專題2.4二次根式【八大題型】

【北師大版】

?題型梳理

【題型1判斷二次根式】.........................................................................1

【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】..................................................3

【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負性求值】....................................................4

【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】........................................................6

【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡的綜合運用】......................................................7

【題型6逆用（?）2=a（a>0）在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式】..........................................10

【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】...............................................11

【題型8復(fù)合型二次根式的化簡求值】...........................................................13

，舉一反三

【知識點1二次根式的定義】

形如F（a>0）的式子叫做二次根式，F(xiàn)叫做二次根號，a叫做被開方數(shù).

【題型1判斷二次根式】

【例1】（2023春?八年級單元測試）。是任意實數(shù)，下列各式中：①付”；②板二時；③而K：

④VQ2+6Q+9；⑤必［3,一定是二次根式的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)二次根式的定義逐個判斷即可.

【詳解】???二次根式6必須滿足a>0

???只有②③④可以確定被開方數(shù)書負

一定是二次根式的個數(shù)是3個

故選C

【點睛】本題考查了二次根式的定義，能熟記二次根式的定義是解此題的關(guān)鍵.

【變式1-1］（2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中）下列各式中，一定是二次根式的是（）

A.4aB.V2C.D.

【答案】C

【分析】一般地，我們把形如迎（aN0）的式子叫做二次根式，據(jù)此進行判斷即可.

【詳解】解；A、當QZ0時，血才是二次根式，本選項不符合題意；

B、冠中，根指數(shù)為3,故不是二次根式，本選項不符合題意；

C、是二次根式，本選項符合題意；

D、口中，一4<0,故不是二次根式，本選項不符合題意；

故選：C.

【點睛】本題主要考查了二次根式的定義，解決問題的關(guān)鍵是理解被開方數(shù)是非負數(shù)，給出一個式子能準確

的判斷其是否為二次根式，并能根據(jù)二次根式的定義確定被開方數(shù)中的字母取值范圍.

【變式1-2］（2023春?全國?八年級專題練習）下列式子一定是二次根式的是（）

A.B.—\［aC.yJ~aD.Va

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的定義，直接判斷得結(jié)論.

【詳解】解：A、后的被開方數(shù)是非負數(shù)，是二次根式，故A正確；

B、aVO時，一VH不是二次根式，故B錯誤；

C、遍是三次根式，故C錯誤；

D、aVO時，正不是二次根式，放D錯誤：

故選:A.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，形如N0）是二次根式，注意二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù).

【變式1-3］（2023春?陜西?八年級階段練習）下列式子：巾,后,行二，VSO",VTOO,后二I,

J|a|+1中,一定是二次根式的是（）

A.3個B.4個C.5個D.6個

【答案】B

【分析】解題需要分別考慮是否滿足二次根式需要同時滿足的兩個條件：一是含有根號，二是被開方數(shù)是非

負數(shù).

【詳解】根據(jù)二次根式的定義可得夕，而不正，7100,,Jj74T是二次根式，

故選B.

【點睛】本題考查的是二次根式的定義，熟練掌握這?點是解題的關(guān)鍵.

【知識點2二次根式有意義的條件】

（1）二次根式中的被開方數(shù)是非負數(shù)：（2）二次根式具有非負性：VK>0.

【題型2根據(jù)二次根式有意義的條件求參數(shù)范圍】

【例2】（2023?遼寧丹東?八年級統(tǒng)考期末）在函數(shù)丁=膏中，自變品工的取值范圍是（）

A.-1<x<2B.-2<A<1C.1<x<2D.1<x<2

【答案】D

【分析】根據(jù)函數(shù)有意義的條件得到｛；二；j解不等式組即可得到自變量x的取值范圍.

【詳解】解：由題意得

解不等式組得1V》42,

故選:D.

