4.2角平分線的性質(zhì)與判定第一章三角形的證明北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊學(xué)習(xí)&目標(biāo)1.證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn).2.應(yīng)用角平分線定理解決數(shù)學(xué)問題.情境&導(dǎo)入角平分線的性質(zhì)與判定的內(nèi)容是什么？定理角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等.定理在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.情境&導(dǎo)入作三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線交于一點(diǎn)．這一點(diǎn)到三角形三邊的距離相等．探索&交流角平分線的性質(zhì)1—例1.求證：三角形三條角平分線相交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等.

ABCPEFMDN已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).

求證：∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P，且PD=PE=PF.探索&交流∴點(diǎn)P在∠A的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上)，同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分線經(jīng)過點(diǎn)P.證明：BM是△ABC的角平分線，點(diǎn)P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足為D，E，∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等).ABCPEFMDN探索&交流比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點(diǎn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn)鈍角三角形交于三角形外一點(diǎn)直角三角形交于斜邊的中點(diǎn)交點(diǎn)性質(zhì)到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等到三角形三邊的距離相等例題&解析

例題欣賞?例2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.

ACBED例題&解析∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角對等邊）.12在等腰直角三角形BDE中，

cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等）.ACBED例題&解析（2）證明：由（1）的求解過程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應(yīng)邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED例題&解析

例題欣賞?例3.如圖，在△ABC

中，點(diǎn)

O

是△ABC

內(nèi)一點(diǎn)，且點(diǎn)

O

到△ABC

三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC

的度數(shù)為

()A．110°

B．120°C．130°

D．140°A例題&解析

例題欣賞?例4.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點(diǎn)O，過點(diǎn)O作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E.求證：DE＝BD＋CE.例題&解析證明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD.同理可證OE＝CE，∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.練習(xí)&鞏固B1在△ABC內(nèi)到三條邊距離相等的點(diǎn)是△ABC的(

)A．三條中線的交點(diǎn)B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條高的交點(diǎn)D．以上均不對練習(xí)&鞏固2.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵

AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C

=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分線的性質(zhì)).在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=ED(已證)，

DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(全等三角形的對應(yīng)邊相等).CFAEDB練習(xí)&鞏固3.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.ACBED練習(xí)&鞏固ACBEDF證明：過點(diǎn)C作CF⊥AD，交AD的延長線于點(diǎn)F.

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，AE＝AF（角平分線性質(zhì)），∠CEB＝∠CFD＝90°.

∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠CDF，