第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《四邊形中最值問題解答題》專項(xiàng)測試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________1．如圖1，在正方形中，E為對角線上一點(diǎn)（），點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于直線對稱，過點(diǎn)D作的垂線，分別交，于點(diǎn)G，H．

(1)求證：；(2)若，，求的長；(3)如圖2，連結(jié)并延長與的延長線交于點(diǎn)M，連結(jié)．若已知，設(shè)，用含x的代數(shù)式表示的面積，并求出面積的最大值．2．在矩形中，，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為α（），得到矩形，點(diǎn)B、點(diǎn)C、點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F、點(diǎn)G.

(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E落在邊上時(shí)，線段的長度為__________.(2)如圖②，連接，當(dāng)點(diǎn)E落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)H，連接，①求證：.②求線段的長度.(3)如圖3，設(shè)點(diǎn)P為邊的中點(diǎn)，連結(jié)，在矩形旋轉(zhuǎn)的過程中，面積的最大值為_____3．如圖，在矩形中，點(diǎn)E為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)F為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，連接并延長，交的延長線于點(diǎn)G，以為底邊在下方作等腰，且．

(1)如圖1，若點(diǎn)H恰好落在上，連接，．求證：①；②；(2)如圖2，點(diǎn)H落在矩形內(nèi)，連接，若，，當(dāng)點(diǎn)F在什么位置時(shí)，四邊形的面積最大，并求它的最大值．4．已知：如圖，在矩形中，，．在上取一點(diǎn)，點(diǎn)是邊上的一個(gè)動點(diǎn)，以為一邊作四邊形，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)落在矩形內(nèi)或其邊上，若，的面積為．

(1)當(dāng)，四邊形是正方形時(shí)，求的值為；(2)當(dāng)，四邊形是菱形時(shí)，求與的函數(shù)關(guān)系式；(3)當(dāng)四邊形是矩形時(shí)且矩形的兩鄰邊，請直接寫出與的函數(shù)關(guān)系式；并指出的最大值．5．問題提出：（1）如圖，在矩形中，，，是邊上的一點(diǎn)，連接，將沿所在直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，求的長．問題解決：（2）如圖，在中，，為斜邊上的中線，將沿所在直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，連接，若，則的面積是否存在最大值，如果存在，求出面積的最大值，并求出此時(shí)，的度數(shù)，如果不存在，請說明理由．

6．在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“圖形的旋轉(zhuǎn)”為主題開展數(shù)學(xué)探索活動．在矩形中，，，以點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形，旋轉(zhuǎn)角為，得到矩形，點(diǎn)，，的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，．(1)初步感知如圖①，當(dāng)點(diǎn)落在邊上時(shí)，線段的長度為___________；(2)遷移探究如圖②，當(dāng)點(diǎn)落在線段上時(shí)，與相交于點(diǎn)，連接．求線段的長度．(3)拓展應(yīng)用如圖③設(shè)點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，連接，，在矩形旋轉(zhuǎn)過程中，的面積存在最大值，請直接寫出這個(gè)最大值為___________．7．已知矩形，，，將矩形繞A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到矩形，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)F，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)E．(1)如圖①，當(dāng)時(shí)，連接，則的長=；(2)如圖②，當(dāng)邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，連接，求的長；(3)如圖③，連接，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，連接，在旋轉(zhuǎn)過程中，線段的最大值．8．如圖，等邊三角形的頂點(diǎn)P和Q分別在矩形的兩邊上，（其中點(diǎn)P不與點(diǎn)B、C重合，點(diǎn)Q不與點(diǎn)C重合），點(diǎn)E在邊上，且．

