42屆imo試題及答案

單項選擇題（每題2分，共10題）1.集合\(A=\{1,2,3,4\}\)，集合\(B=\{3,4,5\}\)，則\(A\capB\)等于（）A.\(\{1,2\}\)B.\(\{3,4\}\)C.\(\{5\}\)D.\(\{1,2,3,4,5\}\)2.函數(shù)\(y=\sinx\)的最小正周期是（）A.\(\frac{\pi}{2}\)B.\(\pi\)C.\(2\pi\)D.\(4\pi\)3.直線\(y=2x+1\)的斜率是（）A.\(-2\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(\frac{1}{2}\)D.\(2\)4.若\(a\gtb\)，\(c\gt0\)，則下列不等式成立的是（）A.\(ac\ltbc\)B.\(ac\gtbc\)C.\(a+c\ltb+c\)D.\(a-c\ltb-c\)5.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)的模\(\vertz\vert\)為（）A.\(3\)B.\(4\)C.\(5\)D.\(7\)6.從\(5\)個不同元素中取出\(3\)個元素的排列數(shù)\(A_{5}^3\)是（）A.\(60\)B.\(20\)C.\(120\)D.\(10\)7.拋物線\(y^2=8x\)的焦點坐標(biāo)是（）A.\((2,0)\)B.\((0,2)\)C.\((-2,0)\)D.\((0,-2)\)8.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,2)\)，\(\overrightarrow=(2,m)\)，若\(\overrightarrow{a}\parallel\overrightarrow\)，則\(m\)的值為（）A.\(1\)B.\(2\)C.\(4\)D.\(-4\)9.函數(shù)\(y=\log_2x\)的定義域是（）A.\((0,+\infty)\)B.\((-\infty,0)\)C.\((0,1]\)D.\([1,+\infty)\)10.在等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)中，\(a_1=1\)，\(a_3=5\)，則\(a_2\)的值為（）A.\(2\)B.\(3\)C.\(4\)D.\(6\)多項選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是常見的三角函數(shù)（）A.\(\sinx\)B.\(\cosx\)C.\(\tanx\)D.\(\cotx\)2.下列幾何圖形中，是中心對稱圖形的有（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形3.不等式\(x^2-3x+2\lt0\)的解集的整數(shù)解有（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(2\)D.\(3\)4.以下屬于基本初等函數(shù)的有（）A.冪函數(shù)B.指數(shù)函數(shù)C.對數(shù)函數(shù)D.三角函數(shù)5.空間中，兩直線的位置關(guān)系有（）A.平行B.相交C.異面D.重合6.若\(a\)，\(b\)，\(c\)為實數(shù)，且滿足\(a+b+c=0\)，\(abc\gt0\)，則\(\frac{1}{a}+\frac{1}+\frac{1}{c}\)的值（）A.一定是正數(shù)B.一定是負(fù)數(shù)C.可能為\(0\)D.正負(fù)不確定7.橢圓\(\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1\)的性質(zhì)正確的是（）A.長軸長為\(6\)B.短軸長為\(4\)C.焦距為\(2\sqrt{5}\)D.離心率為\(\frac{\sqrt{5}}{3}\)8.下列函數(shù)中，是偶函數(shù)的有（）A.\(y=x^2\)B.\(y=\cosx\)C.\(y=\vertx\vert\)D.\(y=x^3\)9.已知\(a\)，\(b\)是正實數(shù)，且\(a+b=1\)，則\(ab\)的取值范圍是（）A.\((0,\frac{1}{4}]\)B.\([\frac{1}{4},1)\)C.\((0,1)\)D.\((0,\frac{1}{2}]\)10.數(shù)列\(zhòng)(\{a_n\}\)的前\(n\)項和\(S_n=n^2\)，則（）A.\(a_1=1\)B.\(a_2=3\)C.\(a_3=5\)D.\(a_n=2n-1\)判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的子集。（）2.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）3.函數(shù)\(y=x^3\)在\(R\)上是單調(diào)遞增函數(shù)。（）4.若\(a\)，\(b\)為異面直線，\(b\)，\(c\)為異面直線，則\(a\)，\(c\)也為異面直線。（）5.對數(shù)\(\log_a1=0\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）。（）6.兩個向量的數(shù)量積是一個向量。（）7.雙曲線\(\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\)（\(a\gt0\)，\(b\gt0\)）的漸近線方程為\(y=\pm\frac{a}x\)。（）8.若\(a\gtb\)，則\(a^2\gtb^2\)。（）9.等差數(shù)列的通項公式一定是關(guān)于\(n\)的一次函數(shù)。（）10.函數(shù)\(y=\sin^2x+\cos^2x=1\)恒成立。（）簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=3x-1\)在\(x=2\)處的函數(shù)值。答案：把\(x=2\)代入\(y=3x-1\)，得\(y=3×2-1=5\)。2.計算\(\sin150^{\circ}\)的值。答案：\(\sin150^{\circ}=\sin(180^{\circ}-30^{\circ})=\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}\)。3.解不等式\(2x-3\gt5\)。答案：移項得\(2x\gt5+3\)，即\(2x\gt8\)，兩邊同時除以\(2\)，得\(x\gt4\)。4.已知圓的方程為\((x-1)^2+(y+2)^2=9\)，求圓心坐標(biāo)和半徑。答案：根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程\((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\)，圓心坐標(biāo)為\((a,b)\)，半徑為\(r\)。所以此圓的圓心坐標(biāo)為\((1,-2)\)，半徑\(r=3\)。討論題（每題5分，共4題）1.討論函數(shù)\(y=x^2\)與\(y=2^x\)圖象交點個數(shù)情況。答案：通過分析函數(shù)性質(zhì)，\(y=x^2\)是二次函數(shù)，\(y=2^x\)是指數(shù)函數(shù)。在\(x\lt0\)時有一個交點，\(x=2\)和\(x=4\)時也有交點，所以有三個交點。2.討論在立體幾何中，如何判斷面面垂直？答案：可以通過定義，即兩個平面相交成直二面角，則這兩個平面垂直；也可根據(jù)判定定理，若一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面垂直。3.討論在概率問題中，互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系。答案：區(qū)別：互斥事件是兩事件不能同時發(fā)生，對立事件除不能同時發(fā)生外，必有一個發(fā)生。聯(lián)系：對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件。4.討論數(shù)列在實際生活中的應(yīng)用。答案：數(shù)列在貸款、存款利息計算，人口增長預(yù)測，放射性物質(zhì)衰變等方面都有應(yīng)用，可通過建立數(shù)列模型來解決相關(guān)實際問題。答案單項選擇題1.B2.C3.D4.B5.C