第第頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《矩形與折疊問(wèn)題》專(zhuān)項(xiàng)測(cè)試卷(附答案)學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________1．如圖1，矩形中，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，將沿折疊得．(1)若點(diǎn)落在邊上，__________；(2)若點(diǎn)到的距離為2，求的面積；(3)如圖2，若點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接、，當(dāng)為直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．2．如圖，四邊形是矩形，分別是線段，上的點(diǎn)，點(diǎn)是與的交點(diǎn)．若將沿直線折疊，則點(diǎn)與點(diǎn)重合．(1)求證：四邊形是菱形；(2)若，，求的值．3．將矩形紙片放在平面直角坐標(biāo)系中，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)C在y軸上，，．(1)如圖①，沿折疊矩形，點(diǎn)落在處，交于點(diǎn)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)；(2)如圖②，點(diǎn)D是中點(diǎn)，點(diǎn)E在上，求的最小值；(3)如圖③，折疊該紙片，使點(diǎn)C落在邊上的點(diǎn)為，折痕為，點(diǎn)M在邊上，求直線的函數(shù)解析式．4．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為邊上一定點(diǎn)，且，點(diǎn)F、P分別是、邊上的一點(diǎn)，且，將沿直線翻折得到，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，線段與相交于點(diǎn)Q，設(shè)，．(1)當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)A重合時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)求的值；(3)求y與x的函數(shù)關(guān)系式．5．在矩形中，，P是邊上一點(diǎn)，把沿直線折疊，頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)B作，垂足為E且在上，交于點(diǎn)F．(1)如圖1，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，求證：；(2)如圖2，當(dāng)，且時(shí)，求的值；(3)如圖3，當(dāng)時(shí)，求的值．6．把一張矩形紙片按如圖方式折疊，使頂點(diǎn)B和D重合，折痕為．(1)連接，求證：四邊形是菱形．(2)若，，求線段和的長(zhǎng)．7．如圖，把長(zhǎng)方形紙片沿折疊后，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)的位置．(1)若，求的度數(shù)；(2)若，求四邊形的面積．8．如圖1，已知四邊形是矩形，，，是，邊上的點(diǎn)，以直線為對(duì)稱(chēng)軸將矩形進(jìn)行折疊，點(diǎn)，的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別是，，點(diǎn)落在邊上，交于點(diǎn)．(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，連接，求證：四邊形是菱形：(2)當(dāng)時(shí)，若，，求的長(zhǎng)．9．在矩形中，，，在上取一點(diǎn)E，將沿直線折疊，得到．(1)如圖1，若點(diǎn)F剛好落在上時(shí)，求的長(zhǎng)；(2)如圖2，若點(diǎn)E從C到D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，的角平分線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，求M到的距離．10．如圖，把一張長(zhǎng)方形紙片折疊起來(lái)，為折痕，使其對(duì)角頂點(diǎn)A與C重合，點(diǎn)D與點(diǎn)E重合．若長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為8，寬為4．(1)求線段的長(zhǎng)：(2)請(qǐng)直接寫(xiě)出的面積______．11．人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)教材的數(shù)學(xué)活動(dòng)——折紙．如果我們身旁沒(méi)有量角器或三角尺，又需要作，，等大小的角，可以采用下面的方法：如圖1，對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，把紙片展平；再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為．(1)如圖1，連接，直接寫(xiě)出；(2)在圖1基礎(chǔ)上再次動(dòng)手操作（如圖2），將延長(zhǎng)交于點(diǎn)，將沿折疊，點(diǎn)剛好落在邊上點(diǎn)處，連接，把紙片再次展平．請(qǐng)判斷四邊形的形狀，并說(shuō)明理由；(3)將圖1中的矩形紙片換成正方形紙片，按圖1步驟折疊，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接得到圖3，，求的長(zhǎng)．12．如圖，將一張矩形紙片沿著對(duì)角線向上折疊，頂點(diǎn)落到點(diǎn)處，交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)．①求證：四邊形是菱形；②若，，求的長(zhǎng)．13．在長(zhǎng)方形紙片中，，P是邊上一點(diǎn)，．將紙片沿折疊后，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為點(diǎn)O，的延長(zhǎng)線恰好經(jīng)過(guò)該長(zhǎng)方形的頂點(diǎn)D．