第23講特殊四邊形?矩形

錄

題型01利用矩形的性質(zhì)求角度

題型02利用矩形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)

題型03利用矩形的性質(zhì)求而積

題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明

題型06矩形的判定定理的理解

題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形

題型08證明四邊形是矩形

題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度

題型10根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線(xiàn)段長(zhǎng)

題型11根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求面枳

題型12根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問(wèn)題

題型13與矩形有關(guān)的新定義問(wèn)題

題型14與矩形有關(guān)的規(guī)律探究問(wèn)題

題型15與矩形有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

題型16矩形與一次函數(shù)綜合

題型17矩形與反比例函數(shù)綜合

題型1R矩形與一次函數(shù)綜合

題型19與矩形有關(guān)的折福問(wèn)題

真題實(shí)戰(zhàn)練

題型過(guò)關(guān)練N

題型01利用矩形的性質(zhì)求角度

1.(2023?山東臨沂?統(tǒng)考二模)兩個(gè)矩形的位置如圖所示,若41=e則22=()

A.a-90°B.a-45°C.180°-aD.270°-a

【答案】C

【分析】用三角形外角性質(zhì)得到Z3=Z1-90°=?-90°,用余角的定義得到N2=9O0-/3=1

【詳解】解：如圖,Z3=Zl-900=a-9D°,

Z2=9O°-Z3=18O0-a.

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形，三角形外角，余角，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形的角的性質(zhì)，三角

形的外角性質(zhì)，互為余角的定義.

2.(2023?廣東深圳??？家荒?如圖，在矩形HBCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與8。相交于點(diǎn)。，已知NACB=25。，則

“OB的大小是()

A.130°B.65°C.50°D.25°

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】解：???矩形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC,8。相交于點(diǎn)0,

：,0A=OC=^AC,OB=0D=3BD,AC=BD,

：?0B=0C,

：.￡0BC=Z.ACB=25°,

：,z.A0B=Z.0BC+Z.ACB=250+25°=50%

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是

解題的關(guān)鍵.

3.(2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？家荒?如圖，在矩形48co中，E、尸為AC上一點(diǎn)，AE=AD,AF=

CE,連接DE、BF,若乙CAD=a,則乙BFE的度數(shù)為()

a

A.90。-為2B.90。-為2C.D.900-a

【答案】B

【分析】先證明=即可得出｛0=4￡=。/=8。，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出44。8=乙。4。=訪(fǎng)最

后根據(jù)等邊對(duì)等角即可求解.

【詳解】解：??NF=CE，

：,EF+AF=EF+CE,即力￡=CF,

???四邊形48C0為矩形，

：,AD=BC,ADWC,

Z.ACB=Z.CAD=a,

'：AE=AD,

：.AD=AE=CF=BC,

：,AD=AE=CF,

AzfiFE=1（1800-a）=90°-1a,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，和等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形對(duì)邊平行「L相等，等

腰三角形”等邊時(shí)等角”.

4.（2023?重慶九龍坡?重慶市楊家坪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在矩形A8C0中，AD=2AB,以力8為邊在

矩形內(nèi)作等邊△48E,延長(zhǎng)8E交4D于點(diǎn)R連接C巴則NO/T的度數(shù)為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到?W=BC,LBAD=LABC=90°,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)推出乙4FB二

30°,^CBF=30°,再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到8尸=8C,即可求出=乙8。尸=

75。，再由平角的定義即可得到答案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，

：.AD=BC,Z.BAD=4ABC=90。，

?.?△48E是等邊三角形，

：.Z.ABF=60°,

：.Z-AFB=30°,Z.CBF=30°,

：.BF=2AB,

'：AD=2AB,AD=BC,

：.BF=BC,

工乙BFC=Z.BCF=18。""-=75。，

2

:.乙DFC=180°-Z.AFB-乙BFC=75。，

故選C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，含30度角的直角

三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，證明BF=BC是解題的關(guān)鍵.

題型02利用矩形的性質(zhì)求線(xiàn)段長(zhǎng)

5.（2022?廣東廣州?執(zhí)信中學(xué)?？级＃┤鐖D，矩形A8C。的對(duì)角線(xiàn)AC的垂直平分線(xiàn)分別交A。、AC、BC

于點(diǎn)E、O、F,若｛8=12,BC=16,則E”的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AO=CO,NAOE=NCO匕根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)得出NEAO=NFCO,根據(jù)ASA推

出△AEOgAC”。，由全等得到。后。凡推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)以二LAC即可推出四邊形是菱

形，根據(jù)垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)得出AF=CA根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論.

【詳解】連接八凡CE,

?.?E/是4c的垂直平分線(xiàn)，

：.AO=CO,ZAO￡=ZCOF=90°,

;四邊形A3CD是矩形，

：.AD//BC,

:.ZEAO=ZFCO,

在△4石0和4O中，

Z.EAO=Z.FC0

AO=CO,

^AOE=COF

(ASA),

:.OE=OF,

V.\'OA=OC,

???四邊形AEC「是平行四邊形,

'：EFLAC,

，平行四邊形AECE是菱形，

：.AE=CE,

設(shè)AE=CE=x,

???E/是AC的垂直平分線(xiàn)，

**?AE=CE=x,DE=16-A,

在R&CDE中,CD2+DE2=AE2,

1224-(16-X)2=X2,

解得x=T，

"：AC=7AB2+8c2=,122+162=20,

：.AO=)C=1O,

：.OE=，4勿一的二?

???夕=20￡=15,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全筆三角形的判定和性質(zhì)，證得四邊形

AECF是菱形是解題的關(guān)鍵.

