江西省吉安市安福中學(xué)2025屆高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末綜合測試試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．集合，則等于（）A． B． C． D．2．若函數(shù)是奇函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A． B．C． D．3．若點(diǎn)為圓C：的弦MN的中點(diǎn)，則弦MN所在直線的方程為（）A． B． C． D．4．定義函數(shù)為不大于的最大整數(shù)，對于函數(shù)有以下四個命題：①；②在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)；③；④的定義域是，值域是.其中真命題的序號是（）A．③④ B．①③④ C．②③④ D．①②④5．如圖，在正方體中，分別是的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（）A． B．平面C． D．平面6．在中，,則（）A． B． C． D．7．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》對立體幾何也有深入的研究，從其中的一些數(shù)學(xué)用語可見，譬如“塹堵”意指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，“陽馬”指底面為矩形且有一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．現(xiàn)有一如圖所示的“塹堵”即三棱柱，其中，若，當(dāng)“陽馬”即四棱錐體積最大時，“塹堵”即三棱柱的表面積為A． B． C． D．8．甲、乙、丙3位志愿者安排在周一至周五的5天中參加某項(xiàng)志愿者活動，要求每人參加一天且每天至多安排一人，并要求甲安排在另外兩位前面，不同的安排方法共有（）A．20種 B．30種 C．40種 D．60種9．中，邊的高為，若，，，，，則（)A． B． C． D．10．已知雙曲線的實(shí)軸長為16，左焦點(diǎn)分別為，是雙曲線的一條漸近線上的點(diǎn)，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，則雙曲線的離心率為()A． B． C． D．11．函數(shù)y=12A．(0,1) B．(0,1)∪(-∞,-1) C．(-∞,1) D．(-∞,+∞)12．若（為虛數(shù)單位），則=（）A．1 B． C．2 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，其中,，且，則方程的實(shí)根個數(shù)為________個.14．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______.15．如圖所示的數(shù)表為“森德拉姆篩”（森德拉姆，東印度學(xué)者），其特點(diǎn)是每行每列都成等差數(shù)列.在此表中，數(shù)字“121”出現(xiàn)的次數(shù)為___________.234567……35791113……4710131619……5913172125……61116212631……71319253137…………16．已知函數(shù)，使在上取得最大值3，最小值-29，則的值為__________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：的左焦點(diǎn).右焦點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)與F1的最大距離等于4，離心率等于，過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，圓E內(nèi)切于三角形F2MN；（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（2）求圓E半徑的最大值18．（12分）已知命題：對，函數(shù)總有意義；命題：函數(shù)在上是增函數(shù).若命題“”為真命題且“”為假命題，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知函數(shù)，其中為正實(shí)數(shù).（1）若函數(shù)在處的切線斜率為2，求的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，求證：20．（12分）已知f(x)=12sin（1）求fx（2）CD為△ABC的內(nèi)角平分線，已知AC=f(x)max，BC=f(x)min21．（12分）已知.猜想的表達(dá)式并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論.22．（10分）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)（點(diǎn)均在第一象限），且直線的斜率成等比數(shù)列，證明：直線的斜率為定值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】試題分析：集合，,，，故選B.考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及集合的運(yùn)算.2、C【解析】的定義域?yàn)椋鼞?yīng)該關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以，又時，，，為奇函數(shù).又原不等式可以化為，所以，所以，選C.點(diǎn)睛：如果一個函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)，那么它的定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對稱，我們可以利用這個性質(zhì)去求奇函數(shù)或偶函數(shù)中的參數(shù)的值.3、A【解析】

根據(jù)題意，先求出直線PC的斜率，根據(jù)MN與PC垂直求出MN的斜率，由點(diǎn)斜式，即可求出結(jié)果.【詳解】由題意知，圓心的坐標(biāo)為，則，由于MN與PC垂直，故MN的斜率，故弦MN所在的直線方程為，即.故選A本題主要考查求弦所在直線方程，熟記直線的點(diǎn)斜式方程即可，屬于常考題型.4、D【解析】

畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)圖象可知函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域與值域，從而可判斷各命題的真假.【詳解】畫出的圖象，如圖所示，可知是最小正周期為1的函數(shù)，當(dāng)時，，可得，①正確；由圖可知，在每一個區(qū)間，上，都是增函數(shù)，②正確；由圖可知，的定義域是，值域是，④正確；由圖可知，，③是錯誤的.真命題的序號是①②④，故選D.本題通過對多個命題真假的判斷，綜合考查函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的周期性、函數(shù)的定義域與值域，屬于難題.這種題型綜合性較強(qiáng)，也是高考的命題熱點(diǎn)，同學(xué)們往往因?yàn)槟骋惶幹R點(diǎn)掌握不好而導(dǎo)致“全盤皆輸”，因此做這類題目更要細(xì)心、多讀題，盡量挖掘出題目中的隱含條件，另外，要注意從簡單的自己已經(jīng)掌握的知識點(diǎn)入手，然后集中精力突破較難的命題.5、C【解析】

以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出結(jié)果．【詳解】∵在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是BC1，CD1的中點(diǎn)，

∴以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，

則B（2，2，0），C1（0，2，2），M（1，2，1），D1（0，0，2），C（0，2，0），N（0，1，1），

∴MN⊥CC1，故A正確；∴MN⊥平面ACC1A1，故B成立；

∵∴MN和AB不平行，故C錯誤；

平面ABCD的法向量又MN?平面ABCD，∴MN∥平面ABCD，故D正確．

故選C．本題考查命題的真假判斷，考空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．6、B【解析】

先根據(jù)求得，進(jìn)而求得，根據(jù)余弦定理求得以及，由此求得.【詳解】由于，所以且為銳角，所以.由余弦定理得.故.所以.故選B.本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，考查余弦定理解三角形，考查向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于中檔題.7、C【解析】分析：由四棱錐的體積是三棱柱體積的，知只要三棱柱體積最大，則四棱錐體積也最大，求出三棱柱的體積后用基本不等式求得最大值，及取得最大值時的條件，再求表面積．詳解：四棱錐的體積是三棱柱體積的，，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號．∴．故選C．點(diǎn)睛：本題考查棱柱與棱錐的體積，考查用基本不等式求最值．解題關(guān)鍵是表示出三棱柱的體積．8、A【解析】

根據(jù)題意，分析可得，甲可以被分配在星期一、二、三；據(jù)此分3種情況討論，計(jì)算可得其情況數(shù)目，進(jìn)而由加法原理，計(jì)算可得答案．解：根據(jù)題意，要求甲安排在另外兩位前面，則甲有3種分配方法，即甲在星期一、二、三；分3種情況討論可得，甲在星期一有A42=12種安排方法，甲在星期二有A32=6種安排方法，甲在星期三有A22=2種安排方法，總共有12+6+2=20種；故選A．9、D【解析】

試題分析：由，，可知10、A【解析】由于焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故,依題意有,所以離心率為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線和雙曲線的位置關(guān)系,考查雙曲線漸近線的幾何性質(zhì),考查三角形的面積公式和雙曲線離心率的求法.設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為,雙曲線的漸近線為,故雙曲線焦點(diǎn)到漸近線的距離為,故焦點(diǎn)到漸近線的距離為.11、A【解析】

試題分析：令f'x=x-考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.12、A【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡得到，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，復(fù)數(shù)滿足，則，所以，故選A.本題主要考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)模的求解，其中解答中熟記復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

根據(jù)有兩個極值點(diǎn)可知有兩個不等正根，即有兩個不等正根，從而可得；采用換元的方式可知方程有兩個不等實(shí)根，從而可將問題轉(zhuǎn)化為與和共有幾個交點(diǎn)的問題；通過確定和的范圍可確定大致圖象，從而通過與和的交點(diǎn)確定實(shí)根的個數(shù).【詳解】有兩個極值點(diǎn)有兩個不等正根即有兩個不等正根且，令，則方程的判別式方程有兩解，且，由得：，又且根據(jù)可得簡圖如下：可知與有個交點(diǎn)，與有個交點(diǎn)方程的實(shí)根個數(shù)為：個本題正確結(jié)果：本題考查方程解的個數(shù)的求解問題，解決此類問題常用的方法是將問題轉(zhuǎn)化為曲線與平行于軸直線的交點(diǎn)個數(shù)問題，利用數(shù)形結(jié)合的方法來進(jìn)行求解；本題解題關(guān)鍵是能夠確定極值的大致取值范圍，從而確定函數(shù)的圖象.14、【解析】

根據(jù)，確定參數(shù)的取值范圍.【詳解】若滿足，則.故答案為：本題考查根據(jù)集合的包含關(guān)系，求參數(shù)的取值范圍，屬于簡單題型.15、1【解析】

第1行數(shù)組成的數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，可求出結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，第行第列的數(shù)記為．那么每一組與的組合就是表中一個數(shù)．

因?yàn)榈谝恍袛?shù)組成的數(shù)列是以2為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

所以，

所以第列數(shù)組成的數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列，

所以．

令.