(1)若，，，則：①x可以取到的最大值是；②寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并說明理由；(2)若四邊形的面積為，，求的長度；9．如圖，正方形中，是邊上的動點(diǎn)，交延長線于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．(1)若，求的長；(2)若點(diǎn)是的中點(diǎn)，探究、、的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(3)正方形的邊長為2，直接寫出四邊形面積的最大值．10．如圖，在平行四邊形中，，點(diǎn)G是邊的中點(diǎn)，過點(diǎn)G作直線分別交直線于點(diǎn)E、F．(1)如圖1所示，求證：；(2)如圖2所示，連接，若于點(diǎn)F，求證：；(3)連接，已知，若點(diǎn)E落在線段上，求的最大值．11．如圖，已知矩形中，，，點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)沿邊向點(diǎn)B運(yùn)動，連接，過點(diǎn)P作交邊于點(diǎn)Q，以為對角線作正方形．(1)若，則______．(2)點(diǎn)M一定在的角平分線上嗎？請說明理由；(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C重合的位置運(yùn)動至點(diǎn)M落在邊上時(shí)，求點(diǎn)M運(yùn)動的路徑長；(4)在點(diǎn)P從點(diǎn)C到點(diǎn)B的運(yùn)動過程中，請直接寫出的外心到邊的距離的最大值．12．如圖1，在正方形中，點(diǎn)在上（不與點(diǎn)，重合），點(diǎn)在邊上，，連接，交于點(diǎn)．(1)如圖，連接與交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)．求證：；當(dāng)=時(shí)，求的值；(2)如圖，若是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，為半徑作，是上的一個(gè)動點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，求的最大值．13．如圖1，在等腰中，，點(diǎn)D、E分別在邊、上，，連接，點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)．(1)觀察猜想：圖1中，線段與的數(shù)量關(guān)系是______，位置關(guān)系是______；(2)探究證明：把繞點(diǎn)A逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，連接，，判斷的形狀，并說明理由；(3)拓展延伸：把繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若，，求面積的最大值．14．如圖，點(diǎn)E是邊長為2的正方形邊上一動點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)交邊于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作，垂足為點(diǎn)H，連接交于G，在點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動到點(diǎn)D運(yùn)動過程中．(1)直接寫出的度數(shù)為_______°；(2)連接，①的比值是否為定值，是定值求出該比值，不是定值請說明理由；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的長；(3)在點(diǎn)E運(yùn)動過程中，的面積記為，的面積記為，求出的最大值．15．已知點(diǎn)是邊長為的正方形內(nèi)部一個(gè)動點(diǎn)，始終保持．

【初步探究】（1）如圖，延長交邊于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；【深入探究】（2）如圖，連接并延長交邊于點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)是的中點(diǎn)時(shí)，求的值；【延伸探究】（3）如圖，連接并延長交邊于點(diǎn)．當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值．參考答案1．(1)見解析(2)(3)，面積的最大值為【分析】（1）根據(jù)對稱的性質(zhì)得，再得出，又，從而，進(jìn)而可證結(jié)論成立；（2）設(shè)，則，，利用勾股定理求出x的值，然后得出的長即可；（3）先計(jì)算出，作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)N，證，求出和，然后得出的面積為S的表達(dá)式，最后利用配方法求出最大值即可．【詳解】（1）證明：∵點(diǎn)B，F(xiàn)關(guān)于直線CE對稱，∴，∵，，∴，∴；（2）解：設(shè)，則，即正方形ABCD的邊長為，由（1）知，，∵，∴，在中，，即，解得或（舍去），∴；（3）解：設(shè)，∴，∵，∴，∵，∴，作于點(diǎn)P，作于點(diǎn)N，

∴，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴，即當(dāng)時(shí)，有最大值，為，∴面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題是考查四邊形的綜合題，熟練掌握正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，勾股定理等知識是解題的關(guān)鍵．2．(1)(2)①證明見解析；②(3)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，面積的最值問題.（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理計(jì)算即可.（2）①利用直角三角形全等的判定證明即可.②利用勾股定理計(jì)算即可.（3）連接，作于M，當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大，勾股定理計(jì)算即可.【詳解】（1）如圖①中

∵四邊形是矩形，∴，∵矩形是由矩形旋轉(zhuǎn)得到，∴，在中，，∴，故答案為：.（2）①證明：如圖②中，

∵當(dāng)點(diǎn)E落在線段上，∴，在和中，∴.②如圖②中，，∴，設(shè)在中，，∴解得∴故答案為：.（3）解：如圖3中，連接，作于M，

當(dāng)與共線，且時(shí)，面積最大由題意：.∵，∴.∵.∴，則，的面積的最大值為，故答案為：3．(1)①見詳解②見詳解(2)，四邊形的面積最大，且最大值為【分析】（1）①過點(diǎn)E作于點(diǎn)T，通過“”即可證明；②由①知以及等腰證明且，作可知，四邊形為矩形，再根據(jù)推出，從而證明四邊形為正方形，最后利用E是中點(diǎn)，即可求出答案．（2）利用第一問的證明方法可證明四邊形為正方形和四邊形為矩形，利用已知條件從而可推出的長度，最后利用面積法列二次函數(shù)從而求出的最大面積，即可求出四邊形面積的最大值．【詳解】（1）證明：①過點(diǎn)E作于點(diǎn)T，如圖所示，