6.(2023?安徽滁州??？家荒！啡鐖D，兩點(diǎn)E,尸分別在矩形力8C。的4。和CO邊上，48=6,AD=8,

乙BEF=90°,且8E=E",點(diǎn)M為8F的中點(diǎn)，則ME的長(zhǎng)為()

A.-B.2V5C.3V2D.-V10

22

【答案】B

【分析】證明△48E得出CF=4,勾股定理得出"B=4V1根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于

斜邊的一半即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形48co是矩形,

：.LA=zD=90°,AB=CD=6,BC=AD=8

又上BEF=90。，

：,Z-ABE=90°-乙BEA=乙FED、

又BE=EF,

???△ABE=△DEF(AAS),

：.ED=AB=6

*：AD=8,

：.DF=AE=2,

：,CF=4

在RtABC尸中，F(xiàn)B=4通，

??,點(diǎn)M為BF的中點(diǎn),Z.BEF=90%

：.ME=涉=2遮

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾設(shè)定理，全等三角形的性質(zhì)與判定，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等于斜

邊的一半，得出FB=4遍是解題的關(guān)鍵.

7.(2022?江西?模擬預(yù)測(cè))如圖，矩形4BCD的對(duì)角線(xiàn)4C,8D相交于點(diǎn)。,DE//AC,CE//BD.若AC=

【分析】首先山四邊形A6C7是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，易得OC=OO=5,山CE〃/。，DE//AC,可證得

四邊形C。/*是平行四邊形，又可判定四邊形C。/"是菱形，繼而求得答案.

【詳解】解：:四邊形ABC。是矩形，

???AC=8O=10,OA=OC,OB=OD,

：?0C=0D=LBD=5,

2

yDE/ZAC,CE//BD.,

，四邊形CODE是平行四邊形，

?：OC=OD=5,

???四邊形CODE是菱形，

???四邊形CODE的周長(zhǎng)為：400=4x5=20.

故答案為20.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì).此題難度不大，注意證得四邊形是菱形是解

題關(guān)鍵.

8.（2023?山東棗莊?校聯(lián)考二模）如圖，矩形48C。中，AB=6,AO=4,點(diǎn)E、”分別是A8、DC上的幼

點(diǎn)，EF〃BC,則4F+CE的最小值是.

【答案】10

【分析】延長(zhǎng)BC到G,使CG=EF連接尸G,證明四邊形EFGC是平行四邊形，得出C￡=FG,得出當(dāng)

點(diǎn)A、F、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，A尸十CE的值地小，根據(jù)勾股定理求出AG即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)8c到G,使CG=EF,連接產(chǎn)G,

VFF||CG,EF=CG,

???四邊形EFGC是平行四邊形,

：.CE=FG,

：,AF+CE=AF+FG,

，當(dāng)點(diǎn)A、尸、G三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，4"CE的值最小為AG,

由勾股定理得，AG=?AB2+8G2=J62+（4+4/=6,

???AF+CE的最小值為10,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線(xiàn)，得出當(dāng)人、尸、G三

點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，ARCE的值最小，足解題的關(guān)鍵.

題型03利用矩形的性質(zhì)求面積

9.（2023?浙江溫州?模擬預(yù)測(cè)）如圖是一個(gè)由5張紙片拼成的團(tuán)4BCD,相鄰紙片之間互不重疊也無(wú)縫隙，

其中兩張等腰宜角三角形紙片的面積都為SI，另兩張直角三角形紙片的面積都為S2,中間?張矩形紙片

EFGH的面枳為S3,FH與GE相交于點(diǎn)。.當(dāng)△力50公8尸0公“04。"0的面積相等時(shí)，下列結(jié)論一定成

立的是（）

A.SA=S2B.Si=$3C.AB=ADD.EH=GH

【答案】A

【分析】根據(jù)△4E。和△BCG是等腰直角三角形，四邊形4BCO是平廳四邊形，四邊形"EFG是矩形可

得出AE=OE=8G=CG=mHE=GF,GH=EF,點(diǎn)O是矩形H￡FG的中心，i5AE=DE=BG=CG=a,

HE=GF=b,GH=EF=c,過(guò)點(diǎn)。作OP_LE/于點(diǎn)P,OQ_LG尸于點(diǎn)Q,可得出OP,OQ分別是△"/￡：和

△EG廠的中位線(xiàn)，從而可表示OP,O。的長(zhǎng)，再分別計(jì)算出工，$2,S3進(jìn)行判斷即可

【詳解】解：由題意得，和△BCG是等腰直角三角形，

：,z.ADE=/.DAE=乙BCG=Z-GBC=45°

V四邊形ABCD是平行四邊形，

:,AD=BC,CD=AB,/ADC=/ABC,NBAD=NDCB

：.ZHDC=ZFBA,ZDCH=ZBAF,

.?.△AEgACGB,△CDH^ABF

：.AE=DE=BG=CG

?.?四邊形〃EFG是矩形

:.GH=EF,HE=GF

設(shè)AE=OE=8G=CG=〃，HE=GF=b,GH=EF=c

過(guò)點(diǎn)。作O尸尸于點(diǎn)P,OQ_LG/干點(diǎn)Q,

J.OP//HE,OQ//EF

,/點(diǎn)O是矩形HEFG的對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，即HF和EG的中點(diǎn)，

；.OP,OQ分別是和AEG尸的中位線(xiàn)，

：

.OP=-2HE=-2h,OQv=-2FF=-2c

?:SA3OF=；?OQ=；(a-b)XIc=i(a-b)c

S6AOE=\AE-OP=|ax|b=^ab

:SABOF=S440E

，：(a-b)c=：ab,EPac-be=ab

而$=SAAED~\AE'DE~

S2=SAAFB=§力尸?BF=1(a+c)(a-b)=^(a2-ab+ac-be)=(a2-ab+ab)=；a2

所以，S]=S2，故選項(xiàng)A符合題意，

22z

S3=HE-EF=(a-b)(a+c)=a-be—ab+ac=a-Vab-ab=a

:$*S3,故選項(xiàng)8不符合題意，

而=力。于=GH都不一定成立，故C,D都不符合題意，

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的面枳等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是求出S/,S2,S3之間的關(guān)

系.

