圓的概念及性質(zhì)圓的概念及性質(zhì)一、圓的相關(guān)概念圓的定義描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線(xiàn)段繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心，叫做半徑．集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑．圓的表示方法：通常用符號(hào)表示圓，定義中以為圓心，為半徑的圓記作”“，讀作”圓“．同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓；能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓．注意：注意：同圓或等圓的半徑相等．弦和弧弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線(xiàn)段叫做弦．直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的倍．弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距．?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)?。詾槎它c(diǎn)的圓弧記作，讀作弧．等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等?。雸A：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓．優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧．弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形．圓心角和圓周角圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角．將整個(gè)圓分為等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)的圓心角，我們也稱(chēng)這樣的弧為的?。畧A心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等．圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．二、圓的對(duì)稱(chēng)性旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)稱(chēng)中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)圖形，無(wú)論繞圓心旋轉(zhuǎn)多少度角，總能與自身重合．圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱(chēng)性圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系．軸對(duì)稱(chēng)性圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線(xiàn)是它的對(duì)稱(chēng)軸．圓的軸對(duì)稱(chēng)性垂徑定理．三、圓的性質(zhì)定理圓周角定理定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半．推論：推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等．推論2：半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，的圓周角所對(duì)的弦是直徑．推論3：如果三角形一邊上的中線(xiàn)等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等．推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等．所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩圓心角相等所對(duì)的兩條弦相等所對(duì)的兩條弧相等所對(duì)的兩條弦的弦心距相等注意：①前提條件是在同圓或等圓中；②在由等弦推出等弧時(shí)應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等．垂徑定理定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。普?：①平分弦（非直徑）的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．②弦的垂直平分線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧．③平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條?。普?：圓的兩條平行線(xiàn)所夾的弧相等．注意：若“過(guò)圓心的直線(xiàn)”、“垂直于弦”、“平分弦（非直徑）”、“平分弦所對(duì)的優(yōu)弧”、“平分弦所對(duì)的劣弧”中的任意兩個(gè)成立，則另外三個(gè)都成立．注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：，根據(jù)此公式，在，，三個(gè)量中知道任何兩個(gè)量就可以求出第三個(gè)量．一、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)判斷題：（1）直徑是弦 ()（2）弦是直徑 ()（3）半圓是弧 ()（4）弧是半圓 ()（5）長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 ()（6）等弧的長(zhǎng)度相等 ()（7）兩個(gè)劣弧之和等于半圓 ()（8）半徑相等的兩個(gè)圓是等圓 ()（9）兩個(gè)半圓是等弧 ()（10）圓的半徑是，則弦長(zhǎng)的取值范圍是大于且不大于 ()【鞏固】如圖，在兩半徑不同的同心圓中，，則（）A．