2023-2024學(xué)年安徽省區(qū)域高考數(shù)學(xué)5月聯(lián)考模擬試題（三模）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】解方程得到，從而得到補(bǔ)集.【詳解】，故.故選：A2.若復(fù)數(shù)，實(shí)數(shù)a，b滿足，則（）A.2 B.4 C. D.【正確答案】B【分析】法一：化簡(jiǎn)得到，得到，，；法二：化簡(jiǎn)得到，由韋達(dá)定理進(jìn)行求解.【詳解】法一：∵，∴，∴,解得，，.法二：∵，∴，因?yàn)?，故也滿足，由韋達(dá)定理可得，，故.故選：B3.已知非零向量，，滿足，，，.則向量與的夾角（）A.45° B.60° C.135° D.150°【正確答案】C【分析】由向量的數(shù)量積運(yùn)算公式，再應(yīng)用向量夾角公式求夾角，最后結(jié)合向量反向共線求出夾角即可.【詳解】∵，，

∴.∵，∴，，則，設(shè)向量與的夾角為，與反向,則.故選：C.4.圖1是世界上單口半徑最大、靈敏度最高的射電望遠(yuǎn)鏡“中國天眼”——口徑拋物面射電望遠(yuǎn)鏡，反射面的主體是一個(gè)拋物面（拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為拋物面），其邊緣距離底部的落差約為156.25米，它的一個(gè)軸截面開口向上的拋物線C的一部分，放入如圖2所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，已知該拋物線上點(diǎn)P到底部水平線（x軸）距離為，則點(diǎn)到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】設(shè)拋物線為且，根據(jù)在拋物線上求p，利用拋物線定義求P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離.【詳解】令拋物線方程為且，由題設(shè)在拋物線上，則，得，又且，則P到該拋物線焦點(diǎn)F的距離為米.故選：A5.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且，在上單調(diào)遞減，則（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】利用函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性，判斷各選項(xiàng)的正負(fù)即可.【詳解】因?yàn)椋谏蠁握{(diào)遞減，是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，對(duì)于A，，但無法判斷的正負(fù)，故A不正確；對(duì)于B，，但無法判斷的正負(fù)，故B不正確；對(duì)于C，，在上單調(diào)遞減，所以，故C不正確；對(duì)于D，，在上單調(diào)遞減，，故D正確.故選：D6.若兩條直線：，：與圓的四個(gè)交點(diǎn)能構(gòu)成矩形，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【正確答案】A【分析】由題意知圓心到兩直線的距離相等，得到等量關(guān)系求解即可.【詳解】由題意直線平行，且與圓的四個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成矩形，則可知圓心到兩直線的距離相等，由圓的圓心為：，圓心到的距離為：，圓心到的距離為：，所以，由題意，所以，故選：A.7.已知事件A，B，C的概率均不為0，則的充要條件是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)和事件的概率公式判斷A、C，根據(jù)積事件的概率公式判斷D，根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式判斷B.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，由，只能得到，并不能得到，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，若，，相互獨(dú)立，則，，則由可得，故由無法確定，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，，由，只能得到，由于不能確定，，是否相互獨(dú)立，故無法確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，，又，所以，故D正確；故選：D.8.若，對(duì)于恒有，則的最大值是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】把不等式化簡(jiǎn)可得m的范圍，求出b-a最大值即可.【詳解】由，得，即,由幾何意義可知，函數(shù)的圖像在函數(shù)，的圖像之間，如下圖所示，，要使達(dá)到最大，僅需要或，此時(shí).故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知，，，若（），則n可能值為（）A.6 B.8 C.11 D.13【正確答案】BC【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式以及二項(xiàng)式系數(shù)最大值的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，，所以，依題意，，其中，化簡(jiǎn)得，繼續(xù)化簡(jiǎn)得，即，依題意，，所以，解得.故選：BC10.如圖，楊輝三角形中的對(duì)角線之和1，1，2，3，5，8，13，21，…構(gòu)成的斐波那契數(shù)列經(jīng)常在自然中神奇地出現(xiàn)，例如向日葵花序中央的管狀花和種子從圓心向外，每一圈的數(shù)字就組成這個(gè)數(shù)列，等等.在量子力學(xué)中，粒子糾纏態(tài)、量子臨界點(diǎn)研究也離不開這個(gè)數(shù)列.斐波那契數(shù)列的第一項(xiàng)和第二項(xiàng)都是1，第三項(xiàng)起每一項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)的和，則（）A. B.C. D.【正確答案】BCD【分析】由已知且，利用及累加法判斷A；利用及累加法判斷B；利用及累加法判斷C；利用及累加法判斷D.