上海市東昌中學2025屆數(shù)學高二第二學期期末質量檢測模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．“搜索指數(shù)”是網(wǎng)民通過搜索引擎，以每天搜索關鍵詞的次數(shù)為基礎所得到的統(tǒng)計指標.“搜索指數(shù)”越大，表示網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索次數(shù)越多，對該關鍵詞相關的信息關注度也越高.如圖是2018年9月到2019年2月這半年中，某個關鍵詞的搜索指數(shù)變化的走勢圖.根據(jù)該走勢圖，下列結論正確的是（）A．這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度呈周期性變化B．這半年中，網(wǎng)民對該關鍵詞相關的信息關注度不斷減弱C．從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年10月份的方差小于11月份的方差D．從網(wǎng)民對該關鍵詞的搜索指數(shù)來看，去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值2．8張卡片上分別寫有數(shù)字，從中隨機取出2張，記事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，事件“所取2張卡片上的數(shù)字之和小于9”，則（）A． B． C． D．3．已知，∈C．“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．已知函數(shù)的圖象在點處的切線為，若也與函數(shù)，的圖象相切，則必滿足（）A． B．C． D．5．函數(shù)的圖像大致為（）A． B．C． D．6．已知函數(shù)，若在上有解，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．7．某班級有男生人，女生人，現(xiàn)選舉名學生分別擔任班長、副班長、團支部書記和體育班委.男生當選的人數(shù)記為，則的數(shù)學期望為（）A． B． C． D．8．焦點為的拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線上，則當取得最大值時，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．9．如果直線與直線平行，則的值為（）A． B． C． D．10．獨立性檢驗中,假設:運動員受傷與不做熱身運動沒有關系.在上述假設成立的情況下,計算得的觀測值.下列結論正確的是（）附：1．111.151.1111.1152.7163.8416.6357.879A．在犯錯誤的概率不超過1.11的前提下,認為運動員受傷與不做熱身運動有關B．在犯錯誤的概率不超過1.11的前提下,認為運動員受傷與不做熱身運動無關C．在犯錯誤的概率不超過1.115的前提下,認為運動員受傷與不做熱身運動有關D．在犯錯誤的概率不超過1.115的前提下,認為運動員受傷與不做熱身運動無關11．已知，則A． B． C． D．12．若函數(shù)的圖象的頂點在第一象限，則函數(shù)的圖像是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在二項式展開式中，第五項為________.14．在的展開式中，的系數(shù)為________15．已知，則=________16．已知直線與曲線在點P（1，1）處的切線互相垂直，則_____________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，已知、兩個城鎮(zhèn)相距20公里，設是中點，在的中垂線上有一高鐵站，的距離為10公里.為方便居民出行，在線段上任取一點（點與、不重合）建設交通樞紐，從高鐵站鋪設快速路到處，再鋪設快速路分別到、兩處.因地質條件等各種因素，其中快速路造價為1.5百萬元/公里，快速路造價為1百萬元/公里，快速路造價為2百萬元/公里，設，總造價為(單位：百萬元).（1）求關于的函數(shù)關系式，并指出函數(shù)的定義域；（2）求總造價的最小值，并求出此時的值.18．（12分）已知集合，集合是集合S的一個含有8個元素的子集.（1）當時，設，①寫出方程的解（）；②若方程至少有三組不同的解，寫出k的所有可能取值；（2）證明：對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.19．（12分）已知函數(shù)有兩個不同的零點，.（1）求的取值范圍；（2）求證：.20．（12分）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切.（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l與橢圓相交于P，Q不同兩點，點在線段PQ上.設，試求的取值范圍.21．（12分）如圖，正四棱柱的底面邊長，若異面直線與所成角的大小為，求正四棱柱的體積.22．（10分）已知公差不為的等差數(shù)列的前項和，，，成等差數(shù)列，且，，成等比數(shù)列.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若，，成等比數(shù)列，求及此等比數(shù)列的公比.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

選項A錯，并無周期變化，選項B錯，并不是不斷減弱，中間有增強．C選項錯，10月的波動大小11月分，所以方差要大．D選項對，由圖可知，12月起到1月份有下降的趨勢，所以去年12月份的平均值大于今年1月份的平均值．選D.2、C【解析】