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)求長(zhǎng)．14．在矩形中，，點(diǎn)分別是邊和邊上的動(dòng)點(diǎn)，，，連接，(1)如圖1，當(dāng)?shù)拿娣e為3時(shí)，求的值；(2)在（1）的條件下，求的面積；(3)當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；(4)如圖2，將沿直線翻折，當(dāng)點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在邊上時(shí)，求的值.15．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿射線方向移動(dòng)，作關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t()．(1)如圖1．若，求的長(zhǎng)；(2)如圖2．當(dāng)，且點(diǎn)落在上時(shí)，求此時(shí)的坐標(biāo)；(3)若直線與直線相交于點(diǎn)M，且時(shí)，①求點(diǎn)C的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的大小是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案1．(1)3(2)的面積為3或9；(3)的長(zhǎng)為或．【分析】（1）延長(zhǎng)交于點(diǎn)，設(shè)，則，，，證明，求得，，根據(jù)，列式計(jì)算即可求解；（2）分兩種情況討論，當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)在矩形外時(shí)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)列式計(jì)算求解即可；（3）分兩種情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理，利用相似三角形的判定和性質(zhì)列式計(jì)算求解即可．【詳解】（1）解：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵矩形中，，，∴，，，∴，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，設(shè)，∵，∴，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)得，，，∴，∴，∴，即，∴，，∵，∴，解得，∴；故答案為：3；（2）解：當(dāng)點(diǎn)在矩形內(nèi)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在矩形外時(shí)，如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則四邊形是矩形，同（1），，，，，，，同理，∴，即，∴，，即，，∵，∴，解得，∴，∴；綜上，的面積為3或9；（3）解：如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，，∴，∴，∴，同理，，，，∴，在中，由勾股定理得，即，解得（舍去）或，則的長(zhǎng)為；如圖，當(dāng)時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，記與交于點(diǎn)，由折疊的性質(zhì)得，∵，∴，∴，∴，設(shè)，∴，在中，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵，∴，∴，即，∴，，∴，同（1），，，∴，∵，∴，∴，∴，即，整理得，解得，則的長(zhǎng)為；綜上，的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形與折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，解一元二次方程，正確引出輔助線解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．2．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（）證明即可求證；（）由菱形的性質(zhì)得，由矩形的性質(zhì)得，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，可得，最后根據(jù)即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是矩形，∴，∴由折疊可知，，，，∴，∴，∴，∴四邊形是菱形；（2）解：由（）知，四邊形是菱形，∴，∵四邊形是矩形，∴，設(shè)，則，在中，，∴，∴，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定，勾股定理，掌握矩形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．(1)(2)15(3)【分析】（1）先根據(jù)平行線和折疊的性質(zhì)得：，設(shè)，根據(jù)勾股定理得解出可解答；（2）作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于，此時(shí)的值最小，即的長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理可解答；（3）過(guò)作軸于，設(shè)，根據(jù)勾股定理列方程得求得點(diǎn)，然后利用待定系數(shù)法求得的解析式．【詳解】（1）解：由折疊得：，四邊形是矩形，，，，，，設(shè)，則，，在中，，由勾股定理得：，，，；（2）解：如圖②，作點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，交于，此時(shí)的值最小，即，過(guò)作軸于，，是的中點(diǎn)，，，在中，由勾股定理得：，即的最小值是15；（3）解：如圖③，過(guò)作軸于，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，，，．設(shè)的解析式為，將，代入得：，解得：，的解析式為．