專題8.3簡單幾何體的表面積與體積【七大題型】【人教A版（2019）】TOC\o"13"\h\u【題型1多面體的表面積與體積】 2【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】 3【題型3球的表面積與體積】 5【題型4組合體的表面積與體積】 5【題型5球的截面問題】 7【題型6幾何體與球的切、接問題】 8【題型7實際應(yīng)用問題】 10【知識點1簡單幾何體的表面積與體積】1．多面體的側(cè)面積、表面積和體積多面體圖形側(cè)面積與表面積體積棱柱直棱柱的側(cè)面展開圖是矩形，

S直棱柱側(cè)=Ch(C為底面周長，h為高)，

S直棱柱表=S直棱柱+2S底(S底為底面面積)V柱=S底h(S底為底面面積，h為高)棱錐正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，S正棱錐側(cè)=Ch'(C為底面周長，h'為斜高)，S正棱錐表=S正棱錐側(cè)+S底(S底為底面面積)(S底為底面面積，h為高)棱臺正棱臺的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰梯形，S正棱臺側(cè)=(C+C')h'(C'、C分別為上、下底面的周長，h'為斜高)，S正棱臺表=S正棱臺側(cè)+S+S′(S′、S分別為上、下底面面積)(S'、S分別為上、下底面面積，h為棱臺的高)2．旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積、表面積和體積旋轉(zhuǎn)體圖形側(cè)面積與表面積體積圓柱圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，S圓柱側(cè)=2πrl，表面積S=2πr2+2πrl=2πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓錐圓錐的側(cè)面展開圖是扇形，S圓錐側(cè)=πrl，表面積

S=πr2+πrl=πr(r+l)體積V=S底h(S底為底面面積，h為高)圓臺圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，S圓臺側(cè)=π(r1+r2)l，

表面積體積(S'、S分別為上、下底面面積，h為圓臺的高)球半徑為R的球的表面積S=4πR2半徑為R的球的體積3．空間幾何體表面積與體積的常見求法(1)常見的求幾何體體積的方法

①公式法：直接代入公式求解.

②等體積法：四面體的任何一個面都可以作為底面，只需選用底面面積和高都易求出的形式即可.

③補體法：將幾何體補成易求解的幾何體，如棱錐補成棱柱，三棱柱補成四棱柱等.

④分割法：將幾何體分割成易求解的幾部分，分別求體積.

(2)求組合體的表面積與體積的方法

求組合體的表面積的問題，首先應(yīng)弄清它的組成部分，其表面有哪些底面和側(cè)面，各個面的面積應(yīng)該怎樣求，然后根據(jù)公式求出各個面的面積，最后相加或相減.求體積時也要先弄清各組成部分，求出各簡單幾何體的體積，再相加或相減.【題型1多面體的表面積與體積】【例1】（2023上·黑龍江·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）《九章算術(shù)》中記載，四個面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑.現(xiàn)有一個“鱉臑”，PA⊥底面ABC，AC⊥BC，且PA=3，AC=BC=2，則該四面體的體積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【變式11】（2023上·湖南岳陽·高二校考競賽）正方體的八個頂點中，有四個恰好為正四面體的頂點，則正方體的表面積與正四面體的表面積之比為（

）．A．2 B．3 C．62 D．【變式12】（2023上·陜西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知正三棱柱ABC?A1B1CA．3 B．33 C．6 D．【變式13】（2023·河南·信陽高中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，兩個相同的正四棱臺密閉容器內(nèi)裝有某種溶液，AB=6,A1B1=2，圖1中液面高度恰好為棱臺高度的一半，圖2中液面高度為棱臺高度的34，若圖1和圖2中溶液體積分別為A．34 B．3839 C．1 【題型2圓柱、圓錐、圓臺的表面積與體積】【例2】（2023·全國·模擬預(yù)測）如圖所示，圓錐SO的底面圓半徑OA=1，側(cè)面展開圖扇形SAB的面積為3π，則此圓錐的體積為（

A．22π3 B．4π C．【變式21】（2023上·山東·高三校考期中）如圖，圓錐的母線長為2，點M為母線AB的中點，從點M處拉一條繩子繞圓錐的側(cè)面轉(zhuǎn)一周到達B點，這條繩子的長度最短值為5，則此圓錐的表面積為（