【點睛】此題考查了自變量的取值范圍，熟練掌握二次根式和分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【變式2-1］（2023春?湖北孝感?八年級統(tǒng)考期中）若式子年有意義，則》的取值范圍是

【答案】X<g且％H0

【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)和分式的意義，被開方數(shù)大于等于0,分母不等于0,即可求解.

【詳解】解：???式子餐有意義，

X

:.1—3%>0且匯*0,

解得：X<；且為H0,

故答案為：工工1且工中0.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)和分式的意義，掌握二次根式及分式有意義的條件是解題的關(guān)鍵.

【變式2-2］（天津市南開區(qū)2022-2023學年八年級下學期期末數(shù)學試題）下列各式中x的取值范圍是％>3的

是（）

A.V3—xB.y/x—3C.V3+xD.-^==

【答案】B

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件和分式有意義的條件逐項判斷即可.

【詳解】解：A,V3-x>0,Ar<3,故本選項不符合題意；

BsVx-3>0,Ax>3,故本選項符合題意；

C>V3+x>0,.*.x>-3,故本選項不符合題意：

DsVx—3>0,.*.x>3,故本選項不符合題意：

故選：B.

【點睛】本題考查了二次根式和分式有意義的條件，熟知二次根式的被開方數(shù)非負、分式的分母不為0是解

題的關(guān)鍵.

【變式2-3】(2023春?浙江紹興?八年級校聯(lián)考期中)若a2能使下列二次根式有意義，則這個二次根式可以

是().

A.Vx—1B.V1—xC.y/x—3D.-x

【答案】A

【分析】根據(jù)二次根式的定義分析，即可得到答案.

【詳解】A.當x=2時，?1=2-1=1>0,-1有意義,符合題意；

B.當x=2時，l-x=l-2=-lV0,無意義，不符合題意；

C.當x=2時，x-3=2-3=-l<0,VF=3無意義，不符合題意；

D.當人=2時，-x=-2V0,無意義，不符合題意；

故選：A.

【點睛】本題考查了二次根式的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式的性質(zhì)，從而完成求解.

【知識點3二次根式的性質(zhì)】

性質(zhì)1：(VS)2=a(a>0),即一個非負數(shù)的算術(shù)平方根的平方等于它本身；

a(a>f))

性質(zhì)2：V?=|a|=-,即一個任意實數(shù)平方的算術(shù)平方根等于它本身的絕對值.

.-a(a<0)

【題型3利用二次根式被開方數(shù)的非負性求值】

【例3】(2023春?福建福州?八年級統(tǒng)考期中)已知y=Vx-2022-d2023-x+1,其中x為整數(shù)，則y的

值為.

【答案】0或2

【分析】先根據(jù)二次根式有意義的條件得出｛:石；"；3,求出2022<x<2023,再根據(jù)％為整數(shù)，得出

x=2022或％=2023,分別代入，即可得出答案.

【詳解】解：要使y=&-2022-V2023-x+1有意義，則>:，

解得：2022<x<2023,

???)為整數(shù)，

???/=2022或％=2023,

當％=2022時，y=V2022-2022-當023-2022+1=0-1+1=0；

當x=2023時，y=12023-2022-當023-2023+1=1-0+1=2；

綜上分析可知：的值為0或2.

故答案為：。或2.

【點睛】本題主要考查了二次根式有意義的條件，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式被開方數(shù)大于等于零.

【變式3-1】(2023春?河北邢臺?八年級?？计谀?若GT+萬兩=0,求無-V的值.

【答案】4

【分析】結(jié)合題意，根據(jù)二次根式的性質(zhì)，可分別得到x和y的方程，經(jīng)計算從而完成求解.

【詳解】vV^i+77^=0

.-1=0

,,(y+3=0

.(x=1

,,ly=-3

???x-y=l-(-3)=4.

【點睛】本題考查了二次根式、一元一次方程、等式等知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握平方根、一元一次方程、

等式的性質(zhì)，從而完成求解.

【變式3-2](2023春?黑龍江綏化?八年級統(tǒng)考期中)若y=-2,則W.

