安徽省淮北地區(qū)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫(xiě)在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫(xiě)在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．函數(shù)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程為（）A． B． C． D．2．已知函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．3．設(shè)數(shù)列，()都是等差數(shù)列，若，則等于（）A．60 B．62 C．63 D．664．“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件5．圓柱形容器內(nèi)盛有高度為6cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球，如圖所示.則球的半徑是()A．1cm B．2cmC．3cm D．4cm6．已知隨機(jī)變量和，其中，且，若的分布列如下表，則的值為（）ξ1234PmnA． B． C． D．7．定積分的值為()A． B． C． D．8．下列關(guān)于回歸分析的說(shuō)法中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）（1）回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本點(diǎn)中；（2）殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越寬，則回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高；（3）殘差平方和越小的模型，擬合效果越好；（4）用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好．A．4 B．3 C．2 D．19．已知的分布列為-101設(shè)，則的值為（）A．4 B． C． D．110．若對(duì)于實(shí)數(shù)x，y有1-x?2,y+1?1A．5 B．6 C．7 D．811．已知，，則=（）A．2 B．-2 C． D．312．知，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．有一棱長(zhǎng)為的正方體框架，其內(nèi)放置氣球，使其充氣且盡可能地膨脹(仍保持為球的形狀)，則氣球表面積的最大值為_(kāi)___________.14．已知地球的半徑約為6371千米，上海的位置約為東經(jīng)、北緯，開(kāi)羅的位置約為東經(jīng)、北緯，兩個(gè)城市之間的距離為_(kāi)_____．（結(jié)果精確到1千米）15．已知，2sin2α=cos2α+1，則cosα=__________16．要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為的下端為圓柱形、上端為半球形的密閉儲(chǔ)油罐，已知圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)是下底面積的單位面積造價(jià)的一半，而頂部半球面的單位面積造價(jià)又是圓柱側(cè)面的單位面積造價(jià)的一半，儲(chǔ)油罐的下部圓柱的底面半徑_______時(shí)，造價(jià)最低．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）新能源汽車(chē)的春天來(lái)了！2018年3月5日上午，李克強(qiáng)總理做政府工作報(bào)告時(shí)表示，將新能源汽車(chē)車(chē)輛購(gòu)置稅優(yōu)惠政策再延長(zhǎng)三年，自2018年1月1日至2020年12月31日，對(duì)購(gòu)置的新能源汽車(chē)免征車(chē)輛購(gòu)置稅.某人計(jì)劃于2018年5月購(gòu)買(mǎi)一輛某品牌新能源汽車(chē)，他從當(dāng)?shù)卦撈放其N(xiāo)售網(wǎng)站了解到近五個(gè)月實(shí)際銷(xiāo)量如下表：月份2017.122018.012018.022018.032018.04月份編號(hào)t12345銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）0.50.611.41.7（1）經(jīng)分析，可用線(xiàn)性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌?chē)實(shí)際銷(xiāo)量（萬(wàn)輛）與月份編號(hào)之間的相關(guān)關(guān)系.請(qǐng)用最小二乘法求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程，并預(yù)測(cè)2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌?chē)的銷(xiāo)量；（2）2018年6月12日，中央財(cái)政和地方財(cái)政將根據(jù)新能源汽車(chē)的最大續(xù)航里程（新能源汽車(chē)的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車(chē)所裝的燃料或電池所能夠提供給車(chē)跑的最遠(yuǎn)里程）對(duì)購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地?cái)M購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的消費(fèi)群體十分龐大，某調(diào)研機(jī)構(gòu)對(duì)其中的200名消費(fèi)者的購(gòu)車(chē)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個(gè)抽樣調(diào)查，得到如下一份頻數(shù)表：補(bǔ)貼金額預(yù)期值區(qū)間（萬(wàn)元）206060302010將頻率視為概率，現(xiàn)用隨機(jī)抽樣方法從該地區(qū)擬購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的所有消費(fèi)者中隨機(jī)抽取3人，記被抽取3人中對(duì)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬(wàn)元的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，，②.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為.設(shè)直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在點(diǎn)的下方.（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（Ⅱ）當(dāng)變化時(shí)，求線(xiàn)段中點(diǎn)的軌跡的極坐標(biāo)方程.19．（12分）已知直線(xiàn)是拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)，直線(xiàn)，且與拋物線(xiàn)沒(méi)有公共點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，點(diǎn)到直線(xiàn)和的距離之和的最小值等于2.（Ⅰ）求拋物線(xiàn)的方程；（Ⅱ）點(diǎn)在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)做拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)，切點(diǎn)分別為，在平面內(nèi)是否存在定點(diǎn)，使得恒成立？若存在，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．20．（12分）已知等差數(shù)列滿(mǎn)足：，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.21．（12分）在中，角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足．(1)求角的大小(2)若，求的周長(zhǎng)最大值．22．（10分）“中國(guó)人均讀書(shū)4.3本（包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書(shū)），比韓國(guó)的11本、法國(guó)的20本、日本的40本、猶太人的64本少得多，是世界上人均讀書(shū)最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用，出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的，而且和其他國(guó)家相比，我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低，也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó)、禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)興趣，特舉辦讀書(shū)活動(dòng)，準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站，由于不同年齡段需看不同類(lèi)型的書(shū)籍，為了合理配備資源，現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查，隨機(jī)抽取了一天40名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查，將他們的年齡分成6段：，，，，，后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問(wèn)：（1）估計(jì)在40名讀書(shū)者中年齡分布在的人數(shù)；（2）求40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù)；（3）若從年齡在的讀書(shū)者中任取2名，求這兩名讀書(shū)者年齡在的人數(shù)的分布列及數(shù)學(xué)期望.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】分析：由題意，求得，得到，利用直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程，即可求解切線(xiàn)的方程；詳解：由題意，函數(shù)，則，所以，即切線(xiàn)的斜率為，又，所以切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，所以切線(xiàn)的方程為，即，故選D．點(diǎn)睛：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解切線(xiàn)的方程問(wèn)題，其中熟記導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力．2、D【解析】

