高考數(shù)學(xué)考試焦點(diǎn)試題及答案姓名：____________________

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$，若$a\neq0$，且$f(1)=2$，$f(-1)=0$，$f(0)=1$，則下列哪個選項正確？

A.$a=1,b=2,c=1$

B.$a=1,b=-2,c=1$

C.$a=1,b=2,c=0$

D.$a=1,b=-2,c=0$

2.在等差數(shù)列$\{a_n\}$中，$a_1=3$，$a_5=11$，則$a_{10}$的值為：

A.21

B.23

C.25

D.27

3.已知復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則復(fù)數(shù)$z$在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是：

A.線段$[-1,1]$

B.線段$[-1,1]$的垂直平分線

C.線段$[-1,1]$的平行線

D.線段$[-1,1]$的平行線上的點(diǎn)

4.若直線$y=kx+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相切，則$k$和$b$的關(guān)系是：

A.$k^2+b^2=1$

B.$k^2+b^2=2$

C.$k^2+b^2=3$

D.$k^2+b^2=4$

5.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$x+y=3$的對稱點(diǎn)為$B$，則$B$的坐標(biāo)是：

A.$(2,1)$

B.$(1,2)$

C.$(4,1)$

D.$(1,4)$

6.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，則$f(x)$的對稱中心為：

A.$(1,0)$

B.$(2,0)$

C.$(1,3)$

D.$(2,3)$

7.若$a,b,c$為等比數(shù)列，且$a+b+c=6$，$abc=27$，則$a^2+b^2+c^2$的值為：

A.15

B.18

C.21

D.24

8.已知數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n+1$，則數(shù)列$\{a_n+1\}$的通項公式是：

A.$a_n+1=2^n$

B.$a_n+1=2^{n-1}$

C.$a_n+1=2^{n+1}$

D.$a_n+1=2^{n+2}$

9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，若$0<x<1$，則$f(x)$的單調(diào)性為：

A.單調(diào)遞增

B.單調(diào)遞減

C.先增后減

D.先減后增

10.在直角坐標(biāo)系中，若直線$y=kx+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相交于$A,B$兩點(diǎn)，且$\angleAOB=90^\circ$，則$k$和$b$的關(guān)系是：

A.$k^2+b^2=2$

B.$k^2+b^2=1$

C.$k^2+b^2=3$

D.$k^2+b^2=4$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.若$ab=0$，則$a=0$或$b=0$。（）

2.任意一個三角形都可以通過平移變換得到一個與它全等的三角形。（）

3.所有奇數(shù)之和一定能被3整除。（）

4.對稱軸與拋物線的頂點(diǎn)一定相交于拋物線上的一點(diǎn)。（）

5.在直角三角形中，較小的直角邊是斜邊的一半。（）

6.所有正整數(shù)的立方和可以被6整除。（）

7.在一個等差數(shù)列中，若第$n$項是正數(shù)，則第$n+1$項一定是負(fù)數(shù)。（）

8.如果兩個函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，那么這兩個函數(shù)在該點(diǎn)一定相等。（）

9.函數(shù)$y=x^3$的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱。（）

10.若一個數(shù)列的前$n$項和$S_n$是等差數(shù)列，則該數(shù)列也是等差數(shù)列。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$的單調(diào)性和極值情況。

2.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的前$n$項和為$S_n=3n^2+2n$，求該數(shù)列的首項$a_1$和公差$d$。

3.若三角形的三邊長分別為$a,b,c$，且滿足$a^2+b^2=c^2$，證明該三角形是直角三角形。

4.給定函數(shù)$f(x)=x^3-6x^2+9x$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述并證明：若函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上連續(xù)，且$f(a)=f(b)$，則存在至少一個$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

2.論述并證明：若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$（$n\geq2$），則數(shù)列$\{a_n\}$的項$a_n$是正的，且$\lim_{n\to\infty}a_n=\sqrt{2}$。

五、單項選擇題（每題2分，共10題）

1.已知函數(shù)$f(x)=ax^2+bx+c$的圖像開口向上，且頂點(diǎn)坐標(biāo)為$(h,k)$，則下列哪個選項正確？

A.$a>0,b>0,c>0$

B.$a>0,b<0,c>0$

C.$a<0,b>0,c>0$

D.$a<0,b<0,c>0$

2.在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)$A(2,3)$關(guān)于直線$y=x$的對稱點(diǎn)坐標(biāo)是：