∵四邊形為矩形，∴．∵E為中點(diǎn)，∴．∵，，，∴．∴．②由①知∵為等腰直角三角形，∴，．∴．∵，四邊形為矩形，∴，∴四邊形為矩形．∵，，∴．∵，，∴．∴．∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形．∴，∵，∴；（2）解：過點(diǎn)H作于點(diǎn)Q，過點(diǎn)E作于點(diǎn)R，過點(diǎn)H作于點(diǎn)T，連接和，如圖所示，

∵四邊形為矩形，∴．∵E為中點(diǎn)，∴．∵，，，∴．∴．∵為等腰直角三角形，∴，．∵，四邊形為矩形，∴，∴四邊形為矩形．∵，，∴．∵，，∴．∴，．∵，，∴．∵四邊形為矩形，∴四邊形為正方形．∴．∵，∴．∵，，，∴四邊形為矩形．∴．∴設(shè)∴∴∵，開口向下∴當(dāng)時(shí)，即，的面積最大，且最大值為．∴四邊形的面積的最大值為：【點(diǎn)睛】本題考查的有矩形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及二次函數(shù)的性質(zhì)等知識，尋找正確的三角形全等證明線段之間的數(shù)量關(guān)系以及學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建二次函數(shù)解決最值問題是解題的關(guān)鍵．4．(1)；(2)；(3)，最大值為．【分析】（）只要證明即可解決問題；（）如圖，連接，作于，證明，可得，由此即可解決問題；（）如圖，作于Q，則，，根據(jù)矩形的性質(zhì)證明，根據(jù)矩形的兩鄰邊，，得，由此即可解決問題．【詳解】（1）∵四邊形是矩形，，，∴，∵四邊形是正方形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，故答案為：；（2）如圖，連接，作于Q，則，，

∵四邊形是菱形，∴，，∴，在矩形中，，∴，∴，即∠DNE＝∠MFQ，∴，∴，∵，，∴，∴，∴與的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖，作于，則，，

∵四邊形是矩形，∴，，∴，，∴，∴，∴，∵矩形的兩鄰邊，，∴，∴，∵，∴，∵，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、三角形的面積、二次函數(shù)的應(yīng)用等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學(xué)會利用二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值問題．5．（1）；（2）存在最大值，最大值為，【分析】（1）翻折的對應(yīng)邊等，勾股定理計(jì)算，求出，再設(shè)，在三角形中用勾股定理建立方程計(jì)算即可求；（2）利用三角形中線和折疊得到、、、共圓，得到平行，′的面積轉(zhuǎn)換為的面積，從而面積最值轉(zhuǎn)換為角的最值．【詳解】解：（1）將沿所在直線翻折得，∴，，在矩形中，，，∴由勾股定理得，∴，∴，設(shè)，則，∴由勾股定理得，∴，∴，∴；（2）存在．理由：∵，為斜邊上的中線，，∴，∵沿所在直線翻折，點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，∴，，∴以為圓心，為半徑的圓，、、、在同一圓上．∴，∵，∴，∴∴，∴與同底，等高，∴，∴當(dāng)時(shí)，的面積最大，最大值為，此時(shí)，，綜上，′的面積存在最大值，最大值為，．【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換，三角形的面積等知識，四點(diǎn)共圓，平行線的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．(1)(2)3(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)得到，根據(jù)矩形得到，結(jié)合勾股定理即可得到答案；（2）首先證明出，得到，從而得到，即可得到，利用勾股定理求解即可得到答案；（3）根據(jù)矩形的性質(zhì)，勾股定理求出固定，即可得到高最大，面積最大，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得到最大高即可得到答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，，∴，，∵，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，∴，故答案為：；（2）∵四邊形是矩形，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)矩形得到矩形，∴，，在與中，∵，∴∴，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理得∴，解得：，∴；（3）解：∵為邊的中點(diǎn)，∴，∴，

