PAGE1-課時作業(yè)8函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)學(xué)問點一函數(shù)極值的概念1.關(guān)于函數(shù)的極值，下列說法正確的是()A．導(dǎo)數(shù)為零的點肯定是函數(shù)的極值點B．函數(shù)的微小值肯定小于它的極大值C．f(x)在定義域內(nèi)最多只能有一個極大值一個微小值D．若f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有極值，那么f(x)在(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)答案D解析易知選項A，B，C均不正確．對于D，不妨設(shè)x0是f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)的微小值點，則在x0旁邊，當(dāng)x<x0時，f(x)>f(x0)，當(dāng)x>x0時，f(x)>f(x0)，故在x0旁邊函數(shù)f(x)不單調(diào)，即f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，故選D.2．設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，且函數(shù)f(x)在x＝－2處取得微小值，則函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是()答案C解析由題意可得f′(－2)＝0，而且當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)<0，此時xf′(x)>0；解除B、D，當(dāng)x∈(－2，＋∞)時，f′(x)>0，此時若x∈(－2,0)，xf′(x)<0，若x∈(0，＋∞)，xf′(x)>0，所以函數(shù)y＝xf′(x)的圖象可能是C.學(xué)問點二求函數(shù)的極值3．設(shè)三次函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，函數(shù)y＝xf′(x)的圖象的一部分如圖所示，則()A．f(x)的極大值為f(eq\r(3))，微小值為f(－eq\r(3))B．f(x)的極大值為f(－eq\r(3))，微小值為f(eq\r(3))C．f(x)的極大值為f(－3)，微小值為f(3)D．f(x)的極大值為f(3)，微小值為f(－3)答案D解析由題圖可知，當(dāng)x∈(－∞，－3)時，xf′(x)＞0，即f′(x)＜0；當(dāng)x∈(－3,0)時，xf′(x)＜0，即f′(x)＞0；當(dāng)x∈(0,3)時，xf′(x)＞0，即f′(x)＞0；當(dāng)x∈(3，＋∞)時，xf′(x)＜0，即f′(x)＜0.故函數(shù)f(x)在x＝－3處取得微小值，在x＝3處取得極大值．4．函數(shù)y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有()A．極大值5，微小值－27 B．極大值5，微小值－11C．極大值5，無微小值 D．微小值－27，無極大值答案C解析由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3.當(dāng)x<－1或x>3時，y′>0；由－1<x<3時，y′<0.∴當(dāng)x＝－1時，函數(shù)有極大值5；3?(－2,2)，故無微小值．5．已知函數(shù)f(x)＝x3－px2－qx的圖象與x軸切于(1,0)點，則f(x)的極大值、微小值分別為()A.eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)答案A解析f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0，,1－p－q＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,q＝－1，))∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0，得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得當(dāng)x＝eq\f(1,3)時，f(x)取極大值eq\f(4,27)；當(dāng)x＝1時，f(x)取微小值0.學(xué)問點三已知函數(shù)極值求參數(shù)6.設(shè)x＝1與x＝2是函數(shù)f(x)＝alnx＋bx2＋x的兩個極值點．(1)試確定常數(shù)a和b的值；(2)推斷x＝1，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點還是微小值點，并說明理由．解(1)∵f(x)＝alnx＋bx2＋x，∴f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1.由題意可知f′(1)＝f′(2)＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0，,\f(a,2)＋4b＋1＝0，))解方程組得a＝－eq\f(2,3)，b＝－eq\f(1,6).(2)由(1)，知f(x)＝－eq\f(2,3)lnx－eq\f(1,6)x2＋x，f′(x)＝－eq\f(2,3)x－1－eq\f(1,3)x＋1.當(dāng)x∈(0,1)時，f′(x)<0，當(dāng)x∈(1,2)時，f′(x)>0，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)<0.故在x＝1處函數(shù)f(x)取得微小值eq\f(5,6).在x＝2處函數(shù)f(x)取得極大值eq\f(4,3)－eq\f(2,3)ln2.∴x＝1是函數(shù)f(x)的微小值點，x＝2是函數(shù)f(x)的極大值點．7．已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取極值10，求f(2)的值．解f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝10，,f′1＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a＋b＋1＝10，,2a＋b＋3＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝－11))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－3，,b＝3.))當(dāng)a＝4，b＝－11時，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－eq\f(11,3).當(dāng)x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：x－∞，－eq\f(11,3)－eq\f(11,3)－eq\f(11,3)，11(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f(x)極大值微小值明顯函數(shù)f(x)在x＝1處取微小值，符合題意，此時f(2)＝18.