高一上數(shù)學(xué)暑假測試密卷（二）單項選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，選對得5分，選錯得0分．1．設(shè)集合，，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用交集的定義直接求解作答.【詳解】因為集合，，所以.故選：D2．角的終邊過點，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義計算可得.【詳解】已知角的終邊經(jīng)過點，所以.故選：A3．已知，且則的值為A．4 B．0 C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，本題選擇A選項.4．設(shè)，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指、對數(shù)函數(shù)的知識判斷出的范圍即可.【詳解】因為，，所以故選：B5．已知函數(shù)，則的零點所在的區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)零點存在定理，只需判斷兩個端點的函數(shù)值，即兩個端點函數(shù)值異號即可.【詳解】由已知得，，，，，所以，由零點的存在定理得，的零點所在的區(qū)間為，故選：D．6．酒駕是嚴重危害交通安全的違法行為．根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：駕駛?cè)搜褐械木凭看笥冢ɑ虻扔冢┖量?毫升，小于毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于飲酒駕車；含量大于（或等于）毫克/毫升的情況下駕駛機動車屬于醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上點鐘喝了一定量的酒后，其血液中酒精含量上升到毫克/毫升．如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量以每小時的速度減少，則他次日上午最早（

）點（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒駕．（參考數(shù)據(jù)：，）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意可得不等式，解不等式可求得，由此可得結(jié)論.【詳解】假設(shè)經(jīng)過小時后，駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕，則，即，，則，，次日上午最早點，該駕駛員開車才不構(gòu)成酒駕.故選：D.7．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】將條件中兩式平方相加后整理即可得答案.【詳解】，，兩式相加得，.故選：C.8．已知函數(shù)，若方程有四個不同的根，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】分析給定的函數(shù)性質(zhì)，畫出函數(shù)的部分圖象，確定a的取值范圍，進而求出范圍作答.【詳解】函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，當(dāng)時，單調(diào)遞減，，當(dāng)時，在上遞減，在上遞增，，作出函數(shù)的部分圖象，如圖，方程有四個不同的根，不妨令，即直線與函數(shù)的圖象有4個公共點，觀察圖象知，，，顯然有，且，由得，即，則有，因此，所以的取值范圍為.故選：B【點睛】關(guān)鍵點睛：涉及用分段函數(shù)零點特性求參數(shù)范圍問題，可以先獨立分析各段上的零點，再綜合考查所有零點是解決問題的關(guān)鍵.多項選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求。全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9．已知函數(shù)，則（

）A．的定義域為B．的單調(diào)遞減區(qū)間為C．是增函數(shù)D．的值域為【答案】ACD【分析】對于A，由且，求解即可判斷；對于B，區(qū)間不在定義域內(nèi)，即可判斷；對于C，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法即可判斷；對于D，可得真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，從而可判斷.【詳解】對于A，由且，得，故的定義域為，A對；對于B，區(qū)間不在定義域內(nèi)，B錯；對于C，函數(shù)在為增函數(shù)，函數(shù)在為增函數(shù)故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間，C對；對于D，在為增函數(shù),真數(shù)能取遍所有大于0的數(shù)，故值域為R，D對.故選：ACD.10．下列運算中，結(jié)果是1的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，結(jié)合正切的兩角差公式、二倍角的正弦公式、誘導(dǎo)公式逐一計算判斷即可.【詳解】A：因為，所以不符合題意；B：因為，所以符合題意；C：因為，所以符合題意；D：，符合題意，故選：BCD11．下列結(jié)論正確的是（

）．A．若，則的最大值為B．若，，則C．若，，且，則的最大值為9D．若，則的最大值為2【答案】ABD【解析】利用基本不等式，逐項判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】A選項，由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；即的最大值為；A正確；B選項，由，，可得，即，故B正確；C選項，若，，且，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立；即的最小值為9，故C錯；D選項，因為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故D正確.故選：ABD.【點睛】易錯點睛：利用基本不等式求最值時，要注意其必須滿足的三個條件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各項必須為正數(shù)；（2）“二定”就是要求和的最小值，必須把構(gòu)成和的二項之積轉(zhuǎn)化成定值；要求積的最大值，則必須把構(gòu)成積的因式的和轉(zhuǎn)化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值時，必須驗證等號成立的條件，若不能取等號則這個定值就不是所求的最值，這也是最容易發(fā)生錯誤的地方.12．設(shè)函數(shù)的定義域為，若存在常數(shù)，使對一切實數(shù)均成立，則稱為“倍約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù)是“倍約束函數(shù)”的有（

