人教A版選擇性必修第三冊(cè)第六章計(jì)數(shù)原理

章引言閱讀教材P1，回答下列問(wèn)題：1.計(jì)數(shù)原理產(chǎn)生的現(xiàn)實(shí)背景是什么？2.本章學(xué)習(xí)內(nèi)容是什么？研究框架是什么？3.本章學(xué)習(xí)的基本方法和路徑是什么？6.16.26.3應(yīng)用加法運(yùn)算與乘法運(yùn)算分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理排列、排列數(shù)公式組合、組合數(shù)公式二項(xiàng)式定理推廣歸納人教A版選擇性必修第三冊(cè)第六章

計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理第3課時(shí)分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用環(huán)節(jié)一典例構(gòu)建，建構(gòu)模型【例7】計(jì)算機(jī)編程人員在編寫(xiě)好程序以后需要對(duì)程序進(jìn)行測(cè)試．程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑(程序從開(kāi)始到結(jié)束的路線)，以便知道需要提供多少個(gè)測(cè)試數(shù)據(jù)．一般地，一個(gè)程序模塊由許多子模塊組成．圖6.1-4是一個(gè)具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑?分析：整個(gè)模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)；第2步是從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束．而第1步可由子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個(gè)來(lái)完成；第2步可由子模塊4、子模塊5中任何一個(gè)來(lái)完成．因此，分析一條指令在整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個(gè)計(jì)數(shù)原理．環(huán)節(jié)一典例構(gòu)建，建構(gòu)模型【分析】完成的事情：完成程序測(cè)試；分兩步完成：第1步：從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)，由分類加法計(jì)數(shù)原理，子模塊1、子模塊2、子模塊3中的子路徑條數(shù)共有：18+45+28=91．即該步共有91種執(zhí)行路徑；第2步：從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束，同理，子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為：38+43=81．即該步共有81種執(zhí)行路徑；由分步乘法計(jì)數(shù)原理，整個(gè)模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為：91×81=7371．環(huán)節(jié)一典例構(gòu)建，建構(gòu)模型【追問(wèn)】為了減少測(cè)試時(shí)間，程序員需要設(shè)法減少測(cè)試次數(shù)．你能幫助程序員設(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)試方法，以減少測(cè)試次數(shù)嗎?分析：在實(shí)際測(cè)試中，如果每個(gè)子模塊都工作正常，并且各個(gè)子模塊之間的信息交流也正常，那么整個(gè)程序模塊就工作正常．因此，整個(gè)測(cè)試可以分兩類測(cè)試進(jìn)行：第一類測(cè)試：?jiǎn)为?dú)測(cè)試5個(gè)模塊，以考察每個(gè)子模塊的工作是否正常；第二類測(cè)試：測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常；解：第1類測(cè)試：?jiǎn)为?dú)測(cè)試5個(gè)模塊，由分類加法計(jì)數(shù)原理，5個(gè)模塊總共需要的測(cè)試次數(shù)為18+45+28+38+43=172．第2類測(cè)試：測(cè)試各個(gè)模塊之間的信息交流是否正常，同分兩步進(jìn)行，

第1步先測(cè)試從開(kāi)始執(zhí)行到A點(diǎn)的3個(gè)子模塊；第2步再測(cè)試從A點(diǎn)執(zhí)行到結(jié)束的2個(gè)子模塊，

由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共需要的測(cè)試次數(shù)為：3×2=6.由分類加法計(jì)數(shù)原理，測(cè)試整個(gè)模塊的次數(shù)共為：172+6=178.顯然，178與7371的差距是非常大的.環(huán)節(jié)一典例構(gòu)建，建構(gòu)模型【問(wèn)題1】你看出了程序員是如何實(shí)現(xiàn)減少測(cè)試次數(shù)的嗎？使檢測(cè)路徑數(shù)的計(jì)算由使檢測(cè)路徑減少.分步乘法計(jì)數(shù)原理分類加法計(jì)數(shù)原理環(huán)節(jié)二初步應(yīng)用，形成能力[例8]通常，我國(guó)民用汽車號(hào)牌的編號(hào)由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的、省、自治區(qū)、直轄市簡(jiǎn)稱和用英文字母表示的發(fā)牌機(jī)關(guān)代號(hào)，第二部分為由阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號(hào)，如圖6.1-5所示.其中，序號(hào)的編碼規(guī)則為：(1)由10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字和除O，I之外的24個(gè)英文字母組成；(2)最多只能有2個(gè)英文字母.如果某地級(jí)市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號(hào)編碼，那么這個(gè)發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少?gòu)埰囂?hào)牌？析：①無(wú)字母：10×10×10=1000(種)②1個(gè)字母：(24×10×10×10)×5=1200000(種)③2個(gè)字母：(24×24×10×10×10)×10=5760000(種)共1000+1200000+5760000=7060000(種)環(huán)節(jié)二初步應(yīng)用，形成能力兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用：特點(diǎn)：有些較復(fù)雜的問(wèn)題往往不單獨(dú)考查某一個(gè)計(jì)數(shù)原理，而是兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都要考查.分類中有分步分步中有分類先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“分類”處理，每一類的計(jì)數(shù)，還需要應(yīng)用到分步乘法計(jì)數(shù)原理；先對(duì)問(wèn)題進(jìn)行“分步”處理，每一步的計(jì)數(shù)，還需要應(yīng)用到分類加法計(jì)數(shù)原理．環(huán)節(jié)二初步應(yīng)用，形成能力解：展開(kāi)后共有3×3×5＝45項(xiàng).1.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3)(c1+c2+c3+c4+c5)展開(kāi)后共有多少項(xiàng)?解：9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個(gè)).2.在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)?3.某商場(chǎng)有6個(gè)門(mén)，如果某人從其中的任意一個(gè)門(mén)進(jìn)入商場(chǎng)，并且要求從其他的門(mén)出去，那么共有多少種不同的進(jìn)出商場(chǎng)的方式?解：進(jìn)出商場(chǎng)的不同方式有6×5＝30(種).鞏固：課本P11-12練習(xí)4.任意畫(huà)一條直線，在直線上任取n個(gè)分點(diǎn).(1)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一條線段，可得到多少條線段？(2)從這n個(gè)分點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)形成一個(gè)向量，可得到多少個(gè)向量？2.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有3條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路.從甲地到丁地共有多少條不同的路線？析：共2×3+4×2=14(條)鞏固：課本P11-12練習(xí)3.如圖，要讓電路從A處到B處接通，可有多少條不同的路徑？4.用1，5，9，13中的任意一個(gè)數(shù)作分子，4，8，12，16中任意一個(gè)數(shù)作分母，可構(gòu)成多少個(gè)不同的分?jǐn)?shù)？可構(gòu)成多少個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)？析：先定分子，再定分母，可構(gòu)成4×4=15個(gè)不同的分?jǐn)?shù)；按分子分類，可構(gòu)成4+3+2+1=10個(gè)不同的真分?jǐn)?shù)；鞏固：課本P11-12練習(xí)析：先定斜率，再定縱截距，共4×4=16條直線；6.(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)均在A={0，1，2，3，4，5}內(nèi)取值的不同點(diǎn)共有多少個(gè)？(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，斜率在集合B={1，3，5，7}內(nèi)取值，y軸上的截距在集合C={2，4，6，8}內(nèi)取值的不同直線共有多少條？析：先選橫坐標(biāo)，再選縱坐標(biāo)，共6×6=36個(gè)不同的點(diǎn).7.一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤(pán)，每個(gè)撥號(hào)盤(pán)上有0～9共10個(gè)數(shù)字.現(xiàn)最后一個(gè)撥號(hào)盤(pán)出現(xiàn)了故障，只能在0～5這6個(gè)數(shù)字中撥號(hào)，這4個(gè)撥號(hào)盤(pán)可組成多少個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼？析：10×10×10×6=6000個(gè)四位數(shù)字號(hào)碼例7