根據(jù)函數(shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，則.在有兩個(gè)不相等實(shí)根求解.【詳解】因?yàn)樗?因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域內(nèi)既有極大值也有極小值，所以只需方程在有兩個(gè)不相等實(shí)根.即，令，則.在遞增，在遞減.其圖象如下:∴，∴.故選：:D.本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，屬于中檔題.3、A【解析】

設(shè)數(shù)列的公差為，則由題意可得，求得的值，得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解得值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列，都是等差數(shù)列，且，設(shè)數(shù)列的公差為，則有，即，解得，所以，，所以，故選A.本題主要考查了等差數(shù)列的定義，以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】分析：首先求得復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)x是值，然后確定充分性和必要性即可.詳解：復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，即：，據(jù)此可知，則“”是“復(fù)數(shù)為純虛數(shù)”的充要條件本題選擇C選項(xiàng).點(diǎn)睛：本題主要考查充分必要條件的判斷，已知復(fù)數(shù)類(lèi)型求參數(shù)的方法，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.5、C【解析】

設(shè)出球的半徑，根據(jù)題意得三個(gè)球的體積和水的體積之和，等于柱體的體積，結(jié)合體積公式求解即可．【詳解】設(shè)球半徑為，則由，可得，解得，故選C.本題主要考查了幾何體的體積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生空間想象能力以及計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題．6、A【解析】

根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到，概率和為1，聯(lián)立方程組解得答案.【詳解】且，則即解得故答案選A本題考查了隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望和概率，根據(jù)隨機(jī)變量和的關(guān)系得到是解題的關(guān)鍵.7、C【解析】