A.$(2,3)$

B.$(3,2)$

C.$(-2,-3)$

D.$(-3,-2)$

3.已知等差數(shù)列$\{a_n\}$的第三項$a_3=9$，公差$d=2$，則$a_1$的值為：

A.3

B.5

C.7

D.9

4.若復(fù)數(shù)$z$滿足$|z-1|=|z+1|$，則$z$在復(fù)平面內(nèi)的軌跡是：

A.線段$[-1,1]$

B.線段$[-1,1]$的垂直平分線

C.線段$[-1,1]$的平行線

D.線段$[-1,1]$的平行線上的點(diǎn)

5.若直線$y=kx+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相切，則$k$的取值范圍是：

A.$k^2+b^2\leq1$

B.$k^2+b^2\geq1$

C.$k^2+b^2=1$

D.$k^2+b^2=2$

6.在直角坐標(biāo)系中，若點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$x+y=3$的對稱點(diǎn)為$B$，則$AB$的長度是：

A.1

B.2

C.$\sqrt{2}$

D.$\sqrt{5}$

7.已知函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4x-6$，則$f(x)$的極值點(diǎn)是：

A.$x=1$

B.$x=2$

C.$x=3$

D.$x=4$

8.若數(shù)列$\{a_n\}$滿足$a_1=2$，$a_{n+1}=2a_n$（$n\geq2$），則數(shù)列$\{a_n\}$的通項公式是：

A.$a_n=2^n$

B.$a_n=2^{n-1}$

C.$a_n=2^{n+1}$

D.$a_n=2^{n+2}$

9.已知函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$，若$0<x<1$，則$f(x)$的值域是：

A.$(-\infty,0)$

B.$(0,\infty)$

C.$(-\infty,1)$

D.$(1,\infty)$

10.在直角坐標(biāo)系中，若直線$y=kx+b$與圓$(x-1)^2+y^2=1$相交于$A,B$兩點(diǎn)，且$\angleAOB=90^\circ$，則$k$的取值范圍是：

A.$k^2+b^2\leq1$

B.$k^2+b^2\geq1$

C.$k^2+b^2=1$

D.$k^2+b^2=2$

試卷答案如下：

一、多項選擇題（每題2分，共10題）

1.B.$a=1,b=-2,c=1$

解析思路：由$f(1)=2$得$a+b+c=2$，由$f(-1)=0$得$a-b+c=0$，由$f(0)=1$得$c=1$，解得$a=1,b=-2,c=1$。

2.B.23

解析思路：由等差數(shù)列通項公式$a_n=a_1+(n-1)d$，得$a_5=a_1+4d=3+4d=11$，解得$d=2$，則$a_{10}=a_1+9d=3+9\times2=23$。

3.B.線段$[-1,1]$的垂直平分線

解析思路：由$|z-1|=|z+1|$，可知$z$到點(diǎn)$1$和$-1$的距離相等，故$z$在$[-1,1]$的垂直平分線上。

4.A.$k^2+b^2=1$

解析思路：直線與圓相切的條件是它們只有一個交點(diǎn)，由圓心到直線的距離等于圓的半徑，得$k^2+b^2=1$。

5.A.$(2,1)$

解析思路：點(diǎn)$A(1,2)$關(guān)于直線$x+y=3$的對稱點(diǎn)$B$，其坐標(biāo)為$(2,1)$，因為$A$和$B$關(guān)于直線$x+y=3$對稱。

6.C.$(1,3)$

解析思路：對稱中心即為對稱軸與拋物線的交點(diǎn)，拋物線$y=ax^2+bx+c$的對稱軸為$x=-\frac{2a}$，代入得對稱中心為$(1,3)$。

7.B.18

解析思路：由等比數(shù)列的性質(zhì)$a_1a_n=a_2a_{n-1}=...=a_{n-1}a_2=a_nc$，得$a^2b^2c^2=27^2$，又$a+b+c=6$，解得$a^2+b^2+c^2=18$。

8.A.$a_n+1=2^n$

解析思路：由遞推公式$a_{n+1}=2a_n+1$，得$a_{n+1}+1=2(a_n+1)$，所以$\frac{a_{n+1}+1}{a_n+1}=2$，因此數(shù)列$\{a_n+1\}$是等比數(shù)列，首項為3，公比為2。

9.A.單調(diào)遞增

解析思路：函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}-\lnx$的導(dǎo)數(shù)為$f'(x)=-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x}=-\frac{1+x}{x^2}$，在區(qū)間$(0,1)$上，$f'(x)>0$，故函數(shù)在$(0,1)$上單調(diào)遞增。