B．C．的度數(shù)的度數(shù)D．的長(zhǎng)度的長(zhǎng)度如圖，點(diǎn)在半圓上，四邊形均為矩形，設(shè)，，則下列格式中正確的是()A．B．C．D．【鞏固】如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓，若小正方形的面積為，則該半圓的半徑為_(kāi)___________．如圖①，，，，為四個(gè)等圓的圓心，A，B，C，D為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出一條直線(xiàn)，將這四個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是；如圖②，，，，，為五個(gè)等圓的圓心，A，B，C，D，E為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出一條直線(xiàn)，將這五個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明這條直線(xiàn)經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是．二、圓的性質(zhì)定理圓周角定理如圖，，則弧所對(duì)圓周角的度數(shù)是（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，是的外接圓，已知，則的大小為_(kāi)_________．如下左圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為的小正方形拼成一個(gè)大正方形，是小正方形頂點(diǎn)，的半徑為，是上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則等于__________．如圖，量角器外沿上有兩點(diǎn)，它們的度數(shù)分別是，則的度數(shù)為_(kāi)________．【鞏固】如圖，量角器外緣邊上有三點(diǎn)，它們所表示的讀數(shù)分別是，，，則的大小為（）A． B． C． D．如圖，是的外接圓，已知，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【鞏固】如圖，是的直徑，是⊙O的弦，連接，若，則的度數(shù)為．CCBDOA如圖所示的半圓中，是直徑，且，則的值是________．【鞏固】如圖，是的直徑，，設(shè)，則_____________．如圖，為的直徑，是的弦，的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，若，求的度數(shù)．【鞏固】如圖所示是的直徑，，交于，且，求的度數(shù)．如圖，在中，的度數(shù)為，是上一點(diǎn)，是上不同的兩點(diǎn)(不與兩點(diǎn)重合)，則的度數(shù)為_(kāi)___________．【鞏固】如圖，是的直徑，弦交于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)，且．若，則___________．如圖所示，在中，，，則的半徑為（）【鞏固】如圖，的三個(gè)頂點(diǎn)都在上，，則的半徑為_(kāi)_____．【鞏固】如圖是半圓的直徑，點(diǎn)在弧上，且平分，已知，求的長(zhǎng)．如圖，是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)是優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)不與重合)，設(shè)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的度數(shù)；（2）猜想與之間的關(guān)系，并給予證明．【鞏固】如圖，與相交于、兩點(diǎn)，是的直徑，且把分成度數(shù)比為的兩條弧，是上的動(dòng)點(diǎn)(不是、重合)，連結(jié)、分別交于、兩點(diǎn)．（1）當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，判斷的形狀．（2）當(dāng)是直角三角形時(shí)，判斷的形狀．（3）當(dāng)是銳角三角形時(shí)，判斷的形狀．這種情況加以證明．圓及相交于點(diǎn)及．圓的圓心落在的圓周上，圓的弦交于點(diǎn)（如圖），證明：線(xiàn)段與是互相垂直的．【鞏固】?jī)蓤A相交于、，是大圓上一點(diǎn)，過(guò)、和、分別作直線(xiàn)交小圓于、，過(guò)、作直徑．求證：如圖，已知是的直徑，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連結(jié)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)是上一點(diǎn)，直線(xiàn)交于點(diǎn)，連結(jié)，與直線(xiàn)交于點(diǎn)．求證：．【鞏固】如圖，已知：在中，直徑，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)，過(guò)作弦，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接交于，連接．⑴求證：；⑵猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想；⑶探究：當(dāng)點(diǎn)位于何處時(shí)，？并加以說(shuō)明．如圖，，，是圓中的三條弦，點(diǎn)在上，且．請(qǐng)你說(shuō)明以下各式成立的理由：（1）；（2）．【鞏固】在中，，點(diǎn)、分別是的外心、垂心．點(diǎn)、分別在邊、上，使得，，已知．求的面積．圓內(nèi)接四邊形如圖，為的直徑，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，．現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④．其中正確結(jié)論的序號(hào)是A．①②B．②③C．②④D．