）

A．π B．54π C．32【變式22】（2023·浙江溫州·高二統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知一個圓臺的上底面半徑為2，下底面的半徑為5，其側(cè)面積為35π，則該圓臺的體積為（

A．208π B．156π C．104π【變式23】（2023上·遼寧·高三校聯(lián)考期中）如圖，在圓錐PO中，用一個平行于底面的平面去截圓錐PO，可得一個圓錐PO1和一個圓臺O1O，若圓錐PO1的體積是圓錐PO體積的18A．12 B．14 C．23【題型3球的表面積與體積】【例3】（2023下·陜西西安·高一期中）兩個球表面積的比為1:4，則體積的比為（

）A．1:2 B．1:4C．1:8 D．不確定【變式31】（2023上·上海·高二專題練習(xí)）若兩球的體積之和是12π，經(jīng)過兩球球心的截面圓周長之和為6π，則兩球的半徑之差為（A．1 B．2 C．3 D．4【變式32】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）將一個底面半徑為3，高為4的圓柱形鐵塊熔化為鐵水，恰好制成一個實心鐵球，則該實心鐵球的半徑是（

）A．2 B．3 C．4 D．6【變式33】（2023上·四川南充·高二?？茧A段練習(xí)）如圖所示是古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻著一個圓柱，圓柱內(nèi)有一個內(nèi)切球，這個球的直徑恰好與圓柱的高相等，相傳這個圖形表達了阿基米德最引以為自豪的發(fā)現(xiàn)．我們來重溫這個偉大發(fā)現(xiàn)，圓柱的表面積與球的表面積之比為（

）A．65 B．54 C．32【題型4組合體的表面積與體積】【例4】（2023上·山東濱州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）我國有著豐富悠久的“印章文化”，古時候的印章一般用貴重的金屬或玉石制成，是過去官員或私人簽署文件時代表身份的信物。圖1是明清時期的一個金屬印章擺件，除去頂部的環(huán)以后可以看作是一個正四棱柱和一個正四棱錐組成的幾何體，如圖2．已知正四棱柱和正四棱錐的高相等，且正四棱錐的底面邊長為4，側(cè)棱長為23，則該幾何體的體積是（

A．32 B．643 C．1283【變式41】（2023上·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）中國是瓷器的故鄉(xiāng)，“瓷器”一詞最早見之于許慎的《說文解字》中．某瓷器如圖1所示，該瓷器可以近似看作由上半部分圓柱和下半部分兩個圓臺組合而成，其直觀圖如圖2所示，已知圓柱的高為18cm，底面直徑AB=12cm，CD=20cm，EF=14cm，中間圓臺的高為3cmA．375πcm2 B．377πcm2【變式42】（2023·陜西安康·校聯(lián)考模擬預(yù)測）陀螺是中國民間最早的娛樂工具之一，如圖所示，某陀螺可以視為由圓錐SO和圓柱OO1組合而成，點M,N在圓錐SO的底面圓周上，且△SMN的面積為7,sin∠MSN=74，圓錐SOA．40π3 B．44π3 C．【變式43】（2023上·湖北·高二荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）貫耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如圖所示的青花折枝花卉紋六方貫耳瓶是清乾隆時期的文物，現(xiàn)收藏于首都博物館，若忽略瓶嘴與貫耳，把該瓶瓶體看作3個幾何體的組合體，上面的幾何體Ⅰ是直棱柱，中間的幾何體Ⅱ是棱臺，下面的幾何體Ⅲ也是棱臺，幾何體Ⅲ的下底面與幾何體Ⅰ的底面是全等的六邊形，幾何體Ⅲ的上底面面積是下底面面積的9倍，若幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分別為3:3:5，則幾何體Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的體積之比為（

）

A．3:9:25 B．9:21:35 C．3:39:65 D．9:39:65【知識點2球的截面、幾何體與球的切、接問題】1．球的截面(1)球的截面形狀

①當(dāng)截面過球心時，截面的半徑即球的半徑，此時球的截面就是球的大圓；

②當(dāng)截面不過球心時，截面的半徑小于球的半徑，此時球的截面就是球的小圓.

(2)球的截面的性質(zhì)

①球心和截面圓心的連線垂直于截面；

②球心到截面的距離d與球的半徑R及截面的半徑r之間滿足關(guān)系式：.