根據(jù)微積分基本定理，可知求解，即可.【詳解】故選：C本題考查微積分基本定理，屬于較易題.8、B【解析】

利用回歸分析的相關(guān)知識(shí)逐一判斷即可【詳解】回歸直線(xiàn)必過(guò)樣本點(diǎn)中，故（1）正確殘差圖中殘差點(diǎn)所在的水平帶狀區(qū)域越窄，則回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高，故（2）錯(cuò)誤殘差平方和越小的模型，擬合效果越好，故（3）正確用相關(guān)指數(shù)來(lái)刻畫(huà)回歸效果，越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好，故（4）正確所以正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為3故選：B本題考查的是回歸分析的相關(guān)知識(shí)，較簡(jiǎn)單.9、B【解析】

由的分布列，求出，再由，求得.【詳解】，因?yàn)?，所?本題考查隨機(jī)變量的期望計(jì)算，對(duì)于兩個(gè)隨機(jī)變量，具有線(xiàn)性關(guān)系，直接利用公式能使運(yùn)算更簡(jiǎn)潔.10、C【解析】

將2x+3y+1【詳解】2當(dāng)x=3,y=0或x=-1,y=2是等號(hào)成立.故答案選C本題考查了絕對(duì)值三角不等式，將2x+3y+111、C【解析】

首先根據(jù)題中所給的函數(shù)解析式，求得，之后根據(jù)，從而求得，得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，可知，所以，所以，故選C.該題考查的是有關(guān)分段函數(shù)根據(jù)函數(shù)值求參數(shù)的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，首先求得，利用內(nèi)層函數(shù)的函數(shù)值等于外層函數(shù)的自變量，代入函數(shù)解析式求得結(jié)果.12、A【解析】由題易知：，∴故選A點(diǎn)睛：利用指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)及冪函數(shù)的性質(zhì)比較實(shí)數(shù)或式子的大小，一方面要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)或式子形式的異同，底數(shù)相同，考慮指數(shù)函數(shù)增減性，指數(shù)相同考慮冪函數(shù)的增減性，當(dāng)都不相同時(shí)，考慮分析數(shù)或式子的大致范圍，來(lái)進(jìn)行比較大小，另一方面注意特殊值的應(yīng)用，有時(shí)候要借助其“橋梁”作用，來(lái)比較大?。?、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

氣球表面積最大時(shí)，球與正方體的各棱相切．【詳解】由題意要使氣球的表面積最大，則球與正方體的各棱相切，∴球的直徑等于正方體的面對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，即為，半徑為，球的表面積為．故答案為：．本題考查球與正方體的切接問(wèn)題，解題時(shí)要注意分辯：球是正方體的內(nèi)切球（球與正方體各面相切），球是正方體的棱切球（球與正方體的所有棱相切），球是正方體的外接球（正方體的各頂點(diǎn)在球面上）．14、千米【解析】

設(shè)上海為點(diǎn),開(kāi)羅為點(diǎn).求兩個(gè)城市之間的距離,即求兩城市在地球上的球面距離.由題意可知上海和開(kāi)羅都在北緯的位置,即在同一緯度的圓上,計(jì)算出此圓的半徑,即可求.在三角形由余弦定理可求得,結(jié)合扇形弧長(zhǎng)公式,即可求得兩個(gè)城市之間的距離.【詳解】設(shè)上海為點(diǎn),開(kāi)羅為點(diǎn),地球半徑為根據(jù)緯度定義,設(shè)北緯所在圓的半徑為,可得:上海的位置約為東經(jīng),開(kāi)羅的位置約為東經(jīng),故在北緯所在圓上的圓心角為:.在中得中,根據(jù)余弦定理可得:根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式可得:劣弧故答案為:千米.本題由經(jīng)度,緯度求球面上兩點(diǎn)距離,根據(jù)題意畫(huà)出空間圖形,理解經(jīng)度和緯度的定義是解本題關(guān)鍵,考查空間想象能力,屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

化簡(jiǎn)2sin2α=cos2α+1即可得出sinα與cosα之間的關(guān)系式，再計(jì)算即可【詳解】因?yàn)椋?sin2α=cos2α+1所以，化簡(jiǎn)得解得本題考查倍角的相關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．16、.【解析】

