2023-2024學年四川省成都市高考熱身數(shù)學（理）模擬試題一、單選題1．設集合，，則（

）A． B． C． D．【正確答案】C【分析】根據(jù)交集的定義計算可得.【詳解】因為，又，所以.故選：C2．在統(tǒng)計學中，月度同比是指本月和上一年同月相比較的增長率，月度環(huán)比是指本月和上一個月相比較的增長率，如圖是我國2022年1月至2022年12月居民消費價格月度漲跌幅度統(tǒng)計圖，則以下說法正確的是（

）

A．在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.9%B．在這12個月中，我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.4%C．在這12個月中，我國居民消費價格最低是5月D．在這12個月中，我國居民消費價格最高是10月【正確答案】D【分析】根據(jù)統(tǒng)計圖分別求出消費同比數(shù)據(jù)，求出月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)，即可得答案．【詳解】在這12個月中，我國居民消費價格月度同比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為2.1%，A錯；我國居民消費價格月度環(huán)比數(shù)據(jù)的眾數(shù)為0.0%，B錯；根據(jù)環(huán)比數(shù)據(jù)知：我國居民消費價格最低是1月，我國居民消費價格最高是10月，C錯，D對.故選:D.3．實數(shù)a，b滿足，則下列不等式成立的是（

）A． B．C． D．【正確答案】C【分析】舉反例即可判定ABD，由，得出，利用指數(shù)函數(shù)的性即可判定C.【詳解】取,滿足,但,所以A錯誤；取,滿足,但，所以B錯誤；若，則,,所以C正確；取,則,所以D錯誤.故選:C.4．早在公元5世紀，我國數(shù)學家祖暅在求球的體積時，就創(chuàng)造性地提出了一個原理：“冪勢既同，則積不容異”，即夾在兩個平行平面之間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積、總相等，則這兩個幾何體的體積、相等.根據(jù)“祖暅原理”，“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【正確答案】B【分析】根據(jù)祖暅原理，判斷“”與“”之間的邏輯推理關(guān)系即可.【詳解】根據(jù)祖暅原理可知，當時，一定有成立，反之，當成立時，不一定有成立，比如兩個完全相同的三棱錐，正置和倒置時，，不一定相等，故“”是“”的必要不充分條件.故選：B5．已知向量，，且．則的值為（

）A． B．0 C． D．不存在【正確答案】C【分析】根據(jù)向量共線得到，利用二倍角正弦公式得到，再根據(jù)平方關(guān)系計算可得.【詳解】因為，，且,所以，即，即，因為，所以，所以，又，所以.故選：C6．設是等比數(shù)列，且，，則（

）A．8 B．-8 C．4 D．-4【正確答案】B【分析】根據(jù)條件，求首項和公比，再代入等比數(shù)列的通項公式，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，則，解得：，，所以.故選：B7．已知兩個平面，，及兩條直線，．則下列命題錯誤的是（

）A．若，，，，則B．若，，，則C．若，，，，則D．若，是異面直線，，，，，則【正確答案】C【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理判斷A，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)判斷B，根據(jù)面面的位置關(guān)系判斷C，根據(jù)面面平行的判定定理及異面直線的概念判斷D.【詳解】對于A，若，，，，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，A正確；對于B，若，，則，又，則，B正確；對于C，若，，，，則與可以相交或平行，C錯誤；對于D，因為，，所以存在直線，，因為，是異面直線，所以與相交，因為，，，所以，又因為，，所以，D正確，故選：C8．已知函數(shù)，其在一個周期內(nèi)的圖象分別與x軸、y軸交于點A、點B，并與過點A的直線相交于另外兩點C、D.設O為坐標原點，則（

）A． B． C． D．【正確答案】B【分析】根據(jù)圖象結(jié)合三角函數(shù)求點，進而求，即可得結(jié)果.【詳解】因為，可得，即，由圖可知：點A為減區(qū)間的對稱中心，令，解得，取，則，即，可得，因為點A為線段CD的中點，則，所以.故選：B.9．算盤是中國傳統(tǒng)的計算工具，其形長方，周為木框，內(nèi)貫直柱，俗稱“檔”，檔中橫以梁，梁上兩珠，每珠作數(shù)五，梁下五珠，每珠作數(shù)一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位檔撥一顆下珠，十位檔撥一顆上珠和兩顆下珠，則表示數(shù)字170，若在個、十、百、千位檔中，先隨機選擇一檔撥一顆上珠，再隨機選擇兩個檔位各撥一顆下珠，則所撥數(shù)字大于1000的概率為（

）

A． B． C． D．【正確答案】D【分析】所撥數(shù)字共有，所撥數(shù)字大于1000包含兩種:①上珠撥的是千位檔，②上珠撥不是千位檔，這兩種情況進行分析求解，由此能求出所撥數(shù)字大于1000的概率．【詳解】依題意得所撥數(shù)字共有種可能，要使所撥數(shù)字大于1000，則：①上珠撥的是千位檔,則所撥數(shù)字一定大于1000，有種;②上珠撥不是千位檔,則再隨機選擇兩個檔位必有千分位,有種,則所撥數(shù)字大于1000的概率為.故選:D.10．設、是橢圓的左、右焦點，點P是直線上一點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【正確答案】A【分析】由題意方程求得，設，利用傾斜角的概念以及兩角差的正切公式，基本不等式，正切函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得：，則，所以.因為點P是直線上一點，不妨設,設直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，則，，于是，當且僅當時等號成立，因為在上單調(diào)遞增，所以的最大值是.故選:A.11．某人從2023年起，每年1月1日到銀行新存入2萬元（一年定期），若年利率為2%保持不變，且每年到期存款均自動轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的線數(shù)約為（

）（單位：萬元）參考數(shù)據(jù)：A．2.438 B．19.9 C．22.3 D．24.3【正確答案】C【分析】復利計息問題，逐年分析尋找規(guī)律，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式即可求解.【詳解】由題意，2023年存的2萬元共存了10年，本息和為萬元，2024年存的2萬元共存了9年，本息和為萬元，2032年存的2萬元共存了1年，本息和為萬元，所以到2033年1月1日將之前所有存款及利息全部取回，他可取回的錢數(shù)約為萬元，故選：C.12．如圖，球的半徑為，球面上的三個點，，的外接圓為圓，且，則三棱錐的體積最大值是（