五名學(xué)生報(bào)名參加四項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法的種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這四項(xiàng)比賽的冠軍，獲得冠軍的可能性有多少種？解:（1）5名學(xué)生中任一名均可報(bào)其中的任一項(xiàng)，因此每個(gè)學(xué)生都有4種報(bào)名方法，5名學(xué)生都報(bào)了項(xiàng)目才能算完成這一事件故報(bào)名方法種數(shù)為4×4×4×4×4=45種.（2）每個(gè)項(xiàng)目只有一個(gè)冠軍，每一名學(xué)生都可能獲得其中的一項(xiàng)獲軍，因此每個(gè)項(xiàng)目獲冠軍的可能性有5種故有n=5×5×5×5=54種.環(huán)節(jié)二初步應(yīng)用，形成能力8.(1)4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每人限報(bào)其中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)，不同報(bào)法的種數(shù)是是34還是43？[變式]4名同學(xué)分別報(bào)名參加學(xué)校的足球隊(duì)、籃球隊(duì)、乒乓球隊(duì)，每個(gè)運(yùn)動(dòng)隊(duì)只選一名學(xué)生參加，不同的結(jié)果有____種.析：人選運(yùn)動(dòng)隊(duì)，每人有3種選擇，共3×3×3×3=34=81析：運(yùn)動(dòng)隊(duì)選人，每隊(duì)有4種選擇，共4×4×4=43=64鞏固：課本P11-12練習(xí)(2)3個(gè)班分別從5個(gè)景點(diǎn)中選擇一處游覽，不同選法的種數(shù)是35還是53？析：各班選景點(diǎn)，每班有5種選擇，共5×5×5=53=125[變式]火車上有10名乘客，沿途有5個(gè)車站，乘客下車的可能方式有_____種.510析：乘客選車站，每人有5種選擇[引例]從5件不同的禮物中選出2件，分別送給甲、乙兩人，每人一件禮物，則不同的送法種數(shù)為_(kāi)______.9.(1)從5件不同的禮物中選出4件送給4位同學(xué)，每人一件，有多少種不同的送法？(2)有5個(gè)編了號(hào)的抽屜，要放進(jìn)3本不同的書(shū)，不同的放法有多少種？(一個(gè)抽屜可放多本書(shū))析：先選禮物給甲，再選禮物給乙，共5×4=20種選法鞏固：課本P11-12練習(xí)析：依次選禮物給4位同學(xué)，共5×4×3×2=120種選法析：①3本書(shū)放1個(gè)抽屜，共5種放法；②3本書(shū)放2個(gè)抽屜，共3×(5×4)=60種放法；③3本書(shū)放3個(gè)抽屜，共5×4×3=60種放法；共5+60+60=125種放法.10.口袋中裝有8個(gè)白球和10個(gè)紅球，每個(gè)球編有不同的號(hào)碼，現(xiàn)從中取出2個(gè)球.（1）正好是白球、紅球各一個(gè)的取法有多少種？（2）正好是兩個(gè)白球的取法有多少種？（3）至少有一個(gè)白球的取法有多少種？（4）兩球的顏色相同的取法有多少種？8×10=80鞏固：課本P11-12練習(xí)(8×7)÷2=288×10+28=10828+10×9÷2=73344311.

在國(guó)慶長(zhǎng)假期間，要從7人中選若干人在7天假期值班（每天只需1人值班），不出現(xiàn)同一人連續(xù)值班2天，有多少種可能的安排方法？12.

2160有多少個(gè)不同的正因數(shù)？析：分步安排每天的值班人員，共7×6×6×6×6×6×6=7×