10.B.$k^2+b^2\geq1$

解析思路：由直線與圓的位置關(guān)系，直線與圓相交的條件是圓心到直線的距離小于圓的半徑，即$k^2+b^2\geq1$。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：$ab=0$時，可能$a=0$或$b=0$，也可能$a$和$b$同時為0。

2.√

解析思路：平移變換不會改變圖形的形狀和大小，因此任意一個三角形都可以通過平移變換得到一個與它全等的三角形。

3.√

解析思路：奇數(shù)之和可以表示為$2k+1$的形式，其中$k$為整數(shù)，$2k+1$除以3余1，因此奇數(shù)之和一定能被3整除。

4.√

解析思路：對稱軸是拋物線$y=ax^2+bx+c$的對稱軸，頂點(diǎn)即為對稱軸與拋物線的交點(diǎn)。

5.×

解析思路：在直角三角形中，較小的直角邊不一定是斜邊的一半，除非是特殊的直角三角形，如30°-60°-90°三角形。

6.√

解析思路：所有正整數(shù)的立方和可以表示為$1^3+2^3+3^3+...+n^3$，根據(jù)立方和公式，其值為$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$，由于$n^2(n+1)^2$總是被4整除，所以立方和可以被6整除。

7.×

解析思路：等差數(shù)列的第$n$項$a_n=a_1+(n-1)d$，若$a_n$為正數(shù)，$a_{n+1}$不一定是負(fù)數(shù)，取決于公差$d$的正負(fù)。

8.×

解析思路：兩個函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)并不意味著它們在該點(diǎn)相等，例如$f(x)=x$和$g(x)=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但不相等。

9.√

解析思路：函數(shù)$y=x^3$的圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，即對于任意$x$，都有$f(-x)=(-x)^3=-x^3=f(x)$。

10.×

解析思路：數(shù)列的前$n$項和$S_n$是等差數(shù)列，并不意味著數(shù)列本身也是等差數(shù)列，例如$S_n=4n$是等差數(shù)列，但數(shù)列$\{a_n\}$不一定是等差數(shù)列。

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.函數(shù)$f(x)=\frac{1}{x}$在區(qū)間$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$上單調(diào)遞減，無極值點(diǎn)。

解析思路：求導(dǎo)得$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，當(dāng)$x>0$時，$f'(x)<0$，當(dāng)$x<0$時，$f'(x)>0$，故函數(shù)在兩區(qū)間上單調(diào)遞減。

2.首項$a_1=3$，公差$d=2$。

解析思路：由等差數(shù)列的前$n$項和公式$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$，代入$a_1=3$和$S_5=3\times5+2\times5=25$，解得$a_5=11$，進(jìn)而得到公差$d=a_5-a_1=11-3=8$。

3.由勾股定理，若$a^2+b^2=c^2$，則$(a+b)^2=(a^2+2ab+b^2)=a^2+b^2+c^2$，所以$a+b=c$，又因為$a^2+b^2=c^2$，所以$(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=2ab$，即$ab=0$，故$a=0$或$b=0$，所以$\triangleABC$是直角三角形。

4.$f'(x)=3x^2-12x+9$。

解析思路：利用導(dǎo)數(shù)的定義和運(yùn)算法則，求$f'(x)$。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.解：證明：

設(shè)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$上連續(xù)，且$f(a)=f(b)$，根據(jù)介值定理，存在$\xi\in(a,b)$，使得$f'(\xi)=0$。

假設(shè)$f'(x)=0$在$(a,b)$上無解，則$f'(x)$在$(a,b)$上要么恒正要么恒負(fù)。若$f'(x)$恒正，則$f(x)$在$(a,b)$上單調(diào)遞增，與$f(a)=f(b)$矛盾；若$f'(x)$恒負(fù)，則$f(x)$在$(a,b)$上單調(diào)遞減，同樣與$f(a)=f(b)$矛盾。因此，$f'(x)=0$在$(a,b)$上至少有一個解。

2.解：證明：

已知$a_1=1$，$a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$，所以$a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}$。

設(shè)$b_n=a_n^2$，則$b_{n+1}=a_{n+1}^2=a_n^2+2+\frac{1}{a_n^2}=b_n+2+\frac{1}{b_n}$。

考慮函數(shù)$g(x)=x+\frac{1}{x}$，則$g'(x)=1-\frac{1}{x^2}$