）A．B．；C．；D．是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，且對一切，均有【答案】AD【分析】結(jié)合新定義，逐項證明或舉出反例即可得解.【詳解】對于A，函數(shù)，存在實數(shù)，使得恒成立，故A正確；對于B，函數(shù)，若要使恒成立，則當(dāng)時，恒成立，不存在這樣的實數(shù)，故B錯誤；對于C，，由恒成立，可得不是“倍約束函數(shù)”，故C錯誤；對于D，由函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，得，當(dāng)時，可得成立，所以該函數(shù)是“倍約束函數(shù)”，故D正確.故選：AD.填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．計算．【答案】【分析】直接利用對數(shù)的運算性質(zhì)及指數(shù)冪的運算可得答案.【詳解】.故答案為：.14．已知，，則.【答案】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式結(jié)合條件即得.【詳解】因為，所以.故答案為：.15．《樂府詩集》輯有晉詩一組，屬清商曲辭吳聲歌曲，標題為《子夜四時歌七十五首》.其中《夏歌二十首》的第五首曰：疊扇放床上，企想遠風(fēng)來.輕袖佛華妝，窈窕登高臺?詩里的疊扇，就是折扇.折扇展開后可看作是半徑為的扇形，是圓面的一部分，如圖所示.設(shè)某扇形的面積為，該扇形所在圓面的面積為，當(dāng)與的比值為時，該扇面為“黃金美觀扇面”.若某扇面為“黃金美觀扇面”，扇形的半徑，則此時的扇形面積為.【答案】【分析】利用與比值，列出方程即可.【詳解】，扇形所在圓面的面積為：且：；故答案為：16．若存在實數(shù)，使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且在區(qū)間上的取值范圍為，則的取值范圍為.【答案】【分析】根據(jù)，去絕對值符號化簡，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)，判斷的單調(diào)性，根據(jù)題意建立之間的等式關(guān)系，將消掉后化簡可得，代入到方程組中可建立與和與的等式關(guān)系，通過移項變形，將兩式形式化為統(tǒng)一，構(gòu)造函數(shù)畫出圖象，列出不等式解出即可.【詳解】解：因為，因為，所以，，所以，取，根據(jù)對勾函數(shù)性質(zhì)可知：在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，所以在上，單調(diào)遞增，在上，單調(diào)遞減，因為區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，因為區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，即，即，即，化簡可得，因為，所以，代入中，化簡可得：，當(dāng)時方程組不成立，所以方程組可化為，即在上與有兩個不同交點，因為，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，畫出及的圖象如下所示：由圖可知只需即可，即，即，即.故答案為：【點睛】思路點睛：該題考查函數(shù)的綜合問題，屬于中難題，關(guān)于對勾函數(shù)的思路有：（1）定義域：，奇偶性：奇函數(shù)；（2）單調(diào)性：，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減；（3）最值：在上有最大值，無最小值，在上有最小值，無最大值；（4）漸近線：軸和.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知角α的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點．(1)求的值；(2)求的值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用三角函數(shù)定義計算作答.（2）利用誘導(dǎo)公式化簡，結(jié)合（1）的結(jié)論，用齊次式法計算作答.【詳解】（1）角的始邊與x軸的非負半軸重合，終邊過點，所以.（2）由（1）知，，所以.18．已知函數(shù).(1)若，求的最小值；(2)若，求關(guān)于的不等式的解集.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用代入法，結(jié)合基本不等式進行求解即可；（2）利用代入法，結(jié)合一元二次不等式的解法進行求解即可.【詳解】（1）由可得：，因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，即當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值為；（2）由可得：，則化為：因為，所以，則解不等式可得或，則不等式的解集為.19．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)．(1)若當(dāng)時，，求在上的解析式；(2)若在上單調(diào)遞增，，且，求實數(shù)m的取值范圍．．【答案】(1)(2)【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義，定義域關(guān)于原點對稱以及，可以求出函數(shù)表達式；(2)利用偶函數(shù)的性質(zhì)及函數(shù)的單調(diào)性，得到在定義區(qū)間上是增函數(shù)，自變量越大，函數(shù)值也越大，得到不等式組，然后求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，當(dāng)時，，則，∴，∴（2）∵為奇函數(shù)，∴，，∴為偶函數(shù)，且在上為增函數(shù)，，∴∴∴，∴m的取值范圍為．20．為宣傳2022年北京冬奧會，某公益廣告公司擬在一張矩形海報紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計三個等高的宣傳欄（欄面分別為一個等腰三角形和兩個全等的直角梯形），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為.為了美觀，要求海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為.設(shè)直角梯形的高為.(1)當(dāng)時，求海報紙的面積；(2)為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最小）？【答案】(1)(2)當(dāng)海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．【分析】（1）根據(jù)已知條件，先求出梯形長的底邊，再分別求出，，即可求解；（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．【詳解】（1）宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，直角梯形的高為，則梯形長的底邊，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，，，故海報面積為．（2）直角梯形的高為，宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為，，海報上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為，海報寬，海報長，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即，故當(dāng)海報紙寬為，長為，可使用紙量最少．21．已知函數(shù)，.(1)若在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍；(2)在（1）的條件下，是否存在實數(shù)，使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點，若存在，求出的范圍，若不存在，請說明理由.【答案】(1)或；(2)存在，且的取值范圍是.【分析】（1）分、兩種情況討論，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)可出關(guān)于的不等式，綜合可得出實數(shù)的取值范圍；（2）分、、、四種情況討論，分析兩個函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于實數(shù)的不等式（組），綜合可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）解：當(dāng)時在上單調(diào)遞減.當(dāng)時，是二次函數(shù)，其對稱軸為直線，在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，或，即或，解得：或或.綜上：或.（2）解：①當(dāng)時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)單調(diào)遞增，因為，，由零點存在定理可知，存在唯一的使得，此時，函數(shù)與函數(shù)在區(qū)間上的圖象有唯一的交點，合乎題意；②當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為直線，所以，在上單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點，則，解得，此時；③當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，要使得函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上有唯一的交點，則，解得，此時；④當(dāng)時，二次函數(shù)的圖象開口向上，對稱軸，所以，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，則，，所以，在上恒成立，此時，函數(shù)與函數(shù)的圖象在區(qū)間上沒有交點.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一