一、引言1.1研究背景在當(dāng)今的教育體系中，數(shù)學(xué)作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，對于學(xué)生的思維發(fā)展和綜合素養(yǎng)的提升起著至關(guān)重要的作用。隨著教育理念的不斷更新和發(fā)展，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)已成為數(shù)學(xué)教育的重要目標。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)作為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的重要組成部分，是學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)知識、發(fā)展數(shù)學(xué)思維的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，能夠運用抽象思維方法，從具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象和問題中，提煉出數(shù)學(xué)概念、原理和規(guī)律，并用數(shù)學(xué)語言和符號進行表達和推理的能力。它不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，也是學(xué)生解決實際問題、進行創(chuàng)新思維的重要工具。在高中數(shù)學(xué)教育中，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，有助于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題的能力，為學(xué)生的未來發(fā)展奠定堅實的基礎(chǔ)。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個高中數(shù)學(xué)課程體系。它不僅是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要對象，也是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的良好載體。函數(shù)的概念和性質(zhì)具有高度的抽象性和概括性，需要學(xué)生具備較強的抽象思維能力才能理解和掌握。通過函數(shù)教學(xué)，學(xué)生可以從具體的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律中，抽象出函數(shù)的概念和模型，進而理解函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用。在這個過程中，學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)得到了有效的鍛煉和提升。例如，在學(xué)習(xí)一次函數(shù)時，學(xué)生需要從實際問題中抽象出兩個變量之間的線性關(guān)系，并用函數(shù)表達式進行表示。在學(xué)習(xí)二次函數(shù)時，學(xué)生需要通過對函數(shù)圖像的觀察和分析，抽象出二次函數(shù)的性質(zhì)，如對稱軸、頂點、單調(diào)性等。這些過程都需要學(xué)生具備較強的抽象思維能力，能夠從具體的數(shù)學(xué)現(xiàn)象中提煉出數(shù)學(xué)本質(zhì)。然而，在實際的高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，函數(shù)教學(xué)往往存在一些問題，影響了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。一方面，部分教師在教學(xué)過程中過于注重知識的傳授，忽視了學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，導(dǎo)致學(xué)生對函數(shù)的理解停留在表面，無法深入理解函數(shù)的本質(zhì)和應(yīng)用。另一方面，一些教學(xué)方法和手段缺乏創(chuàng)新性和啟發(fā)性，難以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和主動性，限制了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。因此，深入研究以高一函數(shù)主題為載體的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)，具有重要的理論和實踐意義。通過本研究，旨在探索有效的教學(xué)策略和方法，提高函數(shù)教學(xué)的質(zhì)量，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)改革提供有益的參考和借鑒。1.2研究目的與意義本研究旨在深入剖析以高一函數(shù)主題為載體培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的有效途徑。通過對函數(shù)教學(xué)內(nèi)容、方法及學(xué)生學(xué)習(xí)過程的細致研究，期望能夠達成以下具體目標：其一，揭示高一函數(shù)教學(xué)中促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵因素與內(nèi)在機制，明確不同教學(xué)策略對學(xué)生抽象思維提升的作用方式和程度；其二，開發(fā)一套具有針對性和可操作性的教學(xué)策略與方法體系，為一線教師在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供切實可行的指導(dǎo)方案，幫助教師優(yōu)化教學(xué)過程，提高教學(xué)質(zhì)量；其三，通過實證研究，驗證所提出教學(xué)策略的有效性和可行性，為數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域的理論研究提供實證支持，豐富和完善數(shù)學(xué)教育中關(guān)于核心素養(yǎng)培養(yǎng)的理論體系。在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有多方面的重要意義。從學(xué)科知識構(gòu)建角度來看，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)知識形成的基石。函數(shù)作為高中數(shù)學(xué)的核心知識，其概念、性質(zhì)和應(yīng)用的理解與掌握都離不開數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。通過在函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力，能夠幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)知識的本質(zhì)，把握函數(shù)中數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律的抽象表達，從而構(gòu)建起系統(tǒng)、完整的函數(shù)知識體系。例如，在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，學(xué)生需要從具體的指數(shù)增長現(xiàn)象中抽象出函數(shù)模型，理解指數(shù)函數(shù)的一般形式和性質(zhì)，這一過程不僅加深了學(xué)生對指數(shù)函數(shù)的理解，也為后續(xù)學(xué)習(xí)對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)等其他函數(shù)類型奠定了基礎(chǔ)。從學(xué)生思維發(fā)展層面而言，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)有助于提升學(xué)生的邏輯思維、創(chuàng)新思維和批判性思維能力。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，學(xué)生通過對函數(shù)問題的抽象分析、推理和解決，能夠鍛煉自己的邏輯思維能力，學(xué)會有條理地思考和表達。同時，數(shù)學(xué)抽象過程也鼓勵學(xué)生從不同角度去觀察和思考問題，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新思維，培養(yǎng)學(xué)生提出新問題、探索新方法的能力。例如，在解決函數(shù)的最值問題時，學(xué)生可能會運用不同的數(shù)學(xué)抽象方法，如代數(shù)法、幾何法或?qū)?shù)法，通過對這些方法的比較和創(chuàng)新應(yīng)用，學(xué)生的思維得到了拓展和深化。此外，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)還能培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維，使學(xué)生能夠?qū)?shù)學(xué)知識和方法進行反思和評價，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)質(zhì)量和自主學(xué)習(xí)能力。在學(xué)生未來發(fā)展方面，具備良好的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)對學(xué)生的升學(xué)和職業(yè)發(fā)展都具有重要的支持作用。在高考中，函數(shù)相關(guān)的題目占據(jù)了較大的比重，且往往需要學(xué)生具備較強的數(shù)學(xué)抽象能力才能解決。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，能夠提高學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，為學(xué)生升入理想的高校創(chuàng)造有利條件。在未來的職業(yè)領(lǐng)域中，無論是從事理工科專業(yè)，如計算機科學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等，還是文科專業(yè)，如經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、統(tǒng)計學(xué)等，數(shù)學(xué)抽象能力都能幫助學(xué)生更好地理解和解決專業(yè)問題。例如，在計算機科學(xué)中，算法設(shè)計和數(shù)據(jù)分析都需要運用數(shù)學(xué)抽象思維來構(gòu)建模型和解決問題；在經(jīng)濟學(xué)中，經(jīng)濟模型的建立和分析也離不開數(shù)學(xué)抽象能力。1.3研究方法與創(chuàng)新點在研究過程中，本研究將綜合運用多種研究方法，以確保研究的科學(xué)性、全面性和深入性。文獻研究法是本研究的基礎(chǔ)方法之一。通過廣泛查閱國內(nèi)外關(guān)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、高中函數(shù)教學(xué)以及相關(guān)教育理論的文獻資料，包括學(xué)術(shù)期刊論文、學(xué)位論文、教育專著、研究報告等，全面了解該領(lǐng)域的研究現(xiàn)狀、發(fā)展趨勢和已有成果。梳理數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵、構(gòu)成要素、培養(yǎng)途徑以及在函數(shù)教學(xué)中的應(yīng)用等方面的研究進展，分析當(dāng)前研究的優(yōu)勢與不足，為本研究提供堅實的理論基礎(chǔ)和研究思路。例如，通過對相關(guān)文獻的分析，明確數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在數(shù)學(xué)教育中的核心地位，以及函數(shù)教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)方面的獨特作用，從而確定本研究的切入點和重點。案例分析法將貫穿于整個研究過程。選取具有代表性的高一函數(shù)教學(xué)案例，包括優(yōu)秀教師的示范課、常態(tài)課以及學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的典型問題案例等。深入分析這些案例中教師的教學(xué)方法、教學(xué)策略以及學(xué)生的學(xué)習(xí)表現(xiàn)、思維過程等，總結(jié)成功經(jīng)驗和存在的問題。例如，對某教師在指數(shù)函數(shù)教學(xué)中創(chuàng)設(shè)實際問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從具體的數(shù)量關(guān)系中抽象出指數(shù)函數(shù)概念的案例進行分析，探究該教學(xué)方法對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的效果和作用機制；同時，分析學(xué)生在解決函數(shù)問題時出現(xiàn)的錯誤案例，找出學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象思維方面存在的障礙和不足，為提出針對性的教學(xué)改進策略提供依據(jù)。實證研究法是本研究的關(guān)鍵方法。通過設(shè)計并實施教學(xué)實驗，將所提出的教學(xué)策略應(yīng)用于實際教學(xué)中，驗證其對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的有效性。選取兩個或多個具有相似數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和學(xué)習(xí)能力的高一班級，將其分為實驗組和對照組。實驗組采用基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略進行函數(shù)教學(xué)，對照組則采用傳統(tǒng)的教學(xué)方法。