10.（2022?內(nèi)蒙古包頭?包頭市第二十九中學(xué)?？既＃┤鐖DI,動(dòng)點(diǎn)尸從矩形A8C。的頂點(diǎn)A出發(fā)，在邊

AB,8C上沿的方向，以Icm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,△4PC的面積S(cm2)隨運(yùn)動(dòng)時(shí)間/

(s)變化的函數(shù)圖象如圖2所示，則A8的長(zhǎng)是()

圖I圖2

A.-cmB.3cmC.4cmD.6cm

2

【答案】B

【分析】由圖象2可知，點(diǎn)尸從3到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s,則由動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度可求出8c的長(zhǎng)，再根據(jù)

圖象可知448C的面積為6cm2,即可利用面積公式求解此題.

【詳解】解：???動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)到B的過(guò)程中，S隨，的增大而增大，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)到C的過(guò)程

中，S隨/的增大而減小.

???觀察圖象2可知，點(diǎn)。從8到C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為4s,

???點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)速度為lcm/s,

：.BC=M=4(cm),

當(dāng)點(diǎn)P在直線(xiàn)AB上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)8時(shí)，△4PC的面積最大，

,由圖象2得:A4PC的面積6cm2,

:?S&ABC=鼻48?BC=6?

.".AB=3cm.

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題的函數(shù)圖象，解決本題應(yīng)首先看清橫軸和縱軸表示的量.要求能根據(jù)函數(shù)圖

象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論.

II.(2022?廣東廣州?統(tǒng)考二模)如圖,矩形4BCD的對(duì)角線(xiàn)4c與BD交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作0E1BD,交力B于

點(diǎn)、E,過(guò)點(diǎn)E作EF1/IC,垂足為F,AC=10,EF=1.05,OE=3.75,則矩形4BCC的面積為.

【答案】48

【分析】先證明04=OB=0C=0D=5,S矩形ABCD=4s4OB，從而可得答案.

【詳解】解：?:矩形力BCD,AC=10,

=OB=0C=0D=5,S矩形/Be。=4s“。8,

EF=1.05,0E=3.75,0E1BD,EF1AC,

???5AA00=gx5x1.05+|x5x3.75=12,

二S矩形4BCD=4SAAOB=48.

故答窠為:48

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的性質(zhì)，常握“矩形的對(duì)角線(xiàn)相等f(wàn)l互相平分”是解本題的關(guān)鍵.

12.（2022.四川成都.統(tǒng)考二模）已知矩形的長(zhǎng)和寬分別為〃和〃，如果存在另外一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)和面

枳分別是已知矩形的三分之一，則。，〃應(yīng)該滿(mǎn)足的條件為—.

【答案】a2+b2>IQab

【分析】因?yàn)榫匦蔚拈L(zhǎng)和寬分別為a、b,所以其周長(zhǎng)和面積分別為2（a+份和〃兒設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為工，則

寬為：（a+0）-x，其面積為拈（。+〃）司，根據(jù)題意得：.拈（。+〃）?小*加，因?yàn)榇嬖诹硗庖粋€(gè)矩形，使它的周長(zhǎng)

和面積分別是已知矩形的三分之一，故該方程有解，BPA>0,得出不等式即可求解.

【詳解】解：設(shè)所求矩形的長(zhǎng)為X，如寬為我+歷-X,其面積為布（什比㈤，

（5?5

根據(jù)題意得：x[*+b）?x]=。,

即—?]3+6）工+[。6=0?

???存在該矩形，使它的周長(zhǎng)和面枳分別是已知矩形的三分之一

，方程有解,

2

△=[1（?+b）j-4x

=押+]助+：匕2二m

9993

52

=9-a-9—ab+9-b^0

.,.a2-10ab+b2>0

.t.a2+b2>lOab

故答案為:a2+b2>IQab.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程解的判別式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意，列出方程,把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求4的

問(wèn)題.

13.(2022?廣東陽(yáng)江?統(tǒng)考一模)已知矩形ABCO中，E是A。邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)FG,〃分別是8G

BE,CE的中點(diǎn).

(1)求證：△BGaAFHC；

(2)設(shè)當(dāng)四邊形EGFH是正方形時(shí)，求矩形八8c。的面積.

【答案】見(jiàn)解析(7)》2

【分析】(1)根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理和全等三角形的判定證明即可；

(2)利用正方形的性質(zhì)和矩形的面積公式解答即可.

【詳解】(1)連接E凡丁點(diǎn)足G,，分別是8C,BE,CE的中點(diǎn)，

:.FHHBE,FH=^BE,FH=BG,

:.ZCFH=ZCBG,

*/BF=CF,

:.ABGaAFHC,

(2)當(dāng)四邊形EGF//是正方形時(shí)，連接G”,可得：EF上GH且EF=GH,

???在△BEC中，點(diǎn)G,〃分別是BE,CE的中點(diǎn),

：.GH=^BC=^AD=：a,且GH//BC,

：,EF1BC,

■:AD/1BC,AB上BC,

：.AB=EF=GH=-a,

2

；?矩形ABCD的面積=48-AD=-a=1a2.

【點(diǎn)睛】此題考查正方形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)全等三角形的判定和正方形的性質(zhì)解答.