【答案嗎

【分析】根據(jù)二次根式成立的條件得出關(guān)于工的不等式組，求得％=3,進而求出y=-2,代入式即可求出答

案.

【詳解】Vy=Vx-3+V3-x-2,

.fx-3>0

，x=3.

.*.y=Vx—34-V3-x—2=—2.

故答案是

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)和負整數(shù)指數(shù)累的性質(zhì)，熟練掌握F(aNO)以及a-P=^(aWO,

ar

P為正整數(shù))是解題的關(guān)鍵.

【變式3-3](2023?全國?八年級假期作業(yè))已如實數(shù)a滿足股(2008—a)2+Ja-2009-a,求a-2008?的

值是多少？

【答案】2009

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件求出a取值范圍，再將等式邊形即可.

【詳解】解：???二次根式有意義，

.\a-2009>0,即的2009,

.\2008-a<-l<0,

.,.a-2008+Va-2009=a,解得W-2009=2008,

等式兩邊平方，整理得a-20082=2009.

【點睛】本題考查的是二次根式有意義的條件，熟知二次根式具有非負性是解答此題的關(guān)鍵.

【題型4根據(jù)二次根式是整數(shù)求字母的值】

【例4】（2023春?八年級單元測試）若后是整數(shù)，則整數(shù)〃的所有可能的值為.

【答案】1,4,9,36

【分析】隹是整數(shù)，則至N0,且土是完全平方數(shù)，即可求出〃的值.

ynnn

【詳解】解：???后是整數(shù)，

/.->0,且小是完全平方數(shù)，

nn

*,*（D^=1?即72=36；

②^=4,即幾=9；

=9,即=4；

=36,ERn=1；

綜上所述，整數(shù)〃的所有可能的值為1,4,9,36.

故答案是：I,4,9,36.

【點睛】本題考查了二次根式的定義，理解后是整數(shù)的條件是解題的關(guān)鍵.

【變式4-1］（2023春?廣東惠州?八年級?？计谥校┮阎毫∈钦麛?shù)，則滿足條件的最小正整數(shù)?1為（）

A.2B.4C.5D.20

【答案】C

【分析】將痛化簡為2行，要是一個數(shù)開平方后為整數(shù)，那么這個數(shù)一定是完全平方數(shù)，即可解答.

【詳解】解：V20n=2V5n,

???領(lǐng)是整數(shù)，

.??滿足條件的最小正整數(shù)幾為5,

故選：C.

【點睛】本題考查了求二次根式中參數(shù)的值，熟知二次根式的計算結(jié)果是整數(shù)的情況是解題的關(guān)鍵.

【變式4-21（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期中）已知同二元是整數(shù)，則自然數(shù)n所有可能的值的和為_____.

【答案】26

【分析】根據(jù)二次根式的定義可知10-月工0,直接列出〃所有可能的值再求和即可.

【詳解】癡二元是整數(shù)，則自然數(shù)九所有可能的值為九=1,6,9,10,

所以九所有可能的值的和為1+6+9+10=26.

故答案為：26

【點睛】此題考查二次根式的定義，解題關(guān)鍵是明確VH,a\O.

【變式4-3】（2023春?江蘇?八年級專題練習）如果析是一個正整數(shù)，則整數(shù)Q的最小值是（）

A.-4B.-2C.2D.8

【答案】A

【分析】根據(jù)57+4公是一個正整數(shù),得出Q>-；,根據(jù)Q為整數(shù)，得出。的最小值為一4,最后代入。=一4

4

驗證V17+4a是一個正整數(shù)符合題意,得出答案即可.

【詳解】解：?.717+40是一個正整數(shù),

.*.17+4a>0,

?、17

4

Ta為整數(shù)，

二。的最小值為一4,

且。=一4時，417+4a=717-16=1符合題意,故A正確.

故選：A.

【點睛】本題主要考查了二次根式的性質(zhì)，根據(jù)題意求出是解題的關(guān)鍵.