在教學(xué)實驗前后，分別對兩組學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)測試，包括概念理解、抽象概括、邏輯推理等方面的測試題目；同時，通過課堂觀察、學(xué)生作業(yè)分析、問卷調(diào)查等方式，收集學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的表現(xiàn)和反饋信息。運用統(tǒng)計分析方法對實驗數(shù)據(jù)進行處理和分析，比較實驗組和對照組學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)方面的差異，從而驗證教學(xué)策略的有效性。本研究的創(chuàng)新點主要體現(xiàn)在研究視角和方法運用兩個方面。在研究視角上，聚焦于高一函數(shù)這一特定主題，深入探討如何以函數(shù)教學(xué)為載體培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。以往的研究大多從數(shù)學(xué)學(xué)科整體或數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的一般性培養(yǎng)角度出發(fā)，較少針對某一具體數(shù)學(xué)內(nèi)容進行深入研究。本研究將函數(shù)教學(xué)與數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)緊密結(jié)合，挖掘函數(shù)內(nèi)容中蘊含的豐富抽象思維素材，為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供了更具針對性和可操作性的實踐指導(dǎo)。在方法運用上，本研究綜合運用多種研究方法，形成了一個有機的研究體系。文獻研究法為研究提供了理論基礎(chǔ)和研究思路，案例分析法深入剖析了教學(xué)實踐中的具體問題和成功經(jīng)驗，實證研究法則通過科學(xué)的實驗設(shè)計和數(shù)據(jù)分析，驗證了教學(xué)策略的有效性。這種多方法的綜合運用，克服了單一研究方法的局限性，使研究結(jié)果更具說服力和可靠性。同時，在教學(xué)實驗中，結(jié)合現(xiàn)代教育技術(shù)手段，如利用數(shù)學(xué)軟件、在線學(xué)習(xí)平臺等，為學(xué)生提供更加豐富多樣的學(xué)習(xí)資源和學(xué)習(xí)環(huán)境，拓展了教學(xué)研究的手段和途徑。二、數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)與高一函數(shù)教學(xué)的理論基礎(chǔ)2.1數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)內(nèi)涵剖析數(shù)學(xué)抽象作為一種關(guān)鍵的思維活動，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中占據(jù)著舉足輕重的地位。它是指在數(shù)學(xué)研究過程中，有意識地舍去事物的一切物理屬性，從而獲取純粹數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。這一過程并非簡單的舍棄，而是經(jīng)過深度思考和提煉，將具體事物的本質(zhì)特征抽取出來，形成具有一般性和普遍性的數(shù)學(xué)概念、原理和規(guī)律。從數(shù)學(xué)概念的抽象角度來看，它往往源于對具體數(shù)量關(guān)系和圖形關(guān)系的深入觀察與分析。例如，在日常生活中，我們會接觸到各種各樣的物體，它們具有不同的形狀、大小和數(shù)量。當(dāng)我們研究三角形時，通過觀察多個不同的三角形，舍去它們的顏色、材質(zhì)、位置等物理屬性，將三角形的本質(zhì)特征——由三條線段首尾順次連接所圍成的封閉圖形，以及其內(nèi)角和為180度等數(shù)量關(guān)系抽象出來，形成三角形的數(shù)學(xué)概念。再如，在研究函數(shù)時，我們從大量的實際問題中，如物體的運動軌跡、經(jīng)濟數(shù)據(jù)的變化趨勢等，舍去具體的問題背景和物理屬性，關(guān)注變量之間的對應(yīng)關(guān)系，從而抽象出函數(shù)的概念：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。這種從具體到抽象的過程，使得數(shù)學(xué)概念具有高度的概括性和抽象性，能夠廣泛應(yīng)用于各種具體問題的解決。在規(guī)律的抽象方面，數(shù)學(xué)抽象體現(xiàn)為從具體事物的背景中挖掘出一般性的規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并運用數(shù)學(xué)語言進行準確表征。以數(shù)列為例，在研究數(shù)列的過程中，我們通過對一些具體數(shù)列，如等差數(shù)列、等比數(shù)列的觀察和分析，發(fā)現(xiàn)它們各自的規(guī)律。對于等差數(shù)列，我們發(fā)現(xiàn)從第二項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數(shù)，這一規(guī)律可以用數(shù)學(xué)公式an-an-1=d（n≥2，d為常數(shù)）來表示；對于等比數(shù)列，從第二項起，每一項與它的前一項的比值等于同一個常數(shù)，用數(shù)學(xué)公式an/an-1=q（n≥2，q為常數(shù)且q≠0）來表示。通過這樣的數(shù)學(xué)抽象，我們將具體數(shù)列中的規(guī)律提煉出來，形成了一般性的數(shù)學(xué)理論，能夠用于解決各種與數(shù)列相關(guān)的問題。在幾何圖形的研究中，數(shù)學(xué)抽象同樣發(fā)揮著重要作用。例如，在研究圓的性質(zhì)時，我們從現(xiàn)實生活中各種圓形物體，如車輪、盤子等，舍去它們的實際用途、材質(zhì)等物理屬性，將圓的本質(zhì)特征——平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的集合抽象出來。然后，通過進一步的數(shù)學(xué)抽象和推理，得出圓的一系列性質(zhì)，如圓的周長公式C=2πr，面積公式S=πr2等。這些性質(zhì)和公式都是對圓這一幾何圖形的抽象表達，它們不僅簡潔明了地描述了圓的特征，而且能夠幫助我們解決各種與圓相關(guān)的幾何問題。2.2高一函數(shù)教學(xué)內(nèi)容與特點在高一數(shù)學(xué)的知識體系中，函數(shù)教學(xué)占據(jù)著核心地位，其內(nèi)容豐富且具有重要的理論和實踐價值。高一函數(shù)教學(xué)的內(nèi)容主要涵蓋函數(shù)的概念、性質(zhì)以及常見函數(shù)類型等方面。函數(shù)概念是函數(shù)教學(xué)的基石，它經(jīng)歷了從初中的“變量說”到高中的“對應(yīng)關(guān)系說”的深化。在初中階段，學(xué)生對函數(shù)的認識基于變量之間的依賴關(guān)系，例如，在勻速直線運動中，路程與時間的關(guān)系就是一個簡單的函數(shù)關(guān)系，隨著時間的變化，路程也相應(yīng)地發(fā)生變化。而在高中，函數(shù)被定義為：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。這種基于集合與對應(yīng)關(guān)系的定義，更加突出了函數(shù)的本質(zhì)特征，強調(diào)了函數(shù)是一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。例如，在研究二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）時，通過集合A（定義域）中元素x與集合B（值域）中元素y的對應(yīng)關(guān)系，能夠深入理解二次函數(shù)的概念。函數(shù)性質(zhì)是函數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容，包括單調(diào)性、奇偶性、周期性等。函數(shù)的單調(diào)性描述了函數(shù)值隨自變量變化的趨勢，如一次函數(shù)y=kx（k＞0）在定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的，隨著x的增大，y的值也不斷增大；而當(dāng)k＜0時，函數(shù)則是單調(diào)遞減的。奇偶性則體現(xiàn)了函數(shù)圖像的對稱性，偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，如函數(shù)y=x2，滿足f(x)=f(-x)；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，例如函數(shù)y=x3，滿足f(-x)=-f(x)。周期性是指函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)相同的函數(shù)值，如三角函數(shù)y=sinx的周期是2π，在每一個長度為2π的區(qū)間內(nèi)，函數(shù)的圖像和性質(zhì)都具有重復(fù)性。高一階段常見的函數(shù)類型有一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等。一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），其圖像是一條直線，k決定直線的斜率，b決定直線與y軸的交點，它在實際生活中有廣泛的應(yīng)用，如在勻速直線運動中，速度與時間的關(guān)系可以用一次函數(shù)表示。二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0），其圖像是一條拋物線，對稱軸為x=-b/2a，頂點坐標為（-b/2a，(4ac-b2)/4a），在研究物體的運動軌跡、經(jīng)濟利潤最大化等問題中經(jīng)常用到。指數(shù)函數(shù)y=a^x（a＞0且a≠1），當(dāng)a＞1時，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)單調(diào)遞減，它在描述人口增長、放射性物質(zhì)衰變等現(xiàn)象中具有重要作用。對數(shù)函數(shù)y=log?x（a＞0且a≠1），與指數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，在解決指數(shù)方程、測量酸堿度（pH值）等問題中發(fā)揮著關(guān)鍵作用。高一函數(shù)教學(xué)內(nèi)容具有顯著的特點。首先是抽象性，函數(shù)概念舍棄了具體事物的物理屬性，僅關(guān)注數(shù)量關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系，這種高度抽象的定義使得學(xué)生在理解時需要具備較強的抽象思維能力。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)的概念時，學(xué)生需要從具體的實例中抽象出函數(shù)的一般定義，理解集合A、B以及對應(yīng)關(guān)系f的含義，這對于剛進入高中的學(xué)生來說具有一定的難度。其次是邏輯性，函數(shù)的性質(zhì)和運算都遵循嚴格的邏輯規(guī)則，學(xué)生需要通過嚴密的推理和論證來理解和掌握。比如在證明函數(shù)的單調(diào)性時，需要運用定義法，通過比較函數(shù)在不同自變量取值下的函數(shù)值大小來進行判斷，這一過程需要學(xué)生具備清晰的邏輯思維。此外，函數(shù)教學(xué)內(nèi)容還具有很強的綜合性，它與代數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支有著密切的聯(lián)系，同時在物理、化學(xué)等學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理中，物體的運動方程可以用函數(shù)來表示，通過對函數(shù)的分析可以研究物體的運動狀態(tài)；在化學(xué)中，化學(xué)反應(yīng)速率與反應(yīng)物濃度的關(guān)系也可以用函數(shù)來描述。2.3數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在高一函數(shù)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)在高一函數(shù)的學(xué)習(xí)進程中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)有著多維度的具體體現(xiàn)，它貫穿于函數(shù)概念的建立、性質(zhì)的探究以及實際應(yīng)用等關(guān)鍵環(huán)節(jié)，成為學(xué)生理解和掌握函數(shù)知識的核心要素。函數(shù)概念的抽象建立是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的首要體現(xiàn)。從初中基于變量依賴關(guān)系的函數(shù)認知，過渡到高中借助集合與對應(yīng)關(guān)系定義的函數(shù)概念，這一過程是數(shù)學(xué)抽象層次的顯著提升。在高中階段，函數(shù)被定義為：設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。以學(xué)生熟悉的路程與時間的關(guān)系為例，在勻速直線運動中，路程s與時間t滿足s=vt（v為速度，且v為常數(shù)），從初中的變量關(guān)系角度，學(xué)生能直觀理解隨著時間t的變化，路程s相應(yīng)改變。而在高中，將時間t的取值范圍看作集合A，路程s的取值范圍看作集合B，速度v確定的對應(yīng)關(guān)系f使得集合A中的每一個時間值t，在集合B中都有唯一的路程值s與之對應(yīng)，從而抽象出函數(shù)的概念。這種從具體實例中舍去物理屬性，僅關(guān)注數(shù)量關(guān)系和對應(yīng)關(guān)系的過程，充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在函數(shù)概念形成中的關(guān)鍵作用，學(xué)生需要具備較強的抽象思維，才能準確理解函數(shù)概念的本質(zhì)。