利用古典概型的概率公式計算出和，再利用條件概率公式可得出答案?！驹斀狻渴录椤八埧ㄆ系臄?shù)字之和為小于的偶數(shù)”，以為一個基本事件，則事件包含的基本事件有：、、、、、，共個，由古典概型的概率公式可得，事件為“所取張卡片上的數(shù)字之和為偶數(shù)”，則所取的兩個數(shù)全是奇數(shù)或全是偶數(shù)，由古典概型的概率公式可得，因此，，故選：C。本題考查條件概率的計算，數(shù)量利用條件概率公式，是解本題的關鍵，同時也考查了古典概型的概率公式，考查運算求解能力，屬于中等題。3、A【解析】

根據(jù)充分條件和必要條件的定義分析可得答案.【詳解】顯然“”是“”的充分條件，當時，滿足，但是不滿足，所以“”不是“”的必要條件，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A本題考查了充分條件和必要條件的定義，屬于基礎題.4、D【解析】

函數(shù)的導數(shù)為，圖像在點處的切線的斜率為，切線方程為，即，設切線與相切的切點為，，由的導數(shù)為，切線方程為，即，∴，．由，可得，且，解得，消去，可得，令，，在上單調(diào)遞增，且，，所以有的根，故選D.5、D【解析】

利用函數(shù)解析式求得,結合選項中的函數(shù)圖象，利用排除法即可得結果.【詳解】因為函數(shù)，所以，選項中的函數(shù)圖象都不符合，可排除選項，故選D.本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質，屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向，該題型的特點是綜合性較強、考查知識點較多，但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手，根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及時函數(shù)圖象的變化趨勢，利用排除法，將不合題意的選項一一排除.6、D【解析】

首先判斷函數(shù)單調(diào)性為增.,將函數(shù)不等式關系轉化為普通的不等式,再把不等式轉換為兩個函數(shù)的大小關系,利用圖像得到答案.【詳解】在定義域上單調(diào)遞增，，則由，得，，則當時，存在的圖象在的圖象上方.，，則需滿足.選D.本題考查了函數(shù)的單調(diào)性,解不等式,將不等式關系轉化為圖像關系等知識,其中當函數(shù)單調(diào)遞增時,是解題的關鍵.7、C【解析】分析：先寫出的取值，再分別求的概率，最后求的數(shù)學期望.詳解：由題得所以故答案為：C點睛：（1）本題主要考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望，意在考查學生對這些基礎知識的掌握能力.(2)離散型隨機變量的數(shù)學期望8、A【解析】過作與準線垂直，垂足為，則，則當取得最大值時，必須取得最大值，此時直線與拋物線相切，可設切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離，拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉化，如果問題中涉及拋物線上的點到焦點或到準線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點的距離轉化成到準線的距離，將比值問題轉化成切線問題求解．9、B【解析】試題分析：因為直線與直線平行，所以，故選B．考點：直線的一般式方程與直線的平行關系．10、A【解析】

根據(jù)臨界值表找到犯錯誤的概率，即可對各選項結論的正誤進行判斷．【詳解】，因此，在犯錯誤的概率不超過的前提下，認為運動員受傷與不做熱身運動有關，故選A．本題考查獨立性檢驗的基本思想，解題的關鍵就是利用臨界值表找出犯錯誤的概率，考查分析能力，屬于基礎題．11、C【解析】

根據(jù)已知求出，再求.【詳解】因為，故，從而.故選C本題主要考查誘導公式和同角的三角函數(shù)關系，考查二倍角的正弦公式，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎題.12、A【解析】

求導，根據(jù)導函數(shù)的性質解題。【詳解】，斜率為正，排除BD選項。的圖象的頂點在第一象限其對稱軸大于0即b<0,選A本題考查根據(jù)已知信息選導函數(shù)的大致圖像。屬于簡單題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、60【解析】