）

A． B． C． D．【正確答案】A【分析】設圓的半徑為，即可表示、，從而得到，再利用均值不等式求出的最大值，即可得解.【詳解】設圓的半徑為，則，又，所以，所以，又，所以，所以，，所以，當且僅當或時取等號，所以三棱錐的體積最大值是.故選：A關(guān)鍵點睛：本題解答的關(guān)鍵是通過三角關(guān)系表示出，再利用三元均值不等式求出的最大值.二、填空題13．已知復數(shù)滿足，則__________.【正確答案】5【分析】設，，根據(jù)復數(shù)的模及復數(shù)相等的充要條件得到方程組，解得、，即可求出，從而得解.【詳解】設，，則，因為，所以，所以，所以，即，所以.故14．已知變量滿足約束條件，則的最大值__________.【正確答案】5【分析】作出可行域,設，根據(jù)的幾何意義，求得的最小值和最大值，進而得到的最大值.【詳解】作出可行域，如圖，令，可得，令，可得，設，則直線過點時，取最小值，過點時，取最大值，因此的最大值是5.故答案為:5.15．某地鐵換乘站設有編號為，，，的四個安全出口，若同時開放其中的兩個安全出口，疏散1000名乘客所需時間如下表：安全出口編號，，，，疏散乘客用時（秒）120140190160則疏散乘客最快的一個安全出口的編號為______．【正確答案】【分析】由題意可得同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口所用時間比較可得比快，若同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口的用時間比較可得比快，若同時開放，兩個安全出口和同時開放，兩個安全出口所用時間比較可得比快，從而可得結(jié)論.【詳解】同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快；同時開放，兩個安全出口，疏1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快，同時開放，兩個安全出口，疏1000名乘客需要時間為，同時開放，兩個安全出口，疏散1000名乘客需要時間為，得比快，綜上所述：疏散乘客用時最短的一個安全出口的編號是.故16．等比數(shù)列的公比為，其前n項和為，且，．若仍為等比數(shù)列，則______．【正確答案】【分析】由題意求得，再由等比數(shù)列的前n項和公式求出，進而求得，因為仍為等比數(shù)列，則，代入求解即可得出答案.【詳解】由得：，則，所以，又，所以，又，所以，所以，因為，，，所以，解得：，當時，是等比數(shù)列.故答案為.三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，．(1)求角C的大?。?2)已知，的面積為6，求的值．【正確答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角恒等變形，求角的值；（2）首先根據(jù)面積公式求，再根據(jù)余弦定理和正弦定理，即可求解的值.【詳解】（1）即，則,且，則；，（2），所以，根據(jù)余弦定理可知，,即，根據(jù)正弦定理，，即，解得.18．如圖，在正六棱柱中，，，分別為，的中點.(1)證明：，，，四點共面；(2)求平面與平面所成角的正弦值.【正確答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)證明線線平行證明四點共面即可；（2）空間向量法求面面角余弦值，再根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求正弦值即得.【詳解】（1）取的中點，連接,又為的中點，再結(jié)合正六棱柱的性質(zhì)易得：，且,四邊形為平行四邊形，，又均為對應棱的中點，，，，，四點共面；（2）根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)可得：兩兩相互垂直，分別以直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖的空間坐標系，則根據(jù)題意可得：,,根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)知平面的法向量,設平面的法向量為,則,令，則,設平面與平面所成角平面與平面所成角的余弦值為：所以平面與平面所成角的正弦值為19．環(huán)保部門隨機調(diào)查了某市2022年中100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當天到江邊綠道鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表（單位天）：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級1（優(yōu)）610252（良）910123（輕度污染）7874（中度污染)321若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．(1)估計該市2022年（365天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)（結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)？人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好附：．0.10.010.0012.7066.63510.828【正確答案】(1)天(2)列聯(lián)表見解析，沒有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān).【分析】（1）由頻數(shù)分布表得到空氣質(zhì)量等級為或的概率，從而得到“空氣質(zhì)量好”的概率，即可估計天數(shù)；（2）根據(jù)題干數(shù)據(jù)完善列聯(lián)表，計算出卡方，即可判斷.【詳解】（1）依題意可得，該市一天的空氣質(zhì)量等級為的概率為，等級為的概率為，所以“空氣質(zhì)量好”的概率為，所以該市年（天）“空氣質(zhì)量好”的天數(shù)為（天）.（2）依題意列聯(lián)表如下所示：人次人次空氣質(zhì)量好空氣質(zhì)量不好所以，因此沒有的把握認為一天中到江邊綠道鍛煉的人次與該市當天的空氣質(zhì)量有關(guān)．20．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸交于點A，過l右側(cè)的點P作，垂足為M，且．

(1)求點P的軌跡C的方程；(2)過點的動直線交軌跡C于S，T．證明：以線段為直徑的圓過定點．【正確答案】(1)；(2)以線段為直徑的圓過定點，證明見解析.【分析】（1）設點，因為,所以，化簡可得點的軌跡的方程；（2）設直線，與軌跡的方程聯(lián)立，以線段為直徑的圓的方程為，結(jié)合韋達定理化簡得，由的任意性即可得證.【詳解】（1）設點，因為,所以，化簡得，所以軌跡的方程為.（2）設直線，聯(lián)立得,,從而，于是,.以線段為直徑的圓的方程為,即，所以.由對稱性知定點在軸上,令得，于是，由的任意性,所以，解得.所以以線段為直徑的圓過定點為.

21．已知函數(shù)有兩個極值點．(1)求實數(shù)a的取值范圍；(2)證明：．【正確答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，結(jié)合函數(shù)的零點的個數(shù)，求出的范圍即可；（2）通過構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，即可證明不等式.【詳解】（1）由題意可得有兩個兩側(cè)異號的零點，又,于是.令,則,令,則，當時,,于是,所以在上單調(diào)遞減且.當時,,在上單調(diào)遞增,又,所以當時,,,在上單調(diào)遞減.當時,,,在上單調(diào)遞增.又且時,.且時,.所以，所以實數(shù)的取值范圍為.（2）因為,所以.于是，從而.下面證明，即證明.令,即證明，即證明.令,則，當且僅當時等號成立，所以恒成立.所以在上單調(diào)遞增,所以.從而，所以，于是.由（1）知,,從而.方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．22．如圖所示形如花瓣的曲線稱為四葉玫瑰線，在極坐標系中，其極坐標方程為．

(1)若射線與相交于異于極點的點，求；(2)若