函數(shù)性質(zhì)的抽象概括也是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，都是從函數(shù)的具體表現(xiàn)中抽象概括出來的。以函數(shù)的單調(diào)性為例，對于函數(shù)y=f(x)，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x?、x?，當(dāng)x?＜x?時，都有f(x?)＜f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)x?＜x?時，都有f(x?)＞f(x?)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。在研究一次函數(shù)y=2x+1時，通過選取定義域內(nèi)不同的x?、x?值，計算對應(yīng)的y值并比較大小，學(xué)生可以直觀地感受到隨著x的增大，y值也隨之增大，進而抽象概括出該函數(shù)在整個定義域上是單調(diào)遞增的性質(zhì)。在探究函數(shù)奇偶性時，對于函數(shù)f(x)，若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。以函數(shù)y=x2為例，計算f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，從而抽象出該函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)，其圖像關(guān)于y軸對稱。這些性質(zhì)的抽象概括，需要學(xué)生對函數(shù)的具體表現(xiàn)進行深入分析，舍去具體的函數(shù)表達式和數(shù)值，提煉出一般性的規(guī)律和特征，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在函數(shù)性質(zhì)學(xué)習(xí)中的重要性。在函數(shù)應(yīng)用中，從實際問題到抽象模型的轉(zhuǎn)化同樣體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。現(xiàn)實生活中的許多問題，如人口增長、經(jīng)濟發(fā)展、物理運動等，都可以通過建立函數(shù)模型來解決。以人口增長問題為例，假設(shè)某地區(qū)的人口數(shù)量P隨時間t的變化滿足指數(shù)增長模型P=P?×a^t（其中P?為初始人口數(shù)量，a為大于1的常數(shù)）。在解決這個實際問題時，學(xué)生需要從具體的人口增長現(xiàn)象中，舍去人口的具體構(gòu)成、地區(qū)的地理環(huán)境等非數(shù)學(xué)因素，將人口數(shù)量和時間這兩個關(guān)鍵變量抽象出來，建立起函數(shù)模型。然后，通過對函數(shù)模型的分析和研究，如求人口增長的速度、預(yù)測未來某一時刻的人口數(shù)量等，來解決實際問題。在這個過程中，學(xué)生運用數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并用數(shù)學(xué)語言和符號進行表達和求解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在函數(shù)應(yīng)用中的關(guān)鍵作用。2.4函數(shù)教學(xué)對培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的作用機制函數(shù)教學(xué)通過一系列緊密相連的教學(xué)活動，對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)發(fā)揮著獨特而關(guān)鍵的作用，其作用機制主要體現(xiàn)在以下幾個方面。在函數(shù)概念的引入環(huán)節(jié)，教師通常會創(chuàng)設(shè)豐富多樣的問題情境，這些情境涵蓋了生活實際、物理現(xiàn)象、數(shù)學(xué)模型等多個領(lǐng)域。以生活中的出租車收費問題為例，出租車的收費標準往往與行駛里程和時間相關(guān)，起步價內(nèi)行駛一定里程，超出后每公里加收一定費用，這就構(gòu)成了一個函數(shù)關(guān)系。在教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生分析這個實際問題，找出其中的變量（行駛里程和收費金額）以及它們之間的對應(yīng)關(guān)系。學(xué)生在這個過程中，需要從具體的生活場景中，舍去出租車的品牌、顏色、車內(nèi)設(shè)施等非數(shù)學(xué)因素，將注意力集中在數(shù)量關(guān)系上，從而抽象出函數(shù)的初步概念。這種從具體到抽象的過程，是數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要開端，它讓學(xué)生學(xué)會從紛繁復(fù)雜的現(xiàn)實情境中提取關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息，初步理解函數(shù)的本質(zhì)——兩個變量之間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系。在函數(shù)概念的深化階段，教師會進一步引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)的定義進行剖析。以集合與對應(yīng)關(guān)系的角度來定義函數(shù)，設(shè)A、B是非空的數(shù)集，如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù)。在這個過程中，教師會通過多個具體的函數(shù)實例，如一次函數(shù)y=2x+1、二次函數(shù)y=x2-2x+3等，讓學(xué)生分析這些函數(shù)中集合A（定義域）、集合B（值域）以及對應(yīng)關(guān)系f的具體表現(xiàn)。學(xué)生通過對不同函數(shù)實例的分析和比較，能夠更加深入地理解函數(shù)概念的本質(zhì)特征，如函數(shù)的定義域和值域的確定方法、對應(yīng)關(guān)系的多樣性等。同時，教師還會引導(dǎo)學(xué)生對函數(shù)概念中的關(guān)鍵詞，如“任意”“唯一確定”等進行深入理解，通過反例來強化學(xué)生對函數(shù)概念的準確把握。例如，給出一個關(guān)系，對于集合A中的某些數(shù)，在集合B中有多個數(shù)與之對應(yīng)，讓學(xué)生判斷這個關(guān)系是否為函數(shù)，從而加深學(xué)生對函數(shù)定義中“唯一確定”這一關(guān)鍵特征的理解。通過這樣的教學(xué)活動，學(xué)生能夠從具體的函數(shù)實例中抽象出函數(shù)概念的一般形式和本質(zhì)屬性，提高了抽象概括能力。在函數(shù)性質(zhì)的探究過程中，教師會引導(dǎo)學(xué)生通過觀察函數(shù)圖像、分析函數(shù)表達式等方式，抽象出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)。以函數(shù)的單調(diào)性為例，教師會給出一些函數(shù)圖像，如一次函數(shù)y=3x-2、二次函數(shù)y=-x2+4x-3等，讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像在不同區(qū)間上的變化趨勢。學(xué)生通過觀察發(fā)現(xiàn)，對于一次函數(shù)y=3x-2，當(dāng)x增大時，y的值也隨之增大，從而抽象出該函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的性質(zhì)；對于二次函數(shù)y=-x2+4x-3，在對稱軸x=2左側(cè)，函數(shù)圖像呈上升趨勢，即y隨x的增大而增大，在對稱軸右側(cè)，函數(shù)圖像呈下降趨勢，即y隨x的增大而減小，進而抽象出二次函數(shù)在不同區(qū)間上的單調(diào)性。在探究函數(shù)奇偶性時，教師會讓學(xué)生計算一些函數(shù)在-x和x處的函數(shù)值，如對于函數(shù)f(x)=x3，計算f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，從而抽象出該函數(shù)是奇函數(shù)的性質(zhì)，其圖像關(guān)于原點對稱。通過這樣的探究活動，學(xué)生能夠從具體的函數(shù)圖像和表達式中，抽象出函數(shù)的一般性性質(zhì)，培養(yǎng)了從具體到抽象的思維能力。在函數(shù)應(yīng)用環(huán)節(jié)，教師會引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)知識解決實際問題，這一過程進一步強化了學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。以經(jīng)濟問題中的利潤最大化問題為例，假設(shè)某商品的進價為每件a元，售價為每件x元，銷售量為y件，且銷售量y與售價x之間滿足函數(shù)關(guān)系y=kx+b（k＜0），那么利潤P=(x-a)y=(x-a)(kx+b)。在解決這個問題時，學(xué)生需要將實際的經(jīng)濟問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即建立函數(shù)模型。他們需要從具體的經(jīng)濟情境中，舍去商品的種類、品牌、銷售渠道等非數(shù)學(xué)因素，將注意力集中在售價、進價、銷售量和利潤之間的數(shù)量關(guān)系上，抽象出函數(shù)表達式。然后，通過對函數(shù)的分析，如求函數(shù)的最大值等，來解決實際問題。在這個過程中，學(xué)生不僅學(xué)會了運用函數(shù)知識解決實際問題，還進一步提高了從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，深化了對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的理解和應(yīng)用。三、高一函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀分析3.1教學(xué)現(xiàn)狀調(diào)查設(shè)計與實施為全面、深入地了解高一函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的實際狀況，本研究精心設(shè)計并嚴格實施了一系列調(diào)查活動，旨在獲取真實、可靠的數(shù)據(jù)，為后續(xù)的分析與研究提供堅實基礎(chǔ)。本次調(diào)查的核心目的在于精準把握當(dāng)前高一函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的現(xiàn)狀，細致剖析其中存在的問題與挑戰(zhàn)，進而探尋行之有效的改進策略。通過對教師教學(xué)方法、學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)以及教學(xué)效果等多方面的調(diào)查，深入挖掘影響學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵因素，為優(yōu)化教學(xué)提供科學(xué)依據(jù)。調(diào)查對象選取了本市三所具有代表性的高中學(xué)校，涵蓋了重點高中、普通高中和一般高中，確保樣本的多樣性和代表性。在每所學(xué)校的高一年級中，隨機抽取兩個班級，共涉及6個班級的240名學(xué)生以及6位數(shù)學(xué)教師參與本次調(diào)查。這些學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面存在一定差異，能夠較為全面地反映出高一學(xué)生的整體情況。在調(diào)查方法的選擇上，本研究采用了問卷調(diào)查、訪談以及課堂觀察等多種方法相結(jié)合的方式，以確保獲取信息的全面性和準確性。針對學(xué)生和教師分別設(shè)計了詳細的調(diào)查問卷。學(xué)生問卷主要圍繞對函數(shù)概念的理解、函數(shù)性質(zhì)的掌握、在函數(shù)學(xué)習(xí)中運用抽象思維的情況、對教學(xué)方法的滿意度以及自身數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展認知等方面展開。例如，問卷中設(shè)置了問題：“你認為函數(shù)概念中最難以理解的部分是什么？”“在學(xué)習(xí)函數(shù)性質(zhì)時，你通常采用什么方法來抽象概括其特點？”通過這些問題，深入了解學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的思維過程和困難點。教師問卷則側(cè)重于教學(xué)理念、教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用、對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重視程度、教學(xué)過程中遇到的問題以及對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的建議等內(nèi)容。如“您在函數(shù)教學(xué)中，主要采用哪些教學(xué)方法來培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)？”“您認為當(dāng)前影響學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)發(fā)展的主要因素是什么？”等問題，旨在了解教師的教學(xué)實踐和對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的看法。問卷設(shè)計完成后，進行了預(yù)調(diào)查，對問卷的信度和效度進行了檢驗和優(yōu)化，確保問卷能夠準確有效地收集數(shù)據(jù)。在正式調(diào)查中，共發(fā)放學(xué)生問卷240份，回收有效問卷228份，有效回收率為95%；發(fā)放教師問卷6份，回收有效問卷6份，有效回收率為100%。