過A作于E，∵點(diǎn)B到的距離小于，∴當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)高最大，的面積最大如圖所示，∵，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與勾股定理，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．7．(1)(2)(3)【分析】（1）連接，，利用勾股定理得，結(jié)合旋轉(zhuǎn)得和，即可求得答案；（2）連接，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，即可判定，得，由題意可知，進(jìn)一步得，利用勾股定理得，即可求得；．（3）連接，交于點(diǎn)O，連接和，由矩形性質(zhì)得，根據(jù)題意得是的中位線，可知點(diǎn)P是在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，當(dāng)為直徑時(shí)，即點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，最大；【詳解】（1）解：連接，，如圖：∵是矩形，∴，又∵，，∴，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∵∴，∴．（2）連接，如圖，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得，，，，，∵，∴，∴，∵，，∴，∴，在中，，則，那么，解得．（3）連接，交于點(diǎn)O，連接和，如圖，∵是矩形，∴，∵點(diǎn)P是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴點(diǎn)P是在以為圓心，以為半徑的圓上運(yùn)動，根據(jù)直徑是圓中最長的弦可知，當(dāng)為直徑時(shí)，即點(diǎn)P于點(diǎn)B重合時(shí)，最大，最大為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定和性質(zhì)，以及動點(diǎn)問題，圓的基礎(chǔ)知識，解題的關(guān)鍵是利用旋轉(zhuǎn)找到對應(yīng)關(guān)系和添加輔助線．8．(1)①；②，理由見解析(2)4【分析】（1）由矩形，可得，，由勾股定理得，，即，即當(dāng)最大時(shí)，最大，可知當(dāng)與重合時(shí)，最大，即最大，，，，計(jì)算求解即可；②計(jì)算求解，則，由勾股定理得，，即，整理得，；（2）如圖，延長到，作，證明，則，，設(shè)，則，，，，，則，，，即，求出滿足要求的解，然后計(jì)算作答即可．【詳解】（1）①解：∵矩形，∴，，由勾股定理得，，即，∴當(dāng)最大時(shí)，最大，∵等邊三角形，∴，，∴當(dāng)與重合時(shí)，最大，即最大，∴，∴，∴，∴，解得，，故答案為：；②解：，理由如下：∵，，，∴，∴，由勾股定理得，，即，整理得，，故答案為：．（2）解：如圖，延長到，作，

∵，，，∴，∴，，設(shè)，則，，，，∵，，∴，∴，，∴，∴，解得，或（舍去），∴，∴的長度為．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)的應(yīng)用，含的直角三角形，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于明確線段之間的數(shù)量關(guān)系．9．(1)(2)，見解析(3)【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，，然后求出，再根據(jù)等角的余角相等求出，再利用“角邊角”證明，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得，從而得到是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可；（2）過點(diǎn)作交于點(diǎn)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)解答即可；（3）連接，連接，設(shè)它們交于點(diǎn)，利用已知條件和（1）的結(jié)論得到，則點(diǎn)在以正方形的中心為圓心，對角線的一半為半徑的圓弧上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動弧的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大；過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)和等底等高的三角形的面積相等可得：三角形的面積四邊形的面積，利用三角形的面積公式解答即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：在正方形中，，，，，，，，，又，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，，；（2）解：、、的數(shù)量關(guān)系為：．理由：如圖，過點(diǎn)作交于點(diǎn)，

在和中，，，，由（1）知：，，．，，．∵，，．在和中，，，，由（1）知：是等腰直角三角形，，，，，，；（3）解：四邊形面積的最大值為．理由：連接，連接，設(shè)它們交于點(diǎn)，如圖，