【詳解】由題設(shè)且，由，，，...，，所以，則，A錯(cuò)誤；由，，，...，，所以，則，B正確；由，則，所以，C正確；由，所以，D正確.故選：BCD.11.如圖，正三棱錐和正三棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均為，.若將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，且A，B，C，D四點(diǎn)共面，點(diǎn)A，C分別位于BD兩側(cè)，則（）A. B.C.多面體的外接球的表面積為 D.點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為【正確答案】AD【分析】由線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)可判斷A，B；由已知可得，正三棱錐側(cè)棱兩兩互相垂直，放到正方體中，借助正方體研究線面位置關(guān)系和外接球表面積可判斷C；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為可判斷D.【詳解】取的中點(diǎn)為，連接，由，所以，又，平面，所以平面，將正三棱錐繞旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)E，P分別旋轉(zhuǎn)至點(diǎn)A，處，所以平面，所以，故A正確；因?yàn)槠矫?，所以，故B不正確；因?yàn)锳，B，C，D四點(diǎn)共面，，可得：，，所以平面，所以平面，同理平面，由已知為正方形，所以可將多面體放入邊長(zhǎng)為的正方體，則多面體的外接球即棱長(zhǎng)為的正方體的外接球，外接球的半徑為，表面積為，選項(xiàng)C不正確；由題意轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，轉(zhuǎn)動(dòng)的半徑長(zhǎng)為，所以點(diǎn)P與點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡長(zhǎng)之比為，故D正確.故選：AD.12.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】AB【分析】分別繪制函數(shù)，通過三個(gè)函數(shù)的圖像彼此之間的位置關(guān)系逐項(xiàng)分析.【詳解】設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，；單調(diào)遞增，并且，；的大致圖像如下：又，并且，是減函數(shù)，，是增函數(shù)，，，不是單調(diào)的函數(shù)，對(duì)于，對(duì)應(yīng)和，并且，又設(shè)，，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，，即當(dāng)時(shí)，，，AB正確；對(duì)于選項(xiàng)CD，由于不能確定對(duì)應(yīng)的自變量是還是，所以不能確定其正確性.故選：AB.畫出函數(shù)圖像，大致確定三條曲線彼此之間的位置是解題的關(guān)鍵三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在某地A、B、C三個(gè)縣區(qū)爆發(fā)了流感，這三個(gè)地區(qū)分別3%，2%，4%的人患了流感.若A、B、C三個(gè)縣區(qū)的人數(shù)比分別為4：3：3，先從這三個(gè)地區(qū)中任意選取一個(gè)人，這個(gè)人患流感的概率是______.【正確答案】0.03【分析】患流感的人可能來自三個(gè)地方，利用條件概率公式求解.【詳解】設(shè)事件D為此人患流感，，，分別代表此人來自A、B、C三個(gè)地區(qū)，根據(jù)題意可知：，，，，，，.故14.如圖，一個(gè)棱長(zhǎng)6分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水（沒有盛滿），若將該容器任意放置均不能使容器內(nèi)水平面呈三角形，寫出的一個(gè)可能取值：______.【正確答案】37（答案不唯一）【分析】如圖，在正方體中，若要使液面形狀不可能為三角形，則平面EHD平行于水平面放置時(shí)，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC,據(jù)此計(jì)算即可得解.【詳解】如圖，在正方體中，若要使液面形狀不可能三角形，則平面EHD平行于水平面放置時(shí)，液面必須高于平面EHD，且低于平面AFC若滿足上述條件，則任意轉(zhuǎn)動(dòng)正方體，液面形狀都不可能為三角形，設(shè)正方體內(nèi)水的體積為V，而，而（升），（升）所以V的取值范圍是.故

15.已知，分別是雙曲線：左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，，圓：，直線與圓O相交于A，C兩點(diǎn)，直線與圓O相交于B，D兩點(diǎn).若四邊形的面積為，則的離心率為______.【正確答案】【分析】由弦長(zhǎng)公式可得，，四邊形的面積為，再由勾股定理結(jié)合雙曲線的定義解得，可求雙曲線的離心率.【詳解】因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，因?yàn)?，所以，設(shè)分別為到直線的距離，所以，，所以，∴①，∵，，且，∴，由雙曲線的定義可得：，平方可得：，所以代入①，可得：，即，令，則，，，雙曲線的離心率為.故答案為.16.完美數(shù)（Perfectnumber）是一類特殊的自然數(shù)，它的所有真因數(shù)（除自身之外的正因數(shù)）的和恰好等于它本身，尋找“完美數(shù)”用到函數(shù)，為n的所有真因數(shù)之和，如，28是一個(gè)“完美數(shù)”，則再寫出一個(gè)“完美數(shù)”為______；______.【正確答案】①.6（或496，8128，等）②.5280【分析】根據(jù)為n的所有真因數(shù)之和，第一空直接計(jì)算即可，分析的正因素的特點(diǎn)，求解即可.【詳解】，，2160的所有真因數(shù)的個(gè)數(shù)為，，故6；5280四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)造了“勾股方圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”，類比“趙爽弦圖”.