【題型5數(shù)軸與二次根式的化簡的綜合運用】

【例5】（2023春?廣東云浮?八年級統(tǒng)考期中）已知實數(shù)外4c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，化簡：

\[a^+（M-a+b）2—|c—b|.

>

ac0b

【答案】—2a+c

【分析】根據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號，再進行化簡即可

【詳解】解：由數(shù)軸，得Q<—1,一1<CV03>1,

-ci+b>0,c—b<0.

:.原式=-a+(-a+b)+(c—b)

=-a-a+b+c-b

=-2a+c.

【點睛】本題考查二.次根式的性質(zhì)，化簡絕對值.解題的關(guān)鍵是艱據(jù)點在數(shù)軸上的位置，確定式子的符號.

【變式5-1X2023春?八年級單元測試)已知：實數(shù)a"在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，化簡：J(Q++

2yj{b-iy-\a-b\.

-1a0b1

【答案】2a-3b+3

【分析】直接利用數(shù)軸得出Q+l,匕一1,Q—b的符號，再化簡得出答案.

【詳解】由題圖可知一1<Q<0,ovb<l,

/.a4-1>0,b—1<0,a—h<0,

7(a+1)2+2yl(b—1)2—\a-b\

=a+1+2(1—b)—(b-a)

=G+1+2—2b—b+a

=2a—364-3.

【點睛】本題考查了利用數(shù)軸確定式子的符號，二次根式的性質(zhì)及絕對值的意義，根據(jù)數(shù)軸確定Q+l,b-l,

Q-b的符號是解答本題的關(guān)鍵.

【變式5-2](2023春?全國?八年級期末)實數(shù)小兒。在數(shù)軸上對應(yīng)的點的位置如圖所示，則化簡而一+

得()

I111T

hc0a

A.b-cB.-2a—b—cC.b+cD.-b-c

【答案】A

【分析】根據(jù)數(shù)軸得到bVcVOVa,再根據(jù)二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)化簡，再合

并即可.

【詳解】解：由圖可知，b<c<Q<a,\b\>\a\>|c|.

工a+b<0,

工V?-（孤丁+（JQ+bp

=\c\-a+（a+b）

=-c-a+a+b

=b-c

故選A.

【點睛】本題考查二次根式的性質(zhì)、實數(shù)與數(shù)軸上點的對應(yīng)關(guān)系，正確根據(jù)去絕對值方法和二次根式的性質(zhì)

進行分析是解決本題的關(guān)鍵.

【變式5-3】（2023春?山東臨沂?八年級統(tǒng)考期中）閱讀材料，解答問題。

例：若代數(shù)式J（2-a〉+J（Q-4上的值是常數(shù)2,求。的取值范圍.

分析：原式二|a-2|+|a—4|,而|a|表示數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)點到原點的距離，|Q—2|表示數(shù)a在數(shù)軸上

的對應(yīng)點到數(shù)2的對應(yīng)點的距離，所以我們可以借助數(shù)軸進行分析.

解:原式二|。-2|+|0-4|在數(shù)軸上，分別討論數(shù)〃表示的點在數(shù)2表示的點左邊，在數(shù)2表示的點和數(shù)4

表示的點之間，在數(shù)4表示的點右邊，可得。的范圍應(yīng)是23E4.

_|_|_|_I_I_I------->

024

（1）此例題的解答過程用了哪些數(shù)學思想？請舉例.

（2）化簡J（7-a）2+J（Q-10）2.

【答案】（1）數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想；（2）17-2?；?或2.T7

【分析】（1）根據(jù)題中的解題過程即可得出結(jié)論；

（2）分。<7,732010及。>10三種情況進行討論即可.

【詳解】解：（1）數(shù)形結(jié)合思想，分類討論思想.

（2）原式=|7-a+m-ioi

①當aV7時，原式=7-。+10—4=17—2〃；

②當左方10時，原式=3；

③當a>10時，原式=4-7+a-10=2aT7.