正方形的邊長為2，，，．是等腰直角三角形，，，．點(diǎn)在以為弦，所含圓周角為的圓弧上運(yùn)動，即點(diǎn)在以正方形的中心為圓心，對角線的一半為半徑的圓弧上，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動弧的中點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)到的距離最大．如圖，則，由（1）知：，，，，，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作，交的延長線于點(diǎn)，，在和中，，，，，，，，∴，三角形的面積四邊形的面積，由題意：，，．三角形的最大面積為．四邊形面積的最大值為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．10．(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)確定，，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)確定，最后根據(jù)全等三角形的判定定理即可證明；（2）連接．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)確定，，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)確定，，證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)，易證四邊形是矩形，即可證明；（3）過點(diǎn)G作交的延長線于H，過點(diǎn)A作于M，過點(diǎn)F作交的延長線于N．根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和勾股定理確定當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，取得最大值．根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出和的長度，根據(jù)勾股定理求出的長度，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，線段的和差關(guān)系求出的長度，根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系求出和的長度，進(jìn)而求出的長度，最后根據(jù)勾股定理即可求出的最大值．【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，∵點(diǎn)G是AD中點(diǎn)，∴，∴；（2）解：如下圖所示，連接，∵，∴，，∵點(diǎn)G是AD中點(diǎn)，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，∴；（3）解：如下圖所示，過點(diǎn)G作交的延長線于H，過點(diǎn)A作于M，過點(diǎn)F作交的延長線于N，∵，∴，∴當(dāng)取得最大值時(shí)，取得最大值，∵，∴，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，取得最大值時(shí)，即取得最大值，∵，，，∴，，∵，∴，∵，即，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，，，，∴，，∴，∴，∴，∴的最大值為．【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、全等三角形的判定定理和性質(zhì)、矩形的判定定理和性質(zhì)、勾股定理，直角三角形的特征，綜合應(yīng)用這些知識點(diǎn)是解題關(guān)鍵．11．(1)(2)點(diǎn)M一定在的角平分線上，理由見解析(3)(4)3【分析】（1）證明，列出比例式進(jìn)行求解即可；（2）過點(diǎn)作，證明，得到，即可得出結(jié)論；（3）連接，由（2）可知，點(diǎn)在的角平分線上，求出點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)的長，以及點(diǎn)落在上的長，兩條線段的差值即可點(diǎn)運(yùn)動的路徑長；（4）取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作，垂徑定理，得到為的中點(diǎn)，進(jìn)而得到，得到當(dāng)最大時(shí)，最大，設(shè)，根據(jù)，列出比例式，求出的最大值，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）解：∵矩形，，∴，，，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）一定，理由如下：過點(diǎn)作，則四邊形為矩形，∴，∵正方形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴點(diǎn)一定在的角平分線上；（3）連接，由（2）知：點(diǎn)一定在的角平分線上，∴，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，此時(shí)：，∵正方形，∴，當(dāng)點(diǎn)M落在邊上時(shí)，此時(shí)，∴，∴點(diǎn)運(yùn)動的路徑長為：；（4）設(shè)的交點(diǎn)為，∵，∴點(diǎn)為的外心，過點(diǎn)作，則：，∴為的中位線，∴，設(shè)，則：，由（1）知：，∴，∴，∴，∵，∴的最大值為，∴的最大值為3，即：的外心到邊的距離的最大值為3．【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形的外心，三角形的中位線等知識點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度較大，屬于壓軸題，熟練掌握相關(guān)知識點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．12．(1)證明見解析；，(2)．【分析】()證明，得到，再證明，得，證明出即可；作于，利用，得出，，設(shè)為單位，，，利用表示出，再由列出方程，解得，即，在中，由勾股定理得：，則，由四邊形是正方形得，證明，求出，然后代入求值即可；()過點(diǎn)作，交的延長線于，連接，延長交于點(diǎn)，分析出當(dāng)點(diǎn)與相切時(shí)，滿足題意，設(shè)為單位，求出，再計(jì)算解答即可.【詳解】（1）證明：∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，∴，∵四邊形為正方形，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴；解:作于，如圖，∵，∴，，由（）得，∴，∴，∵，，，∴，∴，，設(shè)為單位，則，設(shè)，，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，∵，∴，即，∴，即，∴，由（）得，在中，由勾股定理得：，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵∴，∴，即，∴，∴，∴；（2）如圖，過點(diǎn)作，交的延長線于，連接，延長交于點(diǎn)，∵，∴，∴，∵為定值，∴當(dāng)最大時(shí)，的值最大，即的值最大，∴當(dāng)與距離最大時(shí)，即當(dāng)點(diǎn)與相切時(shí)，滿足題意，∴，∵，∴共線，設(shè)為單位，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握知識點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．13．(1)；(2)是等腰直角三角形，見解析(3)【分析】（1）由題可知、均是中位線，由，根據(jù)，，，得到，繼而得到，結(jié)合平行線的性質(zhì)，得到即可．（2）先證，轉(zhuǎn)化成（1）證明即可.（3）由（2）可得，要使面積的最大，只需有最大值，則只需有最大值，根據(jù)點(diǎn)A是定點(diǎn)，是定長，判定點(diǎn)D在以A圓心，以4為半徑的圓上，根據(jù)直徑是最大的弦，確定點(diǎn)B，A，D三點(diǎn)共線時(shí)，有最大值，且為14，計(jì)算的最大值即可.【詳解】（1）∵點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)，∴、均是中位線，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，,故答案：；．（2）是等腰直角三角形，理由如下：連接，∵，，，∴，∵，∴，∴，∵點(diǎn)M、P、N分別為、、的中點(diǎn)，∴、均是中位線，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴，,故是等腰直角三角形．（3）由（2）可得，要使面積的最大，只需有最大值，則只需有最大值，∵點(diǎn)A是定點(diǎn)，是定長，，∴點(diǎn)D在以A圓心，以4為半徑的圓上，∵直徑是最大的弦，∴點(diǎn)B，A，D三點(diǎn)共線時(shí)，且B，D在點(diǎn)A的兩側(cè)時(shí)，有最大值，且為14，∴，∴的最大值為49.∴面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，構(gòu)造輔助圓求最值，熟練掌握中位線定理，構(gòu)造輔助圓是解題的關(guān)鍵.14．(1)45(2)①是定值，；②(3)的最大值為【分析】（1）先證明，可得四點(diǎn)共圓，再由圓周角定理即可得結(jié)論；（