類比趙爽弦圖，用3個(gè)全等的小三角形拼成了如圖所示的等邊，若，.（1）求；（2）求的面積.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）在中，由及求得；（2）在中，設(shè)（），則，由正弦定理求得，然后利用余弦定理即可求解.【小問1詳解】由知，，為正三角形，，∵.∴，，.【小問2詳解】設(shè)（），則，由正弦定理：，即，則，中，，即，則，，所以.18.已知棱長(zhǎng)為2的正方體中，E，F(xiàn)分別是棱，的中點(diǎn).（1）求多面體的體積；（2）求直線和平面所成角的正弦值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）運(yùn)用棱臺(tái)體積公式計(jì)算；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用數(shù)量積計(jì)算.【小問1詳解】∴，，∴，∴A，E，F(xiàn)，四點(diǎn)共面，易知多面體是一個(gè)三棱臺(tái)，；【小問2詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸建立空間直角坐標(biāo)系如上圖，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，即，令，則，設(shè)直線與平面的夾角為，則；綜上，多面體的體積為，直線與平面的夾角的正弦值為.19.甲、乙、丙三個(gè)小學(xué)生相互拋沙包，第一次由甲拋出，每次拋出時(shí)，拋沙包者等可能的將沙包拋給另外兩個(gè)人中的任何一個(gè)，設(shè)第（）次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，在丙手中的方法數(shù)為.（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項(xiàng)；（2）求證：當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，.【正確答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【分析】（1）首先確定第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，再結(jié)合條件列出關(guān)于數(shù)列的遞推公式，即可證明數(shù)列是等比數(shù)列，并且變形后，利用累加求和，即可求解數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）首先由條件確定，再根據(jù)（1）的結(jié)果，確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，再比較大小.【小問1詳解】由題意知：第n次拋沙包后的拋沙包方法數(shù)為，第次拋沙包后沙包在甲手中的方法數(shù)為，若第n次拋沙包后沙包在甲手中，則第次拋沙包后，沙包不可能在甲手里，只有第n次拋沙包后沙包在乙或丙手中，故，且故，，所以數(shù)列為等比數(shù)列，由，得，，，，……………，以上各式相加，可得；【小問2詳解】由題意知：第n次拋沙包后沙包在乙、丙手中的情況數(shù)相等均為，則，∵當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，∴.20.為調(diào)查某地區(qū)植被覆蓋面積x（單位：公頃）和野生動(dòng)物數(shù)量y的關(guān)系，某研究小組將該地區(qū)等面積花分為400個(gè)區(qū)塊，從中隨機(jī)抽取40個(gè)區(qū)塊，得到樣本數(shù)據(jù)（），部分?jǐn)?shù)據(jù)如下：x…2.73.63.23.9…y…50.663.752.154.3…經(jīng)計(jì)算得：，，，.（1）利用最小二乘估計(jì)建立y關(guān)于x的線性回歸方程；（2）該小組又利用這組數(shù)據(jù)建立了x關(guān)于y的線性回歸方程，并把這兩條擬合直線畫在同一坐標(biāo)系下，橫坐標(biāo)x，縱坐標(biāo)y的意義與植被覆蓋面積x和野生動(dòng)物數(shù)量y一致.設(shè)前者與后者的斜率分別為，，比較，的大小關(guān)系，并證明.附：y關(guān)于x的回歸方程中，斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，，【正確答案】（1）（2），證明見解析【分析】（1）根據(jù)最小二乘法計(jì)算公式求解；（2）根據(jù)相關(guān)系數(shù)證明.【小問1詳解】，，，，故回歸方程為；【小問2詳解】x關(guān)于y的線性回歸方程為，，，則，r為y與x的相關(guān)系數(shù)，又，，，故，即，下證：，若，則，即恒成立，代入表格中的一組數(shù)據(jù)得：，矛盾，故.綜上，y關(guān)于x的回歸方程為.21.已知橢圓C：（）的左焦點(diǎn)與圓的圓心重合，過右焦點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)為8.（1）求橢圓C的方程；（2）若C上存在M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線l：對(duì)稱，且（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求k的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)圓心求出焦點(diǎn)坐標(biāo)再根據(jù)定義求出a，可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）先由M，N兩點(diǎn)關(guān)于直線l：對(duì)稱設(shè)出直線方程，再由垂直得出最后結(jié)合點(diǎn)差法求值即可.

【小問1詳解】由，得，∴，根據(jù)橢圓定義，又因的周長(zhǎng)為8，∴，，∴，橢圓C的方程為；【小問2詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)，，，由直線，且，設(shè)，則聯(lián)立得，∵∴，即∴①得，即，∴，∵，，∴，