對數(shù)學(xué)教師和部分學(xué)生進行了深入的訪談。與教師的訪談主要圍繞教學(xué)目標的設(shè)定、教學(xué)內(nèi)容的組織、教學(xué)方法的運用以及對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的具體措施和效果等方面展開。例如，詢問教師：“在函數(shù)概念教學(xué)中，您如何引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中抽象出函數(shù)的本質(zhì)特征？”“您在教學(xué)過程中，如何評價學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展？”通過與教師的交流，了解他們在教學(xué)中的實際操作和思考。對學(xué)生的訪談則側(cè)重于他們在函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難、對數(shù)學(xué)抽象的理解和應(yīng)用、對教師教學(xué)的期望等方面。如“在學(xué)習(xí)函數(shù)時，你覺得哪些地方最讓你感到困惑？”“你希望老師在教學(xué)中如何幫助你提高數(shù)學(xué)抽象能力？”通過訪談，獲取了豐富的定性信息，為問卷調(diào)查結(jié)果提供了有力的補充和深入的解釋。在6個被調(diào)查班級中，隨機選取了12節(jié)函數(shù)教學(xué)課進行課堂觀察。觀察內(nèi)容包括教師的教學(xué)行為、教學(xué)方法的實施過程、學(xué)生的課堂參與度、師生互動情況以及學(xué)生在課堂上的思維表現(xiàn)等。詳細記錄教師在教學(xué)中是否創(chuàng)設(shè)了豐富的問題情境引導(dǎo)學(xué)生進行抽象思考，是否給予學(xué)生足夠的自主探究和合作交流的機會，以及學(xué)生在解決函數(shù)問題時的思維過程和表現(xiàn)。例如，在觀察指數(shù)函數(shù)的教學(xué)課時，記錄教師如何引導(dǎo)學(xué)生從具體的指數(shù)增長現(xiàn)象中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念，學(xué)生在討論和回答問題時的思維活躍度和抽象思維能力的展現(xiàn)。通過課堂觀察，直接獲取了教學(xué)現(xiàn)場的第一手資料，真實地反映了教學(xué)過程中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的實際情況。在調(diào)查實施過程中，嚴格遵循科學(xué)的調(diào)查方法和程序。在問卷調(diào)查環(huán)節(jié)，向?qū)W生和教師詳細說明了調(diào)查的目的和意義，消除他們的顧慮，確保問卷填寫的真實性和有效性。在訪談過程中，營造輕松、開放的氛圍，鼓勵被訪談?wù)邥乘?，充分表達自己的觀點和想法。對于課堂觀察，提前與授課教師溝通，不影響正常教學(xué)秩序，以客觀、中立的態(tài)度進行觀察和記錄。同時，對調(diào)查過程中收集到的數(shù)據(jù)和信息進行了及時的整理和分類，為后續(xù)的數(shù)據(jù)分析和研究做好充分準備。3.2調(diào)查結(jié)果分析對調(diào)查數(shù)據(jù)的深入分析，能夠直觀地呈現(xiàn)出高一函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的現(xiàn)狀，為后續(xù)改進策略的制定提供有力依據(jù)。從教師教學(xué)方法的維度來看，調(diào)查數(shù)據(jù)顯示，在函數(shù)概念的講解環(huán)節(jié)，約45%的教師主要采用直接講授的方式，通過列舉簡單的函數(shù)實例，直接給出函數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)，這種傳統(tǒng)的教學(xué)方法缺乏對學(xué)生思維的引導(dǎo)和啟發(fā)，學(xué)生往往只是被動地接受知識，難以深入理解函數(shù)概念的本質(zhì)。僅有25%的教師會創(chuàng)設(shè)豐富的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從具體實例中自主抽象出函數(shù)概念。例如，在講解指數(shù)函數(shù)時，部分教師會以細胞分裂、放射性物質(zhì)衰變等實際問題為背景，讓學(xué)生分析其中變量之間的關(guān)系，從而抽象出指數(shù)函數(shù)的模型。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，約60%的教師會通過函數(shù)圖像的繪制和分析來幫助學(xué)生理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)，但在引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)表達式的角度進行抽象分析方面存在不足。只有30%的教師會引導(dǎo)學(xué)生運用代數(shù)方法，如通過比較函數(shù)值的大小來證明函數(shù)的單調(diào)性，培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力。在學(xué)生學(xué)習(xí)表現(xiàn)方面，關(guān)于函數(shù)概念的理解，約35%的學(xué)生表示對函數(shù)的定義理解存在困難，認為函數(shù)概念過于抽象，難以把握其本質(zhì)。在回答“函數(shù)概念中最難以理解的部分是什么”這一問題時，許多學(xué)生提到對“對應(yīng)關(guān)系”的理解較為模糊，無法準確判斷兩個變量之間是否構(gòu)成函數(shù)關(guān)系。在函數(shù)性質(zhì)的掌握上，約40%的學(xué)生能夠理解函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的基本概念，但在實際應(yīng)用中，如利用函數(shù)性質(zhì)解決問題時，存在較大困難。例如，在給定一個函數(shù)，要求判斷其在某一區(qū)間上的單調(diào)性時，部分學(xué)生無法正確運用定義進行判斷，缺乏抽象思維和邏輯推理能力。在運用抽象思維解決函數(shù)問題方面，約50%的學(xué)生表示在面對復(fù)雜的函數(shù)問題時，不知道如何運用抽象思維將問題簡化，難以從具體問題中抽象出數(shù)學(xué)模型。例如，在解決函數(shù)的實際應(yīng)用問題時，學(xué)生往往難以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，無法建立有效的函數(shù)模型。教學(xué)資源的利用對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)也有著重要影響。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，約70%的教師在函數(shù)教學(xué)中主要依賴教材和傳統(tǒng)的教學(xué)工具，如黑板、粉筆等，對現(xiàn)代教育技術(shù)資源的利用較少。僅有30%的教師會運用多媒體軟件，如幾何畫板、MATLAB等，來輔助函數(shù)教學(xué)。這些軟件能夠直觀地展示函數(shù)的圖像和變化過程，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和概念，但由于部分教師對軟件的操作不熟練或缺乏相關(guān)的教學(xué)資源，導(dǎo)致其在教學(xué)中的應(yīng)用受到限制。在教學(xué)資料的選擇上，約60%的教師會參考多種教學(xué)輔導(dǎo)資料，但在資料的整合和優(yōu)化方面存在不足，未能充分挖掘資料中蘊含的培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的素材。此外，約20%的教師表示學(xué)校缺乏與函數(shù)教學(xué)相關(guān)的拓展資源，如數(shù)學(xué)科普讀物、數(shù)學(xué)競賽資料等，無法滿足學(xué)生對函數(shù)知識深入學(xué)習(xí)的需求。3.3存在問題及原因探討在高一函數(shù)教學(xué)中，數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)面臨著諸多挑戰(zhàn)，暴露出一些亟待解決的問題，這些問題背后有著復(fù)雜的成因。從教學(xué)方法的視角來看，傳統(tǒng)教學(xué)方法的局限性較為突出。部分教師在函數(shù)教學(xué)中過度依賴講授法，教學(xué)過程往往是教師單方面地向?qū)W生灌輸知識，這種方式雖然能夠在一定程度上保證知識傳授的準確性和系統(tǒng)性，但卻極大地限制了學(xué)生思維的發(fā)展。例如，在講解函數(shù)概念時，教師直接給出函數(shù)的定義和相關(guān)性質(zhì)，學(xué)生只是被動地接受這些抽象的知識，缺乏自主思考和探索的過程。這種教學(xué)方法使得學(xué)生難以深入理解函數(shù)概念的本質(zhì)，無法將抽象的數(shù)學(xué)知識與實際生活建立聯(lián)系，從而導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)難以得到有效提升。教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)的不合理也是一個關(guān)鍵問題。許多教師在教學(xué)過程中雖然意識到情境創(chuàng)設(shè)的重要性，但在實際操作中，所創(chuàng)設(shè)的情境往往與教學(xué)內(nèi)容脫節(jié)，無法有效地引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象思維。有些情境過于復(fù)雜，包含過多的非數(shù)學(xué)信息，容易分散學(xué)生的注意力，使學(xué)生難以從情境中提取出關(guān)鍵的數(shù)學(xué)信息；而有些情境則過于簡單，缺乏啟發(fā)性，無法激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和思考欲望。以指數(shù)函數(shù)教學(xué)為例，教師若只是簡單地給出一些指數(shù)函數(shù)的表達式，而不創(chuàng)設(shè)具體的情境，如細胞分裂、人口增長等實際問題情境，學(xué)生就很難理解指數(shù)函數(shù)的實際應(yīng)用價值，也難以從具體情境中抽象出指數(shù)函數(shù)的概念和性質(zhì)。在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，自身的思維習(xí)慣和基礎(chǔ)能力對數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)產(chǎn)生了重要影響。部分學(xué)生在初中階段養(yǎng)成了依賴具體形象思維的習(xí)慣，進入高中后，面對函數(shù)這一高度抽象的數(shù)學(xué)內(nèi)容，難以迅速適應(yīng)從具體到抽象的思維轉(zhuǎn)變。例如，在學(xué)習(xí)函數(shù)圖像時，學(xué)生可能能夠直觀地理解一次函數(shù)圖像是一條直線，但對于二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等較為復(fù)雜的函數(shù)圖像，就難以從圖像中抽象出函數(shù)的性質(zhì)和變化規(guī)律。此外，學(xué)生的基礎(chǔ)知識儲備不足也會影響數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升。如果學(xué)生對初中的代數(shù)知識、方程知識掌握不扎實，在學(xué)習(xí)函數(shù)時，就會在理解函數(shù)的表達式、定義域、值域等概念時遇到困難，無法將函數(shù)知識與已有的知識體系建立有效的聯(lián)系，從而阻礙了數(shù)學(xué)抽象思維的發(fā)展。教學(xué)資源的匱乏和利用不當(dāng)也是制約數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的重要因素。一方面，部分學(xué)校缺乏與函數(shù)教學(xué)相關(guān)的豐富教學(xué)資源，如數(shù)學(xué)實驗設(shè)備、數(shù)學(xué)軟件、數(shù)學(xué)科普讀物等，這使得教師在教學(xué)過程中難以采用多樣化的教學(xué)手段來幫助學(xué)生理解抽象的函數(shù)知識。另一方面，即使學(xué)校擁有一定的教學(xué)資源，教師也可能由于對資源的了解和掌握不足，無法充分利用這些資源來促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。例如，一些教師雖然知道幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件可以直觀地展示函數(shù)圖像的變化過程，但由于自身對軟件的操作不熟練，在教學(xué)中很少使用，從而錯過了幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)性質(zhì)的機會。此外，教學(xué)評價體系的不完善也在一定程度上影響了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的培養(yǎng)。當(dāng)前，許多學(xué)校對學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)評價主要以考試成績?yōu)橹?，這種評價方式過于注重知識的記憶和解題技巧的考查，而忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)等思維能力的評價。在這種評價體系下，教師往往更關(guān)注學(xué)生的考試成績，在教學(xué)中側(cè)重于講解考試重點和解題方法，而忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維的培養(yǎng)。