當(dāng)a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，∴f(x)沒有極值，不符合題意．綜上可知f(2)＝18.一、選擇題1．已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R有唯一的極值，且x＝1是f(x)的微小值點，則()A．當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0B．當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)≥0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0C．當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0D．當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)≤0答案C解析由微小值點的定義，知微小值點左右兩側(cè)的導(dǎo)函數(shù)是左負(fù)右正，又函數(shù)f(x)，x∈R有唯一的極值，故當(dāng)x∈(－∞，1)時，f′(x)≤0；當(dāng)x∈(1，＋∞)時，f′(x)≥0.2．已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的微小值點，則a＝()A．－4 B．－2C．4 D．2答案D解析由題意得f′(x)＝3x2－12，由f′(x)＝0得x＝±2，當(dāng)x∈(－∞，－2)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x∈(－2,2)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(2，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以a＝2.3．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，則()A．x＝eq\f(1,2)為f(x)的極大值點B．x＝eq\f(1,2)為f(x)的微小值點C．x＝2為f(x)的極大值點D．x＝2為f(x)的微小值點答案D解析∵f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，∴f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)，令f′(x)＝0，即－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(x－2,x2)＝0，解得x＝2.當(dāng)0<x<2時，f′(x)<0；當(dāng)x>2時，f′(x)>0，所以x＝2為f(x)的微小值點．4．函數(shù)y＝x3－2ax＋a在(0,1)內(nèi)有微小值，則實數(shù)a的取值范圍是()A．(0,3) B．(－∞，3)C．(0，＋∞) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))答案D解析y′＝3x2－2a，因為函數(shù)在(0,1)內(nèi)有微小值，所以y′＝3x2－2a＝0在(0,1)內(nèi)必有實數(shù)解，記f(x)＝3x2－2a，如圖所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f0＝－2a＜0，,f1＝3－2a＞0，))解得0＜a＜eq\f(3,2)，故選D.5．對隨意的x∈R，函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋7ax不存在極值點的充要條件是()A．a(chǎn)＝0或a＝21 B．0≤a≤21C．a(chǎn)<0或a>21 D．0<a<21答案B解析f′(x)＝3x2＋2ax＋7a，因為f(x)在R上不存在極值，則Δ＝4a2－84a≤0，解得0≤a≤21.二、填空題6．已知函數(shù)f(x)＝ax3＋bx2＋6，其導(dǎo)數(shù)f′(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)的微小值是________．答案6解析依題意f′(x)＝3ax2＋2bx.由題圖象可知，當(dāng)x<0時，f′(x)<0，當(dāng)0<x<2時，f′(x)>0，故x＝0時函數(shù)f(x)取微小值f(0)＝6.7．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3－eq\f(1,2)x2＋cx＋d有極值，則c的取值范圍為________．答案c<eq\f(1,4)解析∵f′(x)＝x2－x＋c且f(x)有極值，∴f′(x)＝0有不等的實數(shù)根，即Δ＝1－4c>0，解得c<eq\f(1,4).8．已知函數(shù)f(x)＝x(lnx－ax)有兩個極值點，則實數(shù)a的取值范圍是________．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析由題知，x>0，f′(x)＝lnx＋1－2ax，由于函數(shù)f(x)有兩個極值點，則f′(x)＝0有兩個不等的正根，即函數(shù)y＝lnx＋1與y＝2ax的圖象有兩個不同的交點(x>0)，則a>0；設(shè)函數(shù)y＝lnx＋1上任一點(x0，1＋lnx0)處的切線為l，則kl＝y(tǒng)′＝eq\f(1,x0)，當(dāng)l過坐標(biāo)原點時，eq\f(1,x0)＝eq\f(1＋lnx0,x0)?x0＝1，令2a＝1?a＝eq\f(1,2)，結(jié)合圖象(略)知0<a<eq\f(1,2).三、解答題9．已知f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝±1處的極大值為4，微小值為0，試確定a，b，c的值．解f′(x)＝5ax4－3bx2＝x2(5ax2－3b)．由題意，f′(x)＝0應(yīng)有根x＝±1，故5a＝3b，于是f′(x)＝5ax2(x2－1)．(1)當(dāng)a>0，x改變時，f′(x)，f(x)的改變狀況如下表：由表可知：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4＝f－1＝－a＋b＋c，,0＝f1＝a－b＋c，))又5a＝3b，解之得：a＝3，b＝5，c＝2.(2)當(dāng)a<0時，同理可得a＝－3，b＝－5，c＝2.10．已知函數(shù)f(x)＝x3－3ax－1(a≠0)．若函數(shù)f(x)在x＝－1處取得極值，直線y＝m與y＝f(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍．解因為f(x)在x＝－1處取得極值且f′(x)＝3x2－3a，所以f′(－1)＝3