根據(jù)造價(jià)關(guān)系，得到總造價(jià)，再利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值.【詳解】設(shè)圓柱的高為，圓柱底面單位面積造價(jià)為，總造價(jià)為，因?yàn)閮?chǔ)油罐容積為，所以，整理得：，所以，令，則，當(dāng)?shù)茫?，?dāng)?shù)茫援?dāng)時(shí)，取最大值，即取得最大值.本題考查導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題，考查運(yùn)算求解能力和建模能力，求解時(shí)要把相關(guān)的量設(shè)出，并利用函數(shù)與方程思想解決問(wèn)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）約為2萬(wàn)輛；（2）見(jiàn)解析【解析】

(1)利用最小二乘法求關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，再令得到2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌?chē)的銷(xiāo)量.(2)先分析得到～，再根據(jù)二項(xiàng)分布求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【詳解】（1）易知，，，，則關(guān)于的線(xiàn)性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，，即2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌?chē)的銷(xiāo)量約為2萬(wàn)輛.（2）根據(jù)給定的頻數(shù)表可知，任意抽取1名擬購(gòu)買(mǎi)新能源汽車(chē)的消費(fèi)者，對(duì)補(bǔ)貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬(wàn)元的概率為，由題意可知～，的所有可能取值為0,1,2,3的分布列為：，，0123所以（1）本題主要考查回歸方程的求法，考查二項(xiàng)分布，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是，那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生次的概率是，（）．正好是二項(xiàng)式的展開(kāi)式的第項(xiàng).所以記作～，讀作服從二項(xiàng)分布，其中為參數(shù).18、（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）根據(jù)題意，可將直線(xiàn)與曲線(xiàn)C聯(lián)立求得，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)；（II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，，于是可知點(diǎn)的軌跡為圓，從而得到其軌跡方程；（解法二）設(shè)，可用相關(guān)點(diǎn)法表示出的坐標(biāo)，代入，于是得到軌跡方程.【詳解】解：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)，曲線(xiàn)的普通方程為：，由解得或，∵點(diǎn)在點(diǎn)的下方，所以，兩點(diǎn)的直角坐標(biāo)為：，.（II）（解法一）當(dāng)變化時(shí)，，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓（點(diǎn)除外），因?yàn)榍€(xiàn)是圓心為的圓，則以為直徑的圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2.所以點(diǎn)軌跡的直角坐標(biāo)方程為，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.（解法二）設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)是線(xiàn)段中點(diǎn)，是極點(diǎn)，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，代入中，得，因?yàn)?，不重合，所以，所以點(diǎn)軌跡的極坐標(biāo)方程為.本題主要考查直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，軌跡方程.意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，邏輯推理能力，難度中等.19、(1)(2)存在定點(diǎn)，使得恒成立【解析】試題分析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義可得的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）設(shè)，，，，利用導(dǎo)數(shù)得到切線(xiàn)斜率，可設(shè)出切線(xiàn)方程，根據(jù)點(diǎn)在切線(xiàn)上可得到和是一元二次方程的根，利用韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積公式，可得時(shí)，從而可得結(jié)論.試題解析：（Ⅰ）作分別垂直和，垂足為，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，由拋物線(xiàn)定義知，所以，顯見(jiàn)的最小值即為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，故，所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為．（Ⅱ）由（Ⅰ）知直線(xiàn)的方程為，當(dāng)點(diǎn)在特殊位置時(shí)，顯見(jiàn)兩個(gè)切點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，故要使得，點(diǎn)必須在軸上．故設(shè)，，，，拋物線(xiàn)的方程為，求導(dǎo)得，所以切線(xiàn)的斜率，直線(xiàn)的方程為，又點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以，整理得，同理可得，故和是一元二次方程的根，由韋達(dá)定理得，，可見(jiàn)時(shí)，恒成立，所以存在定點(diǎn)，使得恒成立．20、（1）；（2）.【解析】

（1）由等差中項(xiàng)解得，依題意解得