根據(jù)二項式的通項公式求解.【詳解】二項式的展開式的通項公式為：，令，則，故第五項為60.本題考查二項式定理的通項公式，注意是第項.14、【解析】

由題意，二項式展開式的通項為，令，即可求解．【詳解】由題意，二項式的展開式的通項為，令，即，可得，即展開式中的系數(shù)為40.本題主要考查了二項式展開式中項的系數(shù)問題，其中解答中熟記二項展開式的通項是解答此類問題的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．15、【解析】

首先根據(jù)誘導公式化簡，再由即可得【詳解】∵，則，本題主要考查了誘導公式以及同角三角函數(shù)的基本關系，屬于基礎題．16、【解析】三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），()（2）最小值為，此時【解析】

（1）由題意，根據(jù)三角形的性質，即可得到；（2）構造函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解函數(shù)的最值．【詳解】(1),，，，(2)設則令，又，所以.當,,,單調(diào)遞減；當,,,單調(diào)遞增；所以的最小值為.答：的最小值為(百萬元)，此時本題主要考查了函數(shù)的實際應用問題，以及利用導數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性與最值問題，其中解答中認真審題，合理建立函數(shù)的關系式，準確利用導數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．18、（1）①②4，6.（2）證明見詳解.【解析】

（1）①根據(jù)兩個元素之差為3，結合集合的元素，即可求得；②根據(jù)題意要求，寫出集合X中從小到大8個數(shù)中所有的差值（限定為正數(shù)）的可能，計算每個差值出現(xiàn)的次數(shù)，即可求得；（2）采用反證法，假設不存在滿足條件的k，根據(jù)差數(shù)的范圍推出矛盾即可.【詳解】（1）①方程的解有：.②以下規(guī)定兩數(shù)的差均為正，則：列出集合X的從小到大8個數(shù)中相鄰兩數(shù)的差：1,3,2,4,2,3,1；中間隔一數(shù)的兩數(shù)差（即上一列差數(shù)中相鄰兩數(shù)和）：4,5,6,6,5,4；中間相隔二數(shù)的兩數(shù)差：6,9,8,9,6；中間相隔三數(shù)的兩數(shù)差：10,11,11,10；中間相隔四數(shù)的兩數(shù)差：12,14,12；中間相隔五數(shù)的兩數(shù)差：15,15；中間相隔六數(shù)的兩數(shù)差：16.這28個差數(shù)中，只有4出現(xiàn)3次、6出現(xiàn)4次，其余都不超過2次，所以k的可能取值有4，6.（2）證明：不妨設，記，，共13個差數(shù).假設不存在滿足條件的k，則這13個數(shù)中至多兩個1、兩個2、兩個3、兩個4、兩個5、兩個6，從而①又，這與①矛盾.故假設不成立，結論成立.即對任意一個X，存在正整數(shù)k，使得方程至少有三組不同的解.本題考查集合新定義問題，涉及反證法的使用，本題的關鍵是要理解題意，小心計算，大膽求證.19、（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出的范圍即可；（2）構造函數(shù)，則可證當時，在上，有，即.將代入上面不等式中即可證明.詳解：（1），若，則，在上單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；則必有，得在上遞減，在上遞增，要使有兩個不同的零點，則須有．（嚴格來講，還需補充兩處變化趨勢的說明：當時，；當時，）.（2）構造函數(shù)，則.當時，，但因式的符號不容易看出，引出輔助函數(shù)，則，得在上，當時，，即，則，即，，得在上，有，即.將代入上面不等式中得，又，，在上，故，.點睛：本題考查了導數(shù)的綜合應用及恒成立問題，同時考查了數(shù)形結合的思想應用，屬于難題．20、（1）；（2）.【解析】

（1）根據(jù)橢圓的離心率和直線與圓相切得到，解方程組即可.（2）設，，，當直線與軸重合時，求出.當直線與軸不重合時，設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立利用韋達定理化簡，求出的表達式，再求出的范圍即可.【詳解】（1）由題知：，解得，.橢圓；（2）設，，.當直線與軸重合時，則，解得：，.當直線與軸不重合時，則，解得：.設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立消去得：.由韋達定理得，.于是有：，因此.綜上，實數(shù)的取值范圍是.本題第一問考查橢圓的性質和直線與圓的位置關系，第二問考查直線與橢圓的位置關系，屬于難題.21、16【解析】分析：由正四棱柱