題型04求矩形在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)

14.(2023?天津?模擬預(yù)測(cè))在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形A8CD如圖所示,做一6,2),8(2,2),C(2,—3),則點(diǎn)

A.(—6,3)B.(3,—6)C.(—6,—3)D.(—3,—6)

【答案】C

【分析】根據(jù)長(zhǎng)方形的性質(zhì)求出點(diǎn)。的橫、縱坐標(biāo)即可獲得答案.

【詳解】解：???四邊形48co為長(zhǎng)方形，

：.AB\\CD,ADWC,

??F(-6,2),B(2,2),C(2,-3),

???點(diǎn)0的橫坐標(biāo)與點(diǎn)4相同，為一6,

點(diǎn)D的縱坐標(biāo)與點(diǎn)C相同，為一3,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-6,-3).

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是利用矩形“對(duì)力平行且相等''的性質(zhì)解決問(wèn)題.

15.(2022?河南安陽(yáng)?統(tǒng)考一模)如圖,矩形4BCD的頂點(diǎn)力(1,0),D(0,2),8(5,2),將矩形以原點(diǎn)為旋轉(zhuǎn)中

心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)75。之后點(diǎn)。的坐標(biāo)為()

A.（4,-2）B.（4企,-20）C.（45/2,-2）D.（2傷,一2企）

【答案】D

【分析】過(guò)點(diǎn)B作8G_Lx軸于G,過(guò)點(diǎn)C作C〃_Ly軸于，，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到點(diǎn)C的坐標(biāo)，求出

NCOE=45。，OC=4V2,過(guò)點(diǎn)C作CE_Lx軸于&過(guò)點(diǎn)。作C/F_Lx軸于凡由旋轉(zhuǎn)得NC0O75。，求出

NCQF=30。，利用勾股定理求出。凡即可得到答案.

【詳解】解：過(guò)點(diǎn)8作8G_Lx軸于G過(guò)點(diǎn)。作C”J_y軸于，，

;四邊形A8C。是矩形，

：.AD=BC,AB=CD,AD\\8C,NCO4=NOA8=90°,

:.ZHCD=ZADO=ZBAG,

?:NC〃O=NBGA=90。，

:.ACHgAAGB(AAS),

??,4(1,0),D(0,2),8(5,2),

：,CH=AG=5-\=4,DH=BG=2,

??.O”=2+2=4,

：.C(4,4),

：?OE=CE=4,

：.ZCOE=45°,OC=4V2,

如圖，過(guò)點(diǎn)。作CE_Lx軸于E,過(guò)點(diǎn)。作C/F_Lx軸于凡

由旋轉(zhuǎn)得NCOC=75。,

:.ZCiOF=30°,

???。/號(hào)。。=翔。=2&,

22

：.OF=yj0C1-C1F=2V6,

???點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2遍,一2⑹,

【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形30度角的性質(zhì)，熟記各知識(shí)點(diǎn)并

綜合應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

16.（2020?吉林?統(tǒng)考一模）如圖，矩形O48C的頂點(diǎn)4在x軸上，點(diǎn)6的坐標(biāo)為（1,2）.固定邊OA,向

【答案】A

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出。*的長(zhǎng)，得到點(diǎn)U的坐標(biāo).

【詳解】解：:四邊形OABC是矩形，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（1,2）,

：.O\=\,AB=2,

由題意得：AB'=AB=2,四邊形048C是平行四邊形，

：.OB'=y/AB,2-OA2=V22-I2=0B'C=OA=1,

???點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C'的坐標(biāo)為（一1,⑹.

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)坐標(biāo)的求解和矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)求出線(xiàn)段長(zhǎng)從而得到點(diǎn)坐

標(biāo).

17.(2022?遼寧鐵嶺?統(tǒng)考一模)如圖，點(diǎn)。是矩形A8C。的對(duì)稱(chēng)中心，點(diǎn)4(6,0),C(0,4),經(jīng)過(guò)點(diǎn)。的反比

例函數(shù)的圖象交48于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

【答案】(6,1)

【分析】先求得D點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法求得反比例函數(shù)的解析式，把％=6代入解析式即可求得

點(diǎn)PBJ坐標(biāo).

【詳解】解：???點(diǎn)。是矩形ABCO的對(duì)稱(chēng)中心，

???點(diǎn)D是矩形0/18C的對(duì)角線(xiàn)力。的中點(diǎn)，

又???4(6,0),C(0,4),

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(3,2).

??,反比例函數(shù)y=B的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)。，

k=3x2=6,

6

???y=7

把x=6代入得，y=抵=1,

6

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(6,1).

故答案為：(6.1).

【點(diǎn)睛】本題考壹了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，矩形的性質(zhì)，待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，

求得點(diǎn)。的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.

題型05根據(jù)矩形的性質(zhì)證明

18.(2023?山東德州?統(tǒng)考三模)如圖，矩形為8CC中，點(diǎn)E在DC上，DE=BE,AC與8D相交于點(diǎn)O.BE

馬4:相交于點(diǎn)F.

(I)若BE平分乙CBD,求證：BFLAC；

(2)找出圖中與A08尸相似的三角形，并說(shuō)明理由；

(3)若OF=3,EF=2,求DE的長(zhǎng)度.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

(2)AECF,△8力尸與408尸相似,理由見(jiàn)解析

(3)3+V19

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)和角平分線(xiàn)的定義即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)判定兩個(gè)三角形相似的判定定理，找到相應(yīng)的角度相等即可得出；

(3)根據(jù)ZkOB尸s/kECF得出304=28F+9,根據(jù)△OBFB/1F得出8F?=3(04+3),聯(lián)立方程組求

解即可.