【點睛】本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，在解答此題時要注意進行分類討論.

【題型6逆用(?)2=a(aNO)在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式】

【例6】(2023春?全國?八年級專題練習)在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：x4-9x2+20=.

【答案】(x+2)(%—2)(%+質(zhì))(%—遙)

【分析】先把/當成一個整體分解一次，再利用平方差公式繼續(xù)分解因式.

【詳解】X4-9X2+20

=(X2-4)(X2-5)

=(X2-4)[X2-(V5)2]

=(x+2)(x-2)(x+V5)(x-V5)

故答案為。+2)(x-2)(x+V5)(x-V5)

【點睛】本題考查實數(shù)范圍內(nèi)分解因式，實數(shù)范圍內(nèi)分解因式主要利用Q=(y)2(QZ0)把一個整數(shù)寫成平

方形式再進行分解因式.

【變式6-1](2023春?八年級單元測試)將3/一4在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式得.

【答案】(百x+2)(6％-2)

【分析】利用平方差公式進行因式分解即可.

【詳解】解：3%2-4=(V3x)2-22=(V3x4-2)?(V3x-2)

故答案為：(8*+2)(百工一2).

【點睛】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解常用的方法是解題關(guān)鍵.

【變式6-2】(2023?全國?八年級專題練習)(2023貴州省黔東南州)在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：好一他=.

【答案】X(X2+2)(X+N/2)(X->/2)

【分析】根據(jù)提取公因式法和平方差公式，結(jié)合二次根式的性質(zhì)分解因式即可.

【詳解】解：X5-4X

=x(x4-4)

=x(x2+2)(/-2)

=Af(x2+2)(x+V2)(x->/2).

故答案為：》(7+2)(》+&)卜一加).

【點睛】本題主要考查因式分解?、二次根式的性質(zhì)，掌握提公因式法和公式法進行因式分解是解題的關(guān)鍵.

【變式6-3】(2023春?全國?八年級專題練習)在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式：

(1)X2-7：

(2)x3—5x；

(3)4x2-11：

(4)x2-273%+3.

【答案】⑴a+夕)a-夕)

⑵%(x+V5)(x-V5)

(3)(2x+711)(2X-711)

(4)(x-V3)2

【分析】(1)首先將7化為(b)2,然后利用平方差公式，即可得解.；

(2)首先提取公因式工,將5化為(代I,然后利用平方差公式，即可得解：

(3)首先將4/化為(2%)2,11化為然后利用平方差公式，即可得解；

(4)首先將3化為(VS)?,然后利用完全平方公式，即可得解.

【詳解】(1)解：%2-7=X2-(V7)2=(X+V7)(X-V7):

⑵解：x3-5x=x(x2—5)=x[x2-(V5)2]=x(x+V5)(x-V5)；

(3)解：4x2-11=(2幻2_(^n)2=(2x+Vll)(2x-Vil)；

72

(4)解：x2—2V3x4-3=x2—2>/3x+(V3)=(x—V3).

【點睛】此題主要考查利用二次根式的性質(zhì)進行分解因式，熟練掌握，即可解題.

【題型7根據(jù)含隱含條件的參數(shù)范圍化簡二次根式】

【例7】(2023春?八年級課時練習)一次函數(shù)y=mx+九的圖象如圖所示，化簡Tm?+2mn+九2一慎+

11=.

【答案】n-1

【分析】先根據(jù)一次函數(shù)〉=巾X+"經(jīng)過第一、二、三象限，且交于），軸的正半軸，可得m>0,n<0,再

由圖可知，當時，一次函數(shù)的值大于0,即有當％=1時，有y=m+〃>0,據(jù)此化簡即可.