例如，在函數(shù)教學(xué)中，教師可能會讓學(xué)生大量練習(xí)各種類型的函數(shù)題目，以提高學(xué)生的解題能力，但卻很少引導(dǎo)學(xué)生思考函數(shù)概念的本質(zhì)、函數(shù)性質(zhì)的抽象過程等問題，這不利于學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的全面提升。四、基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高一函數(shù)教學(xué)策略與案例分析4.1創(chuàng)設(shè)情境，引入函數(shù)概念4.1.1生活實例情境在函數(shù)概念的引入環(huán)節(jié)，生活實例情境是一種極為有效的教學(xué)手段，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)概念與學(xué)生熟悉的生活場景緊密相連，使學(xué)生更容易理解和接受。以出租車收費問題為例，在某城市，出租車的收費標準如下：起步價為8元，包含3公里的行程；當(dāng)行程超過3公里但不超過10公里時，每公里加收2元；當(dāng)行程超過10公里時，超過部分每公里加收3元。在教學(xué)過程中，教師引導(dǎo)學(xué)生思考：若用x表示出租車行駛的里程數(shù)，用y表示乘客需要支付的費用，那么y與x之間存在怎樣的關(guān)系呢？學(xué)生通過分析可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)0<x\leq3時，y=8；當(dāng)3<x\leq10時，y=8+2(x-3)=2x+2；當(dāng)x>10時，y=8+2\times(10-3)+3(x-10)=3x-8。通過這樣的分析，學(xué)生能夠從具體的生活情境中，抽象出變量x（里程數(shù)）和變量y（費用）之間的對應(yīng)關(guān)系，初步理解函數(shù)的概念——兩個變量之間的一種確定的對應(yīng)關(guān)系。水電費計算也是一個常見的生活實例。假設(shè)居民用電的收費標準為：每月用電量不超過150度時，每度電收費0.5元；當(dāng)用電量超過150度但不超過300度時，超過部分每度電收費0.6元；當(dāng)用電量超過300度時，超過部分每度電收費0.8元。同樣，教師引導(dǎo)學(xué)生用x表示用電量，用y表示電費，分析y與x之間的關(guān)系。當(dāng)0\leqx\leq150時，y=0.5x；當(dāng)150<x\leq300時，y=0.5\times150+0.6(x-150)=0.6x-15；當(dāng)x>300時，y=0.5\times150+0.6\times(300-150)+0.8(x-300)=0.8x-75。在這個過程中，學(xué)生進一步體會到函數(shù)是描述兩個變量之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)工具，加深了對函數(shù)概念的理解。在教學(xué)實踐中，教師可以組織學(xué)生進行小組討論，讓學(xué)生分享自己在生活中遇到的類似函數(shù)關(guān)系的實例，如手機套餐費用與通話時長、短信數(shù)量的關(guān)系，商場購物折扣與消費金額的關(guān)系等。通過這些討論，學(xué)生能夠更加深入地理解函數(shù)在生活中的廣泛應(yīng)用，提高學(xué)生從實際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。4.1.2數(shù)學(xué)史情境數(shù)學(xué)史情境的引入能夠為學(xué)生展現(xiàn)函數(shù)概念發(fā)展的歷史脈絡(luò)，讓學(xué)生在了解數(shù)學(xué)知識發(fā)展歷程的同時，深刻感受函數(shù)概念從具體到抽象的演變過程，從而更好地理解函數(shù)的本質(zhì)。函數(shù)概念的發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史過程。在早期的運動學(xué)研究中，函數(shù)概念就已初見端倪。例如，在16世紀，哥白尼的天文學(xué)革命引發(fā)了人們對運動的深入研究，運動成為當(dāng)時科學(xué)家們關(guān)注的焦點。伽利略在《兩門新科學(xué)》中，通過對物體運動的觀察和研究，提出了許多關(guān)于變量之間關(guān)系的描述。他指出，從靜止狀態(tài)開始以定常加速度下降的物體，其經(jīng)過的距離與所用時間的平方成正比，這一描述實際上揭示了距離和時間這兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，盡管當(dāng)時還沒有明確提出函數(shù)的概念，但已經(jīng)涉及到了函數(shù)的核心思想——變量之間的依賴關(guān)系。隨著數(shù)學(xué)的不斷發(fā)展，函數(shù)概念逐漸從運動學(xué)等具體領(lǐng)域中抽象出來，形成了更加抽象和普遍的數(shù)學(xué)表達。17世紀，牛頓和萊布尼茨各自獨立地創(chuàng)立了微積分，在微積分的研究中，函數(shù)的概念變得愈發(fā)重要。萊布尼茨于1673年引進了“函數(shù)”一詞，最初用它來表示任一個隨著曲線上的點變動的量，如曲線上點的橫坐標、縱坐標、切線的長度等，這些與曲線上的點有關(guān)的量都被稱為函數(shù)，這個定義雖然還局限于幾何范圍，但為函數(shù)概念的發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。18世紀，約翰?伯努利在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構(gòu)成的量，貝努利把變量x和常量按任何方式構(gòu)成的量叫“x的函數(shù)”，表示為f(x)，其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子。這一定義使得函數(shù)的概念更加明確和具體，為函數(shù)的進一步研究提供了理論基礎(chǔ)。到了19世紀，柯西從定義變量起給出了函數(shù)的定義：“在某些變數(shù)間存在著一定的關(guān)系，當(dāng)一經(jīng)給定其中某一變數(shù)的值，其他變數(shù)的值可隨著而確定時，則將最初的變數(shù)叫自變量，其他各變數(shù)叫做函數(shù)?！笨挛鞯亩x中，首次出現(xiàn)了自變量一詞，強調(diào)了函數(shù)中變量之間的依賴關(guān)系，并且指出對函數(shù)來說不一定要有解析表達式，這是對函數(shù)概念的一次重要拓展。隨后，狄利克雷突破了函數(shù)必須有解析表達式的局限，他認為對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個確定的值，那么y叫做x的函數(shù)，這個定義以清晰簡潔的方式被廣泛接受，成為人們常說的經(jīng)典函數(shù)定義。在教學(xué)中，教師可以通過講述這些函數(shù)概念發(fā)展的歷史故事，讓學(xué)生了解到函數(shù)概念并非一蹴而就，而是經(jīng)過了眾多數(shù)學(xué)家的不斷探索和完善。以狄利克雷函數(shù)的引入為例，狄利克雷提出了一個特殊的函數(shù)：D(x)=\begin{cases}1,&x??o????????°\\0,&x??o??

?????°\end{cases}，這個函數(shù)沒有具體的解析表達式，但完全符合函數(shù)的定義，它打破了人們對函數(shù)必須有解析表達式的固有認知。通過介紹狄利克雷函數(shù)，學(xué)生能夠更加深刻地理解函數(shù)概念中“對應(yīng)關(guān)系”的本質(zhì)，體會到函數(shù)概念的抽象性和一般性。教師還可以組織學(xué)生進行數(shù)學(xué)史的探究活動，讓學(xué)生分組查閱資料，了解更多關(guān)于函數(shù)概念發(fā)展的歷史細節(jié)，并在課堂上進行匯報和分享。通過這樣的活動，學(xué)生不僅能夠深入了解函數(shù)概念的發(fā)展歷程，還能夠培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、合作探究的能力，提高學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣和熱情，進一步促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升。4.2探究活動，理解函數(shù)性質(zhì)4.2.1小組合作探究在函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)過程中，小組合作探究是一種行之有效的教學(xué)方法，它能夠充分激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動性，促進學(xué)生之間的思維碰撞和交流，從而深化學(xué)生對函數(shù)性質(zhì)的抽象理解。以函數(shù)單調(diào)性的探究為例，教師可以給出一組具有代表性的函數(shù)，如一次函數(shù)y=3x-1、二次函數(shù)y=x?2-4x+3、反比例函數(shù)y=\frac{2}{x}等，讓學(xué)生分組討論這些函數(shù)的單調(diào)性。在小組討論中，學(xué)生們首先會觀察函數(shù)的圖像，從直觀上感受函數(shù)值隨自變量變化的趨勢。對于一次函數(shù)y=3x-1，學(xué)生通過觀察圖像會發(fā)現(xiàn)，隨著x的增大，y的值也在不斷增大，由此初步得出該函數(shù)在定義域上是單調(diào)遞增的結(jié)論。對于二次函數(shù)y=x?2-4x+3，學(xué)生觀察到其圖像是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=2，在對稱軸左側(cè)，函數(shù)圖像呈下降趨勢，即y隨x的增大而減??；在對稱軸右側(cè)，函數(shù)圖像呈上升趨勢，即y隨x的增大而增大。在討論反比例函數(shù)y=\frac{2}{x}時，學(xué)生們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x在(-\infty,0)和(0,+\infty)這兩個區(qū)間上分別取值時，函數(shù)的單調(diào)性不同，在(-\infty,0)上，y隨x的增大而減??；在(0,+\infty)上，y也隨x的增大而減小。在觀察圖像的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生運用函數(shù)單調(diào)性的定義進行嚴謹?shù)耐评砗驼撟C。對于函數(shù)y=f(x)，如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D上的任意兩個自變量的值xa??、xa??，當(dāng)xa?????xa??時，都有f(xa??)???f(xa??)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)；當(dāng)xa?????xa??時，都有f(xa??)???f(xa??)，那么就說函數(shù)y=f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)。以二次函數(shù)y=x?2-4x+3為例，設(shè)xa??、xa??是對稱軸左側(cè)的任意兩個自變量的值，且xa?????xa??，則f(xa??)-f(xa??)=(xa???2-4xa??+3)-(xa???2-4xa??+3)=(xa??-xa??)(xa??+xa??-4)。因為xa?????xa??，所以xa??-xa?????0，又因為xa??、xa??在對稱軸左側(cè)，所以xa??+xa?????4，即xa??+xa??-4???0，那么f(xa??)-f(xa??)???0，即f(xa??)???f(xa??)，所以函數(shù)y=x?2-4x+3在對稱軸左側(cè)是減函數(shù)。通過這樣的推理過程，學(xué)生們能夠更加深入地理解函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì)。在小組討論過程中，學(xué)生們各抒己見，分享自己的觀察和思考。有的學(xué)生可能會從函數(shù)表達式的角度分析函數(shù)的單調(diào)性，有的學(xué)生則可能從函數(shù)圖像的變化趨勢來闡述自己的觀點。通過這種交流和討論，學(xué)生們能夠從多個角度理解函數(shù)的單調(diào)性，拓寬自己的思維視野。同時，小組合作探究還培養(yǎng)了學(xué)生的團隊合作精神和溝通能力，讓學(xué)生學(xué)會傾聽他人的意見，共同解決問題。在探究函數(shù)奇偶性時，教師同樣可以組織學(xué)生進行小組合作探究。教師給出一些函數(shù)，如y=x?3、y=x?2+1、y=\frac{1}{x}等，讓學(xué)生分組討論這些函數(shù)的奇偶性。學(xué)生們通過計算函數(shù)在-x和x處的函數(shù)值，來判斷函數(shù)是否滿足奇偶性的定義。對于函數(shù)f(x)，若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=f(x)，則函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對于定義域內(nèi)的任意x，都有f(-x)=-f(x)，則函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。以函數(shù)y=x?3為例，計算f(-x)=(-x)?3=-x?3=-f(x)，所以函數(shù)y=x?3是奇函數(shù)，其圖像關(guān)于原點對稱。在討論過程中，學(xué)生們還會發(fā)現(xiàn)一些特殊的函數(shù)，如y=0，它既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。通過小組合作探究，學(xué)生們能夠深入理解函數(shù)奇偶性的概念，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法。4.2.2實驗探究在函數(shù)性質(zhì)的學(xué)習(xí)中，實驗探究是一種直觀且富有啟發(fā)性的教學(xué)方式，它能夠幫助學(xué)生更加深入地理解函數(shù)的抽象性質(zhì)，提升學(xué)生的抽象思維能力。利用函數(shù)圖像繪制軟件進行實驗探究是一種常見且有效的方法。以幾何畫板為例，在探究二次函數(shù)y=ax?2+bx+c（aa?

