二元一次方程，二元一次方程組，二元一次方程組的解？

2.把3x+y=7改寫成用x的代數式表示y的形式.

二、導入

1.再次回顧教材第26頁問題2.

y-x=2()000X30%?,

設應拆除舊校舍xnf,建造新校舍yn?,依題意可列方程組:

y=4x②.

思考：怎樣解這個方程組？

2.問題導引:

(1)我們解一元一次方程的步驟是什么？

(2)回顧上節(jié)課，解決比題所列的一元一次方程，二者有什么關系？

(3)能否把二元一次方程變?yōu)橐辉淮畏匠?？其關鍵是什么？把“二元”變?yōu)椤耙辉?

(4)怎樣做才能比較容易讓某個未知數消去呢？

三、探索

1.教師小結，選二元一次方程組中一個方程，用一個未知數去表示另一個未知數，然后

代入一個方程中消去一個未知數，使其轉化為一元一次方程，從而求出二元一次方程組解的

方法稱為代入消元法.

2.例題探究

x+y=7①，

解方程組:

3x+y=17②.

問題：此方程組與上一個方程組有何區(qū)別，不能直接將一個方程代入另一個方程，怎么

辦？

解：由①得：y=7-x③

將③代入②得：3x+7-x=17,即x=5,

x=5

將x=5代入③，得y=2,所以一二

ly=2.

想一想，除了以上幾種辦法外，還有沒有其他辦法？

(1)方法①中能否改為用y表示x?

(2)方程②能否用x表示y?

(3)方程②能否用y表示X?

探究：將幾種表示方法都解答出來，相互比較.

教師點評.

歸納：在代入消元時，可選取二元一次方程組中有未知數系數為1的二元一次方程，將

其變形為用一個未知數去表示另一個未知數的形式，再代入另一個二元一次方程求解.

四、鞏固

3x—5y=6①，

解方程組

x4-4y=—15②.

教師巡回指導，對學習有困難的學生加以引導.

1.選取一個方程(觀察有無系數為1的未知數)，將其改寫成用一個未知數表示另一個未

知數，記作方程③.

2.把方程③代入另一個方程，得到一個一元一次方程.

3.解這個一元一次方程，求出一個未知數的值.

4.把這個未知數的值代入③，求出另一個未知數的值從而得到方程組的解.

解：由②得：x=-15—4y③，把③代入①得，3(—15—4y)—5y=6,解得：y=-3,把

x=—3,

y=-3代入③得：x=-3,所以1

y=-3.

教師引導學生檢驗.

五、小結

I.解二元一次方程組的思路：將二元一次方程組通過代入消元的方法達到消元的目的,

轉化為一元一次方程求解.

2.代入消元法解二元一次方程的一般步驟.

六、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

板書設計

一、回顧

二、導入

三、探索

四、鞏固

五、小結

六、布置作業(yè)

教學反思

本教案在設計上做到了如下兩點：1.在知識的前后銜接上，做到過渡自然.在前一節(jié)的

學習中，問題2的處理上，不僅列二元一次方程組來表示，還列出一元一次方程來表示.因

此，在本課引導學生探索二元一次方程組的解答上，易于聯想轉化為?元一次方程來解答，

對消元的思想接受上比較容易2注意對學生思維的發(fā)散訓練及歸納能力的培養(yǎng)，在處理例題

時.，不僅僅以順利解答為F1標，繼續(xù)探索了多種代入方式，并且著重引導學生歸納代入的簡

潔方式.

第2課時用加減法解二元一次方程組

教學目標

知識與技能

掌握用加減法解二元一次方程組.

過程與方法

使學生理解加減消元法所體現的“化未知為已知”的化歸思想方法.

情感、態(tài)度與價值觀

體驗數學學習的樂趣，在探索過程中品嘗成功的喜悅，樹立學好數學的信心.

重點難點

重點

用加減法解二元一次方程組.

難點

兩個方程組相加減消元時符號的問題.

教學過程

一、情境導入

王阿姨昨天在水果批發(fā)市場買了4千克蘋果和4千克梨共花了14元，陳老師也以同樣的

價格買了4千克蘋果和3千克梨，共花了12元，梨每千克的售價是多少？比一比看誰求得快.

教師讓解答最快的學生起來說出解答思路，抵消掉相同部分，王阿姨比陳老師多了1T-

克梨，多花了2元，所以每千克梨的售價為2元.

二、探究新知

3x+5y=5,①

1.解方程組―

3x-4y=23.①

教師在學生解答中巡回指導，總結歸納兩種不同的解法.

解法1：由①得：x=5③",代入方程②消去x.

解法2：把3x看作一個整體，由①得：3x=5-5y代入②，消去x.

2.問題導引：

［問題1］觀察上述方程組，未知數x的系數有什么特點？

［問題2］聯系前面求梨的單價問題，思考除了代入消元法，你還有別的辦法消去x嗎？

兩個方程的兩邊分別對應相減，就可消去x,得到一個一元一次方程.

［問題引這樣做的理論依據是什么？

解答①一②得：（3x+5y）-（3x-4y）=-18.

x:’5

解得：y=-2,把y=-2代入①得x=5,所以原方程組的解為一\

ly=-2.

師述：在熟練以后，可以省掉兩式相減的部分.

3.同類變式一：

3x+7y=9,①

解方程組:

4x—7x=5.②

二、探究新知

（互為相反數）

［問題2］除了代入消元法，你還有別的辦法消去x嗎？

教師活動：啟發(fā)、小結.

4.教師概括:

對某些二元一次方程組可以通過兩個方程的兩邊分別相加或相減，以達到消去一個未知

數的目的，得到一元一次方程，從而求出它的解，這種解法叫加減消元法.

思考：能用加減消元法直接求解二元一次方程組的前提是什么？

（兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等）

三、鞏固練習

15x+6y=8,7x—4y=4,

解方程組:⑴2x-6y=1；(2)

5x-4y=—4.

四、小結

1.用加減法解二元一次方程組的基本思想是什么？

2.這種方法的適用條件是什么？

3.這種方法的步驟是什么？

五、布置作業(yè)

見學生用書課后作業(yè)部分.

教學反思

解題方法以及消元思想的領悟只有自己經歷探索、思考，才是真正屬于自己的，印象也

是最深刻.本教案沒有直接給出加減消元法的概念以及解題的過程，而是通過導入的錮墊，

探索的引導，習題的歸納等多方面自我探索，在觀察方程組的結構特點的基礎上，比較不同

解法的優(yōu)劣后，自己探索發(fā)現解題的技巧，這樣使學生在積極參與的學習中感受學習的樂趣,

品嘗到成功的喜悅，提高自己的解題能力.

第3課時一元一次方程的應用

教學目標

1.會解決有關配套問題.

2.會解決與工作效率有關的工程問題.

3.會從實際問題中推象出數學模型，并體會其中縝藏的等量關系.

教學重點

從題中找“配套問題”和“工程問題”的等量關系.

教學難點

在與工作效率有關的工程問題中建立等量關系，并