【詳解】(1)證明：如圖所示：

AB

?.?四邊形力SCO為矩形，

???Z.2=Z3=Z4?

DE=BE,

?%zl=z2

???z.1=z3>

又???平分N08C,

:.z.1=z6?

???z3=z6?

又...乙3與乙5互余，

???46與45互余，

BF1ACi

(2)解：△ECF,△84尸與△。8尸相似.

理由如下：

???z.1=z2,z2=44,

:.zl=z4,

又???乙。/8=乙BFO,

???△0BFBAF,

v41=43,(OFB=乙EFC,

QBFs△:ECF\

(3)解：???△OBF"ECF,

.竺_生

"'OF~'BP,

2CF

3BF

???3CF=2BF,

???在矩形48co中對(duì)角線(xiàn)相互平分，圖中04=OC=0F+FC=3+FC,

:.30A=2BF+9①，

???△OBFBAF,

:.O一F=一BF,

BFAF

BF2=OFAF,

???在矩形ABCO中/lb=0A+OF=0A+3,

:.BF2=3(04+3)②，

由①@,得8?=l±g(負(fù)值舍去)，

DE=BE=2+1+V19=3+719.

【點(diǎn)睛】本題考查矩形綜合問(wèn)題，涉及到矩形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的性質(zhì)、角度的互余關(guān)系、兩個(gè)三角形相

似的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握兩個(gè)三角形相似的判定與性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.

19.(2023?安徽合肥??？家荒?如圖，在矩形八8CO中，AC是對(duì)角線(xiàn).

(1)實(shí)踐與操作：利用尺規(guī)作線(xiàn)段4c的垂直平分線(xiàn)，垂足為點(diǎn)。，交邊AD于點(diǎn)E,交邊于點(diǎn)尸(要

求：尺規(guī)作圖并保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法，標(biāo)明字母)，

(2)猜想與證明：試猜想線(xiàn)段AE與CF的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【答案】(1)作圖見(jiàn)解析

(2)AE=CF,證明見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖的畫(huà)法,分別以A、C為圓心，以大于I。的K:為半徑畫(huà)孤，交

于兩點(diǎn)，過(guò)兩點(diǎn)作直線(xiàn)即可得到線(xiàn)段AC的垂直平分線(xiàn).

(2)利用矩形及垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，可以證得△/IE。三△CFO,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)解:如圖,

(2)解：AE=CF.證明如下：

V四邊形A8C。是矩形，

：.AD\\BC.

：.LEAO=LFCO,乙AEO=^CFO.

???Er為AC的垂直平分線(xiàn)，

：.OA=OC.

??△AEO—△CFO.

：,AE=CF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂直平分線(xiàn)的尺規(guī)作圖的畫(huà)法、矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).

20.（2022?湖南株洲?統(tǒng)考一模）如圖，已知矩形A8C。中，對(duì)角線(xiàn)AC相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)A作

AEWBD,交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E.

（1）求證：AE=AC；

（2）若cos/E=|,CE=12,求矩形A8CO的面積.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）矩形ABC。的面積為48

【分析】（I）由矩形的性質(zhì)，可得AC=3D,4DH5C,故可證四邊形AE6Z）是平行四邊形，從而得出

AC=AE的結(jié)論：

（2）首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到EB的長(zhǎng)，然后利用銳角三角函數(shù)求得AE的長(zhǎng)，從而利用勾股定理

求得A3的長(zhǎng),最后求得面積即可.

【詳解】（1）證明：在矩形4BC。中，AC=BD,A1WC,

又，：AE||BD,

???四邊形AE5。是平行四邊形，

:.BD=AE,

:.AC=AEt

（2）解：在矩形A4CQ中，Z.ABC=90°

:?AB工EC,

'：AE=AC,

:,EB=BC,

VCE=12,

.?.止6,

???cosz，E口=—EB=3

AE5

???心10,

由勾股定理得：48=2102-62=8.

???矩形ABCD的面積為8x6=48.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)等知識(shí).解此題的

關(guān)鍵是能靈活運(yùn)用矩形的性質(zhì)，以及能利用銳角三角函數(shù)求線(xiàn)段.

21.(2023?重慶沙坪壩?重慶一中?？家荒?如圖，四邊形/8CD為矩形，4C為矩形的一條對(duì)角線(xiàn).

(I)用尺規(guī)完成以卜基本作圖：在48的左側(cè)作乙￡48=乙4。。，射線(xiàn)力E與C8的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)￡連接OE與

AB交于點(diǎn)色(保留作圖痕跡，不寫(xiě)做法，不下結(jié)論)

(2)小亮判斷點(diǎn)尸為線(xiàn)段。E的中點(diǎn).他的證明思路是：利用矩形的性質(zhì)，先證明△AEC為等腰三角形，從而

得到點(diǎn)8為EC的中點(diǎn)，再利用三角形全等，得到點(diǎn)尸為。E的中點(diǎn).請(qǐng)根據(jù)小亮的思路完成卜面的填空：

證明：???四邊形4BCD為矩形

：.AD=BC,/.ABC=/.BAD=90°,AB||DC,

'：AB||DC,

A?,

'：Z-EAB=Z.ACD,

：.Z.EAB=Z.BAC,

=90°,

:,乙ABE=90°,

??.乙BHC+乙/C8=90°,/.EAB+Z.AEB=90°,

?,?②,

：.AE=AC,

,：Z-ABC=90°,

：.AB1BC,

\'AD=BC,

：.AD=BE,

,：Z-BAD=/.ABE=90°,Z/1FD=乙BFE,

A?(AAS),

：,EF=FD,

???點(diǎn)尸為ED的中點(diǎn).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)(5/-BAC=Z.ACD,@Z.AEC=Z.ACE,?BE=BC,?AADFSABEF

【分析】(1)過(guò)點(diǎn)A作乙￡48=乙4。小交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)￡連接DE與4B交于點(diǎn)尸；

(2)利用矩形的性質(zhì)，先證明△/IEC為等腰三角形，從而得到點(diǎn)3為EC的中點(diǎn)，再利用

FEF(AAS),得到點(diǎn)尸為DE的中點(diǎn).