則，則120的正約數(shù)有4×2×2=1個.所以121在表中出現(xiàn)的次數(shù)為1次故答案為：1．本題考查歸納推理的應(yīng)用，涉及行列模型的等差數(shù)列應(yīng)用,和正約數(shù)的個數(shù)的求解，解題時利用首項(xiàng)和公差寫出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，運(yùn)用通項(xiàng)公式求值，16、3【解析】分析：求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，可判斷在上的單調(diào)性，求出函數(shù)在閉區(qū)間上的極大值，可得最大值，從而可得結(jié)果.詳解：函數(shù)的的導(dǎo)數(shù)，，由解得，此時函數(shù)單調(diào)遞減.由，解得或，此時函數(shù)單調(diào)遞增.即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，即函數(shù)在處取得極大值同時也是最大值，則，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值與最值，屬于難題.求函數(shù)極值的步驟：(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)數(shù)；(3)解方程求出函數(shù)定義域內(nèi)的所有根；(4)列表檢查在的根左右兩側(cè)值的符號，如果左正右負(fù)（左增右減），那么在處取極大值，如果左負(fù)右正（左減右增），那么在處取極小值.（5）如果只有一個極值點(diǎn)，則在該處即是極值也是最值；（6）如果求閉區(qū)間上的最值還需要比較端點(diǎn)值的函數(shù)值與極值的大小.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

（1）根據(jù)橢圓上點(diǎn)與的最大距離和離心率列方程組，解方程組求得的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（2）設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，寫出韋達(dá)定理，利用與三角形內(nèi)切圓有關(guān)的三角形面積公式列式，求得內(nèi)切圓半徑的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合基本不等式求得圓半徑的最大值.【詳解】由條件知，所以.故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由條件不為，設(shè)交橢圓于，設(shè)圓的半徑為，由可得，即令，（），則當(dāng)時，.本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓位置關(guān)系，考查三角形內(nèi)切圓半徑有關(guān)計(jì)算，考查換元法和基本不等式求最值，屬于中檔題.18、【解析】

由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，我們可以得到為真時，的取值范圍；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及基本不等式，我們可以求出為真時的取值范圍；而根據(jù)“”為真且命題“”為假，可得真假，或假真，求出這兩種情況下的的取值范圍再求并集即可．【詳解】解：當(dāng)為真命題時，解得當(dāng)為真命題時，在上恒成立，即對恒成立.又，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，所以，所以.因?yàn)槊}“”為真命題且命題“”為假命題，所以命題與命題一個為真一個為假當(dāng)真假時，有解得當(dāng)假真時，有解得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是本題考查的知識點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，恒成立問題，導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性，復(fù)合命題的真假，屬于中檔題.19、（1）1；（2）見解析；（3）見解析【解析】試題分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義得，解得的值；（2）先求導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號分類討論，最后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)符號確定單調(diào)區(qū)間（3）先根據(jù)韋達(dá)定理得，再化簡，進(jìn)而化簡所證不等式為，最后利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，進(jìn)而確定最小值，證得結(jié)論試題解析：(1)因?yàn)?，所以，則,所以的值為1．(2)，函數(shù)的定義域?yàn)?，?即,則,此時的單調(diào)減區(qū)間為;若,即,則的兩根為,此時的單調(diào)減區(qū)間為,,單調(diào)減區(qū)間為．(3)由(2)知，當(dāng)時，函數(shù)有兩個極值點(diǎn),且．因?yàn)橐C,只需證．構(gòu)造函數(shù)，則，在上單調(diào)遞增,又,且在定義域上不間斷,由零點(diǎn)存在定理，可知在上唯一實(shí)根,且．則在上遞減,上遞增,所以的最小值為．因?yàn)?當(dāng)時,,則,所以恒成立．所以,所以，得證．20、(1)f(x)max【解析】

（1）先利用二倍角公式以及輔助角公式化簡fx，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求最值，（2）先根據(jù)正弦定理得AD=2BD，再根據(jù)余弦定理列方程解得cos1【詳解】（1）f(x)=12=3∵f