③④【鞏固】已知：如圖，面積為的四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓心，若，則的長(zhǎng)等于．已知是的直經(jīng)，是弦，若，求由四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng)．【鞏固】如圖，已知四邊形內(nèi)接于直徑為3的圓，對(duì)角線(xiàn)是直徑，對(duì)角線(xiàn)和的交點(diǎn)，，且，求四邊形的周長(zhǎng)．如圖，四邊形為正方形，過(guò)正方形的頂點(diǎn)和對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，分別交于點(diǎn)．（1）求證：（2）若的半徑為，，求的值．圓內(nèi)接四邊形，，交于，于，交于．求證：．【鞏固】圓內(nèi)接矩形，過(guò)作圓的切線(xiàn)，分別與、的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于、，求證：．圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系在同圓中，的度數(shù)小于，且，那么弦和弦的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．無(wú)法確定【鞏固】如圖所示在中，，那么（）與的大小關(guān)系不能確定已知是的弦，平分交于，弦交于，求證：平分．【鞏固】如圖，過(guò)的直徑上兩點(diǎn)，分別作弦，若．求證：⑴；⑵．已知點(diǎn)、、、順次在上，，于點(diǎn)，求證：．【鞏固】在中，，是它的外接圓上包含點(diǎn)的弧的中點(diǎn)，上的點(diǎn)使得，求證：．如圖，是的內(nèi)接三角形，，為中上一點(diǎn)，延長(zhǎng)至點(diǎn)，使是關(guān)于的方程的兩根．求證：；⑵若，求證：．【鞏固】如圖，四邊形內(nèi)接于圓，，且其對(duì)角線(xiàn)交于點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上，使得．若，求的值．已知：如圖，是中直角邊上的一點(diǎn)，以為直徑的圓交斜邊于點(diǎn)，連結(jié)交此圓于點(diǎn)，交于點(diǎn)．求證：．【鞏固】是半圓的直徑，點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn)、分別作過(guò)點(diǎn)的切線(xiàn)的垂線(xiàn)、，、為垂足，求證：．三、垂徑定理如果兩條弦相等，那么（）A．這兩條弦所對(duì)的弧相等 B．這兩條弦所對(duì)的圓心角相等C．這兩條弦的弦心距相等 D．以上答案都不對(duì)【鞏固】下列判斷中正確的是（）A．平分弦的直線(xiàn)垂直于弦B．平分弦的直線(xiàn)也必平分弦所對(duì)的兩條弧C．弦的垂直平分線(xiàn)必平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分一條弧的直線(xiàn)必平分這條弧所對(duì)的弦如圖，的直徑過(guò)弦的中點(diǎn)，，則等于（）A． B． C． D．【鞏固】如圖，內(nèi)接于，點(diǎn)是延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，若，則等于（）A． B． C． D．如圖，的直徑，弦于，，的半徑為，則弦的長(zhǎng)為（）A． B．C． D．【鞏固】如圖，是的外接圓，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，如果的半徑為，則結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A．B．C．D．如圖，兩個(gè)同心圓的半徑分別為3cm和5cm，弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，則AB的長(zhǎng)為（）A．4cmB．5cmC．6cmD．8cm【鞏固】如圖，⊙P內(nèi)含于⊙，⊙的弦切⊙P于點(diǎn)，且．若陰影部分的面積為，則弦的長(zhǎng)為（）A．3 B．4C．6 D．9如圖所示，同心圓中，大圓的弦交小圓于，兩點(diǎn)，試證明：．【鞏固】如圖，同心圓中，大圓的弦交小圓于兩點(diǎn)，，的弦心距等于，那么，大圓半徑與小圓半徑之比是_________．在半徑為的圓中，垂直平分半徑的弦長(zhǎng)是_______．【鞏固】中，弦的長(zhǎng)為cm，圓心到的距離為，則的半徑長(zhǎng)為（）【鞏固】若中等于的劣弧所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則的半徑是_______．如圖，已知的半徑是，點(diǎn)到圓心的距離為，求過(guò)點(diǎn)的所有弦中最短弦的長(zhǎng)度．【鞏固】如圖，⊙O的弦AB=6，M是AB上任意一點(diǎn)，且OM最小值為4，則⊙O的半徑為（）A．5 B．4 C．3 D．2如圖，是等邊三角形的外接圓，的半徑為2，則等邊三角形的邊長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【鞏固】如圖所示，中，，，求其外接圓的半徑．如圖，某公園的一座石拱橋是圓弧形（劣?。?，其跨度為米，拱的半徑為米，則拱高為（）A．米B．米C．米D．米【鞏固】某居民小區(qū)一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，下圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．（1）請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面；（2）若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬，水面最深地方的高度為，求這個(gè)圓形截面的半徑．如圖所示，在中，，，若以為圓心、的長(zhǎng)為半徑的圓交于，則．【鞏固】如圖所示，在與三角形所組成的圖形中，，求證．在半徑為的中，弦的長(zhǎng)分別為和，則的度數(shù)為_(kāi)_______．【鞏固】如圖所示，已知的直徑和弦相交于點(diǎn)，，，，求的長(zhǎng)．