【詳解】(1)解：如圖所示，點(diǎn)E和點(diǎn)尸即為所求，

(2)證明：?.?四邊形/1BCD為矩形

：.AD=BC,/.ABC=/.BAD=90°,AB||DC,

'：AB||DC,

*.LBAC=Z.ACD,

\'z.EAB=Z.ACD,

：.z.EAB=Z.BAC,

?.Z8C=90°,

，乙4BE=90。,

：.Z-BAC->(■Z-ACB=90°,Z.EAB+Z.AEB=90°,

C.Z.AEC=Z.ACE,

：.AE=AC,

,：/.ABC=90°,

：,AB1BC,

：.@BE=BC,

'：AD=BC,

：.AD=BE,

*：z.BAD=乙ABE=90°,Z-AFD=MFE,

??.④A/IDF三△BEF（AAS）,

???EF-FD,

，點(diǎn)尸為E0的中點(diǎn).

故答案為：LBAC=Z.ACD,"EC=tACE,BE=BC,AADF"BEF.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了尺規(guī)作圖，矩形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是按照題目要求作圖，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用.

題型06矩形的判定定理的理解

22.（2023?山東德州?統(tǒng)考二模）要檢驗(yàn)一個(gè)四邊形的桌面是否為矩形，可行的測(cè)量方案是（）

A.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線(xiàn)是否相等

B.度量?jī)蓚€(gè)角是否是90。

C.測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否相等

D.測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否分別相等

【答案】C

【分析】由對(duì)角線(xiàn)的相等不能判定平行四邊形，可判斷A,兩個(gè)角為9D。不能判定矩形，可判斷B,對(duì)角線(xiàn)

的交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，可判斷矩形，從而可判斷C,由兩組定邊分別相等判斷的是平行四邊形，

可判斷D,從而可得答案.

【詳解】解：A、測(cè)量?jī)蓷l對(duì)角線(xiàn)是否相等，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)A不符

合題意：

B、度量?jī)蓚€(gè)角是否是90。，不能判定為平行四邊形，更不能判定為矩形，故選項(xiàng)B不符合題意：

C、測(cè)量對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)到四個(gè)頂點(diǎn)的距離是否都相等，可以判定為矩形，故選項(xiàng)C符合題意；

D、測(cè)量?jī)山M對(duì)邊是否相等，可以判定為平行四邊形，故選項(xiàng)D不符合題意；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查的是矩形的判定，掌握“矩形的判定方法”是解本題的關(guān)鍵.

23.（2022?河南新鄉(xiāng)??？家荒＃┤绻槾芜B接四邊形的各邊中點(diǎn)得到的四邊形是矩形，那么原來(lái)四邊形的

對(duì)角線(xiàn)一定滿(mǎn)足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【分析】由于順次連接四邊形各邊中點(diǎn)得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連接對(duì)角

線(xiàn)互相垂直的四邊形各邊的中點(diǎn)所得四邊形是矩形.

根據(jù)題意畫(huà)出圖形如下：

答：AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直.

證明：?.?四邊形EFGH是矩形，

.??ZFEH=90°,

又???點(diǎn)E、F、分別是AD、AB、各邊的中點(diǎn)，

AEF是三角形ABD的中位線(xiàn)，

???EF〃BD,

:.ZFEH=ZOMH=90°,

又???點(diǎn)E、H分別是AD、CD各邊的中點(diǎn)，

AEH是三角形ACD的中位線(xiàn)，

AEH/7AC,

:.ZOMH=ZCOB=90°,

即AC_LBD.

故選C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形的判定定理，畫(huà)出圖形進(jìn)而應(yīng)用平行四邊形的判定以及矩形判定是解決問(wèn)題

的關(guān)鍵.

24.（2022?江蘇南京?南京市第一中學(xué)?？家荒＃┘褐倪呅蜛BCO的對(duì)角線(xiàn)AC,BD交于點(diǎn)、0,下列命

題：

①若A8=CD,ZABC=ZADC,則四邊形ABC。是平行四邊形；

②若04=。。，NA8C=N4OC,則四邊形48co是平行四邊形；

③若AO=8C,N/WC=NBCO=90。，則四邊形A8CD是矩形；

④若AZ?=C。，OA=OC,ZABC=9Q°,則四邊形A8CD是矩形.

其中所有真命題的序號(hào)是.

【答案】③

【分析】根據(jù)平行四邊形的特征，矩形的判定方法，判斷即可；

【詳解】解：①假命題，如圖AECO是平行四邊形，AB=AE=CD,NABC=NAEB,四邊形48CO不是平行

四邊形：

_,一-----、

二'、

/、

/、

/、

/\

//…、。

；\.Zd/___w_________>E

\Z-------------------2?

JJ」

---

②假命題，如圖，0A=0C,ZABC=ZADC,四邊形ABCD不是平行四邊形;

A

o

C

③真命題，如圖，/A8C=N3CO=9()c,則A8〃CD,3C即為平行線(xiàn)間的距離,

*：AD=BC,

：.AD為平行線(xiàn)間的距離，即AD與平行線(xiàn)垂直,

???四邊形的四個(gè)內(nèi)角都為90。，四邊形A3CD是矩形;

D

④假命題，如圖，A8CE是矩形，CD=CE=AB,OA=OC,ZABC=90G,四邊形ABC。不是矩形:

A

綜上所述③是真命題,

故答案為：③:

【點(diǎn)睛】本題考查了真假命題的判定，平行四邊形和矩形的特征，結(jié)合圓的性質(zhì)尋找反例是解題關(guān)鍵.