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)及最短路徑的知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，難度適中，注意掌握折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，本題輔助線的作法是關(guān)鍵．4．(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)題意，可知，，在中，，由此列出方程即可求解；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于，則四邊形是矩形，，由題意可知，進(jìn)而可知，證得，得，再根據(jù)即可求解；（3）過(guò)點(diǎn)作，與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）可知，則，，同（2）可證，得，由翻折可得：，得，則，進(jìn)而可知，則，即，求得，，再證，得，列出等式即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)與點(diǎn)A重合∴，∵，，∴，∵四邊形是矩形，∴，在中，，即，解得：，即；（2）過(guò)點(diǎn)作，交于，則四邊形是矩形，∴，由題意可知，∴，則，∴，∴，∵，，∴，∵，∴，∴；（3）過(guò)點(diǎn)作，與直線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由（2）可知，則，，同（2）可證，∴，由翻折可得：，∴，則，∴，則，即，∴，，∵，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題，勾股定理，相似三角形的判定及性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形和相似三角形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．5．(1)見(jiàn)解析；(2)(3)【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)和全等三角形的判定即可證得結(jié)論；（2）利用折疊性質(zhì)得出，，進(jìn)而得出，得出，證明，則，設(shè)，可求出，，再證明，進(jìn)而可求得PB，即可得出結(jié)論；（3）證明，得出，即可解答．【詳解】（1）解：證明：在矩形中，，，∵是的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴．（2）在矩形，，∵沿折疊得到，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，設(shè)，∴，∴，∴或，∵，∴，，∴，，由折疊得，，∴，∵，∴∴設(shè)，∴，∴，∴，∴，∴；（3）如圖，連接，∵，∴，∴，∵，∴平行四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合題，主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、折疊的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用，會(huì)利用方程思想解決問(wèn)題是解答的關(guān)鍵．6．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析；(2)，【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理以及折疊的性質(zhì)，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系．（1）根據(jù)是矩形，可得，由，可得，進(jìn)而可知四邊形是平行四邊形，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，繼而可證得四邊形是菱形；（2）首先設(shè)，則，在中，利用勾股定理可求得的長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作，先求得的長(zhǎng)，再在中，利用勾股定理，即可求得的長(zhǎng)．【詳解】（1）證明：如圖，由折疊可知，垂直并平分，設(shè)與交于點(diǎn)，則：，，，∵四邊形是矩形，∴∴在和中：∴∴∴四邊形是平行四邊形又∵，∴四邊形是菱形．（2）設(shè)，則，則在中，由勾股定理得：解得：，∴，如圖，過(guò)點(diǎn)作于，∴四邊形是矩形，∴，∴在中，由勾股定理得：7．(1)(2)16【分析】本題考查的是矩形的性質(zhì)，勾股定理，翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱(chēng)變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，根據(jù)平角的概念計(jì)算；（2）由折疊的性質(zhì)得出，設(shè)，則，由勾股定理得出，解得，由梯形的面積公式可得出答案．【詳解】（1）解：∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴由折疊的性質(zhì)可知，∴；（2）解：∵長(zhǎng)方形紙片沿折疊，∴，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，由（1）知，∴，∴．8．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)折疊得出，，，根據(jù)矩形性質(zhì)得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，從而得出，證明，得出，即可證明結(jié)論；（2）如圖，過(guò)作于，則四邊形為矩形，可得，，證明四邊形為正方形，而，，可得，，由對(duì)折可得：，由，可得，可得，，同理可得：，再進(jìn)一步可得答案.【詳解】（1）證明：∵以直線為對(duì)稱(chēng)軸將矩形進(jìn)行折疊，點(diǎn)與點(diǎn)重合，，，，四邊形是矩形，點(diǎn)與點(diǎn)分別是線段，上的點(diǎn)，∴，，，，，四邊形是菱形．