4.2角平分線的性質與判定第一章三角形的證明北師大版八年級數(shù)學下冊學習&目標1.證明三角形的三條角平分線交于一點.2.應用角平分線定理解決數(shù)學問題.情境&導入角平分線的性質與判定的內容是什么？定理角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.定理在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上.情境&導入作三角形的三個內角的角平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？

發(fā)現(xiàn)：三角形的三個內角的角平分線交于一點．這一點到三角形三邊的距離相等．探索&交流角平分線的性質1—例1.求證：三角形三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等.

ABCPEFMDN已知：如圖，在△ABC中，角平分線BM與角平分線CN相交于點P，過點P分別作AB，BC，AC的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).

求證：∠A的平分線經過點P，且PD=PE=PF.探索&交流∴點P在∠A的平分線上(在一個角的內部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上)，同理PE=PF.∴PD=PE=PF.即∠A的平分線經過點P.證明：BM是△ABC的角平分線，點P在BM上，且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足為D，E，∴PD=PE(角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等).ABCPEFMDN探索&交流比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質定理三邊垂直平分線三條角平分線三角形銳角三角形交于三角形內一點交于三角形內一點鈍角三角形交于三角形外一點直角三角形交于斜邊的中點交點性質到三角形三個頂點的距離相等到三角形三邊的距離相等例題&解析

例題欣賞?例2.如圖，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E.（1）已知CD=4cm，求AC的長；（2）求證：AB=AC+CD.

ACBED例題&解析∵AC=BC，∴∠B=∠BAC（等邊對等角）.∵∠C=90°，∴∠B=×90°=45°.∴∠BDE=90°–45°=45°∴BE=DE（等角對等邊）.12在等腰直角三角形BDE中，

cm（勾股定理），∴AC=BC=CD+BD=（4+）cm.（1）解：∵AD是△ABC的角平分線，DC⊥AC，DE⊥AB，垂足為E，

∴DE=CD=4cm（角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等）.ACBED例題&解析（2）證明：由（1）的求解過程易知，

Rt△ACD≌Rt△AED（HL）∴AC=AE（全等三角形的對應邊相等）.∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD.ACBED例題&解析

例題欣賞?例3.如圖，在△ABC

中，點

O

是△ABC

內一點，且點

O

到△ABC

三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC

的度數(shù)為

()A．110°

B．120°C．130°

D．140°A例題&解析

例題欣賞?例4.如圖，在△ABC中，∠ABC與∠ACB的平分線相交于點O，過點O作DE∥BC，分別交AB，AC于點D，E.求證：DE＝BD＋CE.例題&解析證明：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.∵DE∥BC，∴∠CBO＝∠DOB.∴∠ABO＝∠DOB.∴BD＝OD.同理可證OE＝CE，∴DE＝OD＋OE＝BD＋CE.練習&鞏固B1在△ABC內到三條邊距離相等的點是△ABC的(

)A．三條中線的交點B．三條角平分線的交點C．三條高的交點D．以上均不對練習&鞏固2.已知：如圖，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，BD=DF.求證：CF=EB.證明：∵

AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C

=90°(已知)，∴CD＝DE(角平分線的性質).在Rt△CDF和Rt△EDB中，CD=ED(已證)，

DF=DB(已知)，∴Rt△CDF≌Rt△EDB(HL).∴CF=EB(全等三角形的對應邊相等).CFAEDB練習&鞏固3.已知：如圖，四邊形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，且∠B+∠D=180°，求證：AE=AD+BE.ACBED練習&鞏固ACBEDF證明：過點C作CF⊥AD，交AD的延長線于點F.

∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE＝CF，AE＝AF（角平分線性質），∠CEB＝∠CFD＝90°.

∵∠B+∠ADC＝180°，∠CDF+∠ADC＝180°，

∴∠B＝∠CDF，