題型07添加一個(gè)條件使四邊形是矩形

25.(2023?河北滄州??？家荒?在卜.列條件中，能夠判定團(tuán)48co為矩形的是()

A.AB=ACB.AC1BDC.AB=ADD.AC=BD

【答案】D

【分析】根據(jù)矩形的判定定理逐項(xiàng)判斷即可.

【詳解】當(dāng)A8=AC時(shí)，不能說(shuō)明助8C。是矩形，所以A不符合題意：

當(dāng)AC_L8。時(shí)，團(tuán)1BCD是菱形，所以B不符合題意；

當(dāng)4B=A。時(shí)，團(tuán)ABC”是菱形，所以C不符合題意；

當(dāng)AC=3。時(shí)，切4BCC是矩形，所以D符合題意.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定，掌握判定定理是解題的關(guān)鍵.有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩

形；對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形.

26.（2022?北京西城?統(tǒng)考一模）如圖,在△ABC中，。，2分別是28,2c的中點(diǎn),點(diǎn)凡G在邊8c上,

且DG=EF.只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形OFGE是矩形，這個(gè)條件可以是.（寫(xiě)出一個(gè)即可）

【答案】?！?尸G或川邛EG

【分析】由。E是中位線(xiàn)得出DEII8C,又OG=EF表示的是對(duì)角線(xiàn)相等，根據(jù)：對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形

是矩形；增加條件使四邊形。產(chǎn)GE是平行四邊形即可.

【詳解】解：???0/分別是48,AC的中點(diǎn)，

???DEWBC,

當(dāng)。E=FG時(shí)，四邊形OFGE是平行四邊形，

vDG=EF,

???四邊形OFGE是矩形：

當(dāng)。FIIEG時(shí)，四邊形OFGE是平行四邊形，

vDG=EF,

???四邊形五是矩形：

故答案為：DE=FG^DFWEG.

【點(diǎn)睛】木題考杳矩形的判定、平行四邊形的判定，根據(jù)：時(shí)角線(xiàn)相筆的平行四邊形是矩形；準(zhǔn)確分析出

平行四邊形的判定是解題關(guān)鍵.

27.（2022?北京海淀?北京市十一學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平行四邊形ABCO中，過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC中點(diǎn)O

作直線(xiàn)分別交6C,AD于點(diǎn)、E,F,只需添加一個(gè)條件即可證明四邊形A9力"是矩形，這個(gè)條件可以是—

（寫(xiě)出一個(gè)即可）.

A

F

c

【答案】AC=FE或人等（答案不唯一，只要滿(mǎn)足題意即可）.

【分析】由45co為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到對(duì)邊A。與3c平行，然后利用兩出線(xiàn)平行

得到兩對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，再根據(jù)。為AC的中點(diǎn)及AAS可得三角形AO〃與三角形COE全等，從而可得

OF=OE,并得到AFCE為平行四邊形，若再添加入GFE,根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形為矩形可得人**￡

為矩形；若添加AE垂直于3C,由垂直定義可得NAEC=90。，根據(jù)有一個(gè)角為直角的平行四邊形為矩形可

得A尸CE為矩形，所添的條件不唯一,只要滿(mǎn)足題意即可.

【詳解】???四邊形A8C。是平行四邊形（已知），

C.ADUBC（平行四邊形的對(duì)邊平行），

:.NCAF=NACE,NE/M=NCE/（兩宜線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），

由已知可得OA=OC,

，在乙AO尸和△C0E中，

ZCAF=ZACE,ZEFA=ZCEF,OA=OC,

：.△A0F->E（AAS）；

???OF=OE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），X0A=0C,

???四邊形AFCE是平行四邊形（對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形為平行四邊形）；

（1）若添加4C=FE,由對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形為矩形可得四邊形AFCE為矩形：

（2）若添加AE_L3C,可得NAEC=90。，由有一個(gè)角為直角的平行四逅形為矩形可得四邊形AFCE為矩

形，

故答案為：4C=FE或8c等（答案不唯一，只要滿(mǎn)足題意即可）.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的綜合應(yīng)用，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性

質(zhì)，以及矩形的判定是解題關(guān)鍵.

題型08證明四邊形是矩形

28.（2023?廣東汕頭??？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在菱形A3C。中，對(duì)角線(xiàn)AC、3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是A。的

中點(diǎn)，連接0E,過(guò)點(diǎn)。作交OE的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)「，連接A”.

(2)判定四邊形AOO尸的形狀并說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)四邊形AOO尸為矩形，理由見(jiàn)解析

【分析】(1)利用全等三角形的判定定理即可：

(2)先證明四邊形AO。尸為平行四邊形，再結(jié)合NAOO=90。，即可得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：:石是AD的中點(diǎn)，

:,AE=DE,

*：DF//AC,

:.NOAD=/ADF,

■:NAEO=NDEF,

??.△AO慮△。6E(ASA)；

(2)解；四邊形AOD〃為矩形.

理由：?:△AOEmRDFE,

：.AO=DF,

,JDF//AC,

???四邊形AO。尸為平行四邊形，

?.?四邊形ABC。為菱形，

即NAOD=90°,

???平行四邊形AOQ尸為矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性

質(zhì)以及矩形的判定是解題的關(guān)鍵.

29.（2023?湖北鄂州??？寄M預(yù)測(cè)）如圖,EL48CD中,AC,BD相交于點(diǎn)0,E,尸分別是040C的中

⑴求證:BE=DF；

（2）設(shè)鐵=匕當(dāng)％為何值時(shí)，四邊形DEBF是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

（2）當(dāng)k=2時(shí)，四邊形0E8尸是矩形，理由見(jiàn)解析

【分析】（1）連接。E,8F,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得。4=0C,0B=。。，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義可得

OF=1OA=^OC=OF,然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形。&RF是平行四邊形，最后根據(jù)平行四邊

形的性質(zhì)即可得證；

（2）先根據(jù)矩形的判定可得當(dāng)=時(shí)，四邊形DEBF是矩形，再根據(jù)線(xiàn)段中點(diǎn)的定義、平行四邊形的

性質(zhì)可得HC=2￡T,由此即可得出k的值.

【詳解】（1）證明：如圖，連接。瓦8F,

???四邊形ABCD是平行四邊形,

二0A=OC,OB=0D,

???瓦廣分另I］是04,0C的中點(diǎn),

二OE=-OA=-OC=OF,

二四邊形DEBF是平行四邊形,

???BE=DF.

（2）解：由（I）已證：四邊形。E8F是平行四邊形,

要使平行四邊形0E8F是矩形，則=

OE=\OA=\OC=OF,

22

二EF=OE+0F=-OA+-OC=0A=-AC,即2EF,

222AC=

.AC2EF、

???/c=—BD=—EF=2,

故當(dāng)k=2時(shí)，四邊形DEBF是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、矩形的判定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)

是解題關(guān)鍵.

30.（2023?山東青島?一模）如圖，弘BC。中，E為邊的中點(diǎn)，連接AE并延長(zhǎng)交。。的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,

延長(zhǎng)EC至點(diǎn)G,使CG=CE,連接。G、DE.FG.

（1）求i正：AABE以MCE：

⑵若AD=2AB,求證：四邊形。EFG是矩形.

【答案】（1）見(jiàn)解析

（2）見(jiàn)解析

【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)推出/EA6=/C7=7T,利用AAS即可判定AABE咨△/CZ；

（2）先證明四邊形。EFG是平行四邊形，

【詳解】（1）證明：???四邊形A8CO是平行四邊形，再證明OF=EG,即可證明四邊形。EFG是矩形.

：.AB\\CD,

:.4EAB=NCFE,

又?；E為BC的中點(diǎn),

：.EC=EB,

：.在△48E和△WE中，

（Z.EAB=乙CFE

\z-BEA=Z.CEF,

（EC=EB

/.△A8EgMCE(AAS)：

(2)證明：:AABE絲AFCE,

：.AB=CF,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

:?AB=DC,

:,DC=CF,

又YCE=CG,

.??四邊形DEFG是平行四邊形，

YE為8。的中點(diǎn)，CE=CG,

：.BC=EG,

又*：AD=BC=EG=2AB,DF=CI)+CF=2CD=2AB,

:.DF=EG,

，平行四邊形。EFG是矩形.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握平行四

邊形的判定與性質(zhì)，證明△A8E絲△rCE是解題的關(guān)鍵.

31.(2022?河南鄭州?校聯(lián)考一模)如圖,在團(tuán)48CD中,E為CD邊的中點(diǎn),連接BE并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)

于點(diǎn)F,延長(zhǎng)EO至點(diǎn)G,使OG=OE,分別連接力E,AG,FG.

(1)求證：ABCE三AFDE；

(2)當(dāng)Bf*平分ZABC時(shí)，四邊形AEFG是什么特殊四邊形？請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)矩形，見(jiàn)解析

【分析】(1)利用平行四邊形的性質(zhì)證明NDFE=4C8E,利用中點(diǎn)的性質(zhì)證明DE=CE,結(jié)合對(duì)頂角相

等，從而可得結(jié)論；

（2）先證明=結(jié)合GD=DE,證明四邊形4E/G是平行四邊形，再利用等腰三角形的性質(zhì)證明

AE1BF,從而可得結(jié)論.

【詳解】（1）證明：???四邊形ABG）是平行四邊形，

：.AD//BC,：.Z.DFE=Z.CBE

又,?也為CO邊的中點(diǎn)，

：.DE=CE

?:乙FED—乙BEC,乙DFE一乙CBE,DE—CE,

:?&BCE"FDE

（2）答：四邊形4EFG是矩形，理由如"

,/四邊形A8CD是平行四邊形，

：.AD=BC,

'：&FDE三dBCE,

:,BC=FD,FE=EB,

：.FD=AD,

\'GD=DE,

???四邊形力E2是平行四邊形.

,.?8F平分〃8C,

：.Z.CBF=乙ABF.

又?.2"B=乙FBC,

工乙ABF=/.AFB,

：.AB=AF

又?：FE=EB,

：.AE1FE,

：.LAEF=90°,

??.@4EFG是矩形

【點(diǎn)睛】本題考行的是三角形全等的制定與性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)與判定，矩形的判定，等腰三角形的

判定與性質(zhì)，掌握“有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形”是證題的關(guān)鍵.

題型09根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求角度

32.（2021?陜西西安?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)?？级＃┤鐖D，以為邊，在A8的同側(cè)分別作正五邊形

A8CDE和矩形A8FG,則/E4G=.

【答案】18。

【分析】根據(jù)四邊形48尸G是矩形，得到NG48=90。，根據(jù)五邊形A8CO￡是正五邊形，得到

ZEAB=108°,利用ZEAG=ZEAB-ZGAB計(jì)算即可.

【詳解】???四邊形A3FG是矩形,

:.NGA8=90。，

???五邊形A8CDE是正五邊形,

；?ZE4B=108°,

:.ZEAG=NEAB-N