已知的直徑是，的兩條平行弦，，求弦與間的距離．【鞏固】已知在中，半徑，是兩條平行弦，且，求的長(zhǎng)．如圖，是的弦，，垂足為，交于點(diǎn)，點(diǎn)在上．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求的長(zhǎng)．【鞏固】如圖所示，已知為的直徑，是弦，且于點(diǎn)．連接．（1）求證：．（2）若，求的直徑．如圖，分別是中長(zhǎng)度相等但不平行的兩條弦的中點(diǎn)．求證：．【鞏固】如圖，中，是直徑，弦，交于．求證：．如圖，是的兩條直徑，弦，交于點(diǎn)，求證：．【鞏固】當(dāng)是的直徑，弦，相交于點(diǎn)，求證：．如圖，是的直徑，且，弦的長(zhǎng)為，若弦的兩端在圓上滑動(dòng)時(shí)，始終與相交，記點(diǎn)到的距離分別為，則等于（）A．B．C．D．【鞏固】如圖，的直徑，有一條定長(zhǎng)為的動(dòng)弦在上滑動(dòng)（點(diǎn)與，點(diǎn)與點(diǎn)不重合），且交于，交于．（1）求證：．（2）在動(dòng)弦滑動(dòng)的過(guò)程中，四邊形的面積是否為定值？若為定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．如圖，半徑為的內(nèi)有互相垂直的兩條弦相交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交于，求證：；（3）若，求的長(zhǎng)．【鞏固】如圖，已知：在中，直徑，點(diǎn)是上的任意一點(diǎn)，過(guò)作弦，點(diǎn)是上一點(diǎn)，連接交于連接．（1）求證：；（2）猜想：與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想；（3）探究：當(dāng)點(diǎn)位于何處時(shí)，？并加以說(shuō)明．（1）如圖1，圓心接中，，、為的半徑，于點(diǎn)，于點(diǎn)，求證：陰影部分四邊形的面積是的面積的．（2）如圖2，若保持角度不變，求證：當(dāng)繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)，由兩條半徑和的兩條邊圍成的圖形(圖中陰影部分)面積始終是的面積的．如圖，是的直徑，過(guò)上一點(diǎn)作，垂足為，其延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，弦交于點(diǎn)．⑴如果，求證：；⑵如果弦交于點(diǎn)，且，求證：．如圖，內(nèi)接于，，的平分線(xiàn)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)，連結(jié)，是的中點(diǎn)，連結(jié)．⑴判斷與的位置關(guān)系，寫(xiě)出你的結(jié)論并證明；⑵求證：；⑶若，求的面積．如圖，是的直徑，點(diǎn)在上，，，則___________．如圖，已知是的圓周角，，則圓心角是（）A． B． C． D．如圖，四邊形是的內(nèi)接正方形，點(diǎn)是劣弧上不同于點(diǎn)的任意一點(diǎn)，則的度數(shù)是()如圖，為的直徑，過(guò)點(diǎn)的弦平行于半徑，若的度數(shù)是，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．如圖，已知為⊙O的直徑，，，則______．如圖，是的直徑，點(diǎn)，，都在上，若，求．如圖，是的直徑，點(diǎn)，，都在上，若，求．如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是．為了監(jiān)控整個(gè)展廳，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器臺(tái)．如圖，內(nèi)接于，，為的直徑，，那么_________．已知的弦長(zhǎng)等于圓的半徑，求該弦所對(duì)的圓周角．已知，如圖：為的直徑，，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，．給出以下五個(gè)結(jié)論：①，；②；③；④劣弧是劣弧的倍；⑤．其中正確結(jié)論的序號(hào)是．如圖，半圓的直徑，點(diǎn)在半圓上，．（1）求弦的長(zhǎng)；（2）若為的中點(diǎn)，交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．如圖，外接于正方形，為弧上一點(diǎn)，且，，求的長(zhǎng)．如圖，是的兩條弦，它們相交于點(diǎn)，連結(jié)，已知，，求的長(zhǎng)．已知是一段圓弧上的兩點(diǎn)，且在直線(xiàn)的同側(cè)，分別過(guò)這兩點(diǎn)作的垂線(xiàn)，垂足為，是上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)，且．⑴如圖⑴，如果，且，求的長(zhǎng)；⑵如圖⑵，若點(diǎn)恰為這段圓弧的圓心，則線(xiàn)段之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫(xiě)出你的結(jié)論并予以證明．再探究：當(dāng)分別在直線(xiàn)兩側(cè)且，而其余條件不變時(shí)，線(xiàn)段之間又有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明．如圖，將圓沿折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心，則等于．A．60°B．90°C．120°D．150°如圖所示，是的直徑，，與交于點(diǎn)，則圖中與相等的角有（）A．2個(gè)B．3個(gè)C．4個(gè)D．5個(gè)的半徑為，是的一條弦，且，則弦所對(duì)圓周角的度數(shù)為_(kāi)____________．若中等于的劣弧所對(duì)的弦長(zhǎng)為，則的半徑是_______．如圖，是的弦，于交于，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A． B．C．D．的半徑為