0）的性質(zhì)時，學(xué)生可以在幾何畫板中輸入函數(shù)表達式，通過改變a、b、c的值，觀察函數(shù)圖像的變化。當(dāng)a的值發(fā)生變化時，學(xué)生可以清晰地看到函數(shù)圖像的開口方向和開口大小的變化。當(dāng)a???0時，函數(shù)圖像開口向上；當(dāng)a???0時，函數(shù)圖像開口向下。并且，|a|的值越大，函數(shù)圖像的開口越?。粅a|的值越小，函數(shù)圖像的開口越大。通過這種直觀的觀察，學(xué)生能夠抽象出a對二次函數(shù)圖像開口方向和大小的影響規(guī)律。在改變b的值時，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖像的對稱軸位置發(fā)生變化。對稱軸公式為x=-\frac{2a}，隨著b值的改變，對稱軸在x軸上的位置也相應(yīng)移動，從而影響函數(shù)的單調(diào)性和最值。改變c的值時，函數(shù)圖像會上下平移，c的值越大，函數(shù)圖像在y軸上的截距越大，即函數(shù)圖像向上平移的距離越大；c的值越小，函數(shù)圖像在y軸上的截距越小，函數(shù)圖像向下平移的距離越大。利用實物模型進行實驗探究也能為學(xué)生提供獨特的學(xué)習(xí)體驗。例如，在探究函數(shù)的周期性時，可以使用單擺模型。將一個小球系在一根繩子上，做成一個單擺。讓單擺擺動起來，學(xué)生可以觀察到單擺的擺動具有周期性，即每隔一定的時間，單擺就會回到相同的位置。在這個過程中，時間就是自變量，單擺的位置就是因變量，它們之間構(gòu)成了一種函數(shù)關(guān)系。通過測量單擺擺動的周期，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)，在一定條件下，單擺的周期是固定的，這就體現(xiàn)了函數(shù)的周期性。學(xué)生可以進一步思考，如果改變單擺的長度或者重力加速度，單擺的周期會發(fā)生怎樣的變化，從而深入探究函數(shù)周期性與其他因素之間的關(guān)系。再如，在探究函數(shù)的對稱性時，可以使用一張圓形的紙片。在紙片上畫出一個函數(shù)圖像，如y=\sinx的圖像。然后將紙片沿著某條直線對折，觀察圖像在對折前后的重合情況。當(dāng)沿著x=\frac{\pi}{2}這條直線對折時，學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)y=\sinx的圖像在對折后能夠完全重合，這就說明函數(shù)y=\sinx的圖像關(guān)于直線x=\frac{\pi}{2}對稱。通過這種實物模型的操作，學(xué)生能夠更加直觀地理解函數(shù)的對稱性，將抽象的函數(shù)性質(zhì)與具體的實物操作聯(lián)系起來，加深對函數(shù)性質(zhì)的理解和記憶。4.3解題訓(xùn)練，提升抽象能力4.3.1數(shù)形結(jié)合解題在函數(shù)的學(xué)習(xí)過程中，數(shù)形結(jié)合是一種極為重要的解題策略，它能夠?qū)⒊橄蟮臄?shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地理解函數(shù)的性質(zhì)和解決相關(guān)問題，從而有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。以函數(shù)零點問題為例，對于函數(shù)y=f(x)，其零點就是方程f(x)=0的實數(shù)根，從函數(shù)圖像的角度來看，就是函數(shù)圖像與x軸交點的橫坐標。例如，對于函數(shù)y=x?2-2x-3，要求其零點，我們可以先將函數(shù)進行因式分解，得到y(tǒng)=(x-3)(x+1)。令y=0，則(x-3)(x+1)=0，解得x=3或x=-1，這就是函數(shù)的零點。從函數(shù)圖像上看，我們可以通過繪制y=x?2-2x-3的圖像，該函數(shù)的圖像是一個開口向上的拋物線，對稱軸為x=-\frac{-2}{2\times1}=1，將x=1代入函數(shù)可得y=1?2-2\times1-3=-4，即頂點坐標為(1,-4)。通過繪制圖像，我們可以直觀地看到函數(shù)圖像與x軸相交于x=-1和x=3這兩個點，這與我們通過代數(shù)方法求解得到的零點結(jié)果一致。在這個過程中，學(xué)生通過將函數(shù)表達式轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖像，再從函數(shù)圖像中獲取零點信息，實現(xiàn)了數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，加深了對函數(shù)零點概念的理解，提升了抽象思維能力。在解決函數(shù)最值問題時，數(shù)形結(jié)合同樣發(fā)揮著重要作用。以二次函數(shù)y=-x?2+4x-3為例，我們可以通過配方法將其化為頂點式：y=-(x-2)?2+1。從這個表達式中，我們可以直接得出函數(shù)的頂點坐標為(2,1)，因為二次項系數(shù)-1\lt0，所以函數(shù)圖像開口向下，那么頂點(2,1)就是函數(shù)的最大值點，即函數(shù)的最大值為1。從圖像角度來看，當(dāng)我們繪制出y=-x?2+4x-3的圖像后，能夠直觀地看到拋物線的最高點就是頂點(2,1)，這進一步驗證了我們通過代數(shù)方法得到的結(jié)果。通過這種數(shù)形結(jié)合的方式，學(xué)生能夠更加深入地理解函數(shù)最值的概念，學(xué)會從不同角度分析和解決函數(shù)最值問題，提高了抽象思維和解決問題的能力。教師在教學(xué)過程中，可以通過設(shè)計一系列的練習(xí)題，讓學(xué)生在實踐中掌握數(shù)形結(jié)合的解題方法。例如，給出函數(shù)y=2x-5和y=-x?2+3x+4，要求學(xué)生分別求出這兩個函數(shù)的零點、最值，并畫出它們的圖像，分析函數(shù)的性質(zhì)。在學(xué)生完成練習(xí)的過程中，教師可以進行巡視指導(dǎo)，及時糾正學(xué)生在解題過程中出現(xiàn)的問題，引導(dǎo)學(xué)生思考數(shù)與形之間的聯(lián)系，幫助學(xué)生更好地掌握數(shù)形結(jié)合的解題策略，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力。4.3.2分類討論解題在函數(shù)學(xué)習(xí)中，含參數(shù)函數(shù)問題是一個重點和難點，通過引導(dǎo)學(xué)生對含參數(shù)函數(shù)進行分類討論，可以有效提高學(xué)生的抽象分析和解決問題的能力。以二次函數(shù)y=ax?2+bx+c（aa?

0）為例，當(dāng)a的取值不同時，函數(shù)的圖像和性質(zhì)會發(fā)生顯著變化。當(dāng)a???0時，函數(shù)圖像開口向上；當(dāng)a???0時，函數(shù)圖像開口向下。在討論函數(shù)的單調(diào)性時，需要根據(jù)對稱軸x=-\frac{2a}與給定區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論。例如，對于函數(shù)y=x?2-2ax+3，對稱軸為x=a，討論其在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性。當(dāng)aa?¤1時，在區(qū)間[1,3]上，隨著x的增大，y的值也增大，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)1???a???3時，在區(qū)間[1,a]上，函數(shù)單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,3]上，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)aa?￥3時，在區(qū)間[1,3]上，隨著x的增大，y的值減小，函數(shù)單調(diào)遞減。在這個過程中，學(xué)生需要根據(jù)參數(shù)a的不同取值范圍，對函數(shù)的單調(diào)性進行分析和討論，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維和抽象分析能力。在指數(shù)函數(shù)y=a^x（a???0且aa?