圖形解釋如下：

在球的軸截面圖中，截面與球的軸截面的關(guān)系如圖所示.若設(shè)球的半徑為R，以O(shè)'為圓心的截面的半徑為r，OO'=d.則在Rt△OO'C中，有，即.2．幾何體與球的切、接問題常見的與球有關(guān)的組合體問題有兩種：一種是內(nèi)切球，另一種是外接球.

常見的幾何體與球的切、接問題的解決方案：【題型5球的截面問題】【例5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實踐課時，制作了一個工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個球被一個棱長為43的正方體的六個面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個截面圓的周長為4π，則該球的體積是（A．256π3 B．64π C．16【變式51】（2023上·湖北荊州·高三沙市中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三棱錐A?BCD的四個頂點都在表面積為20π的球O上，點A在平面BCD的射影是線段BC的中點，AB=BC=23，則平面BCD被球O截得的截面面積為（A．23π C．4π D．【變式52】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知三棱錐P?ABC滿足PA⊥底面ABC，在△ABC中，AB=6，AC=8，AB⊥AC，D是線段AC上一點，且AD=3DC，球O為三棱錐P?ABC的外接球，過點D作球O的截面，若所得截面圓的面積的最小值與最大值之和為44π，則球O的表面積為（

A．72π B．86π C．112π D．128π【變式53】（2023下·浙江·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在三棱錐A?BCD中，AB,BC,BD兩兩垂直，且AB=BC=BD=4，半徑為1的球O在該三棱錐內(nèi)部且與面ABC?面ABD?面BCD均相切.若平面α與球O相切，則三棱錐A?BCD的外接球被平面α所截得的截面面積的最小值為（

）A．8+23π B．6+23π C．【題型6幾何體與球的切、接問題】【例6】（2023上·上海閔行·高二?？计谀┪覈糯鷶?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》，將底面為矩形且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為“陽馬”.如圖所示，在長方體ABCD?A1B1C(1)求證：四棱錐D1(2)求該“陽馬”D1【變式61】（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖所示，在棱長為1的正方體內(nèi)有兩個球相外切且分別與正方體內(nèi)切，求兩球半徑之和.【變式62】（2023上·江西景德鎮(zhèn)·高二校考期中）已知圓錐的頂點為P，母線PA,PB所成角的余弦值為14，軸截面等腰三角形的頂角為90°，若△PAB的面積為(1)求該圓錐的側(cè)面積；(2)求圓錐的內(nèi)切球體積．【變式63】（2023下·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）《九章算術(shù).商功》中，將四個面都是直角三角形的四面體稱為鱉臑；在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥CD，且AB=BC=CD=1，求

(1)四面體ABCD的表面積；(2)四面體ABCD內(nèi)切球半徑；(3)四面體ABCD外接球的表面積．【題型7實際應(yīng)用問題】【例7】（2023上·上海·高二期中）某種“籠具”由內(nèi)，外兩層組成，無下底面，內(nèi)層和外層分別是一個圓錐和圓柱，其中圓柱與圓錐的底面周長相等，圓柱有上底面，制作時需要將圓錐的頂端剪去，剪去部分和接頭忽略不計，已知圓柱的底面周長為24πcm，高為30cm，圓錐的母線長為20cm

(1)求這種“籠具”的體積（結(jié)果精確到0.1cm(2)現(xiàn)要使用一種紗網(wǎng)材料制作50個“籠具”，該材料的造價為每平方米8元，共需多少元？【變式71】（2023·全國·高一隨堂練習(xí)）用鐵皮裁剪成兩個圓和一個長方形，焊成一個體積固定的圓柱體容器(1)為使用料最省，應(yīng)如何設(shè)計這個圓柱體？(2)為使接縫線最短，應(yīng)如何設(shè)計這個圓柱體？【變式72】（2023下·山東青島·高一?？计谥校┤鐖D，某種水箱用的“浮球”是由兩個半球和一個圓柱筒組成，已知半球的直徑是6cm，圓柱筒長2

(1)這種“浮球”的體積是多少cm3(2)要在100個這樣的“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方厘米需要涂膠20克，那么共需涂膠約多少克?【變式73】（2023上