【詳解】???一次函數(shù)y=mx+zi經(jīng)過第一、二、三象限，且交于），軸的正半軸，

n<0,

由圖可知，當x=l時，一次函數(shù)的值大于0,

，將x=1代入y=mx4-n中有y=m+n>0,

即：y/m2+2mn+n2—\m+1|

=、/（m+九）2-（m4-1）

=n+n—m—1

=n—1,

故答案為：n—1.

【點睛】本題考查r一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次根式的化簡以及絕對值的化簡等知識，根據(jù)一次函數(shù)的圖

象與性質(zhì)得*m>0,m+7i>0,是解答本題的關(guān)鍵.

【變式7-1]（2023春?黑龍江綏化?八年級?？茧A段練習）若化簡|1-R—爪2-8x+16的結(jié)果是2x-5,

則x的取值范圍是

【答案】\<x<4

【分析】根據(jù)|1一x|-8一8%+16=2%一5可以得到|%—1|一|無一4|=2X-5,然后根據(jù)戈的取值范圍

去絕對值即可求解.

【詳解】解?：由題意可知：11-%|-Vx2-8%+16=2%-5

|1-x|-yj（x-4尸=2x-5

|x—1|—|x—4|=2%-5,

:.當為<1時

原式=l-x+x-4=-3不合題意；

:.當％>4時，

原式=%-1-%+4=3不合題意；

,當1W%W4時，

原式=x-14-x-4=2x-5符合題意；

的取值范圍為：1&XW4,

故答案為：1WXW4.

【點睛】本題主要考查了絕對值的性質(zhì)，二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行：求解.

【變式7-21(2023春?山東煙臺?八年級統(tǒng)考期中)已知機是魚的小數(shù)部分，則式子-.

【答案】2-V2

【分析】首先確定血=企-1，再將其代入-并化簡計算即可.

【詳解】解：???〃?是企的小數(shù)部分，

:.ra=V2—1,

=J(V2-1-l)2=J(V2-2)2=|V2-2|=2-V2.

故答案為：2-V2.

【點睛】本題考查了無理數(shù)的估算以及二次根式的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出機=&-1.

【變式7-3](2023春?黑龍江綏化八年級?？茧A段練習)已知時V0,化簡硒=______

【答案】-aVb

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件得到a2b>0,利用標>o,ab<0得a<0,b>0,再根據(jù)二次根式的

性質(zhì)得原式=\a\Vb,然后去絕對值即可.

【詳解】解：a2b>0,

而M>o,ab<0,

a<0,b>0,

原式=

=|a|?Vb

=-aVb.

故答案為：-NB.

【點睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，解題的關(guān)鍵是掌握而=|a|.

【題型8復(fù)合型二次根式的化簡求值】

【例8】(2023春?江蘇?八年級專題練習)像劣4-2偌,,同一聞,…這樣的根式叫做復(fù)合二次根式.有

一些復(fù)合二次根式可以借助構(gòu)造完全平方式進行化簡，如：V4-2V3=V3-2V3+1=

Jo/3)2-2V3x1+I2=J(V5-1)2=6-1再如:15+2a=J3+2后+2=

J(方)2+2x百x&+(或產(chǎn)=J(g+或產(chǎn)=V3+或請用二述方法探索并解決下列問題：

(1)化簡：V10+2V21；

(2)化簡：V14-8V3；

(3)若Q+6再=(m+遍幾產(chǎn)，且a,m,ri為正整數(shù)，求a的值.

【答案】⑴V5+近

(2)272-V6

⑶14或46.

【分析】(1)利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；

(2)利用題中復(fù)合二次根式借助構(gòu)造完全平方式的新方法求解；

(3)利用完全平方公式，結(jié)合整除的意義求解.

【詳解】(1)解：V10+2VH=J(V3)2+2xV3xV7+(V7)2=J(V3+V7)2=V34-V7；

(2)解：V14-8V3=J(2V2)2-2x2V2xV6+(V6)2=J(2后一遍尸=2迎一述

(3)解：a+6A/5=(zn+V5zi)7=+5n7+2y/5nin,

???a=m2+5九2且2