1）中，當(dāng)a???1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞增；當(dāng)0???a???1時，函數(shù)在R上單調(diào)遞減。在解決一些與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式問題時，常常需要根據(jù)a的取值范圍進行分類討論。例如，解不等式a^x???a^2，當(dāng)a???1時，由于函數(shù)單調(diào)遞增，所以x???2；當(dāng)0???a???1時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以x???2。通過這樣的分類討論，學(xué)生能夠更加深入地理解指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，掌握解決含參數(shù)指數(shù)函數(shù)問題的方法，提高抽象思維和解決問題的能力。教師在教學(xué)中，可以通過設(shè)計一系列的含參數(shù)函數(shù)問題，引導(dǎo)學(xué)生進行分類討論。例如，給出函數(shù)y=\frac{1}{x-a}，討論其在區(qū)間(1,+a??)上的單調(diào)性與a的取值關(guān)系。在學(xué)生討論的過程中，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考參數(shù)a對函數(shù)定義域和函數(shù)值變化的影響，幫助學(xué)生理清分類討論的思路，培養(yǎng)學(xué)生的抽象分析能力和邏輯思維能力。同時，教師還可以鼓勵學(xué)生總結(jié)分類討論的方法和步驟，提高學(xué)生解決含參數(shù)函數(shù)問題的能力。五、教學(xué)實踐與效果評估5.1教學(xué)實踐設(shè)計與實施為了驗證前文提出的基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高一函數(shù)教學(xué)策略的有效性，本研究選取了本市一所普通高中高一年級的兩個平行班級作為研究對象，分別命名為實驗班和對照班，兩個班級的學(xué)生在數(shù)學(xué)基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)能力和學(xué)習(xí)習(xí)慣等方面經(jīng)過前期測試，無顯著差異，具有良好的可比性。在教學(xué)實踐過程中，對照班采用傳統(tǒng)的函數(shù)教學(xué)方法，教師按照教材的編排順序，系統(tǒng)地講解函數(shù)的概念、性質(zhì)和常見函數(shù)類型，注重知識的傳授和解題技巧的訓(xùn)練。例如，在講解函數(shù)概念時，教師直接給出函數(shù)的定義，然后通過一些簡單的函數(shù)實例進行說明，讓學(xué)生理解函數(shù)的三要素。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，教師主要通過講解教材中的例題，讓學(xué)生掌握函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的判斷方法和應(yīng)用。而實驗班則運用基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略開展函數(shù)教學(xué)。在函數(shù)概念引入環(huán)節(jié)，教師積極創(chuàng)設(shè)生活實例情境和數(shù)學(xué)史情境。以生活實例情境為例，教師引入出租車收費問題，某城市出租車收費標準為：起步價8元，包含3公里行程；3公里到10公里部分，每公里加收2元；超過10公里部分，每公里加收3元。教師引導(dǎo)學(xué)生思考：若用x表示出租車行駛里程數(shù)，y表示乘客需支付的費用，y與x之間的關(guān)系如何？學(xué)生通過分析，當(dāng)0<x\leq3時，y=8；當(dāng)3<x\leq10時，y=8+2(x-3)=2x+2；當(dāng)x>10時，y=8+2\times(10-3)+3(x-10)=3x-8。通過這樣的分析，學(xué)生從具體生活情境中抽象出變量之間的對應(yīng)關(guān)系，初步理解函數(shù)概念。在數(shù)學(xué)史情境的創(chuàng)設(shè)中，教師講述函數(shù)概念的發(fā)展歷程，從早期運動學(xué)中變量關(guān)系的描述，到牛頓、萊布尼茨創(chuàng)立微積分時函數(shù)概念的初步形成，再到柯西、狄利克雷等數(shù)學(xué)家對函數(shù)概念的完善。通過介紹狄利克雷函數(shù)D(x)=\begin{cases}1,&x??o????????°\\0,&x??o??

?????°\end{cases}，讓學(xué)生深刻體會函數(shù)概念的抽象性和一般性，打破對函數(shù)必須有解析表達式的固有認知。在函數(shù)性質(zhì)的教學(xué)中，實驗班采用小組合作探究和實驗探究的方式。以函數(shù)單調(diào)性的探究為例，教師給出一次函數(shù)y=3x-1、二次函數(shù)y=x?2-4x+3、反比例函數(shù)y=\frac{2}{x}等函數(shù)，讓學(xué)生分組討論其單調(diào)性。學(xué)生先觀察函數(shù)圖像，直觀感受函數(shù)值隨自變量變化的趨勢，然后運用函數(shù)單調(diào)性的定義進行嚴謹推理和論證。在討論二次函數(shù)y=x?2-4x+3時，學(xué)生通過觀察圖像發(fā)現(xiàn)對稱軸為x=2，在對稱軸左側(cè)函數(shù)單調(diào)遞減，右側(cè)單調(diào)遞增。接著，學(xué)生運用定義設(shè)xa??、xa??是對稱軸左側(cè)的任意兩個自變量的值，且xa?????xa??，通過計算f(xa??)-f(xa??)=(xa???2-4xa??+3)-(xa???2-4xa??+3)=(xa??-xa??)(xa??+xa??-4)，因為xa?????xa??，xa??+xa?????4，所以f(xa??)-f(xa??)???0，即f(xa??)???f(xa??)，從而證明函數(shù)在對稱軸左側(cè)是減函數(shù)。在實驗探究方面，教師利用函數(shù)圖像繪制軟件幾何畫板，讓學(xué)生探究二次函數(shù)y=ax?2+bx+c（aa?

0）的性質(zhì)。學(xué)生通過改變a、b、c的值，觀察函數(shù)圖像的變化，抽象出a對函數(shù)圖像開口方向和大小的影響，b對對稱軸位置的影響，以及c對函數(shù)圖像上下平移的影響。在解題訓(xùn)練環(huán)節(jié)，實驗班注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合和分類討論解題能力。以函數(shù)零點問題為例，教師給出函數(shù)y=x?2-2x-3，引導(dǎo)學(xué)生通過因式分解得到y(tǒng)=(x-3)(x+1)，令y=0，解得x=3或x=-1，這是函數(shù)的零點。同時，教師引導(dǎo)學(xué)生繪制函數(shù)圖像，從圖像上直觀看到函數(shù)圖像與x軸相交于x=-1和x=3這兩個點，實現(xiàn)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化，加深對函數(shù)零點概念的理解。在含參數(shù)函數(shù)問題的教學(xué)中，教師以二次函數(shù)y=ax?2+bx+c（aa?

0）為例，引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)a的取值不同，以及對稱軸與給定區(qū)間的位置關(guān)系進行分類討論。例如，對于函數(shù)y=x?2-2ax+3，對稱軸為x=a，討論其在區(qū)間[1,3]上的單調(diào)性。當(dāng)aa?¤1時，函數(shù)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞增；當(dāng)1???a???3時，函數(shù)在區(qū)間[1,a]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a,3]上單調(diào)遞增；當(dāng)aa?￥3時，函數(shù)在區(qū)間[1,3]上單調(diào)遞減。通過這樣的分類討論，培養(yǎng)學(xué)生的抽象分析和解決問題的能力。在整個教學(xué)實踐過程中，教師密切關(guān)注學(xué)生的學(xué)習(xí)狀態(tài)和表現(xiàn)，及時給予指導(dǎo)和反饋。同時，通過課堂提問、小組討論、作業(yè)批改等方式，收集學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，以便對教學(xué)策略進行調(diào)整和優(yōu)化，確保教學(xué)實踐的順利進行。5.2評估指標與方法確定為了科學(xué)、全面地評估基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高一函數(shù)教學(xué)策略的實施效果，本研究精心確定了一系列評估指標，并選用了與之相適配的評估方法。在評估指標的設(shè)定上，主要涵蓋知識掌握、抽象思維能力和學(xué)習(xí)態(tài)度三個關(guān)鍵維度。在知識掌握方面，重點考查學(xué)生對函數(shù)概念、性質(zhì)以及常見函數(shù)類型的理解和運用能力。例如，通過測試學(xué)生對函數(shù)定義中集合與對應(yīng)關(guān)系的理解，能否準確判斷給定的關(guān)系是否為函數(shù)；對函數(shù)單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)的掌握程度，能否運用這些性質(zhì)解決相關(guān)問題；對一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等常見函數(shù)類型的特點和應(yīng)用的熟悉程度，能否在實際問題中正確選擇和運用相應(yīng)的函數(shù)模型。抽象思維能力是評估的核心指標之一。具體包括抽象概括能力，即學(xué)生能否從具體的函數(shù)實例中抽象出函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，例如在學(xué)習(xí)指數(shù)函數(shù)時，能否從細胞分裂、人口增長等具體現(xiàn)象中抽象出指數(shù)函數(shù)的模型；邏輯推理能力，考查學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)中，能否運用邏輯推理的方法，如歸納、演繹、類比等，來推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)和解決函數(shù)問題，比如在證明函數(shù)的奇偶性時，能否運用定義進行嚴謹?shù)耐评恚荒Ｐ蜆?gòu)建能力，評估學(xué)生是否能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型，通過建立函數(shù)關(guān)系來解決實際問題，如在解決成本與產(chǎn)量、利潤與銷量等實際問題時，能否準確地建立函數(shù)模型并求解。學(xué)習(xí)態(tài)度也是不容忽視的評估指標。關(guān)注學(xué)生在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的積極性和主動性，例如學(xué)生在課堂上的參與度，是否積極回答問題、參與小組討論；對函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣，是否主動探索函數(shù)知識、閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)資料；以及學(xué)習(xí)的自信心，在面對函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難時，是否能夠保持積極的心態(tài)，勇于嘗試解決問題。在評估方法的選擇上，采用了測試、問卷和訪談相結(jié)合的方式。測試是評估學(xué)生知識掌握和抽象思維能力的重要方法。通過設(shè)計階段性的函數(shù)知識測試卷，包括選擇題、填空題、解答題等多種題型，全面考查學(xué)生對函數(shù)知識的掌握情況。在測試題目的設(shè)計上，注重考查學(xué)生的抽象思維能力，如設(shè)置一些需要學(xué)生從具體情境中抽象出函數(shù)模型、運用函數(shù)性質(zhì)進行推理和計算的題目。