（2）解：如圖，過(guò)作于，則四邊形為矩形，∴，，∵，∴，∴四邊形為正方形，而，，∴，，，，∴，∴，由對(duì)折可得：，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，同理可得：，∴，∴，∴，，而，∴.【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，銳角三角函數(shù)的靈活運(yùn)用，本題難度很大，選擇合適的方法解題是關(guān)鍵．9．(1)；(2)M到的距離為8．【分析】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理與折疊問(wèn)題，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．（1）先由矩形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)得到，再利用勾股定理求出，則，設(shè)，則，在中，由勾股定理列出方程，解方程即可得到答案；（2）過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于．證明，推出，可得結(jié)論．【詳解】（1）解：四邊形是矩形，將沿直線折疊，點(diǎn)F剛好落在上，∴，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，解得，；（2）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于，交的延長(zhǎng)線于，交的延長(zhǎng)線于．四邊形是矩形，，，，，，，四邊形是矩形，，平分，，，，，，，，，到的距離為8．10．(1)(2)【分析】本題主要考查矩形與折疊性質(zhì)、勾股定理．（1）由折疊可知，設(shè)，則，在中，根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)，再過(guò)點(diǎn)作于，在中，由勾股定理求出的長(zhǎng)；（2）過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)，求出的長(zhǎng)，根據(jù)三角形面積求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：過(guò)點(diǎn)作于，∵長(zhǎng)方形紙片，∴，，，，由折疊可得，，，，，設(shè)，則，在中，∴，解得，∴，，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴在中，；（2）解：過(guò)點(diǎn)作于，∵，∴，∴，故答案為：．11．(1)(2)菱形，見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理．折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．理解折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：對(duì)折矩形紙片，使與重合，得到折痕，垂直平分，，又再一次折疊紙片，使點(diǎn)落在上的點(diǎn)處，折痕為，，是等邊三角形，，．（2）解：由（1）得，四邊形是矩形，，，是等邊三角形，，由折疊得，，，四邊形是菱形．（3）解：四邊形是正方形，，，由折疊得，，，，，，，∵，，∴，在中，，∴，∴．【點(diǎn)睛】（1）依據(jù)折疊的性質(zhì)可得到是等邊三角形，進(jìn)而得到的度數(shù)，再根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求出的度數(shù)；（2）根據(jù)是等腰三角形，利用三線合一即可得到，再判定四邊形是平行四邊形即可；（3）利用直角三角形中“斜邊、直角邊”相等證明，得到，再根據(jù)所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半得出，最后根據(jù)勾股定理即可求出．12．(1)見(jiàn)解析(2)①見(jiàn)解析；②【分析】(1)根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等及折疊特性判斷；(2)①根據(jù)矩形性質(zhì)及第一問(wèn)證得鄰邊相等進(jìn)行證明；②根據(jù)折疊特性設(shè)未知邊，根據(jù)勾股定理列方程求解．【詳解】（1）證明：如圖，根據(jù)折疊，，又，，，；（2）①證明：四邊形是矩形，，，又，四邊形是平行四邊形，，四邊形是菱形；解：，，．．設(shè)，．在直角中，，即，解得，即，，．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了結(jié)合矩形的性質(zhì)、等角對(duì)等邊及平行線的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、勾股定理，翻折變換等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．13．(1)為等腰三角形．理由見(jiàn)解析(2)【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得，由矩形的性質(zhì)得到，進(jìn)而得到，進(jìn)一步證得，即可求證，（2）由折疊的性質(zhì)得到，，，設(shè)，運(yùn)用勾股定理列方程解答即可，本題考查了折疊問(wèn)題、矩形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用折疊和矩形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：為等腰三角形．理由：由翻折可得，∵四邊形是長(zhǎng)方形，∴，∴，∴，∴，∴為等腰三角形，（2）解：由翻折可知，，，設(shè)，∵，∴，在中有，∴，解得：，∴的長(zhǎng)為．14．(1)(2)8(3)(4)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式代入即可求得答案；（2）由（1）可得：，再根據(jù)，分別代入即可得到答案；（3）當(dāng)時(shí)，分別求出，，的長(zhǎng)，再分別利用勾股定理分別求出，，的長(zhǎng)，再由勾股定理的逆定理即可得到答案；（4）過(guò)點(diǎn)作，易證得，從而可求得，在中，由勾股定理可得：，