同時，定期進行數(shù)學(xué)抽象思維能力專項測試，例如給出一些具體的函數(shù)實例，要求學(xué)生抽象出函數(shù)的概念、性質(zhì)和規(guī)律，或者給出一些實際問題，要求學(xué)生建立函數(shù)模型并求解，以此來評估學(xué)生抽象思維能力的發(fā)展情況。問卷調(diào)查主要用于了解學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和對教學(xué)策略的反饋。設(shè)計針對學(xué)生的問卷，內(nèi)容涵蓋學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)習(xí)的積極性和主動性、對教學(xué)方法的滿意度等方面。例如，設(shè)置問題“你對函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣如何？”“在函數(shù)學(xué)習(xí)中，你是否積極主動地參與課堂討論和探究活動？”“你認為哪種教學(xué)方法對你理解函數(shù)知識最有幫助？”通過對問卷數(shù)據(jù)的分析，了解學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和需求，以便對教學(xué)策略進行調(diào)整和優(yōu)化。訪談則是深入了解學(xué)生學(xué)習(xí)情況和教學(xué)效果的有效手段。與學(xué)生進行一對一的訪談，了解他們在函數(shù)學(xué)習(xí)過程中的困難和問題，以及對教學(xué)策略的看法和建議。例如，詢問學(xué)生“在學(xué)習(xí)函數(shù)概念時，你覺得哪些地方最難以理解？”“在運用函數(shù)知識解決實際問題時，你遇到了哪些困難？”“你認為老師在教學(xué)中應(yīng)該如何改進，以更好地幫助你提高數(shù)學(xué)抽象能力？”同時，與教師進行訪談，了解他們在實施教學(xué)策略過程中的感受和體會，以及對教學(xué)效果的評價和反思。通過訪談，獲取更豐富、更深入的信息，為教學(xué)策略的改進提供參考依據(jù)。5.3實踐結(jié)果與分析經(jīng)過一學(xué)期的教學(xué)實踐，對實驗班和對照班學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進行了全面的評估和分析，以檢驗基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略的實施效果。在知識掌握方面，通過期末函數(shù)知識測試的成績對比，實驗班的平均成績?yōu)?2.5分，對照班的平均成績?yōu)?5.8分，實驗班的成績明顯高于對照班。從具體知識點的得分情況來看，在函數(shù)概念的理解部分，實驗班的正確率達到80%，而對照班為65%。例如，在判斷函數(shù)關(guān)系的題目中，實驗班學(xué)生能夠準確運用函數(shù)的定義，從集合與對應(yīng)關(guān)系的角度進行分析，得出正確結(jié)論；而對照班部分學(xué)生對函數(shù)概念的理解較為模糊，存在判斷錯誤的情況。在函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用方面，實驗班的得分率為78%，對照班為68%。以函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用為例，實驗班學(xué)生能夠熟練運用函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)，解決函數(shù)的最值、比較大小等問題；對照班學(xué)生在這方面的應(yīng)用能力相對較弱，部分學(xué)生在解決問題時思路不清晰，無法正確運用函數(shù)性質(zhì)。在抽象思維能力的評估中，通過專項測試和課堂表現(xiàn)觀察進行分析。在抽象概括能力方面，專項測試中給出一系列具體的函數(shù)實例，要求學(xué)生抽象出函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，實驗班學(xué)生的平均得分比對照班高8分。在課堂上，當(dāng)教師給出生活中的函數(shù)實例，如水電費計算問題時，實驗班學(xué)生能夠迅速分析其中的變量關(guān)系，抽象出函數(shù)模型；而對照班學(xué)生需要更多的時間和引導(dǎo)才能完成這一過程。在邏輯推理能力的考查中，通過證明函數(shù)的奇偶性、推導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)等題目進行測試，實驗班學(xué)生的正確率為75%，對照班為60%。在課堂討論函數(shù)性質(zhì)的證明過程中，實驗班學(xué)生能夠運用嚴謹?shù)倪壿嬐评?，從已知條件出發(fā)，逐步推導(dǎo)得出結(jié)論；對照班部分學(xué)生在推理過程中存在邏輯漏洞，無法完整地證明函數(shù)的性質(zhì)。在模型構(gòu)建能力的評估中，給出實際問題，要求學(xué)生建立函數(shù)模型并求解，實驗班學(xué)生在模型構(gòu)建的準確性和完整性方面明顯優(yōu)于對照班，能夠更好地將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，運用函數(shù)知識解決問題。在學(xué)習(xí)態(tài)度方面，通過問卷調(diào)查和訪談的結(jié)果進行分析。在學(xué)習(xí)興趣方面，問卷結(jié)果顯示，實驗班有80%的學(xué)生表示對函數(shù)學(xué)習(xí)感興趣，而對照班這一比例為60%。訪談中，實驗班學(xué)生提到，通過生活實例和數(shù)學(xué)史情境的引入，以及小組合作探究和實驗探究等教學(xué)方式，讓他們感受到函數(shù)知識與生活的緊密聯(lián)系，激發(fā)了他們的學(xué)習(xí)興趣；對照班學(xué)生則表示，傳統(tǒng)的教學(xué)方式較為枯燥，對函數(shù)學(xué)習(xí)的興趣不高。在學(xué)習(xí)積極性和主動性方面，實驗班學(xué)生在課堂上的參與度更高，主動回答問題、參與小組討論的次數(shù)明顯多于對照班。在課后，實驗班學(xué)生也更愿意主動探索函數(shù)知識，閱讀相關(guān)的數(shù)學(xué)資料；對照班學(xué)生在學(xué)習(xí)上相對較為被動，依賴教師的講解和指導(dǎo)。在學(xué)習(xí)自信心方面，實驗班學(xué)生在面對函數(shù)學(xué)習(xí)中的困難時，更有信心通過自己的努力和小組合作解決問題；對照班部分學(xué)生在遇到困難時容易產(chǎn)生畏難情緒，對自己的學(xué)習(xí)能力缺乏信心。綜合以上實踐結(jié)果的分析，可以看出基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略在提高學(xué)生的知識掌握水平、抽象思維能力和學(xué)習(xí)態(tài)度方面都取得了顯著的效果，為高中函數(shù)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)提供了有效的實踐經(jīng)驗。六、結(jié)論與展望6.1研究主要結(jié)論總結(jié)本研究深入探究了以高一函數(shù)主題為載體培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的相關(guān)內(nèi)容，通過理論分析、現(xiàn)狀調(diào)查、教學(xué)策略設(shè)計與實踐等一系列研究活動，得出以下主要結(jié)論：在理論層面，明確了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的內(nèi)涵，它是在數(shù)學(xué)研究中舍去事物物理屬性，獲取純粹數(shù)學(xué)研究對象的思維過程，涵蓋概念、規(guī)律和幾何圖形等多方面的抽象。高一函數(shù)教學(xué)內(nèi)容豐富，包括函數(shù)概念、性質(zhì)及常見函數(shù)類型，具有抽象性、邏輯性和綜合性的特點。數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)在高一函數(shù)學(xué)習(xí)中體現(xiàn)為函數(shù)概念的抽象建立、性質(zhì)的抽象概括以及從實際問題到抽象模型的轉(zhuǎn)化。函數(shù)教學(xué)對培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)具有重要作用，通過創(chuàng)設(shè)情境引入概念、深化概念理解、探究函數(shù)性質(zhì)以及解決實際應(yīng)用問題等環(huán)節(jié)，促進學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展。通過對高一函數(shù)教學(xué)中數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)現(xiàn)狀的調(diào)查分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)前教學(xué)存在一些問題。教學(xué)方法上，部分教師過度依賴傳統(tǒng)講授法，教學(xué)情境創(chuàng)設(shè)不合理，難以引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)抽象思維。學(xué)生方面，自身思維習(xí)慣和基礎(chǔ)能力影響了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的提升，部分學(xué)生依賴具體形象思維，基礎(chǔ)知識儲備不足。教學(xué)資源方面，存在匱乏和利用不當(dāng)?shù)膯栴}，教學(xué)評價體系也不完善，過于注重考試成績，忽視了對學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的評價?；诖耍狙芯刻岢隽艘幌盗谢跀?shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的高一函數(shù)教學(xué)策略，并通過教學(xué)實踐進行了驗證。在教學(xué)策略方面，創(chuàng)設(shè)生活實例情境和數(shù)學(xué)史情境引入函數(shù)概念，能讓學(xué)生從具體情境中抽象出函數(shù)概念，感受函數(shù)概念的發(fā)展歷程；組織小組合作探究和實驗探究活動理解函數(shù)性質(zhì)，學(xué)生通過合作交流和實驗操作，深入理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)；運用數(shù)形結(jié)合和分類討論的方法進行解題訓(xùn)練，提升學(xué)生的抽象能力，幫助學(xué)生更好地解決函數(shù)問題。教學(xué)實踐結(jié)果表明，采用基于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的教學(xué)策略的實驗班，在知識掌握、抽象思維能力和學(xué)習(xí)態(tài)度等方面均優(yōu)于采用傳統(tǒng)教學(xué)方法的對照班。實驗班學(xué)生在函數(shù)知識測試中成績更高，對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解更深入；在抽象思維能力的專項測試和課堂表現(xiàn)中，實驗班學(xué)生在抽象概括、邏輯推理和模型構(gòu)建等方面表現(xiàn)更出色；在學(xué)習(xí)態(tài)度上，實驗班學(xué)生對函數(shù)學(xué)習(xí)更感興趣，學(xué)習(xí)積極性和主動性更高，學(xué)習(xí)自信心更強。6.2對數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示與建議基于本研究的成果，對高中數(shù)學(xué)教學(xué)具有多方面的啟示，同時也為教師在教學(xué)實踐中提供了一系列具體的建議。在教學(xué)理念方面，教師應(yīng)深刻認識到數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)培養(yǎng)的核心地位，將其貫穿于整個函數(shù)教學(xué)過程以及其他數(shù)學(xué)知識的教學(xué)中。摒棄傳統(tǒng)的以知識傳授為主的教學(xué)觀念，樹立以學(xué)生為中心、